Fyzikální praktikum FJFI ČVUT v Praze Úloha č. 8 : Studium ultrazvukových vln Jméno: Ondřej Ticháček Pracovní skupina: 6 Kruh: ZS 6 Datum měření: 26.10.2012 Klasifikace: 1 Zadání 1. Změřte velikost přijímaného signálu v závislosti na úhlu mezi přijímačem a kolmicí k odrazové ploše. Výsledky zpracujte tabulkově i graficky a ověřte, zda-li platí zákon odrazu pro ultrazvukové vlny. Měření proved te pro 3 různé úhly dopadu. 2. Změřte rychlost zvuku ve vzduchu. Proved te alespoň deset měření při různých vzdálenostech vysílače od přijímače a výsledky zpracujte statisticky. Porovnejte váš výsledek se vztahem (3). 3. Změřte alespoň pět vzdáleností odrazové plochy od vysílače/přijímače pomocí ultrazvukových vln (princip sonaru). Porovnejte vzdálenosti měřené sonarem a měřítkem. Použijte vámi experimentálně stanovenou rychlost zvuku z úkolu 2. 4. Změřte Dopplerův jev pro dvě rychlosti v vozíčku pro oba případy (přijímač klid nebo přijímač pohyb) a porovnejte výsledky s teoretickými výpočty. Měření proved te pro každý případ - přijímač klid/pohyb - a pro každou rychlost minimálně 5-krát. 5. Proměřte závislost intenzity zvukového signálu po průchodu zvukových vln soustavou štěrbin pro N (počet štěrbin) = 1,2,5. Výsledky zpracujte graficky a okomentujte v protokolu. 2 Vypracování 2.1 Použité přístroje Generátor 40 khz vln, zesilovač, mikrofon, vysílač, osciloskop, čítač, odrazová kovová deska, laboratorní stojan, parabolický odražeč, difrakční mřížka s nastavitelným počtem štěrbin, elektrický vozíček s nastavitelnou rychlostí jízdy, pojezdová lavice s měřítkem (2 ks), stopky, pásové měřítko, pravítko, úhloměr, kabely a svorky, sada držáků pro mikrofon a vysílač 2.2 Teoretický úvod 2.2.1 Rychlost zvuku Při zanedbání disperze je rychlost zvuku v z dána fázovou rychlostí v f zvukových vln. V tekutinách je tato rychlost určena vztahem K v f = ρ, (1) Obrázek 1: Christian Doppler [3] kde K je modul objemové pružnosti a ρ hustota prostředí. Předpokládáme-li, že se vzduch chová jako ideální plyn, platí pro rychlost zvuku ve vzduchu K γp v z = v f = ρ = ρ, (2) kde p je tlak plynu a γ Poissonova konstanta. Po dosazení hodnot vychází závislost rychlosti zvuku v suchém vzduchu na teplotě T [ ] v z = 331.3 1 + T 273.15. (3) 1
2.2.2 Dopplerův jev Dopplerův jev je změna frekvence pozorované vlny pohybuje-li se zdroj nebo přijímač oproti stavu v klidu. Ve zjednodušeném případě, kdy pohyb nastává ve směru šíření vlnění, platí následující vztahy. Jestliže se vysílač s vlastní frekvencí f 0 pohybuje rychlostí v vůči přijímači v klidu a je-li rychlost šíření vlnění v z, platí pro pozorovanou frekvenci vztah f = v z v z v f 0, (4) kde znaménko minus je pro případ pohybu vysílače k přijímači a znaménko plus pro pohyb od přijímače. Jestliže se přijímač pohybuje rychlostí v vůči vysílači s vlastní frekvencí f 0 v klidu a je-li rychlost šíření vlnění v z. platí pro pozorovanou frekvenci vztah f = v z ± v v z f 0, (5) kde znaménko plus je pro případ pohybu přijímače k vysílači a znaménko minus pro pohyb od vysílače. Je-li v naší soustavě rychlost přijímače i vysílače nenulová, přejdeme do soustavy spojené s jedním z nich. Tak úloha přejde na výše popsaný tvar. 2.2.3 Difrakce Pro difrakci na mřížce s N štěrbinami konečné šířky D platí (dle [2] strana 110 a 113) kde ( sin( 1 2kD sin ϑ) I = I 0 kd sin ϑ 1 2 )2 ( sin( 1 2 k = 2π λ knd sin ϑ) N sin( 1 2kd sin ϑ) )2, (6) (7) a λ je vlnová délka, d vzdálenost mezi štěrbinami. 2.3 Postup měření Před každým měřením nastavíme frekvenci generátoru, zesílení zesilovače a rozsah na oscilátoru tak, abychom dostávali potřebný průběh signálu tj. neořezaný a dostatečně stabilní. Zesilovač je stále ve střídavém módu, generátor v kontinuálním režimu (kromě měření rychlosti tehdy je režim pulzní). 2.3.1 Zákon odrazu Aparaturu zapojíme podle obrázku 2. Zvolíme pevný úhel θ od kolmice k odrazové ploše, a v tomto úhlu nasměrujeme vysílač. Přijímač umístíme do stejné vzdálenosti l od odrazové plochy, měníme úhel ϑ od osy. Zaznamenáváme intenzitu přijímaného signálu v závislosti na úhlu přijímače. Opakujeme pro tři různé úhly nastavení vysílače. Obrázek 2: Schéma zapojení aparatury pro ověřování zákona odrazu [1] 2
2.3.2 Rychlost zvuku Aparaturu zapojíme podle obrázku 3. Vysílač a přijímač umístíme stejně daleko od odrazové plochy (kolmá vzdálenost od osy l ) cca 10 cm od sebe (vzájemná vzdálenost d). Pro dráhu vlny s jdoucí z vysílače k odrazové stěně a zpět do přijímače tedy platí s = 4l 2 + d 2. (8) Generátor přepneme na pulsní režim, trigger zapojíme do osciloskopu. Na něm měříme čas t, za který vlna dorazí od vysílače k přijímači. Rychlost pak spočítáme jako Chybu měření spočítáme podle vzorce (14) jako v z = s t. (9) σ 2 v = 16l2 σ 2 l + d2 σ 2 d t 2 (4l 2 + d 2 ) + (4l2 + d 2 )σ 2 t t 4. (10) Obrázek 3: Schéma zapojení aparatury pro měření rychlosti zvuku [1] 2.3.3 Dopplerův jev Sestavíme aparaturu podle obrázku 4. Zaznamenáme základní frekvenci f 0 vysílače v klidu. Pomocí osciloskopu vyzkoušíme, v jaké části dráhy (vzhledem k poloze přijímač-vysílač) dokáže přijímač spolehlivě detekovat signál. V této části budeme dále měřit frekvenci i rychlost vozíčku. Při vlastním měření pak odečítáme z čítače frekvenci signálu v přijímači a měříme čas, za který ujede vozíček pevně stanovenou dráhu. Obrázek 4: Schéma zapojení aparatury pro ověřování Dopplerova jevu [1] 2.3.4 Difrakce a interference zvuku Aparaturu sestavíme podle obrázku 5. Změříme vzdálenost mezi středy sousedních štěrbin d, šířku štěrbin D a kolmou vzdálenost ve které budeme měřit. Na mřížce odkryjeme daný počet štěrbin N, zaznamenáváme intenzitu I v závislosti na kolmé vzdálenosti h od osy vysílač-střed paraboly. 2.4 Naměřené hodnoty 2.4.1 Zákon odrazu Naměřené hodnoty jsou v tabulce 1. 3
Obrázek 5: Schéma zapojení aparatury pro měření difrakce na mřížce [1] θ 1 = 10 θ 2 = 20 θ 3 = 30 l 1 = 32 cm l 2 = 32 cm l 3 = 27 cm ϑ 1 [ ] I 1 [mv] ϑ 2 [ ] I 2 [mv] ϑ 3 [ ] I 3 [mv] 0 158 0 127 0 147 10 190 10 147 10 222 20 141 20 249 20 193 30 118 30 205 30 203 40 119 40 176 40 147 50 128 50 143 45 130 Tabulka 1: Tabulka naměřených hodnot úhlů dopadu θ a odrazu ϑ a intenzit signálu I na přijímači 2.4.2 Rychlost zvuku Naměřené hodnoty jsou v tabulce 2. l [cm] s [cm] t [ms] v z [m/s] 99 198,23 5,77 343,6 89 178,26 5,28 337,6 79 158,29 4,72 335,4 69 138,33 4,08 339,1 64 128,36 3,77 340,5 59 118,39 3,49 339,2 54 108,43 3,17 342,0 49 98,47 2,86 344,3 44 88,52 2,54 348,5 39 78,59 2,27 346,2 v 342 ± 4 Tabulka 2: Tabulka naměřených hodnot (l, t) a vypočtených s podle vzorce (8) pokud d = 9,6 cm a v podle (??); l je kolmá vzdálenost vysílače/přijímače od odrazové plochy, d vzdálenost mezi vysílačem a přijímačem, s dráha kterou vlny musí urazit na cestě mezi vysílačem a přijímačem, v z rychlost zvuku 2.4.3 Dopplerův jev Naměřené hodnoty jsou v tabulce 3. 2.4.4 Difrakce a interference Naměřené hodnoty jsou v tabulce 4 a 5. 4
Intenzita [mv] Intenzita [mv] 200 190 180 naměřená data při úhlu dopadu 10 170 160 150 140 130 120 110 100 0 10 20 30 40 50 60 úhel odrazu [ ] Obrázek 6: Graf měření zákona odrazy pro úhel dopadu θ = 10 260 240 naměřená data při úhlu dopadu 20 220 200 180 160 140 120 100 0 10 20 30 40 50 60 úhel odrazu [ ] Obrázek 7: Graf měření zákona odrazy pro úhel dopadu θ = 20 5
t [s] Intenzita [mv] 240 220 naměřená data při úhlu dopadu 30 200 180 160 140 120 100 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 úhel odrazu [ ] Obrázek 8: Graf měření zákona odrazy pro úhel dopadu θ = 30 6 5,5 y = 0,0298x - 0,0644 5 4,5 4 3,5 rychlost zvuku Lineární (rychlost zvuku) 3 2,5 2 70,00 90,00 110,00 130,00 150,00 170,00 190,00 210,00 s [cm] Obrázek 9: Graf měření rychlosti zvuku 6
I [mv] I [mv] 600 naměřená data (N=1) naměřená data (N=2) 500 teoretický průběh (N=1) teoretický průběh (N=2) 400 300 200 100 0 0 50 100 150 200 250 h [cm] Obrázek 10: Graf měření difrakce na mřížce pro N = 1 resp. N = 2 (špatně naměřená data) 1400 naměřená data teoretický průběh 1200 1000 800 600 400 200 0 0 5 10 15 20 25 30 35 h [cm] Obrázek 11: Graf měření difrakce na mřížce pro N = 5 7
l [m] f 0 [khz] v z [m/s] 0,8 39,62 342 f [khz] t [s] v [m/s] f [khz] f [khz] f [khz] 38,38 1,50 0,53-1,24 39,682 0,062 39,49 1,57 0,51-0,13 39,679 0,059 38,45 1,65 0,48-1,17 39,676 0,056 37,41 1,67 0,48-2,21 39,676 0,056 39,57 1,50 0,53-0,05 39,682 0,062 39,68 1,47 0,54 0,06 39,683 0,063 39,69 1,54 0,52 0,07 39,680 0,060 39,68 1,56 0,51 0,06 39,679 0,059 39,56 1,67 0,48-0,06 39,676 0,056 39,71 1,62 0,49 0,09 39,677 0,057 Tabulka 3: Tabulka naměřených hodnot (f, t) a vypočtených v = l/t, f = f f 0 a f = f f 0 ; l je dráha, kterou vozíček ujede za čas t rychlostí v, v z rychlost zvuku, f je frekvence vypočtená podle vztahu 4, f a f jsou rozdíly frekvencí f resp. f oproti f 0 2.5 Diskuze 2.6 Zákon odrazu Zákon odrazu se nám sice na první pohled ukázat povedlo, výsledky by ovšem mohly být výrazně lepší a průkaznější, kdybychom neměli tak velkou chybu měření úhlů. Snad ještě větším problémem bylo směrování vysílače/přijímače do správného směru. Během měření jsme zjistili, že tyto dva faktory zásadně ovlivňují výsledek měření a nedal-li by si člověk velký pozor, klidně by mohl být výsledek měření naprosto opačný. Co se vzdálenosti komponent od odrazné desky, přesnost byla dostatečná. 2.6.1 Rychlost zvuku Podle vztahu (3) je rychlosti zvuku při 24 345.5 m/s. Námi změřená a spočítaná hodnota (342 ± 4) m/s je této hodnotě velmi blízká. Systematická chyba vyšla oproti statické chybě zanedbatelná o několik řádů. Největší nepřesností je pravděpodobně odečítání času z osciloskopu, není přesně jasné, kde puls začíná resp. končí. Na tomto místě může nastat i poměrně významná systematická chyba, kterou ovšem nejsme schopni spočítat, jen odhadnout. Nastala by v případě, že bychom špatně rozpoznávali začátek pulsu a všechny časy tedy o nějakou část prodloužili/zkrátili. Vzhledem ke korespondenci s předpokládanou hodnotou se tento faktor v našem případě pravděpodobně velmi neprojevil. Podobný úkol jako měření rychlosti zvuku bylo měření délek. Tento úkol jsme neudělali kvůli nedostatku času. Měření by navíc probíhalo velmi podobně jako b předešlém případě, není tedy tak podstatné jako ostatní, naprosto odlišné. 2.6.2 Dopplerův jev Měření Dopplerova jevu bylo velmi náročné na synchronizaci. Odečítání frekvence z čítače je velmi obtížné, frekvence kolísá (díky fluktuacím signálu), navíc na odečtení je velmi málo času. Rychlost vozíčku se rovněž špatně měří, nebyla ovšem zatížena takovou statistickou chybou jako frekvence. Kdybychom měli na měření více času, mohli bychom si signál nastavit tak, aby čítač pracoval lépe a tedy aby se frekvence tolik neměnila. Po velkém množství měření by bylo pravděpodobně poměrně jednoduché vyloučit hrubé chyby a k nějakému výsledku (závěru potvrzení/vyvrácení) bychom se dostali. S našimi daty ovšem žádný závěr udělat nemůžeme. Pokud bychom vyloučili první 4 měření, které byly zjevně hrubými chybami, dostali bychom sice výsledky korespondující s předpokladem, ovšem zbývajících měření by bylo na solidní výsledek moc málo. 2.6.3 Difrakce a interference Měření podle návodu ve vzdálenosti cca 3 m nám nedávaly žádné rozumné výsledky. Poté, co jsme přesunuli vysílač a přijímač výrazně blíže, výsledky již korespondovaly s předpoklad o poznání lépe. Na druhou stranu se v kratší vzdálenosti více projevovala různá vzdálenost vysílače od přijímače a tedy i jiný útlum signálu. Pro lepší 8
l [cm] d [cm] D [cm] v z [m/s] T [µs] λ [mm] 292 3 1 342 25,7 8,7894 N = 1 N = 2 h [cm] I 1 [mv] I 2 [mv] I I 1 [mv] I 2 [mv] I 0 94,3 109 101,65 246 255 250,5 0,3 54,3 59,1 56,7 244 249 246,5 0,8 51,6 53,4 52,5 228 266 247 1,3 98,5 98,5 98,5 282 391 336,5 1,8 103 109 106 521 466 493,5 2,3 55,5 54,6 55,05 538 471 504,5 2,8 57 61 59 448 363 405,5 3,3 90,9 98,3 94,6 452 365 408,5 3,8 49,9 64,8 57,35 288 248 268 4,3 40,4 37,8 39,1 215 264 239,5 4,8 51,9 50,6 51,25 249 296 272,5 5,8 368 368 368 6,3 194 303 248,5 Tabulka 4: Tabulka naměřených hodnot při měření difrakce a interference při 1 resp. 2 štěrbinách; I 1, I 2 jsou intenzity naměřeného signálu, I jejich průměr, h kolmá vzdálenost od osy ve vzdálenosti l od paraboly, d mřížková konstanta (vzdálenost mezi středy sousedních štěrbin) D šířka štěrbiny, v z rychlost zvuku určená v předchozí části, T perioda vlnění, λ vlnová délka korespondenci s teorií by bylo nutné tento faktor započítat. Obecně byly výsledky zatíženy velkou statistickou chybou signál na osciloskopu velmi kolísal. 2.7 Závěr Rychlost zvuku jsme naměřili s dostatečnou přesností, difrakci na mřížce s pěti štěrbinami také poměrně obstojně. Zákon odrazu jsme ověřili, ovšem měření bylo velmi nepřesné. Dopplerův jev se nám prokázat nepodařilo. 3 Použitá literatura Reference [1] Kolektiv KF, Návod k úloze: Studium ultrazvukových vln [Online], [cit. 2. listopadu 2012] http://praktikum.fjfi.cvut.cz/pluginfile.php/123/mod resource/content/2/8 Sonar.pdf [2] J. Tolar, Vlnění, optika a atomová fyzika [Online], [cit. 2. listopadu 2012] http://www.fjfi.cvut.cz/files/k402/files/skripta/voaf/voaf2008.pdf [3] Neznámý autor, File:Christian Doppler.jpg [Online], [cit. 2. listopadu 2012] http://commons.wikimedia.org/wiki/file:christian Doppler.jpg Část I Zpracování výsledků Pro statistické zpracování budeme potřebovat následující vztahy [1]: Aritmetický průměr x = 1 n x i (11) n i=1 9
l [cm] d [cm] D [cm] v z [m/s] T [µs] λ [mm] 95,3 3 1 342 25,7 8,7894 I [mv] h [cm] 933 0 1230 0,8 1320 1,8 767 3,8 974 5,8 792 7,8 408 9,8 405 11,8 348 13,8 303 15,8 269 17,8 321 19,8 739 21,8 1000 23,8 900 25,8 516 27,8 485 29,8 610 31,8 Tabulka 5: Tabulka naměřených hodnot při měření difrakce a interference při 5 štěrbinách; I je intenzita naměřeného signálu, h kolmá vzdálenost od osy ve vzdálenosti l od paraboly, d mřížková konstanta (vzdálenost mezi středy sousedních štěrbin) D šířka štěrbiny, v z rychlost zvuku určená v předchozí části, T perioda vlnění, λ vlnová délka Směrodatná odchylka σ x = 1 n (x i x) 2, (12) n 1 kde x i jsou jednotlivé naměřené hodnoty, n je počet měření, x aritmetický průměr a σ x směrodatná odchylka. Jedná-li se o nepřímé měření, spočítáme výslednou hodnotu a chybu dle následujících vztahů: Necht u = f(x, y, z,...) (13) i=1 x = (x ± σ x ), y = (y ± σ y ), z = (z ± σ z ),..., kde u je veličina nepřímo určovaná pomocí přímo měřených veličin x, y, z,... Pak u = f(x, y, z,...) σ u = 4 Použitá literatura Reference ( f x ) 2 σ 2 x + ( ) 2 f σy y 2 + u = (u ± σ u ), [1] Kolektiv KF, Chyby měření [Online], [cit. 2. listopadu 2012] http://praktikum.fjfi.cvut.cz/documents/chybynav/chyby-o.pdf ( ) 2 f σz z 2 +... (14) 10