Mechanické pokusy na vzduchové dráze

Transkript

1 Fyzikální praktikum FJFI ČVUT v Praze Úloha č. 3 : Mechanické pokusy na vzduchové dráze Jméno: Ondřej Ticháček Pracovní skupina: 6 Kruh: ZS 6 Datum měření: Klasifikace: Část I Mechanické pokusy na vzduchové dráze 1 Zadání 1. Elastické srážky: Při měření použijte 2 vozíčky o různých hmotnostech. Zvažte na digitálních vahách. Jeden z nich ponechte před srážkou v klidu, druhému udělte nenulovou počáteční rychlost pomocí startovacího zařízení. Pro každou ze 3 startovacích rychlostí proved te minimálně 10 měření. Poté obrat te konfiguraci vozíčků a měření opakujte. Celkově tedy máte alespoň 60 měření. Počet měření je bezpodmínečně nutné dodržet, bez potřebné statistiky nebudete schopni zpracovat výsledky měření. (a) Z naměřených dat rychlostí prvního vozíčku zjistěte s jakou přesností jste schopni měřit rychlost v. Tuto chybu určete zvlášt pro každou startovací rychlost a obě hmotnosti vozíčků. Do grafu naneste závislost relativní a absolutní chyby rychlosti v závislosti na velikosti startovací rychlosti. Rozmyslete si, jaký je rozdíl mezi systematickou a statistickou chybou a která z nich je pro vaše měření zásadní, t.j. se kterou budete počítat. (b) S použitím získané přesnosti měření rychlosti zjistěte s jakou přesností můžete měřit hybnost p a energii E (přesnost měření hmotnosti berte dle použitého přístroje). Určete, jak se vámi změřené celkové hybnosti resp. energie před a po srážce musí lišit, abyste je v rámci chyby měření mohli prohlásit za shodné. Pečlivě si rozmyslete, kolikrát se vám do finálního výsledku chyba rychlosti, potažmo hybnosti a energie promítne, zopakujte si jak sčítáme, odečítáme a násobíme veličiny s chybou. (c) Z rychlosti vozíčků před srážkou a po srážce zjistěte změnu hybnosti p a změnu energie E pro každou ze startovacích rychlostí a obě konfigurace vozíčků. Diskutujte, zda výsledek odpovídá očekávanému, tedy zda je změna hybnosti a energie v rámci předpokládaného chybového intervalu (s přesností 1σ, 2σ nebo 3σ). Rozhodněte, zda můžete zákony zachování považovat za ověřené. (d) Do grafu vyneste závislost celkové hybnosti po srážce p na celkové hybnosti před srážkou p a závislost celkové energie po srážce E na celkové energii před srážkou E. V obou závislostech zobrazte i errorbary (viz poznámky na konci návodu) s předpokládanou chybou měření. Do grafu zaneste přímku ideálního případu kdy p = 0, E = 0 a diskutujte zda jste graficky dokázali či nedokázali zákony zachování. 2. Průběh síly: Pomocí tlakového senzoru změřte průběh síly při odrazu vozíku. Vypočtěte změnu hybnosti pomocí integrálu průběhu síly a srovnejte ji se změnou hybnosti změřené pohybovým senzorem. Opakujte měření pro každou startovací rychlost alespoň 10x. Vyneste do grafu změnu hybnosti naměřenou silovým senzorem v závislosti na změně hybnosti určené pohybovým senzorem, opět i errorbary. Body proložte přímkou a diskutujte rozdíl směrnice a posunu přímky oproti ideálnímu případu a = 1, b = 0. 2 Vypracování 2.1 Použité přístroje Vzduchová dráha s příslušenstvím, digitální váhy, pohybový senzor PASCO (2x), silový senzor PASCO, PC, program DataStudio 1

2 2.2 Teoretický úvod Zákony zachování Zachovávající-se veličiny izolované soustavy těles, kterými se budeme v úloze zabývat jsou celková hybnost, rychlost těžiště, celkový moment hybnosti a celková energie. Jednotlivá tělesa (částice) si označíme indexy a jejich vlastnosti zapíšeme jako m i, r i, v i, p i, (1) které jsou po řadě hmotnost, poloha, rychlost a hybnost. Zákon síly pro každé těleso (v soustavě o N tělesech) má tvar N F i = F ij. (2) j=1,i j Dále budeme značit celkovou hybnost soustavy P a výslednici vnějších sil působících na soustavu F e, které definujeme N N P = P i a F e = F i e. (3) Základním vztahem, který dává tyto veličiny do souvislosti je první věta impulsová i=1 i=1 d P dt = F e. (4) Nepůsobí-li na soustavu vnější síly, platí P = const. Což je zákon zachování celkové hybnosti izolované soustavy. Pokud vyjádříme rychlosti všech bodů v soustavě jako v i = v i + V dostaneme po snadných úpravách kde M je celková hmotnost soustavy. Položíme-li P = O, máme P = P + M V, (5) P V = M = i m i v i. (6) V soustavě si tedy můžeme představovat bod R, který se pohybuje rychlostí V a chová se tak, jako kdyby v něm byla soustředěna celá hmotnost soustavy. R = i m i r i. (7) Platí: P = MV dp, dt = M d V dt = F e (8) Označíme celkovou energii soustavy jako E. Kinetická energie je definována vztahem Jsou-li vnitřní síly konzervativní, zavádíme potenciální energii U(x, y, z) tak, že i m i Celkovou energii soustavy pak definujeme E = T + U. Platí i m i kde Q e je výkon vnějších sil. Je-li soustava izolovaná, je Q e = O a tedy T = 1 2 m i v 2 i. (9) F i = i U. (10) de dt = Qe, (11) E = T + U = const. (12) 2

3 2.2.2 Impuls síly a změna hybnosti Impuls síly I vyjadřuje časový účinek síly. Působí-li na částici síla F (t) po dobu τ = t 2 t 1, je impuls síly definován t2 I = t 1 F (t) dt = t2 t 1 d p = p 2 p 1. (13) Pokud je působící síla krátkodobá neznáme často její průběh a zavádíme střední sílu působící na těleso vztahem Srážky dvou těles F = 1 τ t2 t 1 F dt, tedy I = F τ (14) Předpokládejme elastickou srážku dvou těles o hmotnostech m 1, m 2. Kinetická energie T = p2 2m zákon zachování energie má tvar p p2 2 = p p 2 2 (15) 2m 1 2m 2 2m 1 2m 2 a zákon zachování hybnosti jako p 1 + p 2 = p 1 + p 2, (16) kde p 1, p 2 jsou hybnosti před srážkou a p 1, p 2 hybnosti po srážce. Pokud je jedno z těles klidu (např. tedy p 2 = 0 ), dostaneme vztah pro rozdělení hybnosti po srážce p 1 = m 1 m 2 m 1 + m 2 p 1 = 1 ω 1 + ω p 1, (17) p 2 = 2m 2 m 1 + m 2 p 1 = ω p 1, (18) kde ω = m1 m 2. Pokud srážka není elastická, zachovává se pouze hybnost. Stupeň pružnosti při takové srážce udáváme pomocí tzv. koeficientu restituce k = v 1 v 2 v 1 v 2. (19) Koeficient restituce můžeme také stanovit z impulsů síly při přímém (I 1 ) a zpětném (I 2 ) pohybu tělesa (viz obr. 1 (vpravo)) k = I 2 I 1. (20) Je-li ráz dokonale pružný, je k = 1, je-li dokonale nepružný, je k = 0. Koeficient restituce závisí na materiálu těles a částečně na rychlosti srážky. Je-li rychlost nárazu malá, k se blíží 1. Obrázek 1: Střední hodnota působící síly (vlevo) a impuls síly při přímém a zpětném pohybu tělesa (vpravo) [1] Obrázek 1: Střední hodnota působící síly (vlevo) a impulz síly při přímém a zpětném pohybu tělesa (vpravo) 3.3 Zákony při srážkách dvou těles Předpokládejme elastickou srážku dvou těles o hmotnostech m 1 a m 2. Víme-li, že E k = p2 2m, lze zákon zachování energie a zákon zachování hybnosti zapsat jako 3 p 1 + p 2 2m 1 2m 2 = p 1 + p 2, 2m 1 2m 2 (25) p 1 + p 2 = p 1 + p 2, (26)

4 2.3 Postup měření Všechny úkoly realizujeme s použitím vzduchové dráhy. Před začátkem měření je nutné dráhu pečlivě vyrovnat do vodorovné polohy resp. tak, aby byla jen nepatrně nakloněná směrem dolů u startovacího mechanismu. To je potřebné pro dosažení stejné startovací rychlosti při různých startech. Dále musíme vhodně zvolit tlak vzduchu, který zmenšuje tření na vzduchové dráze čím větší tlak vzduchu je, tím menší je tření, ale více se projevuje nerovnoměrnost jeho rozložení. Nakonec nastavíme odrazové plochy na vozíčcích a pohybové senzory tak, abychom dostávali kvalitní data bez chyb (ty se většinou projevují velmi významnou odchylkou určité hodnoty, nebo neregistrací některých pohybů v určitých částech dráhy). Úkol 1, tj. ověřování zákonů zachování energie a hybnosti při elastických srážkách provádíme se dvěma vozíčky různé hmotnosti. Vozíčky nejdříve zvážíme a pak umístíme na dráhu. Nejdříve měříme s těžším vozíčkem na startovní pozici (tj. na začátku dráhy) a s lehčím přibližně uprostřed (resp. do přesné polohy, která je přibližně uprostřed dráhy). Lehčímu vozíčku dodáme startovacím mechanismem hybnost a pozorujeme (pomocí pohybových senzorů v programu DataStudio) průběh srážky. Po srážce vozíčky vrátíme do původního stavu a opakujeme (celkově 10-krát). Startovací mechanismus může vozíčky vystřelovat v třech různých rychlostech. Po prvních deseti startech rychlost změníme a pozorujeme průběh srážek při zbývajících počátečních rychlostech, pro každou deset měření. Poté prohodíme těžší vozíček s lehčím a celé měření opakujeme. Nakonec tedy máme zaznamenáno alespoň 60 jednotlivých srážek. Pro druhý úkol budeme používat jen těžší vozíček (kvůli přesnější startovací rychlosti). Vozíček opět vystřelíme 10-krát pro každou startovací rychlost proti silovému senzoru na konci dráhy. Ten zde musí být dobře upevněn (zatížen), jinak se vlivem nárazu odsune. 2.4 Naměřené hodnoty Viz strany m a [kg] m b [kg] m c [kg] ± ± ± Tabulka 1: Naměřené hmotnosti vozíčků, vozíčky a a b byly použity pro srážky vozíčků, vozíček c pro měření impulsu síly 2.5 Diskuze a Závěr Z naměřených dat je patrné, že rychlost jsme schopni měřit přesněji pro těžší vozíček než pro vozíček lehčí. Chyba ještě více závisí na tom, kterou ze tří úrovní rychlosti jsme vozíček startovacím mechanismem vystřelili. Pro první úroveň (nejmenší rychlost) relativní chyba měření rychlosti dosahuje až 10 %, u druhého stupně je to do 6 % pro lehčí, resp. 3 % pro těžší vozíček, u třetího stupně (nejvyšší rychlost) je relativní chyba menší než 3 %. Přesnost měření energie byla při srážce lehčí vozíček těžší vozíček J, J a J po řadě pro nejmenší až největší startovací rychlost. Při srážce těžší vozíček lehčí vozíček byla tato přesnost J, J a J opět v pořadí velikosti startovacích rychlostí. Přesnost měření hybnosti byla při srážce lehčí vozíček těžší vozíček 0.01 kgm/s, kgm/s a kgm/s po řadě pro nejmenší až největší startovací rychlost. Při srážce těžší vozíček lehčí vozíček byla tato přesnost kgm/s, kgm/s a kgm/s opět v pořadí velikosti startovacích rychlostí. Změna energie před srážkou a po srážce byla při srážce lehčí vozíček těžší vozíček určena na J, 0.01 J, 0.02 J po řadě pro nejmenší až největší startovací rychlost. Při srážce těžší vozíček lehčí vozíček byla tato změna určena na J, J, 0.01 J opět v pořadí velikosti startovacích rychlostí. Pro malé rychlosti je tedy změna energie v rámci předpokládaného chybového intervalu, pro větší již nikoli. Změna hybnosti před srážkou a po srážce byla při srážce lehčí vozíček těžší vozíček určena na kgm/s, 0.02 kgm/s, 0.04 kgm/s po řadě pro nejmenší až největší startovací rychlost. Při srážce těžší vozíček lehčí vozíček byla tato změna určena na kgm/s, kgm/s, 0.01 kgm/s opět v pořadí velikosti startovacích rychlostí. Pro malé rychlosti je tedy změna hybnosti v rámci předpokládaného chybového intervalu, pro větší již nikoli. Zákony zachování energie a hybnosti jsme ověřit nemohli, odchylka od předpokládaného tvaru byla příliš velká a nebyla vždy v intervalu předpokládané chyby měření. Přesto je z grafů viděl, že naše data zákony zachování přibližně kopírují takže nám hrubou představu dát mohou. Měření by bylo přesnější, pokud bychom znali rychlosti vozíčků s větší přesností, tedy pokud bychom měli přesnější startovací mechanismus. Dále jsme ve 4

5 výpočtech uvažovali rychlost druhého vozíčku před srážkou za nulovou, což nebyla vždy úplně pravda, přestože tato rychlost byla velmi malá. Dále jsme uvažovali, že dráha je úplně vodorovná a nemění se tak potenciální energie vozíčků. Tento předpoklad rovněž zvyšoval chybu měření. Nejvíce ovšem měření ovlivňovalo tření, které přes použití vzduchové dráhy nebylo nulové a bylo by vhodné jej změřit a zahrnout do výpočtů. Při měření impulsu síly jsme dostali vztah I = a p + b, kde a = ± , b = ± Oproti ideálnímu případu, kdy a = 1 a b = 0 je u parametru a poměrně velká odchylka. Vzhledem k rozsahům na kterých se naměřené hodnoty pohybovaly je naopak parametr b poměrně malý. Přesnost tohoto měření je ovlivněna stejnými parametry jako u předchozího případu srážek dvou těles. Navíc je přesnost měření zatížena chybou silového senzoru, kterou neznáme. Část II Zpracování výsledků Pro statistické zpracování budeme potřebovat následující vztahy [2]: ˆ Aritmetický průměr x = 1 n x i (21) n i=1 ˆ Směrodatná odchylka σ x = 1 n (x i x) 2, (22) n 1 kde x i jsou jednotlivé naměřené hodnoty, n je počet měření, x aritmetický průměr a σ x směrodatná odchylka. Jedná-li se o nepřímé měření, spočítáme výslednou hodnotu a chybu dle následujících vztahů: Necht u = f(x, y, z,...) (23) i=1 x = (x ± σ x ), y = (y ± σ y ), z = (z ± σ z ),..., kde u je veličina nepřímo určovaná pomocí přímo měřených veličin x, y, z,... Pak u = f(x, y, z,...) σ u = 3 Použitá literatura Reference ( f x ) 2 σ 2 x + ( ) 2 f σy y 2 + u = (u ± σ u ), ( ) 2 f σz z (24) [1] Kolektiv KF, Návod k úloze: Vzduchová dráha [Online], [cit. 8. května 2013] resource/content/6/vzduchova draha pdf [2] Kolektiv KF, Chyby měření [Online], [cit. 8. května 2013] 5

6 v1 [m/s] σv1 [m/s] v 1 [m/s] σ v 1 [m/s] v 2 [m/s] σ v 2 [m/s] p [kgm/s] σp [kgm/s] p [kgm/s] σ p [kgm/s] p [kgm/s] E [J] σe [J] E [J] σ E E ± ± ± 0.02 p : E : σ: ± ± ± 0.02 p : E : σ: ± ± ± p : E : σ: Tabulka 2: Naměřená data při srážce lehčí vozíček těžší vozíček: v1 je rychlost prvního vozíčku před srážkou, σv1 chyba fitu této rychlosti (z programu DataStudio), v 1, v 2 jsou rychlosti vozíčků po srážce σv, σ v jejich chyby, p, p jsou hybnosti soustavy před srážkou a po srážce, σp a σp jejich chyby, E, E jsou energie soustavy před srážkou a po srážce, σe, σe 1, σ 2 jejich chyby, p, p jejich chyby, p a E jsou rozdíly hybnosti resp. energie před srážkou a po srážce 6

7 v1 [m/s] σv1 [m/s] v 1 [m/s] σ v 1 [m/s] v 2 [m/s] σ v 2 [m/s] p [kgm/s] σp [kgm/s] p [kgm/s] σ p [kgm/s] p [kgm/s] E [J] σe [J] E [J] σ E E ± ± ± σ: ± ± ± 0.01 p : E : σ: ± ± ± 0.02 p : E : σ: Tabulka 3: Naměřená data při srážce těžší vozíček lehčí vozíček: v1 je rychlost prvního vozíčku před srážkou, σv1 chyba fitu této rychlosti (z programu DataStudio), v 1, v 2 jsou rychlosti vozíčků po srážce σv, σ v jejich chyby, p, p jsou hybnosti soustavy před srážkou a po srážce, σp a σp jejich chyby, E, E jsou energie soustavy před srážkou a po srážce, σe, σe 1, σ 2 jejich chyby, p, p jejich chyby, p a E jsou rozdíly hybnosti resp. energie před srážkou a po srážce 7

8 v1 [m/s] σv1 [m/s] v 1 [m/s] σ v 1 [m/s] p [kgm/s] σp [kgm/s] p [kgm/s] σ p [kgm/s] I [kgm/s] p [kgm/s] σ p [kgm/s] ± ± ± ± ± ± 0.02 Tabulka 4: Naměřená data při měření impulsu síly: v1, v 1 jsou rychlosti vozíčku před srážkou a po srážce,, σ σv1 v 1 jejich chyby (chyby fitu z programu DataStudio) p, p jsou hybnosti vozíčku před srážkou a po srážce, σp, σp jejich chyby, I je Impuls síly naměřený na silovém senzoru, p je rozdíl hybností vozíčku před a po srážce, σ p jeho chyba 8

9 Obrázek 2: Graf závislosti hybnosti soustavy po srážce p na hybnosti soustavy před srážkou p. 9

10 Obrázek 3: Graf závislosti energie soustavy po srážce E na hybnosti soustavy před srážkou E. 10

11 Obrázek 4: Graf závislosti impulsu síly I na změně hybnosti soustavy před srážkou a po srážce p. Fit má předpis I = a p + b, kde a = ± , b = ±

12 Obrázek 5: Graf závislosti relativní a absolutní chyby na rychlosti vozíčku. 12