FAKULTA ELEKTROTECHNIKY A KOMUNIKAČNÍCH TECHNOLOGIÍ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ VÝPOČET JEDNOFÁZOVÉHO TRANSFORMÁTORU Autoři textu: Ing. Ondřej Vítek, Ph.D. Květen 2013 epower Inovace výuky elektroenergetiky a silnoproudé elektrotechniky formou e-learningu a rozšíření prakticky orientované výuky OP VK CZ.1.07/2.2.00/15.0158
Obsah 1. ZADÁNÍ... 2 2. VÝPOČET TRANSFORMÁTORU ZADANÝCH PARAMETRŮ... 3 2.1. NÁVRH MAGNETICKÉHO OBVODU A VINUTÍ TRANSFORMÁTORU... 4 2.1.1. Volba transformátorových plechů... 4 2.1.2. Režim vodiče... 6 2.1.3. Předběžné určení velikosti jádra... 6 2.1.4. Kontrola správného nastavení proudové hustoty σ s ohledem na vypočtenou velikost jádra... 7 2.1.5. Určení počtu závitů primárního a sekundárního vinutí... 8 2.1.6. Umístění primárního a sekundárního vinutí... 9 2.1.7. Výpočet průřezu a průměru vodiče primárního a sekundárního vinutí... 9 2.1.8. Výpočet magnetizačního proudu... 10 2.1.9. Výpočet ztrát v železe... 11 2.1.10. Zpětná kontrola proudové hustoty ve vinutí σ... 13 2.1.11. Výpočet ztrát, účinnosti... 13 POUŽITÁ LITERATURA... 15
Výpočet jednofázového transformátoru 3 1. Zadání Navrhněte magnetický obvod a vinutí jednofázového transformátoru s požadovaným jmenovitým zdánlivým výkonem P zd = 220 VA, napětím primáru U 1 = 230 V, napětím sekundáru U 2 = 24 V, při frekvenci f = 50 Hz. Pro konstrukci magnetického obvodu využijte některý ze standardizované řady EI plechů a uvažujte čtvercový průřez středního sloupku ( EI a x a). Obr. 1: Náčrt standardního EI plechu 2. Výpočet transformátoru zadaných parametrů Pro návrh magnetického obvodu a vinutí transformátoru při známé (zvolené) proudové hustotě je třeba provést následující kroky: - Volba transformátorových plechů o Tvar plechů o Materiál plechu, volba B max a následně odpovídající μ rfe, Δp Fe o Činitel plnění železa k pfe - Režim vodiče o Stanovení činitele plnění mědí k pcu o Předběžná volba proudové hustoty σ - Předběžné určení velikosti jádra o Na základě jmenovitého výkonu a zvolené proudové hustoty σ - Kontrola správného nastavení proudové hustoty σ s ohledem na vypočtenou velikost jádra o Přepočet proudové hustoty σ s ohledem na vypočtenou velikost jádra podle předchozího bodu o Nové určení velikosti jádra s uvažováním nové velikosti proudové hustoty
- Určení počtu závitů - Určení průřezů vodičů - Výpočet magnetizačního proudu - Výpočet ztrát v železe - Zpětná kontrola σ o Uvažuje se nejen proud do zátěže, ale také magnetizační proud a proud na pokrytí ztrát v železe - Výpočet ztrát, účinnosti - Kontrola oteplení transformátoru 2.1. Návrh magnetického obvodu a vinutí transformátoru 2.1.1. Volba transformátorových plechů - Tvar plechů EI Tvar plechů je zde určen v zadání. Malé silové jednofázové transformátory (do tisíců VA) se nejčastěji provádějí jako plášťové s využitím plechů tvaru EI. Lze však také uvažovat pro plášťové transformátory tvary plechů M, pro jádrové transformátory L, UI, případně toroidní a C jádra (vinutá z plechového pásu). - Zvolená maximální hodnota (amplituda) magnetické indukce v jádře činí B max = 1,1 T Maximální hodnotu (amplitudu) magnetické indukce v jádře je důležité volit v lineární oblasti magnetizační charakteristiky, tedy v praxi přibližně 1,0 T - 1,2 T. Vyšší hodnoty amplitudy magnetické indukce, ležící v oblasti kolena magnetizační charakteristiky nebo dokonce za ní, způsobí výrazný nárůst obsahu harmonických v magnetizačním proudu. - Materiál plechů zvolen M530-50A; při 1,1 T, 50 Hz Δp Fe = 2,4 W/kg, μ rfe = 1000 (1) Materiál plechů silových transformátorů se volí s ohledem na výkon (provedení). Velké třífázové transformátory mají jádra skládaná z jednotlivých pásů a využívají s výhodou tenkých orientovaných plechů. Jádra transformátorů malých výkonů tvoří obvykle plechy složitějších tvarů, například EI. Některé části jednoho plechu jsou pak magnetovány ve směru osy x a některé části ve směru osy y. Z tohoto důvodu musí mít materiál v obou směrech dobré vlastnosti (vysokou permeabilitu, malé měrné ztráty) a využívá se tedy neorientovaných plechů, často větší tloušťky (až 0,5 mm). S ohledem na požadovaný výkon a provedení byl zvolen jeden z obvyklých materiálů pro takovéto transformátory a to M530-50A. Pro zvolenou B max a frekvenci magnetování f se z katalogu vlastností materiálu odečte velikost měrných ztrát Δp Fe. Pro materiál M530-50A při amplitudě magnetické indukce 1,1 T a frekvenci magnetování 50 Hz činí měrné ztráty podle katalogu firmy Cogent [2] přibližně 2,4 W/kg. (1) Relativní permeabilita samotného materiálu pro uvažovanou frekvenci a amplitudu magnetické indukce dosahuje, podle katalogu firmy Cogent [2], hodnoty přibližně μ rfe = 5000. Tuto permeabilitu feromagnetického jádra by bylo možné přímo použít
Výpočet jednofázového transformátoru 5 v případě, kdy je celý tvar magnetického obvodu vystřižen z jednoho kusu plechu, což je však nepřijatelné kvůli navíjení cívek primárního a sekundárního vinutí. Při skládání plechů ( E a I ) se nelze vyhnout nezbytným, alespoň minimálním, (parazitním) vzduchovým mezerám mezi těmito díly. Při výpočtu magnetického obvodu by pak bylo nutné uvažovat i tyto parazitní vzduchové mezery, které se projeví ve zvýšeném magnetizačním proudu transformátoru. V praxi se velikost parazitních vzduchových mezer určuje nepřímo z měření naprázdno na referenčním vzorku sestaveného magnetického obvodu. Přibližně však lze podle [3] uvažovat délku parazitní vzduchové mezery v jednom styku l δp = 50 μm. Aby se zde obešel výpočet úbytků na jednotlivých parazitních vzduchových mezerách, jejichž velikost je stejně pouze přibližná, bude jejich vliv zohledněn ve velikosti uvažované relativní permeability železa μ rfe. Z podstaty problému je patrné, že takto upravená hodnota permeability nebude, i při stejné délce parazitní vzduchové mezery, konstantou pro různé velikosti plechů (pro menší plechy bude klesat, pro větší naopak narůstat). Se zahrnutím vlivu parazitních vzduchových mezer bude dále uvažována relativní permeabilita feromagnetického jádra μ rfe = 1000. Hustota materiálu byla odečtena z tabulek a činí 7700 kg/m 3. Pro zájemce je níže uveden přepočet relativní permeability feromagnetického jádra (není nutné ke zkoušce). Magnetické napětí vypočtené z délky l Fe a intenzity magnetického pole ve skutečném feromagnetiku jádra H Fe spolu s magnetickým napětím na všech (k) sériově řazených parazitních vzduchových mezerách (k H δp l δp ) se musí rovnat velikosti magnetického napětí z přepočtené intenzity magnetického pole v jádře H Fe a délky l Fe, což popisuje rovnice (1). Při uvažování stejné velikosti magnetické indukce v celém magnetickém obvodu lze rovnici (1) upravit do tvaru (2) a vyjádřit přepočtenou permeabilitu materiálu, zahrnující vliv parazitních vzduchových mezer (3)., (1) kde H Fe je přepočtená intenzita magnetického pole v jádře, zahrnující přítomnost parazitních vzduchových mezer; l Fe je délka cesty magnetického toku (střední siločáry), kde vzhledem k l Fe >> l δp, tak l Fe = l Fe; H Fe je intenzita magnetického pole ve skutečném feromagnetiku jádra; k je počet sériově řazených parazitních vzduchových mezer; H δp je intenzita magnetického pole v parazitní vzduchové mezeře a l δp je délka jedné parazitní vzduchové mezery. kde B max je amplituda magnetické indukce; μ rfe je přepočtená relativní permeabilita jádra s uvažováním parazitních vzduchových mezer; μ rfe je relativní permeabilita samotného feromagnetického materiálu. (2) (3) Pro EI plech velikosti a = 32 mm, permeabilitu materiálu μ rfe = 5000, délku jedné parazitní vzduchové mezery l δp = 50 μm mezi E a I dílem a počet parazitních vzduchových mezer v sérii k = 2 je přepočtená relativní permeabilita jádra (4)
- Činitel plnění železa k pfe = 0,96 Činitel plnění železa k pfe je dán součinem činitele plnění plechů k p,plechu a činitele plnění jader k pt (tvaru sloupku a kostry vinutí). Jelikož se zde jedná o malý transformátor, uvažuje se čtvercový průřez jádra a také čtvercový průřez kostry a tedy činitele plnění jader k pt = 1. Činitel plnění plechů nabývá u velkoplošných, tenkých plechů hodnoty asi od 0,9, u maloplošných tlustších plechů do 0,97. Zde je použit plech o malé ploše a větší tloušťce, činitel plnění plechů lze tedy předpokládat u horní hranice k p,plechu = 0,96. (5) 2.1.2. Režim vodiče - Stanovení činitele plnění mědí k pcu = 0,36 Činitel plnění mědí k pcu je technologický koeficient udávající, jaký je poměr mezi průřezem samotné mědi ΣS Cu a celkovou plochou okna S o (včetně izolace, vzduchu, kostry vinutí, atd.), v němž je vinutí umístěno. Velikost činitele plnění mědí je závislý na tvaru průřezu vodičů a jejich uložení, izolaci vodičů a jednotlivých vrstev, tloušťce stěn kostry a řadě dalších technologických faktorů. Správný odhad velikosti činitele plnění mědí pro každý daný případ by měl provést technolog výrobního podniku. Zde bude uvažován činitel plnění mědí k pcu = 0,36. - Předběžná volba proudové hustoty σ Pro malé transformátory, chlazené přirozenou cirkulací vzduchu, se obvykle uvádí doporučená proudová hustota asi σ = 3 A/mm 2. Kromě dalších podmínek je však hodnota vhodné proudové hustoty závislá na velikosti vinutí, přičemž σ = 3 A/mm 2 odpovídá přibližně velikosti plechů EI 32x32 mm. Jelikož nyní není zcela jasné, jaká velikost jádra (plechů) bude vypočtena, je uvažována, s ohledem na požadovaný výkon transformátoru, proudová hustota σ = 3 A/mm 2 a následně po přesnějším stanovení velikosti jádra se provede její korekce. (6) 2.1.3. Předběžné určení velikosti jádra Odpovídající velikost jádra lze vypočíst podle vztahu odvozeného v [1], jehož výsledkem je součin potřebného průřezu okna (pro vinutí) a průřezu jádra transformátoru. (7) Pro jádro transformátoru složeného ze standardních EI plechů a pro čtvercový průřeze středního sloupku, tedy EI a x a, lze podle Obr. 1 vyjádřit průřez okna pro vinutí S o a průřez jádra S j jako (8)
Výpočet jednofázového transformátoru 7 kde a je základní rozměr plechu a současně tloušťka magnetického obvodu (rozměr v ose z). Dosazením (7) do (8) lze pro tento tvar jádra vypočíst přímo základní rozměr a jako (9) Tedy po dosazení konkrétních hodnot z tohoto příkladu (10) Ze standardní řady velikostí EI plechů (a = 10, 16, 20, 25, 32, 40, 50, 64 mm) je nejbližší dostupnou velikostí a = 40 mm, která bude zvolena pro další výpočty. 2.1.4. Kontrola správného nastavení proudové hustoty σ s ohledem na vypočtenou velikost jádra - Přepočet proudové hustoty σ s ohledem na vypočtenou velikost jádra v odstavci 2.1.3; σ = 2,68 A/mm 2 Jak bylo zmíněno v kapitole 2.1.2, předběžně zvolená proudová hustota σ = 3 A/mm 2. Odpovídá velikosti vinutí pro EI 32mm x 32mm. Vzhledem k tomu, že tato velikost jádra se pro požadovaný výkon transformátoru ukázala jako nedostatečná a byla zvolena EI 40mm x 40mm, je nutné nyní přepočítat velikost proudové hustoty tak, aby byla zachována velikost oteplení vinutí a transformátor se nepřehříval. Jestliže oproti referenční velikosti jádra EI 32mm x 32mm dojde ke zvýšení všech lineární rozměrů k-krát, potom je třeba, pro zachování stejného oteplení, velikost proudové hustoty snížit k-krát, jak bylo odvozeno v [1], tedy (11) - Nové určení velikosti jádra s uvažováním nové velikosti proudové hustoty Změna zvolené velikosti proudové hustoty se zpětně projeví ve výpočtu potřebné velikosti jádra transformátoru. Z tohoto důvodu je nyní provedena kontrola, zda předběžně zvolená velikost jádra vyhoví nebo je nutné velikost jádra korigovat. (12) Velikost jádra vypočtená podle upravené proudové hustoty vychází opět velmi blízko rozměru a = 40 mm a bude tedy zvolen magnetický obvod se čtvercovým průřezem středního sloupku a velikostí EI 40mm x 40mm.
2.1.5. Určení počtu závitů primárního a sekundárního vinutí Velikost indukovaného napětí u i je možné vypočíst podle Faradayova indukčního zákona ( ) ( ) (13) kde ψ je spřažený magnetický tok. Při uvažování sinusového průběhu spřaženého magnetického toku nabyde rovnice (13) tvaru ( ) [ ( )] (14) kde ψ max je amplituda spřaženého magnetického toku, ω je úhlová frekvence. Po provedení naznačené derivace ( ) ( ) (15) Ze vztahu (15) lze vyjádřit amplitudu indukovaného napětí U imax, jestliže cos (ωt) = 1, Amplituda magnetického toku (ne spřaženého) je v tomto okamžiku již známa ze zvolené velikosti transformátoru a tedy průřezu jádra S j, činitele plnění železa k pfe a amplitudy magnetické indukce v jádře B max. Amplituda spřaženého magnetického toku je také již dána a to zadanou velikostí a frekvencí napětí primárního/sekundárního vinutí, jestliže se při zanedbání úbytků bude uvažovat napájecí napětí rovné indukovanému. Potom lze rovnici (16) přepsat do tvaru pro efektivní hodnotu primárního napětí U 1 (16) (17) kde U i1 je efektivní hodnota indukovaného napětí primárního vinutí, N 1 je počet závitů primárního vinutí, B max je amplituda magnetické indukce v jádru, S j je průřez jádra. Nyní je již možné jednoduše vyjádřit potřebný počet závitů (18) Po dosazení konkrétních hodnot je počet závitů primárního vinutí roven (19) ( ) Počet závitů sekundárního vinutí lze získat pomocí požadovaného převodu transformátoru Úbytky na elektrickém odporu a rozptylové indukčnosti vinutí, které by při zatížení způsobily snížení výstupního napětí transformátoru pod požadovanou hodnotu, jsou kompenzovány navýšením počtu závitů na sekundárním vinutí. Zda je provedené navýšení počtu závitů dostatečné (zde o 8%) se ověří výpočtem úbytků napětí při jmenovitém zatížení. Často se také používá současné rovnoměrné snížení počtu závitů na primární a zvýšení počtu závitů na sekundární straně. (20)
Výpočet jednofázového transformátoru 9 2.1.6. Umístění primárního a sekundárního vinutí U velkých transformátorů, kde je jedno z vinutí připojeno na vysoké napětí, se obvykle vinutí nízkého napětí umisťuje blíže jádra transformátoru a na něj (s větším odstupem od jádra) vinutí vysokého napětí. Případně se provádí kotoučové vinutí. U malých (síťových) transformátorů na nízké napětí se naopak často blíže jádra transformátoru umisťuje vinutí vyššího napětí a až na něj vinutí nižšího napětí. Jelikož se u malých transformátorů používá jak jádro, tak kostra vinutí čtvercového tvaru, potom se přímo na kostru lépe navíjí tenčím drátem, který přísluší vinutí vyššího napětí. Vzhledem k typu a v zadání požadovanému výkonu transformátoru se bude dále v tomto případě uvažovat umístění vinutí vyššího napětí (230 V) blíže jádra - středního sloupku (Obr. 2). Obr. 2: Zvolené umístění vinutí vyššího (primár) a nižšího (sekundár) napětí 2.1.7. Výpočet průřezu a průměru vodiče primárního a sekundárního vinutí Průřez vodičů se vypočte na základě celkového dostupného průřezu mědi, daného plochou okna a činitelem plnění mědí. Jakým poměrem rozdělit plochu okna mezi primární a sekundární vinutí není zcela jednoznačné. Jednou z možností je rozdělení okna přesně na poloviny, kdy jednu polovinu plochy okna vyplní primární a druhou sekundární vinutí. Při uvažování pouze proudu zátěže a neupraveného počtu závitů to v podstatě znamená stejnou proudovou hustotu v obou vinutích a tedy stejnou objemovou hustotu ztrátového výkonu. Vinutí blíže střednímu sloupku ale bude mít menší objem a tedy menší ztráty v mědi než vinutí umístěné dále od středního sloupku. Budou-li uvažovány ztráty v železe, magnetizační proud a úbytky napětí při zatížení, pak s navýšením počtu závitů sekundárního vinutí, pro kompenzaci úbytků napětí, dojde v sekundárním vinutí ke zvýšení proudové hustoty a tedy i objemové hustoty ztrátového výkonu. Naproti tomu v primárním vinutí zvyšuje proudovou hustotu a objemovou hustotu ztrátového výkonu zase proud k pokrytí ztrát v železe a magnetizační proud. Zde bude zvoleno rovnoměrné rozdělení plochy okna mezi obě vinutí. Potom lze snadno vypočíst průřez S cu1 a průměr d Cu1 vodiče primárního vinutí jako ( ) (21)
Pro průřez S cu2 a průměr d Cu2 vodiče sekundárního vinutí platí obdobně ( ) (22) 2.1.8. Výpočet magnetizačního proudu Výpočet magnetizačního proudu lze provést několika způsoby. Mezi klasické metody patří převod magnetického obvodu na obdobu elektrického pomocí Hopkinsonova zákona. Jednodušší variantou je zde přímá aplikace Ampérova zákona celkového proudu s přijetím zjednodušujících předpokladů. Výpočet magnetizačního proudu pomocí Hopkinsonova zákona Magnetický obvod lze převést na obdobu elektrického tak, jak je znázorněno na (Obr. 3). Pomocí rovnice (23) pak vypočíst potřebnou velikost magnetického napětí U m a z něj velikost magnetizačního proudu, kdy U m = N I. Při takovém postupu by bylo nutné vypočíst velikost jednotlivých magnetických odporů R m1 až R m7 pomocí kde j = 1,2,,7; R mj je magnetický odpor j-té části, l rmj je délka střední siločáry na j-té části a R rmj je průřez j-té části. Rovnici (23) však lze rozepsat a zjednodušit na tvar (25), kde již není nutný výpočet magnetického odporu obvodu a amplitudu magnetizačního proudu lze získat přímo z již známých hodnot Vypočtená amplituda I μ1max a efektivní hodnota I μ1 magnetizačního proudu po úpravě a dosazení do rovnice (25) činí (23) (24) (25) (26)
Výpočet jednofázového transformátoru 11 Obr. 3: Převod magnetického obvodu na obdobu elektrického 2.1.9. Výpočet ztrát v železe Ztráty v železe transformátoru, ale i točivých elektrických strojů, se v praxi počítají na základě měrných ztrát Δp Fe použitého materiálu plechů, vyjádřených ve W/kg nebo W/m 3. Měrné ztráty Δp Fe daného typu plechů (např. M530-50A) nejsou konstantou, ale jsou závislé na frekvenci a magnetické indukci (sycení) v materiálu. Výrobci transformátorových a dynamových plechů standardně deklarují měrné ztráty při střídavém sinusovém magnetování o frekvenci f = 50 Hz a amplitudě magnetické indukce B max = 1,0 T a B max = 1,5 T. Například pro dynamové plechy M530-50A udává výrobce Cogent měrné ztráty Δp Fe_1,0 = 2,07 W/kg při f = 50 Hz a B max = 1,0 T a měrné ztráty Δp Fe_1,5 = 4,46 W/kg při f = 50 Hz a B max = 1,5 T. Jestliže se transformátor navrhuje na jinou hodnotu magnetické indukce nebo frekvence, je nutné buď měrné ztráty přepočítat nebo pro tyto hodnoty zjistit měrné ztráty od výrobce, případně měřením. Pro přepočet měrných ztrát Δp Fe na požadovanou hodnotu magnetické indukce a frekvence se často při uvažování střídavého sinusového magnetování užívá vztah dle [3] ( ) (27) kde Δp Fe jsou přepočtené měrné ztráty, Δp Fe_1,0 měrné ztráty při f = 50 Hz a B max = 1,0 T, B max je požadovaná amplituda magnetické indukce, f je požadovaná frekvence a k p je činitel respektující zvětšení ztrát vlivem vyšších harmonických a změnou vlastností materiálů při střihání plechů (při střihání plechů dochází v okolí střihu k mechanickému namáhání a změně struktury materiálu). Vztah (27) dobře platí pro běžné materiály plechů, běžné hodnoty magnetické indukce (ne nízké, ne vysoké) a frekvence v okolí 50 Hz. V ostatních případech je vhodnější měrné ztráty pro požadovanou hodnotu magnetické indukce a frekvence odečíst z úplných charakteristik materiálu od výrobce nebo z vlastního měření. Příklad těchto charakteristik pro materiál M530-50A a dvě frekvence je uveden na Obr. 4.
Obr. 4: Závislost měrných ztrát Δp Fe materiálu M530-50A na frekvenci a magnetické indukci Jelikož je odečítání z grafu při výpočtech nepraktické, obvykle se závislost měrných ztrát na frekvenci a magnetické indukci popisuje rovnicí (28), respektující tři základní složky ztrát v železe a to ztráty hysterezní p h, ztráty vířivými proudy p c a přídavné p e, vztažené na 1 kg nebo na 1 m 3 kde k h, k c, k e jsou koeficienty jednotlivých ztrát a pro konkrétní materiál se koeficienty stanoví (např. metodou nejmenších čtverců) z charakteristiky, změřené nebo dodané výrobcem, udávající závislost měrných ztrát Δp Fe na indukci B max při jedné nebo více frekvencích (Obr. 4). I v případě použití charakteristiky pro stanovení velikosti měrných ztrát by však mělo být zohledněno zvětšení ztrát vlivem vyšších harmonických a změnou vlastností materiálů při střihání plechů. V řešeném příkladu byly přímo pro materiál M530-50A a zvolenou B max = 1,1 T a frekvenci magnetování f = 50 Hz odečteny z katalogu firmy Cogent [2] měrné ztráty Δp Fe = 2,4 W/kg. Hustota materiálu M530-50A podle tabulek činí 7700 kg/m 3 (čistě feromagnetikum, tedy plnění 100%, bez uvažování izolace a mikroskopických vzduchových mezer mezi plechy). Jestliže pro zjednodušení předpokládáme stejnou velikost magnetické indukce v celém objemu jádra, pak lze ztráty v železe vypočíst pomocí na základě celkové hmotnosti feromagnetického materiálu kde ΔP Fe jsou ztráty v železe, m Fe hmotnost feromagnetického materiálu, γ Fe hustota materiálu, V j objem jádra transformátoru (plechů - včetně izolace, mikroskopických mezer), k pfe činitel plnění železa. Při čtvercovém průřezu středního sloupku transformátoru ( EI a x a) je objem celého jádra transformátoru V j = 6a 3 a po dosazení do (29) ztráty v železe činí (28) (29) ( ) ( ) (30)
Výpočet jednofázového transformátoru 13 2.1.10. Zpětná kontrola proudové hustoty ve vinutí σ Zpětná kontrola velikosti proudové hustoty bude provedena při jmenovitém zatížení S a účiníku na sekundární straně transformátoru cos φ 2 = 1 (odporová zátěž). Velikost proudu sekundárního vinutí je rovna proudu zátěží a lze ji určit jako Jmenovitý proud primárním vinutím zahrnuje kromě přepočteného proudu od sekundárního vinutí také činnou složku proudu naprázdno I RFe, která kryje ztráty v železe a jalovou složku proudu naprázdno I μ, tedy magnetizační proud. Proud zátěže (sekundárním vinutím) přepočtený na primár I 2 činí Velikost magnetizačního proudu I μ1 byla vypočtena v kapitole 2.1.8 a velikost činné složky proudu naprázdno lze určit z již vypočtených ztrát v železe jako Celkový proud naprázdno tedy činí (31) (32) (33) (34) Jestliže je uvažována čistě odporová zátěž, pak proud zátěží přepočtený na primár má pouze činnou složku (I 2č = I 2 ) a při zjednodušení lze celkový proud primárního vinutí při jmenovitém zatížení vypočíst jako ( ) ( ) (35) Z dříve stanoveného průměru vodiče primárního d Cu1 a sekundárního d Cu2 vinutí je možné provést výpočet skutečných proudových hustot ( ) ( ) (36) ( ) ( ) Při srovnání s prvotní návrhovou proudovou hustotou σ = 2,68 A/mm 2 je patrné, že došlo k jejímu zvýšení. V případě sekundárního vinutí je to způsobeno zvýšením počtu závitů o 8%, v případě primárního vinutí proudem naprázdno. Pro ověření, zda je tato skutečná proudová hustotu přijatelná, je nutné provést výpočet ztrát a účinnosti a posoudit velikost oteplení transformátoru. 2.1.11. Výpočet ztrát, účinnosti Celkové ztráty transformátoru jsou dány ztrátami v železe a ztrátami v mědi. Ztráty v železe již byly vypočteny dříve, nyní je tedy nutné určit ztráty v mědi. Ty je možné vypočíst z elektrického odporu vinutí a proudu. Snazším způsobem je však provést výpočet na základě proudové hustoty a objemu mědi, kde potřebný vztah lze odvodit na příkladu jednoho vodiče s rezistivitou ρ (38) (37)
S vědomím určité nepřesnosti, avšak pro zjednodušení, bude při výpočtu ztrát v mědi uvažována průměrná proudová hustota a celkový objem mědi obou vinutí. Za těchto podmínek nabyde pro transformátor vztah (38) tvar kde ΔP Cu jsou ztráty v mědi transformátoru (primárního i sekundárního vinutí), je rezistivita mědi při předpokládané teplotě vinutí transformátoru, V Cu je celkový objem mědi vinutí a σ prům je průměrná proudová hustota. Při čtvercovém průřezu středního sloupku transformátoru ( EI a x a) lze prostor pro vinutí (objem V V ) a celkový objem mědi vinutí vyjádřit jako (38) (39) ( ) (40) Průměrná proudová hustota, vypočtená z proudové hustoty primárního a sekundárního vinutí činí Nominální rezistivita uvažovaných měděných vodičů dosahuje při teplotě 20 C podle tabulek výrobce hodnoty ρ Cu,20 = 1,71 10-8 Ω m. Teplota vinutí zde bude předpokládána 110 C a správnost tohoto předpokladu by měla být následně ověřena výpočtem oteplení. Pro předpokládanou teplotu činí rezistivita použité mědi (41) ( ) ( ) (42) Ztráty ve vinutí (mědi) transformátoru tedy při jmenovitém zatížení dosahují hodnoty ( ) ( ) (43) Pro celkové ztráty transformátoru při jmenovitém zatížení platí (44) a pro účinnost (45)
Výpočet jednofázového transformátoru 15 Použitá literatura [1] Patočka, M, Magnetické jevy a obvody, VUTIUM, Brno,2011, ISBN: 978-80-214-4003-6 [2] Cogent team. Non oriented electrical steel, Typical data. Surahammars Bruks AB, 2011. [3] Petrov, G.N. Elektrické stroje 1. Praha: Academia. 1982.