a) [0,4 b] r < R, b) [0,4 b] r R c) [0,2 b] Zakreslete obě závislosti do jednoho grafu a vyznačte na osách důležité hodnoty.

Transkript

1 Příklady: 24. Gaussův zákon elektrostatiky 1. Na obrázku je řez dlouhou tenkostěnnou kovovou trubkou o poloměru R, která nese na povrchu náboj s plošnou hustotou σ. Vyjádřete velikost intenzity E jako funkci vzdálenosti r od osy trubky pro a) [0,4 b] r < R, b) [0,4 b] r R c) [0,2 b] Zakreslete obě závislosti do jednoho grafu a vyznačte na osách důležité hodnoty. Obr V plné nevodivé kouli o poloměru R je nerovnoměrně rozložen náboj s objemovou hustotou ϱ(r) = ϱ 0 (r/r), kde ϱ 0 je konstanta a r je vzdálenost od středu koule. a) [0,2 b] Určete celkový náboj Q, který je v kouli rozložen. b) [0,3 b] Určete závislost velikosti elektrické intenzity na vzdálenosti r od středu koule pro r R. c) [0,3 b] Určete závislost velikosti elektrické intenzity na vzdálenosti r od středu koule pro r < R. d) [0,2 b] Nakreslete graf závislosti velikosti intenzity E na vzdálenosti r od středu koule. Určete maximální hodnotu velikosti intenzity a v jaké vzdálenosti r této hodnoty nabývá. Obojí vyznačte do 3. Na obrázku 2 je nevodivá kulová vrstva o vnitřním poloměru a, vnějším poloměru b s nerovnoměrnou objemovou hustotou náboje ϱ(r) = A/r (uvnitř vrstvy), kde A je konstanta a r je vzdálenost od středu kulové vrstvy. Do středu kulové slupky je umístěn bodový náboj Q. a) [0,4 b] Jak velký náboj je v materiálu kulové vrstvy rozmístěn? b) [0,2 b] Určete velikost intenzity elektrického pole v dutině (tj. pro 0 < r < a) jako funkci r. c) [0,4 b] Jaká musí být hodnota konstanty A, aby velikost elektrické intenzity v materiálu vrstvy (tj. pro a r b) byla konstantní (tj. nezáležela na r)? Obr prosince 2008 FI FSI VUT v Brn 1

2 16. prosince 2008 FI FSI VUT v Brn 2 4. Na obr. 3 je znázorněna část dvou velkých rovnoběžných nevodivých desek, z nichž každá nese na jedné stěně rovnoměrně rozložený náboj. Plošné hustoty nábojů jsou σ (+) = 6, 8 mc m 2 pro kladně nabitou desku a σ ( ) = 4, 3 mc m 2 pro záporně nabitou desku. a) [0,3 b] Určete velikost intenzity výsledného elektrického pole E vlevo od desek. Nakreslete obrázek a vektor výsledné intenzity vyznačte. b) [0,3 b] Totéž určete pro výsledné elektrické pole vpravo od desek a c) [0,4 b] mezi deskami. Obr Dva dlouhé nabité souosé válce mají poloměry r 1 = 3 cm a r 2 = 6 cm. Tloušťku stěn válců zanedbejte. Délková hustota kladného náboje na vnitřním válci je τ 1 = C/m, délková hustota záporného náboje na vnějším válci je τ 2 = C/m. a) [0,2 b] Určete velikost elektrické intenzity E ve vzdálenosti r od osy válců, když r < r 1. b) [0,2 b] Určete velikost elektrické intenzity E ve vzdálenosti r od osy válců, když r 1 r < r 2. c) [0,2 b] Určete velikost elektrické intenzity E ve vzdálenosti r od osy válců, když r r 2. d) [0,4 b] Nakreslete graf závislosti velikosti intenzity E na vzdálenosti r od osy válců. Určete maximální a minimální hodnotu velikosti intenzity a v jaké vzdálenosti r těchto hodnot nabývá. Vše vyznačte do 6. V elektrickém poli je umístěna krychle o hraně a = 1, 40 m (obr. 4). Levý zadní dolní roh krychle splývá s počátkem souřadné soustavy. Vypočtěte tok elektrické intenzity pravou stěnou krychle, je-li intenzita vyjádřena v N/C: a) [0,2 b] E(x, y, z) = 4 ı, b) [0,2 b] E(x, y, z) = 10 j, c) [0,4 b] E(x, y, z) = 4 ı + 5y j 8y 2 k. d) [0,2 b] Jaký je celkový tok elektrické intenzity povrchem krychle pro každé z těchto polí? Obr. 4.

3 16. prosince 2008 FI FSI VUT v Brn 3 7. V plné nevodivé kouli o poloměru R je rovnoměrně rozložen náboj s objemovou hustotou ρ. a) [0,2 b] Určete celkový náboj Q, který je v kouli rozložen. b) [0,3 b] Určete závislost velikosti elektrické intenzity na vzdálenosti r od středu koule pro r < R. c) [0,3 b] Určete závislost velikosti elektrické intenzity na vzdálenosti r od středu koule pro r R. d) [0,2 b] Nakreslete graf závislosti velikosti intenzity E na vzdálenosti r od středu koule. Určete maximální hodnotu velikosti intenzity a v jaké vzdálenosti r této hodnoty nabývá. Obojí vyznačte do 8. Ve výšce d 1 = 350 m byla naměřena intenzita elektrického pole o velikosti E 1 = 50 N/C, ve výšce d 2 = 200 m pak E 2 = 100 N/C. V obou případech směřovala elektrická intenzita svisle k Zemi. Uvažte krychli o hraně a = 150 m, jejíž spodní stěna leží ve výšce d 2. Zanedbejte zakřivení Země. a) [0,3 b] Určete tok elektrické intenzity Φ E,1 horní stěnou krychle. b) [0,3 b] Určete tok elektrické intenzity Φ E,2 dolní stěnou krychle. c) [0,4 b] Stanovte celkový náboj Q uzavřený v krychli. 9. Náboj je rovnoměrně rozložen v objemu nekonečně dlouhého nevodivého válce o poloměru R s konstantní objemovou hustotou náboje ρ. a) [0,4 b] Určete závislost velikosti elektrické intenzity E na vzdálenosti r od osy válce pro r < R. b) [0,4 b] Určete závislost velikosti elektrické intenzity E na vzdálenosti r od osy válce pro r R. c) [0,2 b] Nakreslete graf závislosti velikosti intenzity E na vzdálenosti r od osy válce. Určete maximální hodnotu velikosti intenzity a v jaké vzdálenosti r této hodnoty nabývá. Obojí vyznačte do 10. V elektrickém poli o intenzitě E = 4 i 3(y 2 + 2) j (N/C) je umístěna krychle (viz obrázek 5). Určete tok intenzity a) [0,2 b] horní podstavou, b) [0,2 b] dolní podstavou, c) [0,2 b] levou stěnou a d) [0,2 b] zadní stěnou krychle. e) [0,2 b] Jaký je celkový tok intenzity všemi stěnami krychle? Obr. 5.

4 16. prosince 2008 FI FSI VUT v Brn Na obr. 6 je znázorněna nabitá kulová vrstva (vnitřní poloměr a = 10 cm, vnější poloměr b = 20 cm) s konstantní objemovou hustotou náboje ρ = 1, C/m 3. a) [0,2 b] Určete celkový náboj Q, který je v kulové vrstvě rozložen. b) [0,2 b] Určete závislost velikosti elektrické intenzity E na vzdálenosti r od středu kulové vrstvy pro r < a. c) [0,2 b] Určete závislost velikosti elektrické intenzity E na vzdálenosti r od středu kulové vrstvy pro a r < b. d) [0,2 b] Určete závislost velikosti elektrické intenzity E na vzdálenosti r od středu kulové vrstvy pro r b. e) [0,2 b] Nakreslete graf závislosti velikosti intenzity E na vzdálenosti r od středu kulové vrstvy. Určete maximální hodnotu velikosti intenzity a v jaké vzdálenosti r této hodnoty nabývá. Obojí vyznačte do Obr Tok elektrické intenzity každou stěnou hrací kostky (v jednotkách 10 3 Nm 2 /C) má velikost danou počtem N ok na stěně (tj. má-li stěna např. dvě oka, tok elektrické intenzity touto stěnou je Nm 2 /C). Tok pro lichá čísla (tj. 1, 3 a 5) je záporný, pro sudá čísla (tj. 2, 4, 6) je kladný. a) [0,5 b] Určete celkový tok elektrické intenzity celým povrchem hrací kostky. b) [0,5 b] Určete celkový náboj, který se uvnitř kostky nachází. 13. V nevodivé kouli je rovnoměrně rozložen náboj s objemovou hustotou ρ. Nechť r je polohový vektor obecného bodu P uvnitř koule vzhledem k jejímu středu. a) [0,5 b] Určete velikost intenzity E elektrického pole v bodě P. b) [0,5 b] Poté do koule vyvrtáme nesoustřednou kulovou dutinu, jak je znázorněno na obrázku 7. Určete velikost intenzity elektrického pole E 1 v každém bodě dutiny. Je velikost intenzity v dutině konstantní? Obr. 7.

5 16. prosince 2008 FI FSI VUT v Brn Kulově symetrické, ale nehomogenní rozložení nábojů v nevodivé kouli vytváří elektrické pole o velikosti intenzity E(r) = Kr 4, které směřuje radiálně od středu koule, přičemž r je vzdálenost od středu a K je konstanta. a) [0,5 b] Jaká je objemová hustota ρ nábojů? b) [0,5 b] Koule má poloměr R. Jaký úhrnný náboj Q je v kouli rozložen? 15. Rovinná vrstva tloušťky d je rovnoměrně nabitá s objemovou hustotou náboje ρ. Určete velikost elektrické intenzity E jako funkci x, tj. kolmé vzdálenosti měřené od střední roviny vrstvy, v bodech a) [0,5 b] uvnitř a b) [0,5 b] vně vrstvy. 16. Vodivá koule o poloměru R = 10 cm nese na svém povrchu neznámý náboj Q. Intenzita elektrostatického pole ve vzdálenosti d 1 = 15 cm od středu koule má velikost E 1 = 3, N/C a směřuje ke středu koule. a) [0,5 b] Určete náboj Q na povrchu koule. b) [0,2 b] Určete plošnou hustotu σ náboje na povrchu koule. c) [0,3 b] Určete velikost elektrické intenzity E 2 ve vzdálenosti d 2 = 20 cm od středu koule. 17. Dvě tenké a rovnoběžné kovové desky tvaru čtverce o straně a = 8, 5 cm, leží ve vzdálenosti d = 1, 5 mm od sebe. Jedna deska nese náboj Q 1 = 1, , druhá Q 2 = 1, a) [0,2 b] Určete plošné hustoty σ 1 a σ 2 nábojů na obou deskách (vliv konečných rozměrů desek zanedbejte). b) [0,3 b] Určete velikosti výsledné elektrické intenzity E mezi deskami a c) [0,3 b] vlevo a vpravo od desek. d) [0,2 b] Nakreslete obrázek a vektor výsledné elektrické intenzity E v jednotlivých oblastech vyznačte.