ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE KATEDRA FYZIKY LABORATORNÍ CVIČENÍ Z FYZIKY Jméno: Petr Česák Datum měření: 30.3.2000 Studijní rok: 1999-2000, Ročník:1 Datum odevzdání: 13.4.2000 Studijní skupina: 5 Laboratorní skupina: 2 Klasifikace: Číslo úlohy: 3 Název úlohy: Studium elektrostatického pole na modelech
Úkol měření: 1. Změřte rozložení ekvipotenciál jedné konfigurace vzorků elektrod metodou vycházející z analogie se stacionárním elektrickým polem. 2. Na proměnné dvojici elektrod ve zvoleném uspořádání určete maximální intenzitu elektrického pole. 3. Odhadněte chybu měření. Obecná část: Elektrostatické pole přírodního i umělého původu můžeme vyšetřovat několika cestami: Numerickým řešením pomocí počítačů, graficky, přímým měřením a modelováním. Modelovaní je založeno na skutečnosti, že různé fyzikální procesy se popisují stejnými rovnicemi. Pro modelování elektrostatických polí se využívá jejich podobnosti s elektrickým polem proudovým. Tak například mezi proudovou hustotou! j, konduktivitou! γ, intenzitou elektrického pole E! elektrickou indukcí D! a permitivitou ε platí vztahy:!!!! j = γe, D = ε E (1) Další dvojici duálně analogických vztahů dostaneme, jestliže rovnice (1) integrujeme přes plochu S a dostaneme:!!!! I = jds, Ψ = DdS (2) ( S) ( S) kde I je proud a ds! je element plochy protékaný proudem di.. Ψ je elektrický indukční tok a ds! je element loch protékaný tokem dψ. Vzájemně ekvivalentní jsou také vztahy:!! div j = 0, div D = 0 (3) čili δ j δ j δ j δ D δ D x y z x y δ Dz + + = 0, + + = 0 (4) δ x δ y δ z δ x δ y δ z Z rovnic (1) až (4) vidíme, že si formálně odpovídají tyto veličiny:!! j D I Ψ (5) γ ε Jelikož elektrický indukční tok z uzavřené plochy je roven volnému náboji Q, jsou rovněž navzájem analogické vodivost G a kapacita C G = I (6) U C = Q (7) U V proudovém i elektrostatickém poli platí shodně! E = grad ϕ (8) kde ϕ je potenciál rot E = 0! (9) Petr Česák - 105 1 13.4.2000
Z analogie obolu polí plynou i podmínky pro rozhraní mezi dvěma různě vodivými látkami (dvěma dielektriky) I2n = I1 n, D2 n = D1 n, I2t = I1 t, E2t = E1 t (10) kde indexy n,t značí normálové a tečné složky. Kromě uvedených vztahů existuje také vzájemná analogie mezi odporem vodiče a tzv. dielektrickým odporem. Proudové pole pro modelování elektrostatického pole lze realizovat pomocí odporové sítě nebo odporového papíru. Nejčastěji a nejnázorněji se však realizuje pomocí elektrolytické vany. Je to relativně mělká, avšak plošně dosti rozlehlá nádoba z izolantu naplněná nějakým vhodným elektrolytem, popř. obyčejnou vodou. Pro teoretické zdůvodnění metody elektrolytické vany uvažujeme objemový element elektrolytu o rozměrech dx, dy, dz (viz též první rovnici (4)). Pro proudovou hustotu platí první rovnice (3). Zavedeme-li do ní vztah!! j = γ E (11) v němž γ je konduktivita elektrolytu a E! intenzita elektrického pole v elektrolytu, přejde (4.11) v homogenním elektrolytu na tvar γ div E! = 0 (12) Srovnáme-li tuto rovnici s druhou! rovnicí (4.3), která pro izotropní prostředí má tvar ε div E = 0,( ε = ε0εr ) (13) je zřejmý stejný charakter obou diferenciálních rovnic a tudíž i oprávněnost použití elektrolytu k modelování elektrostatického pole ve vakuu nebo dielektriku. Do elektrolytu na dno vany se vkládají tělesa imitující elektrody v elektrostatickém poli. Musí být z materiálu, jehož vodivost je podstatně větší než vodivost elektrolytu. Jsou tedy nejčastěji kovová. Nejsnadněji se modeluje rovinné elektrostatické pole. Vycházíme přitom z přirozeného prostorového uspořádání, z něhož vyjmeme část omezenou dvěma rovnoběžnými rovinami, v nichž se tvar pole nemění a znázorníme jí v elektrolytické vaně tak, že rovnoběžné roviny ztotožníme se dnem vany a hladinou elektrolytu. Při uložení modelu elektrodové konfigurace do elektrolytu je třeba respektovat skutečnost, že stěny vany vždy proudové pole poněkud ovlivňují. Tento vliv bude tím menší, čím větší je vana vzhledem k velikosti a vzájemné orientaci elektrod. Uspořádání pro rovinné pole je na obrázku 1. K elektrodám El, E2 je připojen zdroj, pokud možno konstantního napětí, dodávající proud do obvodu s elektrolytem. Tento proud by měl být stejnosměrný. Petr Česák - 105 2 13.4.2000
Polarizační jevy při použití obecných kovů jako materiálu elektrod by však měření značně rušily. Proto se užívá střídavého proudu nepříliš vysokém kmitočtu (max. 1,5 khz), jelikož rovnice (11) až (13) jsou i v tomto případě splněny s dostatečnou přesností. Ekvipotenciální čáry vyšetřujeme sondou S, tj. tenkou hrotovou kovovou elektrodou ponořenou trvale nebo ponořovanou bod po bodu do elektrolytu a to tak, že jí ručně nebo pomocí nějakého mechanismu přemísťujeme. Sonda je připojena k voltmetru, který měří napětí bezproudým způsobem (voltmetr s velkým vnitřním odporem), jak to ukazuje obrázek 1. Podle obrázku 1 tedy zjišťujeme místa se zvoleným potenciálem přímo. Postup měření: 1. Zkontrolujte libelou, je-li podstavec s elektrolytickou vanou ve vodorovné poloze. 2. Vložíme libovolné dvě elektrody do vany s elektrolytem a dáme jim libovolnou vzájemnou orientaci, při čemž dbáme, aby pokud možno nebyla překročena plocha vymezená rastrem, popřípadě rámečkem, na dně vany. 3. Do držáku sondy DS obr. 2 vložíme a šroubem upevníme indikační hrot z umělé hmoty a pomocí souřadnicového posuvu jím určíme souřadnice x,y význačných bodů elektrod. Na obrázku 2 jsou to body 1,2,3,4. (U kruhových elektrod určíme pouze souřadnice středu a průměr změříme pomocným měřítkem). Pomocí souřadnic nakreslíme elektrody do grafu. S takto proměřenými elektrodami již nehýbáme. 4. K elektrodám připojíme generátor napájecího proudu. 5. Do držáku DS vložíme a šroubem upevníme sondu S. Její hrot má zasahovat asi 1-2mm pod hladinu elektrolytu. 6. Zapneme generátor a voltmetrem zkontrolujeme jeho svorkové napětí, popř. ho nastavíme na 10V. Potom připojíme k voltmetru sondu. Používáme zapojení podle obr. 1. 7. Souřadnicovým mechanismem se sondou pohybujeme a hledáme body stejného potenciálu v elektrolytu. Potenciál čteme na voltmetru a nalezené body Petr Česák - 105 3 13.4.2000
zapisujeme nebo přímo zakreslujeme do grafu (milimetrový papír) pomocí souřadnic, které čteme na stupnicích pojezdů. 8. Potenciálový krok volíme 0,5 nebo 1V. Body tvořící ekvipotenciální čáry vyšetřujeme zvlášť pečlivě v okolí hran hrotů elektrod. Měříme nejen v prostoru mezi elektrodami, ale i okolo nich, tj. i po stranách a za nimi, u kruhové elektrody také uvnitř. 9. Změřené pole nakreslíme, přičemž ekvipotenciální čáry doplníme sítí čar proudových, které jsou vždy k ekvipotenciálním čarám kolmé. Ekvipotenciálními čarami jsou také obrysy elektrod. Hustota proudových čar musí odpovídat tvaru elektrod (hroty, hrany). 10. Na proměřené dvojici elektrod ve zvoleném uspořádání určíme maximální intenzitu pole podle rovnice (11.4[7]), která v tomto případě bude mít tvar E s = ϕ/ s, kde ϕ je změna potenciálu na vzdálenosti s. 11. Odhadneme maximální relativní chybu určení ϕ,popř. E s. 12. Uvedeným postupem proměříme dvě dvojice různých elektrod nebo dvě různá uspořádání jedné a téže dvojice elektrod. Schéma měřícího zařízení: Seznam použitých přístrojů a pomůcek: Elektrolytická vana, generátor, voltmetr, libela, měřítko, sada elektrod, indikační hrot, sonda. Petr Česák - 105 4 13.4.2000
Tabulky naměřených hodnot a zpracovaných výsledků: Zapojení a rozmístění elektrod je shodné s obrázkem 1. Souřadnice jednotlivých (význačných) bodů jsou uvedeny v tabulce. Bod X[mm] Y[mm] 1 208 273 2 208 173 3 110 173 4 302 163 X[mm] Y[cm] U[V] 10 12 14 16 17 18 20 21 22 24 26 28 1 119 99 93 213 213 213 213 122 174 203 212 214 2 153 196 211 216 219 220 221 223 224 219 3 137 163 189 210 217 221 225 227 229 232 235 235 4 176 191 205,5 219 223 226 231 233 237 243 247 251 5 204 210,5 218 226 229 232 237 241 249 253 261 271 6 225 226 229 233 235 237 243 248 253 266 280 295 7 244 239 238 239 241 242 250 256 263 283 313 350 8 266 254 248 245 246 248 257 265 276 326 378 9 328 270 368 258 373 251 377 251 377 254 371 265 354 275 349 309 Graf: Určení maximální intenzity elektrického pole: - rozdíl potenciálů ϕ = 1V - z grafu jsme odečetli minimální vzdálenost ekvipotenciálních čar s = 3,8mm 1 - E s = ϕ / s = = 263 V.m -1 3 3,8 10 Odhadnutí chyby měření: - odhad chyby určení vzdálenosti čar: ϑ(s) = 1,9 mm ϑ( s) 1,6 - relativní chyba určení s je ϑr ( s) = = = 0, 42 s 3,8 - relativní chyba intenzity elektrického pole je rovna relativní chybě určení vzdálenosti: ϑ r ( E ) = ϑ ( s) = 0, 42 s - z toho určíme chybu E s : ϑ(e s ) = 110V m Graf je na konci toho referátu. r 1 Petr Česák - 105 5 13.4.2000
Kontrolní otázky: Závěr: 1. Co je elektrostatického pole? O elektrostatickém poli mluvíme, jsou-li náboje z makroskopického hlediska v naší pozorovací soustavě klidné (statické, bez pohybu). 2. Jaký je vztah mezi intenzitou elektrostatického pole a jeho potenciálem?!!! E( r ) = grad ϕ( r ),! kde E (r! ) je intenzita a ϕ (r! ) potenciál elektrostatického pole. 3. Co je ekvipotenciála? Ekvipotenciála je plocha stejného potenciálu. Povrch vodiče v elektrostatickém poli je vždy ekvipotenciálou. 4. Co je siločára a jak je orientována vůči ekvipotenciále? Siločáry jsou linie intenzity E! a jsou kolmé na ekvipotenciály. 5. Co představuje potenciál elektrostatického pole? Potenciál (r! N! 1 Qi ϕ ) je definován vztahem ϕ ( r) =!! + C, 4πε i=1 r ri kde C je libovolná konstanta. Tedy potenciál není definován jednoznačně. 6. Proč vodivost stěn elektrolytické vany musí být menší než vodivost elektrolytu? Kdyby totiž vodivost stěn byla větší než vodivost elektrolytu, byly by stěny vany ekvipotenciálními plochami. Ekvipotenciály jedné konfigurace vzorků elektrod metodou vycházející z analogie se stacionárním elektrickým polem jsou zobrazeny v grafu. Měření jsme prováděli při hodnotě napájecího napětí U=10V. Maximální hodnota intenzity elektrického pole E s = (263 ± 110) V.m -1. Avšak celý údaj o velikosti intenzity je nutno brát s rezervou, neboť celková chyba měření je veliká a tvar ekvipotenciál se někdy značně liší od ideálního průběhu. Tyto velké nepřesnosti byly dány nepřesným vyhledáním ekvipotenciálních hladin. Seznam prostudované literatury: [1] Brož, J. a kol.: Základy fyzikálních měření I, SPN Praha 1967 [2] Haňka, L.: Teorie elektromagnetického pole, SNTL Praha 1975 [3] Havelka, B., Fuka, J.: Elektřina a magnetismus, SPN Praha 1965 [4] Veverka, A.: Technika vysokých napětí, SNTL Praha 1978 [5] Zadražil, O.: Základy elektrotechniky (cvičení), skriptum ČVUT 1980 [6] Mádr, V., Knejzlík, J., Kopečný, J. Novotný, I.: Fyzikální měření, SNTL Praha 1991 [7] Bednařík, Koníček, Jiříček: FYZIKA I A II Fyzikální praktikum. Praha, skriptum FEL ČVUT 1999 Petr Česák - 105 6 13.4.2000
Rozložení ekvipotenciál 0 X[mm] 0 50 100 150 200 250 300 350 400 50 Y[mm] 100 150 200 E1 E2 1V 2V 3V 4V 5V 6V 7V 8V 9V 0V 10V 250 300 13.4.2000