Martin NESLÁDEK. 14. listopadu 2017

Transkript

1 Martin NESLÁDEK Faculty of mechanical engineering, CTU in Prague 14. listopadu / 22

2 Poznámky k úlohám řešeným MKP Na přesnost simulace pomocí MKP a prostorové rozlišení výsledků má vliv především: Stupeň idealizace úlohy (např. u 2D úlohy musím a priori předpokládat stav rovinné napjatosti nebo deformace) Znalost materiálových vlastností a platnost zvoleného materiálového modelu Okrajové podmínky, resp. míra zjednodušení vnějšího zatížení a uložení Míra zanedbání konstrukčních detailů (přechodové radiusy, zkosení, závity, drážkování,...) Typ elementu (lineární vs. kvadratický) Kvalita sítě (tvar jednotlivých elementů v síti) Hustota sítě 2 / 22

3 Vliv zanedbání konstrukčních detailů - příklad Zanedbání konstrukčního prvku důležitého z hlediska pevnostní analýzy může vést ke kritickým chybám ve výpočtu!!! Příklad: odstranění přechodového radiusu mezi vodorovným a svislým ramenem konzoly (úloha č. 2) 3 / 22

4 Vliv zanedbání konstrukčních detailů Obecně je zanedbání konstrukčního prvku žádoucí pro vytvoření pravidelné a rovnoměrné sítě a snížení počtu elementů/uzlů Při úpravách geometrie je ovšem nutné dbát na to, aby nebyl odstraněn prvek, který je kritickým místem z hlediska pevnosti Zjednodušení geometrie je akceptovatelné do té míry, dokud jimi není zásadně ovlivněna tuhost součásti 4 / 22

5 Vliv zanedbání konstrukčních detailů 5 / 22

6 Základní typy: Vliv použitého typu elementu Lineární element - rozložení hodnot posuvů je na elementu popsáno lineární funkcí Kvadratický element - rozložení hodnot posuvů na elementu je popsáno polynomem druhého řádu 6 / 22

7 Vliv použitého typu elementu 7 / 22

8 Vliv použitého typu elementu Aplikace lineárních elementů Aplikace kvadratických elementů 8 / 22

9 Vliv použitého typu elementu Sít z lineárních elementů má podstatně pomalejší konvergenci Lineární elementy proto postihují daleko hůře ostré gradienty v koncentrátorech 9 / 22

10 Vliv kvality sítě 10 / 22

11 Vliv kvality sítě 11 / 22

12 Vliv kvality sítě Z hlediska přesnosti výpočtu jsou nežádoucí především příliš protažené elementy a elementy s příliš ostrým úhlem mezi hranami MKP programy obsahují nástroje pro diagnostiku sítě, nekvalitní elementy lze tedy snadno odhalit a opravit ještě před výpočtem 12 / 22

13 Vliv hustoty sítě Bez lokálního zjemnění: Pětinásobné lokální zjemnění sítě: 13 / 22

14 Vliv hustoty sítě 14 / 22

15 celkové potenciální energie (PMCPE) Proč se bavíme o PMCPE v MKP I: 1 Pomocí PMCPE lze odvodit metodu konečných prvků pro řešení úloh mechaniky poddajných těles 2 Na jednoduchých úlohách řešených pomocí PMCPE lze ukázat řadu pojmů, se kterými MKP pracuje 15 / 22

16 Základní pojmy Celková potenciální energie tělesa zatíženého vnějšími silovými účinky Π = U + W U... deformační energie W... potenciál vnějších sil na přetvoření tělesa uvedený výraz je z matematického hlediska funkcionál pozn.: funkcionál je zobrazení z prostoru funkcí na množinu reálných čísel 16 / 22

17 Základní pojmy celkové potenciální energie Pole posuvů u(x, y, z), které je řešením úlohy mechaniky poddajných těles, minimalizuje funkcionál celkové potenciální energie Π Kinematicky přípustné pole posuvů Aby mohlo být nějaké pole posuvů u(x, y, z) řešením úlohy mechaniky poddajných těles, musí být kinematicky přípustné, neboli musí splňovat okrajové podmínky a musí být na dané oblasti spojitě diferencovatelné 17 / 22

18 Základní pojmy PMCPE je přímým důsledkem Lagrangeova principu: Lagrangeův princip mechaniky poddajných těles U u i = F i u i (U F i u i ) = 0 Π u i = 0 18 / 22

19 Základní pojmy v x v(x) F ϕ(x) Bernoulliho diferenciální rovnice průhybové čáry nosníku v (x) = d 2 v(x) dx 2 = M o(x) E J z Deformační energie nosníku (posouvající síly zanedbány) U = l 0 M 2 o (x) 2E J z dx 19 / 22

20 Algoritmus výpočtu v(x) pomocí PMCPE Postup aplikovaný na příklady řešení v(x) nosníků (platí pro SU i SN případy) 1 Návrh tvaru řešení (bázové funkce) v(x) (např. polynom) 20 / 22

21 Algoritmus výpočtu v(x) pomocí PMCPE Postup aplikovaný na příklady řešení v(x) nosníků (platí pro SU i SN případy) 1 Návrh tvaru řešení (bázové funkce) v(x) (např. polynom) 2 Aplikace OP na bázovou funkci kinematicky přípustná funkce v(x) 20 / 22

22 Algoritmus výpočtu v(x) pomocí PMCPE Postup aplikovaný na příklady řešení v(x) nosníků (platí pro SU i SN případy) 1 Návrh tvaru řešení (bázové funkce) v(x) (např. polynom) 2 Aplikace OP na bázovou funkci kinematicky přípustná funkce v(x) 3 Výpočet U a W 20 / 22

23 Algoritmus výpočtu v(x) pomocí PMCPE Postup aplikovaný na příklady řešení v(x) nosníků (platí pro SU i SN případy) 1 Návrh tvaru řešení (bázové funkce) v(x) (např. polynom) 2 Aplikace OP na bázovou funkci kinematicky přípustná funkce v(x) 3 Výpočet U a W 4 Π = U + W 20 / 22

24 Algoritmus výpočtu v(x) pomocí PMCPE Postup aplikovaný na příklady řešení v(x) nosníků (platí pro SU i SN případy) 1 Návrh tvaru řešení (bázové funkce) v(x) (např. polynom) 2 Aplikace OP na bázovou funkci kinematicky přípustná funkce v(x) 3 Výpočet U a W 4 Π = U + W 5 PMCPE, neboli derivace Π podle neznámých - zobecněných stupňů volnosti (ZSV) 20 / 22

25 Algoritmus výpočtu v(x) pomocí PMCPE Postup aplikovaný na příklady řešení v(x) nosníků (platí pro SU i SN případy) 1 Návrh tvaru řešení (bázové funkce) v(x) (např. polynom) 2 Aplikace OP na bázovou funkci kinematicky přípustná funkce v(x) 3 Výpočet U a W 4 Π = U + W 5 PMCPE, neboli derivace Π podle neznámých - zobecněných stupňů volnosti (ZSV) 6 Řešení soustavy lin. algebr. rovnic pro neznámé ZSV 20 / 22

26 Algoritmus výpočtu v(x) pomocí PMCPE Postup aplikovaný na příklady řešení v(x) nosníků (platí pro SU i SN případy) 1 Návrh tvaru řešení (bázové funkce) v(x) (např. polynom) 2 Aplikace OP na bázovou funkci kinematicky přípustná funkce v(x) 3 Výpočet U a W 4 Π = U + W 5 PMCPE, neboli derivace Π podle neznámých - zobecněných stupňů volnosti (ZSV) 6 Řešení soustavy lin. algebr. rovnic pro neznámé ZSV 7 Dosazení do v(x) 20 / 22

27 Deformace prutu - odvození B A F 21 / 22

28 Deformace prutu - odvození B A F pozn.: lok. souř. systém ve styčníku A y x 21 / 22

29 Deformace prutu - odvození Z vektorového obrazce: B u B l = l 0 l 0 l l A l 0 l l 0 + u B = u A + l l l 0 = u B u A u A pozn.: lok. souř. systém ve styčníku A y x 21 / 22

30 Deformace prutu - odvození Z vektorového obrazce: B u B l = l 0 l 0 l l A l 0 l l 0 + u B = u A + l l l 0 = u B u A Prodloužení prutu: u A pozn.: lok. souř. systém ve styčníku A y x l = l l 0 = l 0 l 0 l l 0 l 0 l 0 = = l 0 l l0 l0 l 0 = ( l l 0 ) l 0 l 0 21 / 22

31 Deformace prutu - odvození B u B Prodloužení prutu: l A l 0 l l = ( u B u A ) l 0 l 0 Deformace: u A pozn.: lok. souř. systém ve styčníku A y x ε = l l 0 = ( u B u A ) l 0 l / 22

32 Celková potenciální energie soustavy těles Celková potenciální energie soustavy těles zatížené vnějšími silovými účinky Π = n U i + m i=1 j=1 W j U i... deformační energie tělesa i W j... potenciál vnější sily j uvedený výraz je z matematického hlediska funkcionál pozn.: funkcionál je zobrazení z prostoru funkcí na množinu reálných čísel 23 / 22