Fakulta biomedicínského inženýrství Teoretická elektrotechnika Prof. Ing. Jan Uhlíř, CSc. Léto 2017
6. Vedení 1
Homogenní vedení vedení se ztrátami R/2 L/2 L/2 R/2 C G bezeztrátové vedení L/2 L/2 C 2
Model bezeztrátového vedení L/2 L L L L L L/2 C C C C C C 3
Dlouhé vedení se chová na obou koncích jako obvod s impedancí Z 0. Jde však o obvod, kterým se šíří vlna, která postupně energii ukládá do bezeztrátových prvků L a C a na konci vedení ji odevzdává do zátěže. Pro charakteristickou impedanci platí Z 0 = L C, [ Ω ] kde L je indukčnost a C je kapacita vedení na jednotku délky. Zpoždění na jednotku délky je dáno vztahem t d = L C. [ s ] 4
Vlastnosti některých vedení L [nh/m] C [pf/m] Z 0 [Ω] t d [ns/m] vodič ve vzduchu kroucená dvoulinka plochý kabel koax. kabel 2000 6 600 500-1000 500-1000 50-100 50-100 250 100 50 80-120 80-120 3,5 5-10 5-10 5 5
Úplný obvod s dlouhým vedením R 0 Z 0 t d u 0 u A u B R z 6
Pro popis chování obvodu zavedeme dva koeficienty odrazu ρ A = R 0 Z 0 R 0 + Z 0 a ρ B = R z Z 0 R z + Z 0. Je-li na vstup v čase t = 0 zaveden impuls o velikosti U = u 0 (0) platí u A (0) = U následující vztahy Z 0 Z 0 + R 0, u B (0) = 0. Potom u B (t d ) = u A (0)(1 + ρ B ) u A (2t d ) = u A (0)(1 + ρ B + ρ B ρ A ) u B (3t d ) = u A (0)(1 + ρ B + ρ B ρ A + ρ B ρ A ρ B ) u A (4t d ) = u A (0)(1 + ρ B + ρ B ρ A + ρ B ρ A ρ B + ρ B ρ A ρ B ρ A ) u B ( ) = u A ( ) = U R z R z + R 0. 7
Přechodný děj na vedení Z 0 = 50 Ω, R 0 = 5 Ω, R z = 500 Ω. 15 10 5 0 15 10 5 0-5 20 10 0-10 0ns 5ns 10ns 15ns 20ns 25ns 30ns 35ns 40ns 0ns 5ns 10ns 15ns 20ns 25ns 30ns 35ns 40ns 0ns 5ns 10ns 15ns 20ns 25ns 30ns 35ns 40ns u 0 u A u B 8
Obvod s periodickým impulsním signálem Z 0 = 100Ω t d = 100ns u 0 = 5V R 0 = 30Ω t i = 250ns t p = 500ns R z = 2kΩ ub ua u0 7,5 6,0 4,5 3,0 1,5 0,0 8,0 6,0 4,0 2,0 0,0-2,0 20,0 15,0 10,0 5,0 0,0-5,0 0,0 0,3 0,6 0,9 1,2 1,5 t 9
Podmínky pro zakončování vedení ρ B = 0, tedy tehdy, kdy R z = Z 0. Vedení je na svém konci impedančně přizpůsobeno a napětí se na výstupu ustálí okamžitě po uplynutí doby t d. Na vstupu je napětí odpovídající ustálenému stavu okamžitě s příchodem vrcholu vstupního impulsu a již se nezmění. ρ A = 0 a ρ B = 1, tedy tehdy, kdy R 0 = Z 0 a současně R z. Vedení je impedančně přizpůsobeno ke zdroji signálu a na výstupu je naprázdno (častý případ spojení obvodů CMOS). V tomto případě se na vstupu vedení vytvoří nejprve napětí poloviční než má zdroj impulsu, takový impuls se šíří vedením, na jehož konci se při odrazu zdvojnásobí na hodnotu shodnou s napětím zdroje a když odražená vlna dorazí zpět na vstup, ustálí se vstupní napětí na vrcholu vstupního impulsu. 10
ρ A = 0 a ρ B = 1, tedy tehdy, kdy R 0 = Z 0 a současně R z = 0. Vedení je přizpůsobeno na vstupu a na konci je zkrat. Na vstupu vedení se vytvoří napětí poloviční než je napětí zdroje U. Vlna s touto výškou se šíří ke konci vedení a odrazí se s opačnou polaritou (na zkratu je nulové napětí) a za dobu 2t d se na vstupu vedení vytvoří ustálené nulové napětí. Takto lze generovat na vstupu vedení krátké, poměrně přesně časově definované impulsy.
Všechny zdroje signálu jsou zatíženy charakteristickými impedancemi připojených vodičů. To se však projevuje jen v době, kdy se ze zdroje šíří dopředná vlna a na vstupních svorkách nepůsobí odražené vlny. Pokud se napětí na vedeních mění tak pomalu, že se zpětná vlna vrátí dříve než se vstupní signál výrazně změní, pak lze s bezeztrátovým vedením počítat jako s vodičem o nulovém odporu a na vstupu vedení počítat s vlastnostmi obvodu, ke kterému vedení vede. Pro posouzení nutnosti řešit spoj s ohledem na odrazy a související defekty v napět ových úrovních platí empirický vztah t r 2 t d l, který říká, že vedení o délce l ovlivní významně přenos impulsů, pokud impulsy mají trvání čela kratší, než je dvojnásobek doby zpoždění. Např. pro kroucený pár se zpožděním t d = 10 ns/m a impulsy s časem t r = 2 ns, začne být vliv odrazů významný již od délky spoje 10 cm. 11
Odrazy na vedení - grafická konstrukce (Bergeronův diagram) R 0 i u z Rz Z0 u u 0 12
Kabelové spojení v síti Ethernet tlustý koaxiální kabel segment a zakončení 50 Ω zakončení 50 Ω Opakovač zakončení zakončení segment b 13
Ethernet - kroucený pár SWITCH 14
Homogenní vedení ve frekvenční oblasti V podmínkách harmonického ustáleného stavu se šíří po vedení vlny se sinusovým průběhem dopředné a odražené. Ty se v každém místě a v každém okamžiku vzájemně superponují. Charakteristická impedance je označována jako vlnová impedance Ẑ 0 = L C 15
Pro vlnu šířící se po bezeztrátovém vedení lze najít vlnovou délku λ = 2π ω LC = 1 [ m ] ft d Je to tedy taková délka vedení, na kterou se vejde právě jedna perioda vysílaného sinusového signálu. Koeficient odrazu je pro vedení zakončené impedancí Ẑ z Γ = Ẑz Ẑ 0 Ẑ z + Ẑ 0 16
Vzhledem k tomu, že se v každém okamžiku setkává zdroj vstupního signálu s odraženým signálem, nemusí být z jeho pozice vstupní impedance rovna charakteristické impedanci a bude se zřejmě měnit s frekvencí, s délkou vedení a se zakončením. Pro vedení beze ztrát Ẑ z + jẑ Ẑ vst = Ẑ 0 tg (ωt d l) 0 Ẑ 0 + jẑ z tg (ωt d l) = Ẑ Ẑ z + jẑ 0 tg (2πλ ) 0 Ẑ 0 + jẑ z tg (2πλ l ) l kde l je délka vedení a λ je vlnová délka pro danou frekvenci a rychlost šíření. 17
Zvláštní případy nastanou pro (vedení beze ztrát) zkrat na konci vedení Ẑ z = 0 Ẑ vst = j Ẑ 0 tg (2π l λ ) otevřený konec vedení Ẑ z Ẑ vst = j Ẑ 0 cotg (2π l λ ) čtvrtvlné vedení l = λ/4 půlvlné vedení l = λ/2 Ẑ vst = Ẑ 2 0 / Ẑ z Ẑ vst = Ẑ z 18