OPTIMALIZACE CNC OZUBOVÉHO SPOJE

OPTIMALIZACE CNC OZUBOVÉHO SPOJE Autoři: Ing., Václav, SEBERA, Ústav nauky o dřevě, MZLU v Brně, seberav@gmail.com Ing., Ph.D., Milan, ŠIMEK, Ústav nábytku, designu a bydlení, MZLU v Brně, milansimek@gmail.com Anotace Práce se zabývá numerickou optimalizací ozubového spoje užitím řešiče ANSYS. Specifikum tohoto spoje spočívá v jeho výrobě CNC technologií. Analýza je řešena jako strukturální kontaktní, na níž následně navazuje samotný optimalizační proces, v kterém jako minimalizovaná objektivní funkce vystupuje jak průhyb spoje, tak i maximální napětí von Misese. Jako návrhové proměnné zde vystupují úhel ozubu a průměr vývrtu u její báze. Součástí optimalizace je i faktoriálová a pravděpodobnostní analýza. Annotation The paper deals with numerical optimization of a dovetail join with help ANSYS solver. This join is very specific in its manufacturing by CNC technology. The optimization process follows a structural analysis, which is nonlinear contact analysis. A objective functions, which were to minimalize, are both deflection of the join and von Mises stress maximum. Angle of the dovetail join and bored hole at the base of the join were taken as design variables. During optimization factorial and probabilistic analysis was also performed. Úvod a cíl práce Ozubový spoj je velmi pevným nábytkovým spojem, nicméně jeho výroba byla vždy spojena s technologickou náročností výroby, jak strojní tak i ruční. Ozubový spoj se skládá z ozubu a rybiny viz obr. 2 a). Technologie současných tříosých nábytkářských CNC strojů (s jistými specifiky designu) umožňuje jejich rychlou a velmi přesnou výrobu. Specifikem designu je nemožnost vyrobit ostré hrany frézovaného profilu od úhlu 0-180 a to díky rotačnímu pohybu obráběcích nástrojů. Toto omezení lze odstranit odvrtáním otvoru v místě požadované hrany, čímž výsledný spoj dostane podobu tzv. Mickeymouse uší. Proto je v této práci ozubový spoj navržen se zaoblením u báze ozubu, viz obr. 2 a). Cílem práce bylo numericky analyzovat ozubový spoj, též nazývaný rybinový, vyrobený z překližované desky překližky (dále jen PDP) o tloušťce 12mm, namáhaný ohybovým momentem. Model byl řešen jako strukturální kontaktní analýza, na kterou dále navazuje optimalizační analýza. V té jako minimalizovaná objektivní funkce vystupuje v prvním případě posunutí uzlů vnitřních hran vůči sobě ve směru osy Z, v druhém případě maximální napětí von Misese, viz obr. 2 c). Tyto funkce jsou pak minimalizovány ve vztahu k návrhovým proměnným, tzv. design variables, kterými jsou sklon ozubu a poloměr vývrtu u její báze. Rybina je velmi logická a zároveň intuitivní konstrukce spoje. Bylo spojení prstů rukou inspirací pro její konstrukci? 1

Materiál a metodika Optimalizační analýza celkového ozubového spoje byla z důvodu zjednodušení a ušetření výpočetního času rozdělena do dvou separátních analýz. V prvním modelu se analyzoval jeden ozub ve vztahu k jeho úhlu a poloměru vývrtu u jeho báze. Ve druhém modelu se zkoumalo chování celého rohového spoje s více ozuby a rybinami v závislosti na jejich počtu. Oba modely (analýzy), co se týče jmen výstavbových parametrů, spolu plně korespondují a lze je jednoduše měnit a tím úlohu variovat. Oba modely jsou napsány ve skriptovacím jazyce APDL a jsou plně parametrické. Obrázek 1: Metodika testování ozubovéo spoje ohybem v úhlové rovině tlak Materiálový model PDP je ortotropní a je určen pomocí normálových a smykových modulů pružnosti a Poissonových čísel, viz Tab. 1. Tyto hodnoty byly převzaty z literatury [1] a [3]. Tab. 1 Materiálové vlastnosti překližky EX 6900 MPa GXY 53 MPa μxy 0,25 EY 7200 MPa GYZ 474 MPa μyz 0,3 EZ 13650 MPa GXZ 573 MPa μxz 0,2 Testovací metodika ozubového spoje ohybovým momentem vychází z literatury Joščák (1999). V rámci této práce bylo mechanické namáhání omezeno na ohyb v úhlové rovině tlak, viz obr. 1, neboť toto je nejčastější a nejkritičtější způsob namáhání rohových nábytkových spojů. Ozubový spoj V prvním modelu/analýze se jedná o kontaktní analýzu pouze jednoho ozubu daného spoje. Z důvodů výskytu roviny symetrie a ušetření výpočetního času je model řešen jako symetrický, viz Obr. 2 a). Okrajové podmínky, tj. ukotvení a zatížení, je definováno tak, aby odpovídalo reálným podmínkám, které budou vyvozeny na zkušebním stroji Zwick, viz Obr. 1 a 2 c). Uzlům spodní hrany jsou vázány stupně volnosti UX, UY, UZ. Na horní hranu je aplikována síla F o velikosti 10 N a současně jsou ve všech uzlech této hrany vázány stupně volnosti UX 2

a UY. Na boční stranu v rovině XZ, která protíná rybinový zub v polovině, je aplikována okrajová podmínka symetrie. Konečně-prvková síť (KP síť) modelu je nestrukturovaná a je tvořena z kvadratických čtyřstěnných prvků SOLID92. Za účelem efektivní aproximace geometrie a vystihnutí vyšších gradientů napětí je KP síť v místě vývrtu lokálně zjemněná, viz Obr. 2 b) a d). KP síť kontaktních elementů je tvořena prvky TARGE170 a CONTA174, přičemž kontaktní pár je řešen jako asymetrický. Typ kontaktu je standard, flexible-to-flexible a 3-D surface-tosurface. Obrázek 2: a) geometrický model, b) KP model, c) zatížení, d) detail vývrtu v KP modelu Na kontaktní analýzu navazuje samotný optimalizační proces, v kterém jako návrhové proměnné (DV s) vystupují úhel rybiny a poloměr vyvrtané díry u báze rybiny. Objektivní funkcí, kterou v analýze minimalizujeme, je za prvé průhyb spoje, resp. posun uzlu na spodní hraně ve směru osy Z, a za druhé maximální vyvozené napětí von Misese. Prvním nástrojem, který byl pro hledání minima objektivních funkcí použit, je tzv. factorial tool. Ten slouží k prozkoumání prostoru odezvy objektivní funkce na návrhové proměnné, tzv. design domain, viz Obr. 5 níže. Dalším krokem byla samotná optimalizace. Jako optimalizační metoda byla zvolena metoda nultého řádu (subproblem approximation method), která vyžaduje pouze hodnoty odezvy objektivní funkce, nikoliv její derivace, je tedy rychlejší a méně náročnější na výpočetní zařízení než metoda prvního řádu. Výsledkem těchto analýz je rozložení pole napětí ve spoji a zjištění velikosti objektivních funkcí (dále jen OBJ) v jednotlivých zadáních. Dále byl spoj podroben tzv. pravděpodobnostní analýze ( citlivostní ) k jednotlivým návrhovým proměnným (DV s). Bylo tak zjišťováno, zda-li mají jednotlivé DV s statisticky významný efekt na tu kterou OBJ. V neposlední řadě bylo provedeno tzv. rozmítání DV s (sweep tool), které nám řeklo normované výsledky toho, jak se OBJ mění v rámci celého intervalu DV s. 3

Celkový model ozubového spoje V druhém modelu/analýze se již jednalo o výpočet namáhání celého rohového spoje s více ozuby a rybinami, viz Obr. 3. Model je postaven tak, že umožňuje zadat počet rybin. Z této hodnoty se pak pomocí empirických vztahů dle [2] přepočítají velikosti jednotlivých zubů spoje, přičemž počet ozubů je roven počtu rybin + 1. Střední šířka rybiny a ozubu je stejná. Celková délka spoje je cca 450 mm, v závislosti na počtu rybin. Obrázek 3: a) geometrický model nohy, b) KP model nohy, c) detail KP sítě Nastavení fyzikální podstaty úlohy včetně definice kontaktního páru je stejná jako u 1. analýzy. KP síť je tvořena opět prvky SOLID92, je nestrukturovaná a v místě vývrtu je opět lokálně zjemněná. Kontaktními elementy jsou opět CONTA174 a TARGE170. Experimentální posouzení Experimentální ověření numerických modelů a výsledků analýz je velmi důležitým aspektem každé numerické analýzy (pokud je možný). V našem případě však numerické modelování srovnávací experimenty předchází. Laboratorní testování dle výše uvedené metodiky se plánuje v průběhu příštího roku. Řešení a výsledky Ozubový spoj Prvním krokem optimalizace spoje bylo provedení kontaktní analýzy. Výsledek ve formě rozložení von Misesova kritéria ve spoji znázorňuje Obr. 4 a). Zobrazení von Misesova ekvivalentního napětí má z důvodu výskytu singulárních míst sice pouze informativní charakter, ale je plně dostačující k tomu, abychom mohli posoudit správnost nastavení okrajových podmínek. Absolutní hodnoty tohoto napětí se však k přesnému zhodnocení napětí použít nedají. 4

Obrázek 4: a) napětí von Misese [Pa], b) posunutí ve směru Z [m], c) posunutí ve směru Y [m] Z Obr. 4 a) je zřejmé, že sestavení úlohy je správné a potvrzuje tak intuitivní inženýrskou představu o rozložení pole napětí. K největším napětím dochází v oblasti vývrtu. Obr. 4 b), resp. 4 c), znázorňuje posunutí ve směru osy Z, resp. posunutí ve směru osy X. Pro srovnání byla následně provedena identická analýza, avšak bez vývrtu u báze rybiny. Některé z výsledků této analýzy představuje Obr. 5. Obrázek 5: výsledky modelu bez vývrtu, a), b), c) napětí von Misese Z Obr. 5 je patrné, že odstraněním vývrtu z rybiny se maximální napětí alokuje přesně do hrany rybiny, tzv. singulárního bodu. Oproti modelu s vývrtem pochopitelně také došlo ke zvýšení relativních hodnot napětí. Dá se usuzovat, že vývrt napětí jednak snižuje a jednak způsobuje jeho efektivnější rozložení (z hlediska možného šíření trhliny při překročení pevnosti materiálu v daném směru). 5

Faktoriálová analýza Tato analýza slouží k prozkoumání a vymezení prostoru (polyedru) návrhových proměnných. V našem případě se jedná pouze o jednoduché obdélníky, viz Obr. 6, na kterém můžeme vidět mezní hodnoty návrhových proměnných (DV s) spolu s dopadem na obě objektivní funkce (OBJ). Obrázek 6: Faktoriálová analýza, a) dle průhybu spoje, b) dle max napětí von Misese Z Obr. 6 a) zřetelně vidíme, že největší změna OBJ (průhybu spoje) je dána změnou DV1, což je úhel rybiny. Při zachování stejného poloměru vývrtu 0.25 mm, respektive 3 mm, se při změně úhlu rybiny od 7 do 20 sníží průhyb cca o 146 %, respektive 111 %. Zatímco při zachování stejného úhlu rybiny 7, resp. 20, se při změně poloměru vývrtu od 0.25 mm do 3 mm zvýší průhyb o cca 15.9 %, resp. 34 %. Obr. 6 b) nám zase udává vliv DV s na druhou objektivní funkci maximální napětí von Misese. A vidíme, že největší změna OBJ (max. napětí) je v tomto případě dána změnou DV2, což je poloměr vývrtu u báze rybiny. Při zachování stejného poloměru vývrtu 0.25 mm, respektive 3 mm, se při změně úhlu rybiny od 7 do 20 zvýší napětí cca o 1.9 %, respektive sníží o 0.3 %. Zatímco při zachování stejného úhlu rybiny 7, resp. 20, se při změně poloměru vývrtu od 3 mm do 0.25 mm se zvýší napětí o cca 202 %, resp. 208.7 %. Míru vlivu jednotlivých návrhových proměnných na obě objektivní funkce si dobře uvědomíme na následujících grafech. Graf 1: Vliv návrhových proměnných na objektivní funkce a) průhyb spoje, b) max. napětí Z Grafu 1 vidíme, že na první objektivní funkci (průhyb spoje) má výrazný efekt úhel rybiny, zatímco na druhou objektivní funkci (max. vyvozené napětí) má naopak zase výrazný vliv poloměr vývrtu u její báze. 6

Pravděpodobnostní pohled Dále byla provedena tzv. probabelistic analysis a to opět z hlediska obou objektivních funkcí. Výsledky potvrdily závěry z faktoriálových analýz. V případě prvním (OBJ jako průhyb) se na změnu OBJ statisticky významným vlivem (nad 95%) podílí úhel rybiny (zkos), v případě druhém je to naopak poloměr vývrtu. Některé z výsledků pravděpodobnostních analýz jsou uvedeny na Grafu 2. Graf 2: Regrese z pravděpodobnostních analýz a) dle průhybu, b) dle max. vyvozeného napětí Optimalizace metodou nultého řádu Výsledky optimalizace touto metodou lze nejlépe vidět na Grafu 2. Z grafu je patrné, že nejmenší průhyb ozubového spoje je při maximálním možném úhlu (zkos), tj. 20. Graf 3: Závislost průhybu spoje na úhlu ozubu (zkos) a poloměru vývrtu Vliv poloměru má zase opačný efekt, čím větší poloměr vývrtu, tím větší průhyb. Dané výsledky vycházejí z optimalizační smyčky a jsou tedy mezi sebou provázané, nicméně i přes toto omezení dávají velmi dobrou představu o závislosti průhybu spoje na jednotlivých návrhových proměnných (viz také faktoriálová analýza). 7

Dále bylo provedeno tzv. rozmítání proměnných pomocí tzv. sweep tool. Výsledkem této analýzy je Graf 4, na kterém vidíme normalizovaný vliv jednotlivých DV s vůči objektivní funkci. Ten nám říká normalizovanou změnu objektivní funkce v rámci celého intervalu jednotlivých DV s. Graf 4: Závislost průhybu spoje na úhlu ozubu (zkos) a poloměru vývrtu Z Grafu 4 vidíme, že poloměr vývrtu má několikráte menší vliv než úhel rybiny (zkos). Celkový model ozubového spoje V prvním kroku této analýzy byla provedena strukturální kontaktní analýza. Výsledné rozložení von Misesova kriteria na cca jedné polovině modelu můžeme vidět na Obr. 7. Z něj je opět patrné, že sestavení úlohy bylo správné. Tato analýza slouží jako výchozí pro optimalizační proces. Z Obr. 7 b) lze však vidět otevírání spoje (posuv X) a je zřejmé i logické, že ozubový spoje se více otevírá na krajích než uprostřed spoje. Obrázek 7: a) posuv ve směru osy Z [m], b) posuv se směru X [m], c) von Mises [Pa] 8

Po této analýze následovala optimalizační analýza metodou nultého řádu, v které jako návrhová proměnná vystupoval počet ozubů spoje. Minimalizovanou objektivní funkcí byl opět průhyb spoje. Výsledky této analýzy nejlépe uvidíme na Grafu 5. Graf 5 Optimalizační analýza průhyb spoje v závislosti na počtu ozubů Z Grafu 5 je zřejmé, že se vzrůstajícím počtem ozubů průhyb spoje klesá. To je způsobeno nastavením fyzikální podstaty modelu. Model počítá s koeficientem tření (0,2) a s rostoucím počtem kontaktních (třecích míst) tedy roste i odpor proti pohybu (deformaci spoje) tuhost spoje. Tuto myšlenku pak můžeme rozvést až do krajnosti tak, že bychom uvažovali ozubový spoj s nekonečným počtem nekonečně malých ozubů, čímž bychom obdrželi limitní koeficient tření a fakticky dostali jednolité těleso. Tato úvaha je však čistě teoretická a ve své podstatě špatná, ponevadž nezohledňuje omezení výrobních technologií ozubových spojů a hlavně pevnost materiálu, tedy mez kluzu, resp. mez pevnosti (u dřeva). Možným řešením tohoto nedostatku by mohla být optimalizace ozubového spoje s uvažováním stavových proměnných (omezení), nejlépe maximálnímu vyvozenému napětí von Misese nebo Hoffmanova kritéria. ZÁVĚR Tato práce se zabývá numerickou optimalizací ozubového spoje. Z výsledků první analýzy je zřejmé, že chceme-li dosáhnout největší tuhosti spoje (dána průhybem spoje), musí být úhel ozubu maximální, tj. 20. To odpovídá i logickému úsudku konstruktéra/výpočtáře, resp. designéra. Poloměr vývrtu u báze ozubu má na tuhost spoje měřenou jeho průhybem podstatně menší vliv než jeho úhel, 3-11 krát a to v závislosti na úhlu. Pokud jako objektivní funkci definujeme maximální vyvozené napětí, pak nám při hledání jejího optima vyjde, že optimální je mít poloměr vývrtu co největší. Což mimo jiné znamená i snížení a eliminaci singulárního napětí v ostrém rohu rybiny tedy místa s nejpravděpodobnějším vznikem trhliny. Vývrt u báze rubiny o poloměru 2-3 mm má však své opodstatnění i z technologickydesignérských důvodů. Výsledky pravděpodobnostní analýzy dále potvrdily závěry z předešlých analýz. A to, že statisticky významný vliv na tuhost spoje měřenou průhybem má úhel rybiny, zatímco na tuhost spoje vyjádřenou napětím je to naopak poloměr vývrtu u báze rybiny. 9

Pro hledání optima návrhových proměnných tedy plynou jasné závěry: abychom docílili optimální tuhosti (optima průhybu) spoje, musíme zvolit co možná největší úhel rybiny a současně zvolit co nejmenší poloměr vývrtu, který technologie při daném úhlu umožní. V našem případě se jako optimální jeví volit úhel rybiny od 14 do 17 při poloměru vývrtu 1,8 až 2,6 mm. Analýza druhého modelu celkového spoje prokázala, že počet ozubů modelu výrazně ovlivňuje průhyb. S rostoucím počtem ozubů průhyb spoje klesá, což je sice správný závěr vycházející z fyzikální definice úlohy, ale trpí nedostatky z pohledu výrobní technologie a pevnosti materiálu. Dosavadní vývoj a využívání MKP nástrojů v oblasti designu jako takovém, zejména pak průmyslovém, nasvědčuje tomu, že i v designu a konstruování interiéru a nábytku je pro MKP analýzy velmi mnoho příležitostí. A to jak v analýzách stabilitních nebo celkově struturálních, tak v analýzách optimalizačních (geometrických i topologických). Když se dále zamyslíme nad poměrně značným rozsahem nábytkářského průmyslu (např. jeho příspěvek do HDP), pak se zde využití MKP analýz logicky nabízí, tak jako je tomu již delší dobu v ryze technických oborech, např. v elektrotechnice, strojírenství či stavebnictví. Poděkování: Práce byla podpořena Výzkumným záměrem LDF, MZLU v Brně ZA4501516 a Interní grantovou agenturou LDF za pomocí grantu IG480431. SEZNAM LITERATURY [1] Wood Handbook - Wood as an Engineering Material. Information on engineering with wood, properties of wood and designing with wood. September 28, 2002. Citováno dne 15.9.2008. Dostupný na internetu: http://www.woodweb.com/knowledge_base/wood_handbook.html [2] NUTSH, WOLFGANG: Konstrukce nábytku, nábytek a zabudované skříně. Grada publishing Praha, 2003. 400 s. ISBN 80-247-0220-7. [3] C. GERRARD, HIGHETT: The equivalent otrhotropic elastic properties of plywood. Wood Science and Technology 21: 335-348, Springer-Verlag. 1987. [4] P. JOŠČÁK: Pevnostné navrhovanie nábytku. DF, TU vo Zvolene, 246 s., 1999. [5] K. SUSNJARA: The New Furniture How modern technology is changing the furniture and cabinet industry. Thermwood, Dale, Indiana, 210 s., 2006. [6] M. ŠIMEK: Furniture Joint Testing - Purpose, Methods and Types. MendelNet 2005, Contemporary state and development trends of forest in cultural landscape, MZLU v Brně, s. 121-123., 2005. 10