Stanovení kritických otáček vačkového hřídele Frotoru

Transkript

1 Západočeská univerzita v Plzni Fakulta aplikovaných věd Katedra mechaniky Stanovení ických otáček vačkového hřídele Frotoru Řešitel: oc. r. Ing. Jan upal Plzeň, březen 7

2 Úvod: Cílem předložené zprávy je vyšetření ických otáček vačkového hřídele vzduchového stroje, aby bylo možné vyloučit stavy resonance při provozním režimu. Vačkový hřídel znázorněný na obr. 1, který má nosný průřez ve tvaru čtverce se zaoblenými rohy a s dírou uprostřed, byl nahrazen ekvivalentním válcovým průřezem mezikruhového průřezu. Všechny komponenty nasazené na tomto hřídeli byly uvažované jako dokonale tuhé, avšak předpokládáme, že se nepodílejí na nosnosti hřídele. Z toho plyne, že se neuvažuje jakékoliv předpětí, které tam ve skutečnosti působí. Výpočet je konzervativní, tzn., že skutečné ické otáčky tohoto rotoru budou ležet ve vyšších oblastech Obr. 1 Náhrada průřezu ekvivalentním mezikruhovým válcem Na obr. je znázorněn průřez hřídele, jehož plocha a moment setrvačnosti se snadno vypočtou z daných rozměrů a.8m, d.6m, R.m, R. 8m

3 podle vztahů, m d a A (1) m d a a a I () Obr. Průřez hřídele má dvě osy symetrie, tzn., že jeho průřezové momenty setrvačnosti jsou stejné ke všem osám procházejících těžištěm průřezu. Programové vybavení pro určování ických otáček na bázi MKP, které bylo zpracováno autorem této zprávy, bylo připraveno pro rotačně symetrické útvary a vstupními parametry jsou vnitřní a vnější průměr prvku a jeho délka. alšími vstupy pro každý prvek jsou materiálové parametry, jakými jsou: Youngův modul pružnosti E [Pa] hustota [ ] 3 kg / m ρ Poissonova konstanta ] [ ν smykový modul pružnosti ] [Pa G.

4 Na "nosném" průřezu znázorněném na obr. jsou nasazeny další komponenty, které jsou hmotné, avšak nepodílejí se na nosnosti průřezu. Tzn., že nejdříve je třeba vypočítat vnější a vnitřní průměry náhradních ekvivalentních válců mezikruhového průřezu, které budou mít stejnou plochu a moment setrvačnosti příčného průřezu. Ze vztahů pro výpočet plochy a momentu setrvačnosti mezikruží A ( ekv d ekv ), I ( ) a srovnáním vztahů (3) s (1) a () dostaneme 8I A ekv.316m, A ekv d ekv (3) 6 8I A d ekv. 7m. () A Vytvoření modelu hřídele Pro vytvoření modelu byla použita metoda konečných prvků. Celý hřídel byl rozdělen na konečné prvky a schéma takového modelu je znázorněno na obr. 3 Obr. 3 Čísla v horní části obr. 3 označují čísla konečných prvků, čísla ve spodní části čísla zobecněných posuvů odpovídající jednotlivým uzlům. Hmotnosti přidaných komponent jsou respektovány v hustotě jednotlivých dílků s ekvivalentními vnějšími a vnitřními průměry.

5 Nejdříve vyjádříme objem čtyřhranu V c Al m 3. (5) c Symbolem l c jsme označili celkovou délku čtyřhranu. Celková hmotnost čtyřhranu je podle výkresu P1-1-7 rovna hodnotě m c 3. kg. Hustotu čtyřhranu vypočteme podle vztahu m c ρ c. (6) Vc Hmotnost i-tého dílku můžeme vyjádřit vztahem ( d ) l m, m i ekv ekv ρc i pi (7) kde li resp. mpi značíme délku resp. přídavnou hmotnost i-tého dílku. Pokud použijeme náhradní hustotu (soustředíme přídavnou hmotnost do původního objemu čtyřhranu a poté do náhradního mezikruhového válce), můžeme celkovou hmotnost i-tého dílku vyjádřit alternativním vztahem m i ( d ) ρ l, ekv ekv ni i (8) kde ρni značí náhradní hustotu i-tého dílku. Srovnáním vztahů (7) a (8) dojdeme ke vztahu pro náhradní hustotu i-tého dílku ve tvaru mpi ρ ( ). ni ρc (9) ekv dekv li Parametry jednotlivých dílků jsou uvedeny v tab. 1.

6 Tab. 1 Číslo dílku élka [ m] l i Přídavná hmotnost [kg] Náhradní hustota 3 kg / m [ ] e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e Tuhosti ložisek se sice nepodařilo zjistit přesně, avšak podle zkušeností nejsou nižší, než N / m. Uvedený výpočet má hlavně rámcový charakter a cílem je ukázat, že první ické otáčky leží mimo oblast provozních otáček. Proto byly předpokládány tuhosti takové, že levé ložisko (jsou to vlastně dvě kuželíková ložiska vedle sebe) mají tuhost k N / m, zatímco u pravého ložiska byla předpokládána tuhost k N / m. Pro tuto konfiguraci byly určeny první čtyři ické úhlové rychlosti otáčení a jim odpovídající ické otáčky, které měly hodnotu Ω1, 66 rad/s, Ω, 658 rad/s, Ω3, 1 rad/s, Ω, 1 rad/s, (1) n 1, 6169 ot/min, n, 687 ot/min, n3, 9553 ot/min, n, 9589 ot/min. (11) Protože výpočet probíhal v n rozměrném prostoru, jsou vlastní čísla po párech komplexně sdružená a imaginární část odpovídá vlastní frekvenci. Vzhledem k tomu, že systém je torzně izolovaný (může se volně otáčet jako tuhé těleso) budou první dvě vlastní čísla nulová a pro náš účel jsou důležité imaginární části lichých vlastních čísel a jim odpovídající tvary kmitu. Proto třetí vlastní tvar odpovídá prvním ickým otáčkám, pátý druhým, sedmý třetím a devátý čtvrtým ickým otáčkám. Tyto tvary jsou znázorněny na obr. -7.

7 3-ty icky tvar kmitu, odpov. vl. cislo.966e i Obr. 5-ty icky tvar kmitu, odpov. vl. cislo e i Obr. 5

8 7-ty icky tvar kmitu, odpov. vl. cislo e i Obr. 6 9-ty icky tvar kmitu, odpov. vl. cislo e-91.39i Obr. 7

9 Na obr. 8 je znázorněn Campbellův diagram Frotoru v rozsahu úhlových rychlostí otáčení (- 11) rad/s, což odpovídá otáčkovému rozsahu (-15) ot/min. Tento diagram je závislostí imaginárních částí vybraných vlastních čísel na úhlové frekvenci otáčení. V místech, kde dochází k protnutí osy kvadrantu s uvedenými křivkami leží vlastní frekvence systému, které se rovnají frekvenci otáčení a to jsou právě ické úhlové rychlosti. 1 Campbelluv diagram rotoru Imaginarni casti vybranych vlastnich cisel Uhlova rychlost otaceni [rad/s] Obr. 8 Provedeme-li zvětšení obrázku v místech průsečíků, vidíme přesnou shodu míst průsečíků s hodnotami ických úhlových rychlostí uvedených v (1) a jim odpovídajících ických otáček uvedených v (11). 67 Campbelluv diagram rotoru Imaginarni casti vybranych vlastnich cisel Uhlova rychlost otaceni [rad/s] Obr. 9

10 Campbelluv diagram rotoru 11 Imaginarni casti vybranych vlastnich cisel Uhlova rychlost otaceni [rad/s] Obr. 1 Obr. 9 a 1 ukazují správnost výpočtu ických otáček pomocí iterační metody, kdy frekvenčně závislé matice vždy upřesníme hodnotou imaginární části vlastního čísla z předchozí iterace. Závěr: Vzhledem k vypočítaným hodnotám ických rychlostí za uvedených předpokladů a k faktu, že provozní otáčky se budou nacházet v intervalu -6 ot/min, můžeme konstatovat, že nedojde za provozu k rezonanci a k nárůstu amplitud vibrací v důsledku rezonancí. Literatura: [1] upal, J.: ynamický výpočet vačkového hřídele Frotoru. Výzkumná zpráva č. 115/1/7, Plzeň, únor 7. [] Výkresová dokumentace a patentový návrh vzduchového stroje Frotor.