Fyzikální praktikum FJFI ČVUT v Praze

Fyzikální praktikum FJFI ČVUT v Praze Úloha 5: Měření Poissonovy konstanty a dutých objemů Datum měření: 10. 12. 2015 Skupina: 8, čtvrtek 7:30 Vypracoval: Tadeáš Kmenta Klasifikace: Část I Měření Poissonovy konstanty 1 Zadání 1. DÚ: Odvoďte rovnici pro Poissonovu konstantu (14) v [1]. Vyjděte z (2) a (13) v [1]. 2. Změřte Poissonovu konstantu metodou kmitajícího pístku. 3. Změřte Poissonovu konstantu Clément-Désormesovou metodou. Nezapomeňte provést opravu vašeho měření na systematické chyby. 4. Oba výsledky porovnejte (procentuálně) a diskutujte, jestli je v rámci chyb můžete považovat za stejné. 2 Pomůcky Barometr, aparatura na měření Poissonovy konstanty Clément-Désormesovou metodou (skleněná báň se dvěma kohouty, otevřený manometr, gumový měch, stopky s fotoelektrickou bránou), aparatura na měření Poissonovy konstanty metodou kmitajícího pístku (skleněná baňka, skleněná trubice s postranním otvorem, pístek, elektrická pumpička na vzduch, stopky s fotoelektrickou bránou, spojovací trubice). 3 Teoretický úvod C V Poissonova konstanta κ je poměr měrného tepla při stálém tlaku C P a měrného tepla při stálém objemu κ = C P C V. (1) Hodnotu κ lze určit ze změn tlaku při adiabatickém ději, který je popsán Poissonovou rovnicí kde p je tlak plynu a V jeho objem. pv κ = konst., (2) 1

3.1 Clémentova-Désormesova metoda Obrázek 1: Clément-Désormesův přístroj. B - báň, K - kohouty, h - rozdíl hladin. [1] Schéma použité aparatury je znázorněno na obrázku 1. Vzduch se nejprve v báni B stlačí, aby měl proti vnějšímu barometrickému tlaku b přetlak o h, který odečteme jako výškový rozdíl hladin otevřeného manometru, který je k báni připojen. Tlak vzduchu v báni je pak p 1 = b + h. (3) Označme objem vzduchu před adiabatickou expanzí jako V 1, po adiabatické expanzi jako V 2. Teplotu vzduchu, která je shodná s teplotou okolní báně, označme T 1. Otevřeme-li na velmi krátkou dobu kohout K, který odděluje vnitřek báně od vnějšího vzduchu, vyrovnají se tlaky uvnitř a vně báně na hodnotu tlaku barometrického p 2 = b. (4) Proběhla adiabatická expanze v báni: (V 1, T 1, p 1 ) (V 2, T 2, p 2 ). Po dosti dlouhé době se teplota vzduchu v báni opět vyrovná na vnější teplotu T 1 a přitom stoupne tlak o přírůstek h, který opět změříme jako rozdíl hladin v manometru. Tato změna je izochorická a tlak vzduchu je pak p 3 = b + h. (5) Pro první adiabatickou změnu stavu dostáváme z rovnice (2) vztah p 1 = ( V κ 2 ). (6) p 2 V 1 Změna stavů (V 1, T 1, p 1 ) (V 3 = V 2, T 3 = T 1, p 3 ) je izotermická a platí pro ni Boyle-Marriotteův zákon p 1 p 3 = V 2 V 1. (7) Po následných úpravách popsaných v [1] lze pro Poissonovu konstantu κ psát vztah 3.2 Metoda kmitajícího pístku κ = h h h. (8) Obrázek 2: Schéma aparatury pro měření metodou kmitajícího pístku. 1 - skleněná baňka; 2 - válcová skleněná trubice; 3 - průduch na straně trubice, označen ryskami 3a; 4 - umělohmotný pístek; 5a - přívodní kapilára; 5b - převlečná matice; 6 - ventil; 7 - zásobní;8 vzduchová pumpa. [1] 2

Použitá aparatura je znázorněna na obrázku 2. Ve válcové skleněné trubici se pohybuje pístek z umělé hmoty. Do baňky je přívodní kapilárou přiváděn měřený plyn, čímž se vytvoří mírný přetlak, který tlačí pístek směrem nahoru. Jakmile pístek přejde přes průduch na straně trubice, tlak ve skleněné baňce se zmenší, pístek poklesne a celý proces se opakuje. Vhodným nastavením tlaku v baňce lze docílit toho, aby pístek kmital symetricky okolo otvoru. Jestliže se pístek o poloměru r posune v trubici o délku dx, tlak v baňce se změní o dp. Síla působící na pístek bude m d2 x dt 2 = πr2 dp, (9) kde m je hmotnost pístku a r jeho poloměr. Protože pístek kmitá rychle, lze předpokládat, že změny tlaku v baňce jsou adiabatické a platí pro ně rovnice (2). Diferencováním rovnice (2) dostáváme rovnici Pro změnu objemu válce o x lze psát dp = pκ dv V. (10) dv = πr 2 x (11) Potom dosazením rovnice (11) do (10) a následně do (9) a po úpravě dostáváme pohybovou rovnici d 2 x dt 2 + π2 r 4 pκx = 0. (12) mv Pro periodu doby kmitu pístku T tedy platí Z čehož dostáváme vztah pro Poissonovou konstantu T = 4mV κpr 4. (13) κ = 4mV T 2 pr 4, (14) kde tlak p je okamžitý tlak v baňce a platí pro něj vztah kde b je naměřený atmosférický tlak. 4 Postup měření 4.1 Clémentova-Désormesova metoda p = b + mg πr 2, (15) Nejprve zavřeme kohout K a otevřeme kohout K, přičemž vzduch v báni stlačíme gumovým měchem. Odečteme výšky hladin h a následně krátce zmáčkneme kouhout K při zavřeném kohoutu K. Maximální dobu stlačení stanovujeme na půl vteřiny, přičemž doba je zaznamenána stopkami s fotoelektrickou branou. Chvíli počkáme a změříme rozdíl hladin h. Měření opakujeme a následně programem Gnuplot nafitujeme κ odpovídající nulové době otevření kohoutu K. 4.2 Metoda kmitajícího pístku Regulační knoflík na pumpičce nastavíme na minimum a uvedeme do chodu. Malým otevřením ventilku otevřeme přívod plynu a uvedeme pístek do kmitavého stavu tak, aby jej světelný paprsek z fotosnímače přerušoval v nejvyšší poloze. Snímač nastavíme na pěti minutový interval a zaznamenáváme jím počet period. Měření následně několikrát opakujeme. 5 Naměřené hodnoty Ve výpočtech uvažujeme gravitační konstantu g = 9.81 ms 2. 3

5.1 Clémentova-Désormesova metoda V tabulce číslo 1 jsou uvedené naměřené hodnoty výšky hladiny h jakožto rozdíl hladin v horní poloze h 1 a dolní poloze h 2. Dále je uvedena doba T, po kterou byl kohout K otevřen a výška hladiny h jakožto rozdíl hladin v horní poloze h 1 a dolní poloze h 2 a následně je vypočtena hodnota κ dána vzorcem (8). h 1 [cm] h 2 [cm] h [cm] T [s] h 1 [cm] h 2 [cm] h [cm] κ [-] 46.8 24.5 22.3 0.119 38.5 32.7 5.8 1.35 48.5 22.8 25.7 0.246 38.6 32.6 6.0 1.30 46.4 25.0 21.4 0.177 38.4 32.8 5.6 1.35 43.3 28.1 15.2 0.379 37.3 33.9 3.4 1.29 47.0 24.4 22.6 0.251 38.5 32.8 5.7 1.34 43.7 27.8 15.9 0.367 37.5 33.8 3.7 1.30 48.5 22.9 25.6 0.467 38.5 32.7 5.8 1.29 46.6 24.8 21.8 0.175 38.4 32.8 5.6 1.35 46.2 25.2 21.0 0.172 38.3 32.9 5.4 1.35 48.8 22.6 26.2 0.383 38.7 32.5 6.2 1.31 49.7 21.7 28.3 0.243 39.3 32.1 7.2 1.34 46.3 25.2 21.1 0.162 38.4 32.9 5.5 1.35 Tabulka 1: Naměřené hodnoty: Clémentova-Désormesova metody. Na obrázku 3 je znázorněna závislost konstanty κ na době otevření pístku. Obrázek 3: Clément-Désormesova metoda: Závislost konstanty K na čase. Poissonova konstanta odpovídá nafitované hodnotě v čase T = 0 a činí κ = 1. 38 ± 0. 01. 4

5.2 Metoda kmitajícího pístku V tabulce 2 jsou uvedené naměřené hodnoty počtu period v pětiminutovém intervalu a vypočítaná doba periody T jednoho kmitu. číslo měření 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 počet period 882 893 889 899 905 909 936 924 927 925 T [s] 0.340 0.336 0.337 0.334 0.331 0.330 0.321 0.325 0.324 0.324 Hmotnost pístku: m = 4.59 g. Poloměr pístku: r = 5.95 mm. Objem láhve: V = 1.133 dm 3. Naměřený atmosférický tlak: b = 101.38 kpa. Perioda: T = (0.330 ± 0.007) s. Tabulka 2: Metoda kmitajícího pístku. Naměřené hodnoty. Potom ze vzorce (14) s využitím vzorce (15) je Poissonova konstanta rovna κ = 1. 50 ± 0. 06. 6 Diskuse Clément-Désormesovou metodou jsme určili Poissonovu konstantu na hodnotu κ = 1.38 ± 0.01 a metodou kmitajícího pístku na hodnotu κ = 1.50 ± 0.06. Výsledky si nejsou ani s přihlédnutím k chybě rovny, tudíž docházelo při měření k dalším systematickým chybám, které nejsou zahrnuty. U obou metod se jedná hlavně o netěsnosti v aparatuře, navíc při měření metodou kmitajícího pístku jsme očekávali vždy stejný počet kmitů, oproti tomu se s přibývajícím časem počet kmitů zvětšoval. Tabulková hodnota pro vzduch [2], která činí κ = 1.40, ukazuje na větší přesnost měření Poissonovy konstaty pomocí Clément- Désormesovy metody. 7 Závěr Clément-Désormesovou metodou jsme určili Poissonovu konstantu na hodnotu κ = 1.38 ± 0.01 a metodou kmitajícího pístku na hodnotu κ = 1.50 ± 0.06. Výsledky si vzájemně neodpovídají, přičemž Clément-Désormesova metoda se vzhledem k tabulkové hodnotě, která činí κ = 1.40 [2] jeví přesnější. 8 Reference [1] Návod Měření Poissonovy konstanty a dutých objemů. Citace 6.12.2015. http://praktikum.fjfi.cvut.cz/pluginfile.php/4350/mod_resource/content/2/poisson -2015- Oct-08.pdf [2] Matematické, fyzikální a chemické tabulky & vzorce pro střední školy str. 220; nakl. Prometheus, 2011, Dotisk 1. vydání 5

Část II Měření dutých objemů 1 Zadání 1. Určete objem láhve metodou vážení. 2. Určete objem téže láhve pomocí komprese plynu. 3. Oba výsledky vzájemně porovnejte 2 Pomůcky Měřený objem (láhev se závitem), speciální plynová byreta s porovnávacím ramenem, katetometr, teploměr, barometr, analytické váhy do 5 kg. 3 Teoretický úvod 3.1 Metoda vážení Objem nádoby lze určit tak, že ji beze zbytku vyplníme kapalinou známé hustoty, například vodou. Je-li hmotnost vody vyplňující nádobu m v, platí pro objem této nádoby vztah V = m v ρ v = m v V v, (16) kde ρ v je hustota vody a V v je jednotkový objem vody, pro který platí vztah kde t je teplota vody. V v = 0.9998(1 + 0.00018t) [ cm3 g ; ], (17) 3.2 Metoda komprese plynu Obrázek 3: Schéma aparatury pro měření objemů metodou kompresí plynu. B byreta, T srovnávací trubice, Z - zásobní nádoba, V měřený objem. [1] Pro měření kompresí plynu budeme používat aparaturu zobrazenou na obrázku 3. K měřenému objemu V se připojí horní konec plynové byrety B, jejíž dolní konec je spojen se svislou srovnávací trubicí T stejného průměru a se zásobní nádobou Z. Změno výšky nádoby Z je možno vytlačovat vodu do byrety a do srovnávací trubice. Sahá-li voda v byretě před kompresí k dílu V 1 a stoupne-li po kompresi k dílku V 2, 6

stoupne tlak v objemu z původní hodnoty p na hodnotu p + p. Přetlak p se projeví rozdílem hladin h v byretě B a ve srovnávací trubici T. Poté pro měřený objem V platí vztah V = (V 2 V 1 ) p p + V 2 V 100, (18) kde V 100 je objem zcela naplněné byrety. Počáteční tlak p volíme atmosférický a přetlak p určíme ze vztahu p = hg V v, (19) kde g je gravitační konstanta a V v jednotkový objem vody daný vztahem (17). Takto změřený objem V ovšem zahrnuje i objem trubice spojující byretu s měřeným objemem. Proto stejným způsobem určíme i nulový objem V, kdy místo lahve použijeme záslepku. Výsledný objem V 0 získáme odečtením obou výsledků. 4 Postup měření 4.1 Metoda vážení Nejprve na analytických vahách zvážíme samotnou lahev bez vody. Poté lahev až po okraj s pomocí injekční stříkačky naplníme vodou a několikrát hmotnost přeměříme na analytických vahách. Následně pomocí teploměru změříme teplotu vody v lahvi. 4.2 Metoda komprese plynu Láhev našroubujeme na horní konec plynové byrety a povolíme výpustný ventilek na byretě, čímž docílíme rovnosti hladin v byretě a srovnávací trubici. Ventilek zavřeme a katetometrem změříme výšku hladiny a následně odečteme údaj na stupnici na byretě. Zvedneme nádobu s vodou, čímž vytlačíme vodu z nádoby do byrety a srovnávací trubice, a odečteme nové hodnoty hladin v byretě a srovnávací trubici a zaznamenáme údaj ze stupnice na byretě. Měření několikrát opakujeme. Následně vyměníme lahev za záslepku a aplikujeme stejný postup měření. Při měření si hlídáme, aby aparatura všude dobře těsnila. 5 Naměřené hodnoty Ve výpočtech uvažujeme gravitační konstantu g = 9.81 ms 2. 5.1 Metoda vážení Hmotnost lahve bez vody m 0 = (581 ± 0.5) g. Teplota vody t = (23.9 ± 0.05). V tabulce 3 jsou uvedené naměřené hmotnosti m 1 lahve s vodou. číslo měření 1 2 3 4 5 6 7 m 1 [g] 1596 1594 1596 1597 1596 1595 1596 Tabulka 3: Metoda vážení: Naměřené hodnoty hmotností. Hmotnost lahve s vodou: m 1 = (1596 ± 0.1) g. Hmotnost vody jakožto rozdíl hmotností lahve s vodou a bez vody: m v = (1015 ± 1.5) g. Jednotkový objem vody je dle vzorce (17) roven: V v = (1.04281 ± 0.00009) cm3 g. Ze vzorce (16) je poté objem lahve roven V = (1. 058 ± 0. 002) dm 3. 7

5.2 Metoda komprese plynu Objem jednoho dílku je roven: V d = 0.656 cm 3. Objem naplněné byrety: V 100 = 65.6 cm 3. Naměřený atmosférický tlak: p = 101.38 kpa. Teplota vody t = (23.9 ± 0.05). V tabulce číslo 4 jsou uvedeny naměřené hodnoty s lahví. Výška hladin v byretě a ve srovnávací trubici h 1 s příslušným počtem dílků na byretě d 1 a tomu odpovídající objem V 1, výška hladiny v byretě po zvednutí nádobky h 2 s údajem na stupnici d 2 a tomu odpovídající objem V 2, výška hladiny ve srovnávací trubici h 3 a rozdíl výšek hladin h = h 2 h 3 představující přetlak p. A vypočtená hodnota objemu V podle vzorce (18) zahrnující objem lahve coby měřeného objemu V 0 a spojující byrety. h 1 [mm] d 1 [-] V 1 [cm 3 ] h 2 [mm] d 2 [-] V 2 [cm 3 ] h 3 [mm] h [mm] V [cm 3 ] 174.07 0.5 0.328 152.04 4.5 2.952 127.15 24.89 1073.5 196.04-3.0-1.968 184.06 4.0 2.624 155.34 28.72 1660.1 190.33-2.0-1.312 101.50 13.5 8.856 82.81 18.69 5806.2 188.12-2.0-1.312 88.13 16.0 10.496 69.58 18.55 6804.9 Tabulka 4: Naměřené hodnoty s lahví Z tabulky je zřejmé, že docházelo k systematické chybě, která byla způsobena netěsnostmi okolo hrdla lahve. Jediná akceptovatelná hodnota odpovídající realitě je V = 1073.5 cm 3. V tabulce číslo 5 jsou uvedeny naměřené hodnoty se zátkou. Výška hladin v byretě a ve srovnávací trubici h 1 s příslušným počtem dílků na byretě d 1 a tomu odpovídající objem V 1, výška hladiny v byretě po zvednutí nádobky h 2 s údajem na stupnici d 2 a tomu odpovídající objem V 2, výška hladiny ve srovnávací trubici h 3 a rozdíl výšek hladin h = h 2 h 3 představující přetlak p. A vypočtená hodnota objemu spojující byrety V podle vzorce (18). h 1 [mm] d 1 [-] V 1 [cm 3 ] h 2 [mm] d 2 [-] V 2 [cm 3 ] h 3 [mm] h [mm] V [cm 3 ] 183.78-1.0-0.656 180.52-0.5-0.328 133.02 47.50 8.5 174.44 0.5 0.328 168.78 1.5 0.984 74.00 94.78 10.0 175.61 0.5 0.328 169.71 1.5 0.984 68.70 101.01 5.4 177.91 0.0 0 172.62 1.0 0.656 78.39 94.23 10.1 Tabulka 5: Naměřené hodnoty se zátkou. S použitím aritmetického průměru a směrodatné odchylky je potom objem spojující byrety V = (8.5 ± 2.2) cm 3. 6 Diskuse Výsledný objem získáme vztahem V 0 = V V a je roven V = (1. 065 ± 0. 002) dm 3. Měřením metodou vážení jsme určili dutý objem lahve na hodnotu V = (1.058 ± 0.002) dm 3 a metodou komprese plynu na hodnotu V = (1.065 ± 0.002) dm 3. Metoda komprese plynu nemá je založena pouze na jednom měření objemu, které nemusí být vůbec přesné a bude proto navíc zatíženo velkou chybou. Ostatní měření jsme byli nuceni vyloučit, neboť zcela odporovaly reálným rozměrům lahve. Systematická chyba měření je zapříčiněna špatným těsněním aparatury v okolí hrdla lahve. Při měření jsme navíc zapomínali odečítat údaj ze stupnice byrety a tuto chybu jsme si uvědomili až při posledních měření objemu se zátkou. Ostatní hodnoty d i a následně V i jsou přímou úměrou dopočtené a proto jsou k vidění i záporné objemy. 8

7 Závěr Metodou vážení jsme určili dutý objem lahve na hodnotu V = (1.058 ± 0.002) dm 3 a metodou komprese plynu na hodnotu V = (1.065 ± 0.002) dm 3. Metoda komprese plynu nemá ovšem pravdivostní vypovídající hodnotu neboť vychází z pouze z jednoho měření, které je zatíženo velkou chybou. 8 Reference [3] Návod Měření Poissonovy konstanty a dutých objemů. Citace 6.12.2015. http://praktikum.fjfi.cvut.cz/pluginfile.php/4350/mod_resource/content/2/poisson -2015- Oct-08.pdf 9