Fyzikální praktikum FJFI ČVUT v Praze Úloha 8: Kondenzátor, mapování elektrostatického pole atum měření: 8. 10. 2015 Skupina: 8, čtvrtek 7:30 Vypracoval: Tadeáš Kmenta Klasifikace: 1 Zadání 1. Ú: Odvoďte kapacitu C deskového kondenzátoru. 2. Ú: Pro deskový kondenzátor stanovte závislost poměru S plochy desek S a d vzdálenosti d mezi nimi jako funkci náboje Q a napětí U. Následně spočítejte hodnotu S pro vzduchový kondenzátor s volbou Q = Q d max = 50 μc a U = U max = 100 kv. 3. Změřte průrazné napětí U mezi deskami kondenzátoru pro deset různých vzdáleností desek d. Náboj přivádějte až do průrazu mezi deskami kondenzátoru. Průrazné napětí U určete prostřednictvím silového působení na vahách ve chvíli průrazu a vztahu 13. Z naměřených hodnot průrazného napětí U pro různé vzdálenosti d určete následně dielektrickou pevnost vzduchu a porovnejte ji s tabulkovou hodnotou pro suchý vzduch. iskutujte důvod případné odlišnosti hodnot. 4. Změřte přitažlivé síly mezi deskami kondenzátoru v závislosti na doskoku jiskřiště s pro tři různé vzdálenosti desek d. Náboj přivádějte až do průrazu na kulovém jiskřišti s mikrometrickým šroubem, paralelně připojenému k deskovému kondenzátoru. Ze silového působení spočítejte napětí a ze vztahu v poznámce se pokuste určit neznámou funkci f( s ) ze vztahu 14 vzhledem k podmínce 15 a monotónnosti funkce u doskoku s. Experimentální data a nalezenou funkci zpracujte do grafu. 5. Zvolte si dvě konfigurace elektrod, nastavte na nich napětí cca 10 V a zmapujte potenciál v síti 12 12 bodů. V domácím vyhodnocení proveďte grafické zpracování naměřených dat. 2 Pomůcky Wimshurstova elektrika, váhy, deskový kondenzátor, podstavec, sada vodičů, mikrometr, zkratovač, regulovatelný zdroj 12 V, souprava pro mapování elektrostatického pole, voltmetr, PC. 1
3 Teoretický úvod 3.1 Kondenzátor eskový kondenzátor je složen ze dvou vodivých elektrod desek, které jsou schopny uchovat elektrický náboj. esky jsou odděleny dielektrikem. Kondenzátor je charakterizován svou kapacitou C jakožto poměr velikosti náboje Q na každé z elektrod a přivedeným napětím U. C = Q U (1) Pro sílu, kterou se přitahují desky kondenzátoru, platí vztah F = 1 U2 ε 2 d 2 S (2) kde ε je permitivita dielektra vzduchu, U přivedené napětí, d vzdálenost desek a S plocha desek kondenzátoru. Pro plochu S a vzdálenost mezi deskami d bude intenzita pole v deskovém kondenzátoru rovna E = σ ε = Q εs Napětí na deskovém kondenzátoru je rovno U = E d = Qd εs Pro kapacitu deskového kondenzátoru tedy platí C = ε S d (3) (4) (5) Pro poměr plochy desek S a vzdálenosti d platí následující vztah (ε ε 0 ) S d = Q εu = Q max = 56.5m εu max ielektrická pevnost je konstanta, která vyjadřuje odolnost dielektrika vůči elektrickému poli. Je definovaná E p = U p d kde U p je velikost elektrického napětí a d délka. Po dosažení intenzity pole E = E p dochází k vodivosti dielektrika a tedy k průrazu. Pro suchý vzduch je hodnota dielektrické pevnosti rovna E p = 3.0 MV m 1. Pro průrazné napětí, měřené na kulovém jiskřišti je platný vzorec U = 27.75 (1 + 0.757 δ ) δ s f ( s ), (7) δ = b 273 + 20 760 273 + t kde U je průrazné napětí [kv], s doskok, tedy vzdálenost mezi kuličkami jiskřiště [cm], průměr koulí jiskřiště [cm], δ je relativní hustota vzduchu, b barometrický tlak [Torr], t teplota [ C]. Funkce f = f( s ) je závislá na poměru s a na poloze jiskřiště proti zemi, tedy na geometrické pravidelnosti elektrického pole. Obecně platí, že pokud je poměr s roven nule, je hodnota funkce rovna jedné a se vzrůstajícím doskokem s je funkce f( s ) rostoucí. (6) 2
3.2 Mapování elektrostatického pole Intenzitu elektrostatického pole E v daném bodě prostoru definujeme jako elektrostatickou sílu F na jednotkový náboj q 0. E = F q 0 (8) Experimentálně ovšem nemůžeme mapovat elektrické pole přímo, proto použijeme nepřímé metody stanovením pole z ekvipotencionálních ploch. Potenciálový rozdíl U = φ 1 φ 2 je definován jako práce W potřebná k přemístění jednotkového náboje q 0 z jednoho místa elektrického pole na druhé. Elektrické pole je záporně vzatý gradient potenciálu U = W q 0 (9) E = φ (10) 4 Postup měření 4.1 Průraz na deskách kondenzátoru Provedeme vyrovnání vah pomocí předních otočných nožiček vah. Kondenzátor se skládá ze dvou kruhových desek. Pro výpočet plochy S kruhových desek jsme změřili jejich průměr l. Spodní deska je umístěna na posuvném stojanu a nastavením její pozice lze volit vzájemnou vzdálenost d mezi deskami. Vzdálenost mezi deskami měříme mikrometrem. Vrchní deska je zavěšena na váze. esky kondenzátoru musí být vůči sobě umístěný paralelně. Vyrovnání provádíme pomocí malého závaží umístěného na vrchní desce. Kondenzátor připojíme paralelně k elektrodám Wimshurstovy elektriky. áváme si pozor, aby se vodiče nebyly blízko sebe a nedocházelo tak k případným ztrátám náboje. Součástí Wimshurstovy elektriky jsou kulová jiskřiště ty dáme dostatečně daleko od sebe, aby na nich nedocházelo k průrazu vzduchu. Provedeme kalibraci vah pomocí otáčecího mechanismu na vahách. Při otáčení klikou Wimshurstovy elektriky se na každé desce bude akumulovat náboj opačného znaménka, čímž mezi nimi začne působit přitažlivá síla ze vztahu 2, kterou můžeme měřit prostřednictvím váhy. Z vah odečítáme hodnotu hmotnosti v momentě průrazu. Pro získání síly je potřeba ji přenásobit tíhovou konstantou g 9.81 m s 2. Měření jsme provedli pro deset různých hodnot vzdálenosti d. Po každém měření jsme Wimshurstovu elektriku zkratovali, nechali ustálit, popřípadě provedli kalibraci vah a zkontrolovali paralelní zapojení desek. Ze změřené velikost síly F, která působí mezi deskami kondenzátoru v momentě průrazu, jde ze vztahu 2 určit hodnota napětí U mezi deskami při průrazu. Z vypočtených hodnot napětí U lze určit dielektrickou pevnost vzduchu E p vztahem 6. 4.2 Průraz na kulovém jiskřišti Pomocí mikrometru určíme průměr koulí kulového jiskřiště s mikrometrickým šroubem. ále si zapíšeme barometrický tlak v místnosti b [Torr] a teplotu v místností t [ C]. Připojíme kulové jiskřiště s mikrometrickým šroubem paralelně k deskovému kondenzátoru, který je již z předešlého měření zapojen k Wimshurstově elektrice a vahám. Překontrolujeme zapojení, zkalibrujeme váhy, zkontrolujeme paralelní zapojení desek a nastavíme první ze tří vzdáleností d na deskách kondenzátoru. Pro tuto vzdálenost volíme deset různých hodnot 3
doskoku s, vzdáleností mezi kuličkami jiskřiště. Vzdálenosti d i s volíme tak, aby k průrazu docházelo na kulovém jiskřišti a nikoliv na deskovém kondenzátoru. Pomocí Wimshurstovy elektriky přivádíme náboj až do průrazu na kulovém jiskřišti. Stejné množství náboje je z důvodu paralelního zapojení jiskřiště a kondenzátoru přiváděno též na deskový kondenzátor, kde způsobuje přitažlivou sílu F, určenou pomocí vah. Po každém průrazu zkratujeme Wimshurstovu elektriku a překontrolujeme váhy a paralelní zapojení desek kondenzátoru. Stejným postupem jako v předešlém úkolu jsme určili napětí U mezi deskami kondenzátoru ze znalosti přitažlivé síly F v momentě průrazu na kulovém jiskřišti. Pro těchto třicet hodnot napětí U jsme spočítali hodnotu funkce f( s ) vyjádřené ze vztahu 7 a následně vynesli do grafu závislost funkce f( s ) na podílu s doskoku s a průměru koulí jiskřiště. Hodnoty jsme nafitovali vhodnou funkcí vzhledem k platnosti, že pokud je poměr s roven nule, je hodnota funkce rovna jedné a se vzrůstajícím doskokem s je funkce f( s ) rostoucí. 4.3 Mapování elektrostatického pole Síť bodů rozsahu 13 12 jsme pomocí papírku upravili na síť 12 12. Nad tuto síť jsme umístili skleněnou misku s vodou. Ze zdroje jsme vedli napětí 12V na elektrody, které jsme zcela ponořili do vody v misce. Jednu měřící elektrodu voltmetru jsme trvale připojili na elektrodu se záporným potenciálem, čímž jsme nastavili hladinu nulového potenciálu φ 0. Voltmetrem jsme určovali rozdíl potenciálů mezi elektrodou a každými body na síti. A tak jsme každé souřadnici [x,y] přiřadili její hodnotu potenciálu φ, čímž získali soubor 144 hodnot [x,y,φ], které jsme použili ke grafickému zpracování. První konfiguraci elektrod tvořily dvě dlouhé rovnoběžně zapojené elektrody opačné polarizace na krajích sítě. ruhá konfigurace byla tvořena bodovou elektrodou uprostřed a kruhovou elektrodou. 5 Naměřené hodnoty 5.1 Průraz na deskách kondenzátoru Kruhové desky kondenzátoru mají průměr l = 168 mm a tedy plochu S = π l2 4 = 7056π mm2 221.7 cm 2 V tabulce 1 jsou uvedeny hodnoty vzdáleností mezi deskami d, naměřená hmotnost m, vypočtená tíhová síla F, s pomocí vzorce 2 vypočtené napětí U při ε ε 0 (vzduch) a vypočtená dielektrická pevnost E p vzorcem 6. d[mm] m [g] F [mn] U [V] E p [kv m 1 ] 2.3 7.5 73 1991 866 3.6 11.4 112 3843 1068 4.3 14.4 141 5159 1200 5.4 18.5 181 7343 1360 6.7 23.5 231 10268 1533 8.9 31.6 310 15817 1777 9.6 33.7 331 17619 1835 10.0 34.0 334 18435 1844 10.8 35.8 351 20430 1892 11.8 36.5 358 22539 1910 Tabulka 1: Průraz na deskách kondenzátoru 4
5.2 Průraz na kulovém jiskřišti Průměr koulí kulového jiskřiště = 9.5 mm. Teplota v místnosti t = 22.7. Tlak v místnosti b = 744 Torr. V tabulkách 2, 3 a 4 pro vzdálenosti desek d jsou uvedeny hodnoty doskoku s, naměřená hmotnost m, vypočtená tíhová síla F a s pomocí vzorce 2 vypočtené napětí U při ε ε 0 (vzduch). ále je uvedena hodnota s a ze vztahu 7 vypočtena hodnota f(s ). V obrázku 1 jsou znázorněny hodnoty f( s ) na hodnotách s pro tři vzdálenosti d desek kondenzátoru. Hledaná funkce f( s ) bude tvaru f (s ) = a s + b, přičemž by měla být rostoucí, a procházet bodem [0;1]. Hodnoty pro vzdálenost d = 10.9 mm jsou proloženy nafitovanou funkcí: f ( s ) = 0.7 s +1.65 Hodnoty pro vzdálenost d = 11.9 mm jsou proloženy nafitovanou funkcí: f ( s ) = 0.49 s +1.60 Hodnoty pro vzdálenost d = 12.8 mm jsou proloženy nafitovanou funkcí: f ( s ) = 0.30 s +1.53 5
Obrázek 1: Hodnoty f(s/) pro tři různá d S pomocí aritmetického průměru a směrodatné odchylky je neznámá funkce f ( s ) rovna f ( s ) = 0.50 s + 1.59 Kde tedy a = 0.50 ± 0.17 a b = 1.59 ± 0.05. 5.3 Mapování elektrostatického pole Na obrázku 2 je znázorněno mapování elektrostatického pole pro konfiguraci dvou dlouhých rovnoběžných elektrod s opačnou polarizací zapojených na krajích sítě Obrázek 2: Elektrostatického pole rovnoběžných elektrod 6
Na obrázku 3 je znázorněno mapování elektrostatického pole pro kruhovou elektrodu a uprostřed je bodová elektroda opačné polarity. Obrázek 3: Elektrostatické pole kruhové a bodové elektrody 6 iskuse 6.1 Průraz na deskách kondenzátoru Při průrazu na kondenzátoru jsme očekávali napětí u vzdálenosti d = 10 mm okolo 30 kv. My jsme ovšem naměřili napětí 18.5kV, tedy o více než třetinu menší. Nutno podotknout, že měření probíhala u pootevřeného okna, když venku zrovna pršelo a tak je hodnota nízká pravděpodobně z důvodu vyšší vlhkosti a ionizaci vzduchu (časté výboje na kondenzátoru). Ten potom vede elektrický proud lépe než suchý vzduch. Měření hmotnosti navíc bylo dost složité, vzhledem k neustále fluktuující hodnotě hlavně při průrazu, a odečíst ji správně znamenalo opakovat měřené téže vzdálenosti vícekrát a i přes to, je hmotnost pravděpodobně zatížena velkou chybou v řádu procent. ále lze chybu přičíst mírnému kmitání desek, které tak měnily vzdálenost mezi deskami. Všímali jsme si, že k průrazu docházelo spíše na okrajích desek a nikoliv uprostřed, což může mít souvislost s okrajovými jevy kondenzátoru a výše zmíněným mírným kmitáním desek. Z vypočtených hodnot napětí jsme měli určit dielektrickou pevnost vzduchu. Očekávali jsme výsledek okolo 3 MV m 1, ovšem naše hodnoty jsou intervalem od 0.866 do 1.910 MV m 1. Čekali jsme nižší hodnotu vzhledem k vlhkosti a ionizaci vzduchu ovšem náš výsledek v podobě rovnoměrně uspořádaných hodnot v intervalu je zarážející a odporuje teorii. Pravděpodobně docházelo k systematické chybě, popřípadě je navržený postup měření špatný. 6.2 Průraz na kulovém jiskřišti Měření přitažlivé síly desek kondenzátoru a následné vypočítávání síly probíhalo obdobně jako v předchozím úkolu s tím rozdílem, že se průraz odehrával na paralelně zapojeném kulovém jiskřišti. Měření je tedy zatíženo obdobně velkou chybou jako v předchozím úkolu se stejnou argumentací. ále jsme nalézali funkci f ( s ) přičemž z teorie plynulo, že má jít o rostoucí funkci procházející bodem [0;1]. Bohužel jsme pro všechny tři různé vzdálenosti desek kondenzátoru nafitovali klesající trend funkce, který bodem [0;1] neprochází. Stejně jako v předchozím úkolu 7
nevíme, proč se nepodařili teorii experimentálně dokázat a pravděpodobně tedy docházelo k systematickým chybám, či je navržený postup špatný a vzdálenosti se musí volit větší. 6.3 Mapování elektrostatického pole Teoreticky měly být potenciálové hladiny přímky respektive kružnice, ale s mírnými výchylkami se počítalo, jelikož byly elektrody narezavělé, voda nemusela být všude rovnoměrně rozložená, síť mohla být trochu pootočená, takže mapování elektrostatického pole dopadlo podle očekávání. 7 Závěr Odvození kapacity C deskového kondenzátoru je popsáno v teoretickém úvod a platí pro ni vztah C = ε S d. Pro poměr plochy desek S a vzdálenosti d platí vztah S = Q, pro Q d εu max resp. U max potom dostáváme Q max = 56.5 m. εu max Ve třetím úkolu jsme změřili přitažlivou sílu mezi deskami kondenzátoru, z které jsme následně určili průrazné napětí. Následné počítání dielektrické pevnosti dopadlo zcela mimo očekávání, když místo konstanty 3 MV m 1 nám vyšel interval rovnoměrně rostoucích hodnot od 0.866 do 1.910 MV m 1. V následujícím úkolu jsme změřili přitažlivé síly deskového kondenzátoru v závislosti na doskoku s kulového jiskřiště a vypočítali z ní hodnotu průrazného napětí. Neznámá funkce f( s ) měla být lineárně rostoucí a procházet bodem [0;1]. Naše nafitovaná funkce má ovšem předpis f ( s ) = 0.50 s + 1.59 a je tedy klesající a bodem [0;1] neprocházejí. V pátém úkolu jsme zmapovali elektrostatické pole dvou rovnoběžných elektrod (Obr. 2) a elektrostatické pole kruhové elektrody s bodovou elektrodou (Obr.3). 8 Reference [1] Štoll, I.: Elektřina a magnetismus. Ediční středisko ČVUT, Praha 2003. [2] Návod Kondenzátor, mapování elektrostatického pole http://praktikum.fjfi.cvut.cz/pluginfile.php/4352/mod_r esource/content/1/konden zator-2015-feb-22.pdf 8