F Ž I L I N S K Ý samosprávny kraj zraďovateľ Obchodná akadéma Radlnského 1725/55 026 01 Dolný Kubín
Táto publkáca bola vytvorená s podporou fnančných prostredkov zo zdrojov Európskej úne a štátneho rozpočtu Slovenskej republky v rámc projektu Učíme novatívne, kreatívne a hravo, učíme pre žvot a prax, ITMS kód Projektu: 26110130344. Jej ceľom je novovať školský vzdelávací program a zároveň formy, metódy a obsah vzdelávana s dôrazom na využívane IKT a krtckého myslena vo vyučovacom procese, a tak prpravť absolventov Obchodnej akadéme pre potreby trhu práce vo vedomostnej spoločnost. Autor publkáce: Mgr. Ján Plko Rok vydana: 2011 Vydala Obchodná akadéma Dolný Kubín s prspením Európskeho socálneho fondu. Všetky práva vyhradené. Žadna časť tejto publkáce nesme byť pretlačená alebo reprodukovaná, alebo využtá v žadnej forme an elektronckým, mechanckým č ným prostredkam, doteraz známym č neskôr vyvnutým, vrátane fotokópí a záznamov alebo v ných systémoch uchovávana nformácí bez predchádzajúceho písomného súhlasu vydavateľa.
FINANČNÁ MATEMATIKA zberka príkladov OBSAH 1 ÚROKOVANIE... 4 1.1 JEDNODUCHÉ ÚROKOVANIE... 4 1.2 DISKONT... 5 1.3 ZLOŽENÉ ÚROKOVANIE... 6 1.4 ZMIEŠANÉ ÚROKOVANIE... 7 1.5 SPOJITÉ ÚROKOVANIE... 9 2 SPORENIE... 10 2.1 KRÁTKODOBÉ SPORENIE... 10 2.2 DLHODOBÉ SPORENIE... 11 2.3 KOMBINÁCIA KRÁTKODOBÉHO A DLHODOBÉHO SPORENIA... 13 3 DÔCHODKY... 16 3.1 BEZPROSTREDNÝ DÔCHODOK... 16 3.2 ODLOŽENÝ DÔCHODOK... 17 3.3 VEČNÝ DÔCHODOK... 19 4 ÚVERY... 21 4.1 SPLÁCANIE ÚVERU ROVNAKÝMI SPLÁTKAMI (KONŠTANTNÁ ANUITA)... 21 4.2 SPLÁCANIE ÚVERU VOPRED DANOU KONŠTANTNOU ANUITOU... 22 4.3 SPLÁCANIE ÚVERU NEROVNAKÝMI SPLÁTKAMI (KONŠTANTNÝ ÚMOR)... 23 VZORCE... 25 POUŽITÁ A ODPORÚČANÁ LITERATÚRA... 26 3
1 ÚROKOVANIE FINANČNÁ MATEMATIKA zberka príkladov 1.1 Jednoduché úrokovane VZORCE K 0 = K n 1 +. n = u. n n = K n K 0 K 0. = u K 0. = K n K 0 K 0. n = u K 0. n Úloha Vypočítajte veľkosť úrokov pre vklad vo výške 2500, uložený pr úrokovej sadzbe 4% p.a. na dobu uvedenú v tabuľke podľa štandardov ACT/365, ACT/360, 30E/360. vklad v dátum vkladu dátum výberu 2500 15.2.2011 2.9.2011 2500 10.1.2011 8.3.2011 2500 16.11.2011 8.3.2012 Rešene: Rešene uvedeme pre prehľadnosť v tabuľke dátum vkladu dátum výberu počet dní doba uložena n úrok poľa štandardov ACT 30E ACT/360 ACT/365 30E/360 ACT/360 ACT/365 30E/360 15.2.2011 2.9.2011 199 197 0,5528 0,5452 0,5472 55,28 54,52 54,72 10.1.2011 8.3.2011 57 58 0,1583 0,1562 0,1611 15,83 15,62 16,11 16.11.2011 8.3.2012 113 112 0,3139 0,3096 0,3111 31,39 30,96 31,11 Príklad 1. Vypočítajte budúcu hodnotu 3500 uloženú od 11.02.2009 do 24.04.2009 pr úrokovej sadzbe 5,6 % p.a. v jednoduchom úrokovaní: a) pr štandarde ACT/365, b) pr štandarde 30E/360. Príklad 2. Kaptál v hodnote 15000, vložený 5.1.2011 pr 5% ročnej úrokovej mere, prnesol úrok 552,74. Zstte dátum vybrata vkladu pr štandarde ACT/365. Príklad 3. Kaptál 12000, vložený 15.6.2011 a vybraný 30.11.2011, vzrástol na 12896. Aká veľká bola ročná úroková mera pr štandarde ACT/360? Príklad 4. Banka poskytuje na vklady 6% ročný úrok. Verteľ potrebuje o 9 mesacov vrátť dlžobu 5000. Koľko musí teraz uložť do banky, aby mal o 9 mesacov túto sumu? 4
FINANČNÁ MATEMATIKA zberka príkladov Príklad 5. Súčet dvoch vkladov je 15000. Prvý z nch uložený pr 16% ročnej úrokovej mere na dobu 9 mesacov, prnese dvakrát väčší úrok ako druhý z nch pr 12% ročnej úrokovej mere na dobu 4 mesacov. Vypočítajte ch veľkost. Príklad 6. Spoločnosť nvestuje 60000 pr p% ročnej úrokovej mere. Po 9-tch mesacoch ch dostane naspäť a všetko hneď vloží do banky pr (p 3)% ročnej úrokovej mere. Po ďalších 6-tch mesacoch bude mať na konte 68343. Vypočítajte úrokovú meru p. Príklad 7. Rozhodnte, čo je výhodnejše. Zaplatť dnes 5000 alebo o rok 5200? Uvedenú hotovosť môžeme nvestovať pr úrokovej mere 3,6% p.a. Príklad 8. Otec vkladal do banky na vanočný dar pre syna pr 5% ročnej úrokovej mere na sledujúce vklady: 4.1.2011 vklad 600, 2.4.2011 vklad 400 a 4.7.2011 vklad 500. Koľko musí vložť 3.10.2011, aby 20.12.2011 mohol vybrať 2000 pr štandarde ACT/365? Príklad 9. Peter vložl 4. 4. do banky 5 000 pr 4% ročnej úrokovej mere. K akému dátumu by mal vložť ďalších 2 000, aby mal 30. 12. k dspozíc 7 170? Banka pr výpočte úrokov používa štandard ACT/360. Príklad 10. Aký veľký úver môže poskytnúť banka klentov, ak doba splatnost je 6 mesacov a po tejto dobe bude mať klent na splácane úveru a úroku k dspozíc 10000.Ročná úroková sadzba je 8,5% p.a.. Príklad 11. Banka poskytuje na vkladoch 11% ročný úrok. Akú sumu musíte dnes uložť, aby ste o 10 mesacov mohl zaplatť dovolenku v hodnote 70000? Príklad 12. Zstte, ktorá z nasledujúcch možností je pre nvestora výhodnejša, ak má záujem o kúpu bytu. Uskutočnť kúpu teraz a za byt zaplatť 120000, alebo počkať pol roka a za byt zaplatť 125000. Investor má možnosť hotovosť 120000 uložť na polročný termnovaný účet s úrokovou sadzbou 9% p.a.. Príklad 13. Dlžník Vám ponúka dve možnost splatena svojho dlhu: a) zaplatť o 5 mesacov 10000, b) zaplatť o 11 mesacov 11000. Ktorá z možností je pre Vás výhodnejša pr úrokovej sadzbe 13% p.a.? 1.2 Dskont VZOREC K ob = K n ( 1 d n) Úloha Koľko dostane vyplatené klent, ktorému banka eskontuje zmenku s nomnálnou hodnotou 150 000 45 dní pred dobou splatnost pr dskontnej sadzbe 8% p.a.? 5
FINANČNÁ MATEMATIKA zberka príkladov Rešene: Dosadíme K n = 150000; n = 45 ; d = 0,08 360 K ob = 150000 1 45 360 Klent dostane vyplatené 148 500. 0,08 = 148500 Príklad 14. Vypočítajte, koľko dostane vyplatené klent, ktorému banka eskontuje zmenku s nomnálnou hodnotou 1000000 35 dní pred dobou splatnost pr dskontnej sadzbe 6% p.a.. Použte štandard ACT/365. Príklad 15. Aká je nomnálna hodnota zmenky, ktorá je eskontovaná 60 dní pred dobou splatnost za 99800, keď dskontná aj úroková sadzba je 12% p.a.. Použte štandard ACT/360. Príklad 16. Dnes nahradíme zmenku splatnú za 5 mesacov za novú, splatnú za 10 mesacov s nomnálnou hodnotou 300000. Aká bola nomnálna hodnota pôvodnej zmenky, ak ročná dskontná sadzba je 15%? Príklad 17. Zstte, ktorý z nasledujúcch úverov je výhodnejší pre dlžníka: a) úver založený na eskonte zmenky splatnej o 3 mesace s nomnálnou hodnotou 500000 pr dskontnej sadzbe 8% p.a., b) úver založený na jednoduchom úrokovaní s ročnou úrokovou sadzbou 8% p.a., prčom o 3 mesace musí byť splatená suma 500000. Príklad 18. Banka odkúpla v ten stý deň dve zmenky pr rovnakej ročnej dskontnej sadzbe. Za obe zaplatla rovnakú sumu. Prvá zmenka mala nomnálnu hodnotu 10000 a bola splatná o 2 mesace, druhá mala nomnálnu hodnotu 10100 a bola splatná o 3 mesace. Vypočítajte výšku dskontnej sadzby. 1.3 Zložené úrokovane VZORCE K 0 = K n (1 + ) n, n = K n 1, K 0 n = lnk n lnk 0 ln(1 + ) Úloha Akú hodnotu bude mať o päť rokov vklad 9000 pr úrokovej sadzbe 6% p.a., ak sa úroky prpsujú štvrťročne? Rešene: 6
FINANČNÁ MATEMATIKA zberka príkladov Dosadíme K 0 = 9000; n = 5; m = 4; = 0,06 K n = 9000 1 + 0,06 4 5 4 = 12121,70 Vklad bude mať hodnotu 12121,70. Úloha Príklad 19. Nájdte budúcu hodnotu kaptálu 10000 po desatch rokoch, vloženého na účet, ktorý poskytuje 8% ročnú úrokovú meru. Príklad 20. Vypočítajte výšku vkladu, ktorý pr 6% ročnej úrokovej mere vzraste za 4 roky na 20000. Príklad 21. Klent dlhuje fnančnej nšttúc 80000 splatných za rok a 100000 splatných za 2 roky. Dsponuje dostatočným fnančným obnosom, a preto chce vyrovnať dlh okamžte. Koľko zaplatí, ak úroková mera pôžčky bola 9% p.a. s ročným úročením a úver môže byť splatený predčasne bez sankcí. Príklad 22. Rozhodl ste sa svojmu práve narodenému deťaťu založť účet spojený s 6% ročnou úrokovou merou a dnes uložť na účet takú hotovosť, aby vaše deťa v deň svojch 18. narodenín mohlo z účtu vybrať 50000. Koľko musíte vložť dnes na účet pr mesačnom úrokovaní? Príklad 23. Aká bude výška vkladu 120000 za tr roky pr zloženom úrokovaní pr nomnálnej úrokovej mere 4,5% ak uvažujeme: a) ročné prpsovane úrokov, b) polročné prpsovane úrokov, c) štvrťročné prpsovane úrokov. Príklad 24. Otec odkázal svojm trom synom 800000, prčom každý má pr dovŕšení 18 rokov dostať rovnaký podel. Penaze sú uložené na účte úročenom 4,5% p.a. s ročným prpsovaním úrokov. Koľko dostane každý syn, ak teraz majú 10; 12 a 16 rokov? Príklad 25. Klent s uložl do banky 15800 pr úrokovej sadzbe 3,5% p.a.. Ako dlho mal penaze uložené, ak suma, ktorú mu banka vyplatla, bola 19350? Príklad 26. Ako dlho musíte mať na účte so 6% ročnou úrokovou sadzbou a štvrťročným prpsovaním úrokov vklad, aby sa vám jeho hodnota zdvojnásobla? 1.4 Zmešané úrokovane VZOREC K n = K 0 (1 + ) n 0 (1 + l ) 7
FINANČNÁ MATEMATIKA zberka príkladov Úloha Akú hodnotu bude mať o tr roky a päť mesacov vklad 9000 pr úrokovej sadzbe 6% p.a., ak sa úroky prpsujú polročne? Rešene: Dosadíme K 0 = 9000; n 0 = 6; m = 5; = 0,06 = 0,03; l = 5 2 6 K n = 9000 (1 + 0,03) 6 1 + 5 0,03 = 11015,13 6 Vklad bude mať hodnotu 11015,13. Úloha Za akú dlhú dobu (presne na dn) vzraste suma 80000 na 105000 pr úrokovej sadzbe 6% p.a. s polročným prpsovaním úrokov? Rešene: Úlohu budeme rešť v dvoch krokoch: 1. zstíme, koľko polrokov bude mať klent uložené penaze, dosadíme K n = 105000; K 0 = 80000; = 0,06; m = 2 n = lnk n lnk 0 ln105000 ln80000 ln 1 + = m ln 1 + 0,06 = 9,199 2 2. pomocou vzorca pre zmešané úrokovane vypočítame počet dní, dosadíme za n 0 = 9, čo je celočíselná časť z 9,199 a l = x 360 K n = K 0 1 + n 0 m (1 + l )105000 = 80000 1 + 0,06 9 2 1 + x 360 0,06 Odkaľ algebrckou úpravou rovnce dostaneme x = 35,5. Vklad 80000 sa zúročí na 105000 za 4,5 roka a 36 dní. Príklad 27. Na koľko sa zúročí 250000 za 5 rokov, 5 mesacov pr úrokovej sadzbe 4,5% p.a. a štvrťročnom prpsovaní úrokov? Príklad 28. Zstte výšku kaptálu 1850 uloženého v banke na 1 rok, 11 mesacov a 11 dní s ročnou úrokovou sadzbou 8,25% a s mesačným prpsovaním úrokov. Príklad 29. Koľko peňažných prostredkov musíme uložť, aby sme za 5 rokov a 3 mesace mal 100000 pr úrokovej sadzbe 4,6% p.a.? Úroky sú prpsované ročne a ponechané na účte. Príklad 30. Počas akej doby (vypočítanej presne na dn) vzraste vklad 1 000 na 1200, ak je uložený pr úrokovej mere 4 % p.a. s polročným prpsovaním úrokov? Príklad 31. Klent s uložl v banke sumu 4900 na 5 rokov a 4 mesace. Na akú sumu vzraste tento vklad pr úrokovej sadzbe 10% p.a., ak úroky sú prpsované štvrťročne? Príklad 32. Koľko je potrebné dnes uložť do banky, ak s o 14 mesacov chceme kúpť motorku za 4000? Ročná úroková sadzba je 7,9% a banka uplatňuje štvrťročné úročene. 8
FINANČNÁ MATEMATIKA zberka príkladov Príklad 33. Do banky s 5% ročnou úrokovou merou a ročným prpsovaním úrokov bolo na začatku roka uložených 100000. Akú hodnotu bude mať vklad po 30-tch mesacoch? Príklad 34. Otec vkladal do banky pre det pr 6,5% ročnej úrokovej mere a spojtom úrokovaní nasledujúce vklady : 1. rok 2000, 2.rok 1400 a 3. rok 2500. Koľko musí vložť v 5. roku, aby v 7. roku mohol vybrať 10000? 1.5 Spojté úrokovane VZOREC K n = K 0 e n Príklad 35. Na akú hodnotu vzraste kaptál 10000 za 5 rokov pr spojtom úrokovaní a úrokovej sadzbe = 0,055 p.a.? Príklad 36. Určte budúcu hodnotu kaptálu 5000, ktorý je uložený v banke pr 3% ročnej úrokovej sadzbe pr spojtom úrokovaní na dobu 3 rokov a 2 mesacov. Príklad 37. Aká je súčasná hodnota kaptálu, ktorý za 3 roky vzraste na 25000 pr úrokovej sadzbe 5,5% p.a. a spojtom úročení? Príklad 38. Aká musí byť ročná úroková sadzba pr spojtom úrokovaní, aby bola rovnako výhodná pre vkladateľa ako ročná úroková sadzba 4,4% p.a. so štvrťročným prpsovaním úrokov? Príklad 39. Klent vložl do banky 60000 pr 5% nomnálnej úrokovej mere so štvrťročným prpsovaním úrokov. Po troch rokoch banka prešla na spojté úrokovane s úrokovou ntenztou rovnou 0,045. Aký celkový úrok získal klent za osem rokov? Príklad 40. Akú dlhú dobu je potrebné nechať sumu 300000 v banke pr spojtom úrokovaní s úrokovou sadzbou 6,5%, ak s chceme kúpť rodnný dom za 490000. Príklad 41. Kaptál vzrástol za 6 rokov pr spojtom úrokovaní s úrokovou sadzbou 6% na 10000. Akú výšku mal kaptál v čase uložena do banky? 9
2 SPORENIE FINANČNÁ MATEMATIKA zberka príkladov 2.1 Krátkodobé sporene VZORCE S x = m x 1 + m ± 1 x = S x m 1 + m ± 1 = S x m x m x (m ± 1) Úloha Aká bude nasporená častka na konc roka, ak s mesačne ukladáme 300 pr úrokovej sadzbe 4,2% p.a., ak: a) ukladáme na začatku mesaca, b) ukladáme na konc mesaca? Rešene: Dosadíme x = 300; m = 12; = 0,042 a) krátkodobé sporene predlehotné S`x = m x 1 + m + 1 b) krátkodobé sporene polehotné S x = m x 1 + m 1 12 + 1 = 12 300 1 + 0,042 = 3681,90, 2 12 12 1 = 12 300 1 + 0,042 = 3669,30. 2 12 Pr predlehotnom sporení nasporíme za rok 3681,90, pr polehotnom sporení 3669,30. Príklad 42. Koľko nasporíme za rok, ak s na konc každého mesaca odkladáme 120 na účet s úrokovou sadzbou 3,8% p.a.? Príklad 43. Koľko nasporíme za rok, ak s na začatku každého štvrťroka odkladáme 210 na účet s úrokovou sadzbou 4,2% p.a.? Príklad 44. Koľko s musíme odkladať na začatku každého mesaca, aby sme za rok nasporl 10000? Banka úročí vklady úrokovou sadzbou vo výške 5,1% p.a.. Príklad 45. Akú sumu musíme sporť na začatku každého štvrťroka, ak chceme na konc roka mať na účte 8000 pr ročnej úrokovej sadzbe 3,4%? Príklad 46. Pr akej úrokovej sadzbe by sme musel sporť v prípade, že s budeme odkladať na začatku každého mesaca 150 a na konc roka budeme mať 2000? Príklad 47. Aká bola ročná úroková sadzba na účte s polročným prpsovaním úrokov, ak sme s na začatku každého mesaca odkladal 200 a na konc polroka sme mal na účte 1380? 10
FINANČNÁ MATEMATIKA zberka príkladov Príklad 48. Aký stav budeme mať na účte na konc roka, ak s na začatku každého mesaca odkladáme 80 pr úrokovej sadzbe 6,2% p.a. a ročným prpsovaním úrokov? Z úrokov sa odvádza daň vo výške 19%. Príklad 49. Koľko s musíme odkladať na konc každého mesaca, aby sme za rok nasporl rovnakú sumu ako v prípade, že s budeme odkladať na začatku mesaca 180? Účet je úročený ročnou úrokovou sadzbou 5% a úroky sú prpsované ročne. Príklad 50. Akú sumu s musíme odkladať na začatku každého mesaca, aby sme za rok nasporl rovnakú sumu ako v prípade, že s budeme odkladať na konc štvrťroka 1300? Účet je úročený ročnou úrokovou sadzbou 4,1% a úroky sú prpsované ročne. Príklad 51. Verteľ vám ponúkne tr možnost splatena dlhu: a) na začatku každého mesaca splácať 110, b) na konc každého štvrťroka splácať 350, c) na konc roka jednorázovo splatť 1400. Ktorá z týchto možností je výhodnejša pre vás a ktorá pre verteľa, ak máte možnosť penaze nvestovať s ročnou úrokovou sadzbou 4%? Príklad 52. Dlžník vám ponúkne štyr možnost splatena dlhu: a) na konc každého mesaca splácať 100, b) na konc každého štvrťroka splácať 310, c) na konc každého polroka platť 630, d) na konc roka jednorázovo splatť 1300. Ktorá z týchto možností je výhodnejša pre vás a ktorá pre dlžníka, ak máte možnosť penaze nvestovať s ročnou úrokovou sadzbou 3,7%? Príklad 53. Nájomca musí platť koncom každého mesaca nájom za byt vo výške 500. Kvôl fnančným problémom nemohol zaplatť nájom za apríl a máj. S prenajímateľom sa dohodol, že na konc júna vyrovná nedoplatok a navyše zaplatí nájomné až do konca roka. Akú častku bude museť koncom júna zaplatť pr 6% úrokovej mere s mesačným prpsovaním úrokov? 2.2 Dlhodobé sporene VZORCE S` = a (1 + ) (1 + )n 1 a = S s n = ; S = a (1 + )n 1 S (1 + ) n 1 11
FINANČNÁ MATEMATIKA zberka príkladov n = ln 1 + S a ln(1 + ) Úloha Koľko nasporíme za 5 rokov pr úrokovej sadzbe 4% p.a. s ročným prpsovaním úrokov, ak s ukladáme 1200 : a) na začatku každého roka, b) na konc každého roka? Rešene: Dosadíme a = 1200; = 0,04; n = 5 a) dlhodobé sporene predlehotné S` = a (1 + ) (1 + )n 1 b) dlhodobé sporene polehotné S = a (1 + )n 1 = 1200 (1 + 0,04) (1 + 0,04)5 1 0,04 = 1200 (1 + 0,04)5 1 0,04 = 6499,59 = 6759,57 Ak s budeme odkladať penaze na začatku roka, nasporíme 6759,57. Ak s budeme odkladať penaze na konc roka, nasporíme 6499,59. Príklad 54. Akú sumu nasporíme za 8 rokov, ak budeme ukladať na začatku každého roka 12000 pr nemennej 5% úrokovej mere a ročným prpsovaním úrokov? Príklad 55. Za 5 rokov plánujeme kúpť auto za 25000. Koľko musíme vložť na začatku každého roka, aby sme za 5 rokov nasporl 25000? Úspory vkladáme na účet úročený 5% p.a. s ročným prpsovaním úrokov. Príklad 56. Za akú dobu nasporíme 50000 pr ročnom polehotnom ukladaní 7000 a pr nemennej úrokovej mere 4% p.a. s ročným prpsovaním úrokov? Príklad 57. Zamestnanec sa dohodol so svojím šéfom, od ktorého s požčal penaze na dostavbu domu, že vyrovná dlžobu trom rovnakým splátkam po 8000 koncom každého nasledujúceho roka pr 6% úrokovej mere. Ten však nebol schopný zaplatť prvú splátku, a tak sa dohodol so šéfom, že celú dlžobu vyrovná jednou ekvvalentnou splátkou na konc 3. roku. Aká bude výška tejto splátky? Príklad 58. Koľko musíme na začatku roka ukladať práve narodenému deťaťu, aby v osemnástch rokoch dostalo 10000? Penaze ukladáme na účet s ročnou úrokovou sadzbou 4% a ročným prpsovaním úrokov. Príklad 59. Rodča sa rozhodl, že začnú svojmu 12-ročnému synov ukladať ku koncu každého roka na účet, ktorý poskytuje 5% ročnú úrokovú meru, častku 700. Akú sumu dostane chlapec k 18-tm narodennám? 12
FINANČNÁ MATEMATIKA zberka príkladov Príklad 60. Ako dlho by sme sporl na auto v hodnote 23500, ak by sme s na začatku každého roka odkladal 3000 na účet s ročnou úrokovou sadzbou 3,7% a ročným prpsovaním úrokov? Príklad 61. Koľko nasporíme za 4 roky, ak s na konc každého mesaca odložíme 75 na účet s ročnou úrokovou sadzbou 6% a mesačným prpsovaním úrokov? Príklad 62. Na konc marca 2009 sme s začal mesačne odkladať na účet s úrokovou sadzbou 5,2% p.a. a mesačným prpsovaním úrokov 170. Kedy s budeme môcť kúpť motorku v hodnote 12800? 2.3 Kombnáca krátkodobého a dlhodobého sporena VZORCE S = m x 1 + m ± 1 (1 + )n 1 x = S m 1 + m ± 1 [(1 + )n 1] S ln x m 1 + m ± 1 + 1 n = ln(1 + ) Úloha Koľko nasporíme za 10 rokov, ak s budeme pravdelne koncom každého mesaca odkladať 200 pr úrokovej sadzbe 4% p.a. : a) s ročným prpsovaním úrokov, b) so štvrťročným prpsovaním úrokov? Rešene: a) dosadíme x= 200; = 0,04; m = 12; n = 10 S = m x 1 + m 1 (1 + )n 1 = 12 200 1 + 12 1 2 12 0,04 (1 + 0,04)10 1 = 29342,93 0,04 b) dosadíme x= 200; = 0,04 4 = 0,01; m = 3; n = 4 10 = 40 S = m x 1 + m 1 (1 + )n 1 = 3 200 1 + 3 1 2 3 0,01 (1 + 0,01)40 1 = 29429,60 0,01 13
FINANČNÁ MATEMATIKA zberka príkladov Ak sa budú úroky prpsovať ročne, tak za 10 rokov nasporíme 29342,93. V prípade, že sa budú úroky prpsovať štvrťročne, tak nasporíme za 10 rokov 29429,60. Príklad 63. Koľko našetríme za tr roky, ak sporíme začatkom každého mesaca 300 pr nemennej 2% úrokovej sadzbe, ak predpokladáme ročné prpsovane úrokov? Príklad 64. Za päť rokov plánujeme nákup nového automoblu. Značka, ktorú sme s vybral, má podľa prognóz vývoja cen stáť 10000. Koľko musíme našetrť začatkom každého štvrťroka, aby sme za päť rokov našetrl 10000 pr nemennej ročnej úrokovej sadzbe 2,5% a ročnom prpsovaní úrokov? Príklad 65. Ako dlho je potrebné šetrť začatkom každého mesaca 20, aby nasporená častka dosahla výšku 2000 pr nemennej 3% ročnej úrokovej sadzbe a ročnom prpsovaní úrokov? Príklad 66. Koľko našetríme za tr roky, ak ukladáme začatkom každého mesaca 40 pr úrokovej sadzbe 2,6% p.a. a štvrťročnom prpsovaní úrokov? Príklad 67. Koľko budeme mať k dspozíc na účte na konc roka, ak sme na začatku roka uložl častku 2000 a koncom každého mesaca sporíme na tento účet 200, ak úroková sadzba je 2,5% p.a. a polročnom prpsovaní úrokov? Príklad 68. Sporíme 15 rokov vždy začatkom štvrťroku 500 pr 4% p.a. a polročnom prpsovaní úrokov. Aká bude nasporená častka, ak banka účtuje na konc každého roka poplatok vo výške 20 a úroky sú zdanené 19%? Príklad 69. Sporl sme 200 mesačne polehotne pr úrokovej sadzbe 8% p.a. so štvrťročným prpsovaním úrokov. Po 10 rokoch máme na účte 10000. Aký bol počatočný vklad? Príklad 70. Akú častku sme pred 7 rokm vybral z účtu, ak na ňom máme po 11 rokoch sporena častku 5031 a prtom sme na konc každého štvrťroku ukladal 150? Účet je úrokovaný sadzbou 5,4% p.a. s polročným prpsovaním úrokov, ktoré bol zdanené zrážkovou daňou vo výške 19%. Príklad 71. Sporíme častku 2000 koncom každého polroka po dobu 30 rokov pr 5,8% p.a. a ročnom úrokovaní. Na konc 18. roku banka zníž úrokovú sadzbu na 3,8% p.a. O koľko sa musí zvýšť pravdelný vklad, aby sa nasporená častka nezmenla? Príklad 72. Pr akej ročnej úrokovej sadzbe s polročným prpsovaním úrokov sporl klent pravdelne na začatku každého štvrťroka počas šestch rokov, ak po štyroch rokoch mal nasporené 9850 a súčasne na konc 4. roku vybral z tejto častky 4900 a po šestch rokoch bude stav na jeho účte 10180? Príklad 73. Koľko našetríte za 14 rokov, ak s budete na začatku každého štvrťroka odkladať 200 pr úrokovej sadzbe 4,1 % p.a. a polročnom prpsovaní úrokov? 14
FINANČNÁ MATEMATIKA zberka príkladov Príklad 74. Koľko s musíte na konc každého mesaca odkladať, aby ste za 20 rokov našetrl na byt v hodnote 70000, pr úrokovej sadzbe 5,4 % p.a. a štvrťročnom prpsovaní úrokov? Príklad 75. Ako dlho budete sporť na auto v hodnote 21000, ak s na začatku každého mesaca budete odkladať 200 pr úrokovej sadzbe 4% p.a. a mesačnom prpsovaní úrokov? 15
3 DÔCHODKY FINANČNÁ MATEMATIKA zberka príkladov 3.1 Bezprostredný dôchodok VZORCE D = m x 1 + m ± 1 1 1 (1 + ) D = a n = a 1 vn 1 vn = m x 1 + m ± 1 1 1 (1 + ) n Úloha Aká suma nám zabezpečí dôchodok vo výške 2000 vyplácaný na konc každého roka po dobu 14 rokov pr úrokovej sadzbe 4,2% p.a. s ročným prpsovaním úrokov? Rešene: Dosadíme a = 2000; = 0,042; n = 14 1 1 (1 + ) D = a n = 2000 Súčasná hodnota dôchodku je 20850,02. 1 1 (1 + 0,042) 14 = 20850,02 0,042 Úloha Aká je hodnota nvestíce, z ktorej nám na konc každého mesaca bude vyplácaný výnos 1200 po dobu desatch rokov, ak požadujeme výnosnosť 5% p.a. a ročné úrokovace obdobe? Rešene: Dosadíme x= 1200; = 0,05; m = 12; n = 14 D = m x 1 + m 1 1 1 (1 + ) n = 12 1200 1 + 12 1 2 12 0,05 1 Za nvestícu musíme zaplatť 113741,16. 1 (1 + 0,05) 10 = 113741,16 0,05 Príklad 76. Aká je hodnota nvestíce, ktorej žvotnosť je dvadsať rokov a na konc každého roka je z nej vyplácaná suma vo výške 3500? Uvažujeme ročnú úrokovú sadzbu 4,5% p.a.. Príklad 77. Koľko nvestor zaplatí za nvestícu, z ktorej mu plyne na konc každého štvrťroka 40000 po dobu 10 rokov, ak požaduje meru výnosnost 3% p.a. a predpokladá ročné úrokové obdobe? 16
FINANČNÁ MATEMATIKA zberka príkladov Príklad 78. Za koľko musíme predať byt, aby sme zo získanej sumy mohl nasledujúcch 15 rokov na začatku každého mesaca platť nájom vo výške 350? Penaze uložíme na účet s ročnou úrokovou sadzbou 5,6% a polročným prpsovaním úrokov. Príklad 79. Frma sa rozhodla, že podporí mestnu školu sumou 5000 každý rok po dobu 6 rokov. Rozhodl sa kvôl tomu založť v banke nadačný fond, ktorý je úročený 5% ročnou úrokovou merou s polročným prpsovaním úrokov. Akú sumu musela frma vložť do fondu? Príklad 80. Pán Šroký má svojej bývalej manželke vyplatť po rozvode podel z majetku v hodnote 150000. Suma má byť splatená 6 rovnakým splátkam vždy na začatku roku pr úrokovej mere 6% p. a.. Aká bude výška jednej splátky? Príklad 81. Zdedíme 100000. Koľko rokov nám bude na konc každého roka vyplácaná renta vo výške 3300, ak termínovaný účet na ktorom máme uložené dedčstvo je úrokovaný ročnou úrokovou sadzbou vo výške 5% a ročným prpsovaním úrokov? Príklad 82. Predáme dom v hodnote 180000. Na ako dlho s budeme môcť prenajať byt, za ktorý budeme na začatku každého mesaca platť nájom vo výške 350, ak penaze z predaja uložíme na účet úročený 3,6% p.a. a polročným prpsovaním úrokov? Príklad 83. Úver má byť banke splatený patm splátkam vo výške 30000 postupne na začatku prvého, druhého až pateho roku. Banka súhlasí s požadavkou dlžníka zaplatť dlh jednorázovo na konc pateho roku. Akú častku musí zaplatť, ak úroková mera úveru je 10 % p. a. s ročným prpsovaním úrokov? Príklad 84. Za koľko musíme predať byt, aby sme zo získanej sumy mohl nasledujúcch 15 rokov na začatku každého mesaca platť nájom vo výške 350? Penaze uložíme na účet s ročnou úrokovou sadzbou 5,6% a polročným prpsovaním úrokov. Príklad 85. Pán Šťastný vyhral v lotér. Stávková spoločnosť mu ponúkla 3 možnost vyplatena výhry: a) okamžté vyplatene 20000, b) počas patch rokov, na konc každého roka vyplatene 4200, c) počas štyroch rokov, na začatku každého mesaca 500. Ktorú z nasledujúcch možností by s mal pán Šťastný vybrať, ak ročná výnosnosť je 4,5% p.a. a ročné prpsovane úrokov? 3.2 Odložený dôchodok VZOREC K = v k m x 1 + m ± 1 1 vn 17
FINANČNÁ MATEMATIKA zberka príkladov Úloha Koľko musíme dnes uložť novonarodenému deťaťu na účet s nemennou úrokovou sadzbou 5% p.a. a ročným prpsovaním úrokov, aby v dvadsatch patch rokoch dostávalo polehotnú mesačnú rentu 250 po dobu 5 rokov? Rešene: Dosadíme x= 250; = 0,05; k = 25; m = 12; n = 5 K = v k m x 1 + m 1 1 1 (1 + ) n = (1 + 0,05) 25 12 250 1 + 12 1 1 2 12 0,05 = 3923,42 Na zabezpečene renty musíme novonarodenému deťaťu uložť sumu 3923,42. 1 (1 + 0,05) 5 0,05 Príklad 86. Koľko musíme dnes uložť novonarodenému deťaťu na účet s nemennou úrokovou sadzbou 4% p.a. a ročným prpsovaním úrokov, aby v osemnástch rokoch dostávalo polehotnú mesačnú rentu 250 po dobu 5 rokov? Príklad 87. Máme k dspozíc 50000. Touto častkou s chceme zastť ročný predlehotný dôchodok na päť rokov s tým, že s jeho vyplácaním začneme o tr roky. Aké vysoké budú vyplácané anuty pr 4,3% ročnej úrokovej sadzbe? Príklad 88. Máme k dspozíc 100000. Touto častkou s chceme zabezpečť ročnú polehotnú rentu na 10 rokov s tým, že ju začneme čerpať za 20 rokov. Aká bude výška výplat (anuty) pr nemennej úrokovej mere 3,25% p.a. s ročným prpsovaním úrokov? Príklad 89. Dedč rozsahleho majetku, ktorý zahŕňa aj les, sa rozhodol založť účet, z ktorého chce zabezpečť fnance na úpravu terénu a výsadbu nových drevín ročne vo výške 15000 počas 6 rokov. Prvá platba sa uskutoční o rok. Koľko musí dnes vložť na účet úročený úrokovou merou 3% p.a.? Príklad 90. Pán Kováč nvestoval do kúpy cenných paperov 25000 s nomnálnou úrokovou sadzbou 7% p.a. s tým, že obdrží 8 rovnakých plateb na konc každého roku, prčom prvá platba sa uskutoční po uplynutí 4 rokov. Aké veľké budú platby, ktoré obdrží? Príklad 91. Podnkateľ nvestoval do kúpy cenných paperov častku, ktorá mu má o 4 roky prnesť pr úrokovej mere 7% p.a. platby vo výške 100000 vyplácané na začatku každého roku po dobu 6 rokov. Akú sumu nvestoval? Príklad 92. Koľko musíme mesačne ukladať novonarodenému deťaťu na účet s nemennou úrokovou sadzbou 4% p.a. a ročným prpsovaním úrokov, aby v osemnástch rokoch dostávalo polehotnú mesačnú rentu 250 po dobu 5 rokov? 18
FINANČNÁ MATEMATIKA zberka príkladov Príklad 93. O trdsať rokov sa chystáme do dôchodku. Na konc každého mesaca s ukladáme na účet 150. Aký vysoký dôchodok nám bude vyplácaný počas ďalších dvadsatch rokov na začatku každého mesaca, ak je účet úročený ročnou úrokovou sadzbou 6% a úroky sa prpsujú ročne? Príklad 94. Rodča založl dcére pr narodení účet úročený počas celej doby trvana vkladu úrokovou merou 4% p.a. so štvrťročným prpsovaním úroku a s počatočným vkladom 100000. Od 20-teho roku žvota jej má byť na konc každého mesaca po dobu 40 rokov z tohto účtu vyplácaná stá suma. O akú sumu de? Príklad 95. Na konc každého mesaca s odkladáme 250. Ako dlho nám bude na konc každého mesaca vyplácaný dôchodok vo výške 500, ak do dôchodku odídeme o 35 rokov a účet je úročený 4% p.a. a úroky sa prpsujú polročne? Príklad 96. Za desať rokov (vo veku 62 rokov) sa chystáme odísť do dôchodku. Koľko s musíme na konc každého mesaca odkladať na účet s úrokovou sadzbou 6% p.a., aby sme s zastl až do osemdesatch rokov bonus k starobnému dôchodku? Pravdelne s budeme na konc každého štvrťroka vyberať z účtu častku vo výške 500. 3.3 Večný dôchodok VZORCE D = a ; K = vk a m ± 1 m x 1 + D = m ± 1 m x 1 + ; K = v k Úloha Aká vysoká častka nám (a našm pozostalým) zabezpečí štvrťročný predlehotný večný dôchodok vo výške 600 pr nemennej ročnej úrokovej sadzbe 6% p.a. a ročnom prpsovaní úrokov? Rešene: Dosadíme x= 600; = 0,06; m = 4 m + 1 m x 1 + D = = 4 + 1 4 600 1 + 2 4 0,06 = 41500 0,06 Na získane večného dôchodku vo výške 600 štvrťročne predlehotne musíme nvestovať častku 41500. Príklad 97. Koľko s musíme uložť na účet, aby nám bol na konc každého roka vyplácaná renta vo výške 1000? Penaze budú uložené pr nemennej úrokovej sadzbe 4% p.a. a úroky sú prpsované ročne. 19
FINANČNÁ MATEMATIKA zberka príkladov Príklad 98. Aká suma peňazí nám a našm potomkom zabezpečí mesačný polehotný večný dôchodok vo výške 5000 pr nemennej úrokovej mere 4% p.a. s ročným prpsovaním úrokov? Príklad 99. Akú sumu musí klent uložť do banky na účet, ktorý poskytuje štvrťročný úrok pr 7% p.a., ak chce vždy koncom mesaca z účtu vyberať 800? Príklad 100. Pr akej ročnej úrokovej sadzbe by sme s musel uložť 50000 tak, aby nám vždy na začatku každého roka bola vyplácaná suma 750? Úroky sú prpsované na konc každého roka. Príklad 101. Aká suma bude vždy na začatku každého mesaca vyplácaná, ak s na účet uložíme 1000000 pr úrokovej sadzbe 6% p.a. a úroky sú prpsované polročne? Príklad 102. O trdsať rokov sa chystáme do dôchodku. Na konc každého mesaca s ukladáme na účet 150. Aký vysoký dôchodok nám bude vyplácaný na začatku každého mesaca, ak je účet úročený ročnou úrokovou sadzbou 6% a úroky sa prpsujú ročne? Príklad 103. Akou úrokovou merou musí byť úročený vklad na účte, aby sme mohl začatkom každého roka neobmedzene dlho vyberať sumu 7000 pr počatočnom vklade 120000? Príklad 104. Klentka s zastla večný dôchodok vyplácaný na konc každého polroku vo výške 30000. Chce ho zmenť na predlehotný štvrťročný dôchodok vo výške 15000 trvajúc 30 rokov. Úroková sadzba je 7% p.a. s polročným prpsovaním úroku. Koľko musí doplatť? Príklad 105. Akú výšku konta musí mať účastník penzjného fondu, aby on sám, prípadne jeho pozostalí, mohl poberať mesačnú penzu vo výške 800 vyplácanú vždy začatkom mesaca? Fond garantuje zhodnotene 5% p.a. s ročným prpsovaním úroku. 20
FINANČNÁ MATEMATIKA zberka príkladov 4 ÚVERY 4.1 Splácane úveru rovnakým splátkam (konštantná anuta) Úloha Úver 30000 máme splatť polehotným ročným anutam za 7 rokov pr nemennej ročnej úrokovej sadzbe 4%. Aká bude výška anuty a umorovací plán? Rešene: Najskôr vypočítame výšku anuty: Dosadíme D = 30000 ; = 0,04 ; n = 7. D a = 1 Potom zostavíme umorovací plán: = 1 (1 + ) n 30000 0,04 = 4998,29 1 1 (1 + 0,04) 7 obdobe anuta úrok úmor zostatok úveru 0 30 000,00 1 4 998,29 1 200,00 3 798,29 26 201,71 2 4 998,29 1 048,07 3 950,22 22 251,49 3 4 998,29 890,06 4 108,23 18 143,26 4 4 998,29 725,73 4 272,56 13 870,70 5 4 998,29 554,83 4 443,46 9 427,24 6 4 998,29 377,09 4 621,20 4 806,04 7 4 998,29 192,24 4 806,05 - Príklad 106. Vytvorte umorovací plán pre úver s dobou splatnost desať rokov, ktorý bude splácaný konštantným anutam pr úrokovej sadzbe 6% p.a.. Príklad 107. Úver 50000 na nákup strojného zaradena má byť umorený rovnakým polehotným ročným anutam za 6 rokov pr fxovanej úrokovej sadzbe počas celej doby splácana úveru 12% p.a.. Vypočítajte výšku anuty a zostavte umorovací plán. Príklad 108. Úver 23000 na nákup automoblu má byť umorený rovnakým polehotným ročným anutam za 6 rokov pr fxovanej úrokovej sadzbe počas celej doby splácana úveru 13% p.a.. Vypočítajte výšku anuty, zostavte umorovací plán a vypočítajte celkové úrokové náklady úveru. Príklad 109. Hypotekárny úver vo výške 100000 poskytnutý s úrokovou merou 6% p.a. a mesačným úročením má byť splácaný rovnakým mesačným splátkam na 21
FINANČNÁ MATEMATIKA zberka príkladov konc jednotlvých mesacov počas 25 rokov. Určte výšku splátky, zostavte umorovací plán a vypočítajte celkové úrokové náklady úveru. Príklad 110. Úver 100000 na nákup výrobného zaradena má byť umorený rovnakým polehotným štvrťročným anutam za 20 rokov pr fxovanej úrokovej sadzbe počas celej doby splácana úveru 10% p.a.. Vypočítajte výšku anuty a zostavte umorovací plán. 4.2 Splácane úveru vopred danou konštantnou anutou Úloha Úver 30000 máme splatť polehotným ročným anutam vo výške 5000 pr nemennej ročnej úrokovej sadzbe 4%. Určte počet anuít, výšku poslednej splátky a zostavte umorovací plán. Rešene: Najskôr vypočítame dobu splatnost: Dosadíme D = 30000 ; = 0,04 ; a = 5000. n = D ln 1 a = ln v 30000 0,04 ln 1 5000 = 6,997. 1 ln 1 + 0,04 Splátok bude sedem. Teda budeme platť šesťkrát danú anutu 5000 a sedma splátku bude nžša. Tú vypočítame podľa : D = 30000 ; = 0,04 ; a = 5000 ; n 0 = 6b = D a 1 vn 0 (1 + ) n 0+1 = 30000 5000 1 1,04 6 1,04 7 = 4986,48. 0,04 Posledná splátka bude mať výšku 4986,48. Potom zostavíme umorovací plán: obdobe anuta úrok úmor zostatok úveru 0 30 000,00 1 5 000,00 1 200,00 3 800,00 26 200,00 2 5 000,00 1 048,00 3 952,00 22 248,00 3 5 000,00 889,92 4 110,08 18 137,92 4 5 000,00 725,52 4 274,48 13 863,44 5 5 000,00 554,54 4 445,46 9 417,97 6 5 000,00 376,72 4 623,28 4 794,69 7 4 986,48 191,79 4 794,69-22
FINANČNÁ MATEMATIKA zberka príkladov Príklad 111. Úver 4000, ktorý poskytla banka klentov s úrokovou merou 12% p.a sa má splácať polehotným ročným anutam vo výške 1000. Určte počet anuít, výšku poslednej splátky a zostavte umorovací plán. Príklad 112. Vytvorte umorovací plán pre úver vo výške 500000, ktorý budeme splácať ročným polehotným konštantným anutam vo výške 5000 pr úrokovej sadzbe 10% p.a..určte počet anuít a výšku poslednej splátky. Príklad 113. Dlh vo výške 40000 je vydaný pr 4,4% úrokovej mere. Zostavte umorovací plán, ak chceme dlh splatť konštantným ročným anutam v hodnote 9 000. Aká bude posledná vyrovnávaca splátka? Príklad 114. Pôžčka vo výške 60000 má byť splácaná ročným splátkam. Prvá splátka vo výške 10000 je splatná po 2. roku. Ďalše splátky sa majú postupne zvyšovať o 5000. Po koľkých rokoch bude dlh splatený pr ročnej úrokovej mere 18%? Aká bude výška poslednej splátky? Zostavte umorovací plán. 4.3 Splácane úveru nerovnakým splátkam (konštantný úmor) Úloha Úver 30000 máme splatť polehotným ročným anutam za 7 rokov pr nemennej ročnej úrokovej sadzbe 4% s konštantným úmorom. Aká bude výška úmoru a umorovací plán? Rešene: Najskôr vypočítame výšku úmoru: Potom zostavíme umorovací plán: D n = 30000 = 4285,71 7 obdobe anuta úrok úmor zostatok úveru 0 30 000,00 1 4 998,29 1 200,00 4 285,71 25 714,29 2 4 998,29 1 028,57 4 285,71 21 428,58 3 4 998,29 857,14 4 285,71 17 142,87 4 4 998,29 685,71 4 285,71 12 857,16 5 4 998,29 514,29 4 285,71 8 571,45 6 4 998,29 342,86 4 285,71 4 285,74 7 4 998,29 171,43 4 285,71-23
FINANČNÁ MATEMATIKA zberka príkladov Príklad 115. Pôžčka 5000 poskytnutá s úrokovou sadzbou 6,5% p.a. má byť umorená za 5 rokov konštantným úmorm ročným polehotným splátkam. Vypočítajte výšku druhej splátky. Príklad 116. Úver 300000 má byť splatený polehotným ročným platbam s konštantným úmorom za 6 rokov pr nemennej ročnej úrokovej sadzbe 5% p.a.. Určte výšku platby (anuty) a zostavte umorovací plán. Príklad 117. Úver 65000 poskytnutý s úrokovou sadzbou 12% p.a. má byť umorený za 25 rokov konštantným úmorm ročným polehotným splátkam. Vypočítajte výšky splátok a zostavte umorovací plán. Príklad 118. Pôžčka 10000 poskytnutá s úrokovou sadzbou 10% p.a. má byť umorená za 5 rokov konštantným úmorm ročným predlehotným splátkam. Vypočítajte výšky splátok a zostavte umorovací plán. 24
FINANČNÁ MATEMATIKA zberka príkladov VZORCE Jednoduché úrokovane K n = K 0 + u = K 0 (1 + n) Dskont D m = K = K n K 0 n Kn n = K n 1 + n 1+ n Zložené úrokovane K n = K 0 (1 + ) n Zmešané úrokovane K n = K 0 (1 + ) n 0 (1 + l ) Krátkodobé sporene predlehotné S`x = m x 1 + m ± 1 Dlhodobé sporene predlehotné S` = a (1 + ) (1 + )n 1 Dlhodobé sporene polehotné S = a (1 + )n 1. Kombnáca krátkodobého a dlhodobého sporena S` = m x 1 + m ± 1 (1 + )n 1 Bezprostredný dôchodok D = m x 1 + m ± 1 Odložený dôchodok K = v k m x 1 + m ± 1 1 vn 1 vn 25
FINANČNÁ MATEMATIKA zberka príkladov POUŽITÁ A ODPORÚČANÁ LITERATÚRA 1. RADOVÁ, J. DVOŘÁK, P. MÁLEK, J.: Fnanční matematka pro každého (6. aktualzované vydání). Praha: GRADA Publshng 2007. 293 s. ISBN 978-80-247-2233-7. 2. RADOVÁ, J. a kol.: Fnanční matematka pro každého příklady. Praha: GRADA Publshng 2008. ISBN 978-80-247-2346-8. 3. URBANÍKOVA, M.: Fnančná matematka. Ntra: Unverzta Konštantína Flozofa v Ntre 2008. ISBN 978-80-8094-387-5. 4. PIRČ, V. SEDLÁČKOVÁ, A.: Fnančná matematka. Košce: Techncká unverzta Košce 2002. 26