GAUSSŮV ZÁKON ELEKTROSTATIKY

Transkript

1 GAUSSŮV ZÁKON ELEKTROSTATIKY

2 PLOCHA JAKO VEKTOR Matematický doplněk n n Elementární plocha ΔS ds Ploše přiřadíme vektor, který 1) je k této ploše kolmý 2) má velikost rovnou velikosti (obsahu) plochy Δ S = ΔS.n ds = ds. n U zakřivených a uzavřených ploch orientujeme vektor plochy směrem ven do otevřeného prostoru.

3 GAUSSŮV ZÁKON (HRW III, kapitola 24) Tok vektoru intenzity elektrického pole speciální případy E ΔS ΔS E= konst. E ΔS ΦE = E. ΔS = E. ΔS.cos α = E. ΔS 1 α E E = konst. E ΔS α Φ E = E. ΔS = E. ΔS.cosα

4 Tok vektoru intenzity elektrického pole obecná definice ds dφ = Ε E. ds Φ = dφ Φ = dφ Ε Ε Ε Ε Φ Ε = ( S ) E. ds ( S ) E S E konst. E ds α Tímto způsobem lze pro libovolné vektorové pole definovat tok vektoru Speciální případ: E, α konst. = EdS. = E. ds.cos α = ΦΕ ( S) ( S) konst. = E.cos α. ds = E. S.cosα ( S ) konst.

5 Tok vektoru intenzity elektrického pole uzavřenou plochou ds dφ = EdS < ( S) ( S) dφ = EdS > E ds Φ = dφ = EdS = zdroj pole tj. náboj E ds Uvnitř uzavřené plochy je zdroj elektrického pole - náboj Φ = dφ = ( S) ( S) EdS > <

6 Dva stejně velké bodové náboje opačného znaménka a siločáry elektrického pole jimi vytvořeného. S 1 S 2 S 3 S 4 V řezu jsou znázorněny čtyři Gaussovy plochy. obklopuje kladný náboj, obklopuje záporný náboj, neobklopuje žádný náboj, obklopuje oba náboje. Součet nábojů uvnitř je tedy nulový. Stejný počet siločar, který do prostoru obklopeného plochou vstupuje, také z něj vystupuje zase ven.

7 Zdroj +Q Gaussův zákon elektrostatiky Gaussova plocha (!!! uzavřená!!!) Vyjadřuje vztah mezi intenzitou elektrického pole na uzavřené Gaussově ploše a celkovým nábojem, který je touto plochou obklopen. Q E EdS. = ε ( S ) ds, kde Q = Qi Tok intenzity elektrického pole libovolnou uzavřenou plochou je roven součtu všech nábojů, které jsou touto plochou obklopeny, děleným permitivitou (ε ve vakuu) Jiná vyjádření (HRW) ε. EdS. = Q nebo ε. Φ =Q ( S ) Gaussův zákon platí obecně pro libovolné vektorové pole, nejen pro pole elektrostatické. i

8 Volba tvaru Gaussovy plochy Vhodná volba zjednoduší výpočet integrálu v Gaussově zákoně. Pravidla: 1. Plochu volíme vždy uzavřenou tak, aby obklopila zadané náboje. 2. Plochu volíme tak, aby bod, ve kterém E určujeme, na této ploše ležel. 3. Gaussovu plochu volíme vždy tak, aby v každém jejím bodě byla splněna právě jedna z následujících podmínek: E ds, pak EdS=± EdS nebo b) E ds, pak EdS. = a).. 4. Gaussovu plochu volíme vždy tak, aby podmínka a) tzn., že vektor elektrické intenzity je rovnoběžný (souhlasně nebo nesouhlasně) s vektorem d E S byla splněna, v těch místech Gaussovy plochy, kde má E konstantní velikost. Pak můžeme E vytknout před integrační značku plošného integrálu a získáme E ds =± EdS =± E ds =± ES ( S) ( S) ( S) V obecných případech je výpočet E složitý..

9 Využití Gaussova zákona elektrostatiky Používá se k určení intenzity elektrického pole v případech, kdy náboj je rozložen s vhodnou symetrií. Bodový náboj Řeší stejný problém jako Coulombův zákon Nabitá koule Koule o poloměru R nabitá rovnoměrně nábojem s objemovou hustotou ρ Nabitá kulová plocha Kulová slupka o poloměru R nabitá rovnoměrně nábojem s plošnou hustotou σ Nekonečné nabité vlákno Nekonečně dlouhé vlákno (válec) nabité rovnoměrně nábojem s lineární hustotou τ Nekonečná nabitá deska nevodivá vodivá

10 Bodový náboj GAUSSŮV ZÁKON A COULOMBŮV ZÁKON Oba zákony jsou ekvivalentní lze odvodit jeden z druhého. Z Gaussova zákona vypočteme intenzitu elektrického pole E ve vzdálenosti r od náboje Gaussovu plochu volíme ve tvaru kulové plochy o poloměru r. Q G. z. E ds = ε E = konst., E ds, Povrch koule S Q Q E ds = ES = ε ε S 2 = 4π r, ( 2 E 4π r ) Q = ε 1 Q E = 2 (plyne i z Coulombova zák.) 4πε r

11 Nabitá koule Rovnoměrně nabitá koule s objemovou hustotou náboje ρ nebo s celkovým nábojem Q Q,ρ R r > R Gaussovou plochou je povrch koule o poloměru r > R. Rozprostřený náboj vytváří stejné elektrické pole jako stejně velký bodový náboj téhož znaménka, umístěný ve středu koule. 1 Q 4πε r Tedy 2 r r < R Gaussovou plochou je povrch koule o poloměru r < R. Náboj ležící vně této Gaussovy plochy nevytváří na ní žádné elektrické pole. E = ρ Q Gaussova plocha. Hustota ρ nebo náboj Q r R

12 Náboj obklopený uzavřenou plochou vytváří stejné pole, jako by byl tento náboj ve středu kulové vrstvy. Část celkového náboje, který je touto Gaussovou plochou obklopen označíme Q. Poněvadž je koule nabita homogenně s objemovou hustotou ρ, je náboj úměrný objemu koule (Q = ρv a Q = ρv ) a platí E r r Q Q Q V ρ = = = V V Q V 4 3 Q π 3 r = Q = Q 4 3 π R 3 a E 2 4πε r 3 Q r R 1 Q Q = E = r 3 4πε R 3

13

14 Nekonečné nabité vlákno Nekonečně dlouhé vlákno rovnoměrně nabité kladným nábojem s délkovou hustotou τ Gaussovou plochou je povrch válce o poloměru r a výšce h. Na základnách válce je E ds a proto d E S =. Tok základnami je nulový.budeme se zabývat pouze pláštěm Q G. z. E ds = ε E = konst., E ds, Q Q E ds = ES =, ε ε Plášť válce S = 2π r h Q Q E( 2π rh) = E ε = 2π rhε, kde Q = τ h, E = τ h 2π rhε, E τ 2πε r = nabité vlákno

15 Nekonečná nabitá deska nevodivá Nekonečně velká tenká rovina s konstantní plošnou hustotou náboje σ Gaussovou plochou je povrch válce s podstavami o obsahu S, jehož osa je kolmá k rovině. Siločáry neprotínají plášť válce pláštěm neprochází žádný tok. G. z. 2ES Celkový tok je tedy roven součtu toků oběma podstavami válce Q E (2d S) =, E = konst., E ds ε, Q Q 2E ds = 2ES = ε ε Q = pro Q= σ S je ε 2ES σ S = ε E σ = nabitá 2ε plocha

16 Nabitý vodivý předmět (vodič), bez vodivého spojení s okolím (izolovaný) tedy Nabitý izolovaný vodič