Finanční matematika. Téma: Důchody. Současná hodnota anuity

Rozměr: px

Začít zobrazení ze stránky:

Download "Finanční matematika. Téma: Důchody. Současná hodnota anuity"

Kateřina Tesařová
před 8 lety
Počet zobrazení:

1 Fnanční matematka Téma: Důchody Současná hodnota anuty

2 Důchody Defnce: Důchodem se rozumí pravdelné platby ve stejné výš, tzv. anuty Pozor na nejednotnost termnologe Různé možnost rozdělení důchodů

3 Členění důchodů dle okamžku vyplacení jednotlvé platby: - předlhůtní - polhůtní dle délky doby vyplacení důchodů: - dočasný - věčný dle toho, kdy se začínají vyplácet důchody: - bezprostřední - odložený

4 Výpočty u důchodu Současná hodnota důchodu D Budoucí hodnota důchodu (spoření) S Vztah mez současnou a budoucí hodnotou důchodu: S = D.(1 + ) n Kde S je budoucí hodnota důchodu; D je současná hodnota důchodu; je úroková sazba úrokové období n je počet úrokových období

5 Důchod bezprostřední Výplata začíná okamžtě bez prodlení 2 druhy předlhůtní polhůtní

6 Důchod bezprostřední předlhůtní na počátku každého období důchod a po n období př úrokové sazbě., Současná hodnota D - součet současných hodnot všech plateb a a a a a n - 1 n

7 Výplata číslo Současná hodnota 1 a/(1 + ) 0 2 a/(1 + ) 1 3 a/(1 + ) 2 n a/(1 + ) n - 1

8 , D = a.[(1 +(1 + ) -1 + (1 + ) (1 + ) -(n-1) ] Dskontní faktor označíme v D = a ( 1 + ) 1 v n

9 , Výraz a n = (1 + ). 1 - (1 + ) -n se nazývá zásobtel předlhůtní, udává současnou hodnotu důchodu n jednotkových výplat, které jsou vyplaceny na počátku n období př úrokové sazbě. Výraz (1 + ) -1 se taky nazývá dskontní faktor

10 Důchod bezprostřední polhůtní Nechť se bude dostávat na konc každého období důchod ve výš a po n období př úrokové sazbě. Počáteční hodnota D je součet současných hodnot všech plateb vztažených k počátku. a. a. a.,,,. a a n - 1 n

11 Výplata číslo Současná hodnota 1 a/(1 + ) 1 2 a/(1 + ) 2 3 a/(1 + ) 3 n a/(1 + ) n

12 D = = a.[(1 + ) -1 +(1 + ) -2 + (1 + ) (1 + ) -n ] Výraz v hranatých závorkách je konečná geometrcká řada Současnou hodnotu polhůtní anuty D = a 1 v n

13 Výraz a n = (1 (1 + ) -n )/ se nazývá zásobtel polhůtní Platí také tyto vztahy: D = D.(1 + ) S = D.(1 + ) n a n = a n.(1 + ) s n = a n.(1 + ) n

14 Příklad : Jakou částku je třeba mít k dspozc teď, aby bylo možné pokrýt každoroční výdaje ve výš Kč po dobu 5 let? Tyto výdaje budou vynaloženy hned na počátku každého roku. Úrokovou sazbu předpokládejme 5% p.a.. Řešení: D = ,05.(1 1,05-5 )/0,05 = ,80 Kč

Tyto výdaje budou vynaloženy hned na počátku každého roku.

15 Příklad: Jaká je současná hodnota všech každoročních plateb ve výš Kč vydaných vždy na konc roku po dobu 5 let? Předpokládejme opět úrokovou míru ve výš 5% p.a.. Řešení: D = (1 1,05-5 )/0,05 = 64942,15Kč

16 Důchod bezprostřední s více výplatam za 1 období Uvažujme důchod po n období během jednoho období výplata m-krát částka ve výš x na konc (počátku) každé m-tny období (x) m-1,,,. m..,,,.. ( ) x x x x x S 1 S 1 S 1 S n - 1 n S 1

ve výš x na konc (počátku) každé m-tny období (x).

17 Nejdříve pomocí krátkodobého spoření spočítáme budoucí hodnotu m výplat za 1 období S 1 S 1 (m ± 1) = m.x.(1 +.) 2.m znaménko + vyplácí-l se částka x na počátku každé m-tny úrokového období, znaménko vyplácí-l částka x na konc každé m-tny úrokového období

m znaménko + vyplácí-l se částka x na počátku každé m-tny

18 Současná hodnota důchodu se vypočítá jako součet současných hodnot n výplat S 1 vztažených k počátku (1 (1 + ) D = S 1. -n ) (m ± 1). (1 (1 + ) -n ) D = m.x.(1 + ) 2.m.

19 Příklad Na konc každého měsíce je nutno zaplatt nájem za nebytové prostory ve výš Kč. Na konc června musíme zaplatt zpětně nájemné za duben a květen a navíc jsme se rozhodl, že zaplatíme nájemné až do konce roku. Jakou částku budeme v červnu platt, jestlže úroková sazba je 6 % p.a. s měsíčním přpsováním úroků? Výsledek: ,19

Na konc června musíme zaplatt zpětně nájemné za duben a květen a navíc jsme se

20 Řešení Spoření S ( + ) n + 0, = a S = = 60300, 50 0, Důchod 1 v D = a n 1 1 0, D = , = ,69

21 Příklad Kupujete nemovtost. Odhadujete, že bude vynášet nájemné Kč na konc každého měsíce. Předpokládáte její držbu po dobu 3 let, za 3 roky j budete moc prodat za 2,5 ml. Kč. Jaká je maxmální cena, za kterou jste ochotn nemovtost koupt, když požadujete výnos 24 % p.a.? Výsledek:

22 Řešení Cena současná hodnota všech budoucích plateb ( ) n t n P v k k k X P = ( ) , ,24 0, , = = P

23 Příklad Dlužník se zavázal splácet 800 Kč měsíčně, polhůtně po dobu 10 let. Počátkem 5. roku (hned potom, co byla zaplacena 48. splátka) věřtel tuto pohledávku prodal. Kolk čnla cena pohledávky, jestlže úroková sazba byla 8 % p.a. a úrokové období bylo 1 měsíc? Výsledek: ,6

24 Řešení Kupující pohledávky obdrží ještě 12x6 plateb ve výš 800 Kč D = 1 v a n 1 1 D = , , = 45627,6

25 Důchod odložený Výplata je posunutá o k období Dle okamžku, kdy v 1 období dochází k výplatě, se dělí opět na : předlhůtní polhůtní (0) (1) (2) (3),,, (n -1) (n) 0 k k + n

26 Důchod odložený předlhůtní Nechť je vyplacen důchod ve výš a vždy na počátku jednoho období od konce k- tého období do (k + n)-tého období, celkem je vyplaceno n důchodů (anut) př úrokové sazbě....,,,. 0 k a a a a. k + n

27 Hodnota n anut na konc k-tého období lze vypočítat pomocí bezprostředního důchodu:, D = a.(1 + ). k 1 (1 + ) -n Současná hodnota n anut vyplacených na počátku každého období vztažená k úplnému počátku je, D = a.(1 + ) 1-k. 1 (1 + ) -n

28 Důchod odložený polhůtní Nechť je vyplacen důchod ve výš a vždy na konc jednoho období od konce (k+1)- tého období do (k + n)-tého období, celkem je vyplaceno n důchodů (anut) př úrokové sazbě....,,,. 0 k a a a a. k + n

29 Analogcky jako u předlhůtního důchodu odloženého, hodnota n anut na konc k-tého období lze vypočítat pomocí bezprostředního důchodu: D = a. k 1 (1 + ) -n Současná hodnota n anut vyplacených na konc každého období vztažená k úplnému počátku je D = a.(1 + ) -k. 1 (1 + )-n

30 Pokud během jednoho období je vyplaceno m anut ve výš x (ať už na počátku č na konc každé m-tny jednoho období) po n období, postup je zcela analogcký. Nejdříve vypočítáme hodnotu důchodu v čase k, pak dskontujeme k úplnému počátku. Fnální vzorec je následující: (m ± 1). PV = (1 + ) -k.m.x.(1 + ). 2m Poznámka: + ve vzorc platí pro předlhůtní důchod - ve vzorc platí pro polhůtní důchod 1 (1 + ) -n

31 Příklad: Máme k dspozc Kč. Touto částkou s chceme zajstt roční polhůtní důchod na pět let s tím, že s jeho výplatou začneme za dva roky. Jak vysoké budou výplaty př neměnné 4% roční úrokové sazbě? Řešení: = 1,04-2.x.(1 1,04-5 )/0,04 x = 7288,7 Kč

32 Příklad: Po narození dítěte byla uložena částka Kč do podílového fondu s průměrnou roční výnosností ve výš 3,5% do dovršení jeho plnoletost. Zjstěte, jaká je velkost částky vyplacené potomkov na počátku každého měsíce po dobu 10 let. Př vyplacení důchodu předpokládejme vyšší úrokovou sazbu 4,5% p.a. a roční úročení. Řešení: x = 1909,70 Kč = 1, x.( ,045/24). (1 1, )/0,045

33 Důchod věčný Důchod je vyplacen po dobu nekonečně dlouhou Opět se dělí na, Předlhůtní Polhůtní Pro začátek předpokládejme, že důchod je vyplacen jednou za období Nechť je vyplacen důchod ve výš a př úrokové sazbě nekonečně dlouho

34 Důchod věčný předlhůtní: současná hodnota důchodu věčného předlhůtního je lmtní hodnota bezprostředního důchodu předlhůtního, když n, 1 (1 + ) D = lm a.(1 + ). -n a = a + n Důchod věčný polhůtní: stejnou analogí dostaneme vzorec pro výpočet důchodu věčného polhůtního: D = lm a. 1 (1 + ) -n = a/ n

35 Pokud během jednoho období je vyplaceno m anut ve výš x (ať už na počátku č na konc každé m-tny jednoho období) po nekonečně dlouhou dobu, pak současná hodnota věčného důchodu bude: (m ± 1). PV = lm m.x.(1 + ) 2m n 1 (m ± 1). = m.x..(1 + ) 2m (1 (1 + ) -n )

36 Příklad věčný důchod O Kolk je třeba zvýšt částku, kterou jste zajstl pololetní polhůtní věčný důchod ve výš Kč 3000,-, chcete-l jej změnt na čtvrtletní předlhůtní věčný důchod ve výš Kč 1500,-?

37 Rodče naspořl částku Kč, kterou chtějí věnovat na vzdělání svých 2 dětí. Chtějí jm poskytnout každý rok stejný reálný příspěvek během doby jejch studa. Jakou částku dostane mladší dítě ve 3. roce studa, když starší dítě začíná studovat jž nyní a mladší začne studovat až za 4 roky? Obě budou studovat standardně 5 let. Dále víme, že částky budou vyplaceny vždy na konc roku a po celou dobu se roční míra nflace ve výš 2,1 % a úroková míra 4,9 % nezmění.

Podobné dokumenty

Důchody. Současná hodnota anuity. Důchody rozdělení. Důchody univerzální vztah. a) Bezprostřední b) Odložený. a) Dočasný b) Věčný

Důchody. Současná hodnota anuity. Důchody rozdělení. Důchody univerzální vztah. a) Bezprostřední b) Odložený. a) Dočasný b) Věčný Důchody Současná hodnota anuity Důchody rozdělení a) Bezprostřední b) Odložený a) Dočasný b) Věčný a) Předlhůtní b) Polhůtní Existence jednoho univerzálního vzorečku! Ostatní vztahy jsou pouze odvozené