Harmonický průběh napětí a proudu v obvodu

Transkript

1 Harmonický průběh napětí a proudu v obvodu Ing. Martin Černík, Ph.D. Projekt ESF CZ.1.07/2.2.00/ Modernizace didaktických metod a inovace.

2 Veličiny elektrických obvodů napětí u(t) okamžitá hodnota, funkční hodnota podle času U m maximální hodnota (amplituda) ω = 2π/T = 2πf úhlová frekvence [rad/s] (ωt + φ) fáze (fázový úhel) φ počáteční fáze t φ - časový posun fáze t φ = φ ω u t = U m sin 2π T t + φ = U msin ωt + φ vzestupná hrana sinusovky: t < 0: φ > 0 t > 0: φ < 0 2

3 Veličiny elektrických obvodů Harmonický průběh náhradní veličiny maximální hodnota odpovídá hodnotě U m střední hodnota výpočet podle vzorce U av = 1 T 0 efektivní hodnota T výpočet podle vzorce U = U m sin ωt dt = 2U m T 1 T ss složka rovna 0 T [U m sin(ωt)] 2 dt 0 0 T 2 = 1 2 U m sin ωt dt = 2 π U m 3

4 Veličiny elektrických obvodů Harmonický průběh poměrné veličiny činitel výkyvu k v = U m U = U m U m 2 = 2 činitel tvaru k t = činitel plnění U = U m 2 π = U av 2U m 2 2 π k p = U av = 2U m U m U m π = 2/π 4

5 Symbolicko komplexní metoda pro lineární obvody napájení stejná frekvence obvodových veličin aplikace komplexních čísel 5

6 Rotující fázor - definice se zaznamenává jako průmět do rotace jednotkového vektoru do komplexní roviny u t = u 1 t + j u 2 t u 2 t = U m sin ωt + φ u 1 t = U m cos ωt + φ rotující fázor je ekvivalentní k časovému průběhu základní převod: u t = Im[u(t)] 6

7 u t = u 1 t + j u 2 t Rotující fázor časový průběh reálné a imaginární složky vztah záznamu pro harmonický průběh a rotující fázor využití periodicity harmonického průběhu u t = U m cos ωt + φ + j U m sin ωt + φ 7

8 Fázor napětí - definice po dosazení u t = U m [cos ωt + φ + j sin ωt + φ ] aplik. Eulerova vzt. e j ωt+φ = cos ωt + φ + j sin ωt + φ se získá rotující fázor v exponenciálním tvaru u t = U m e j ωt+φ = U m e jωt e jφ při stejné frekvenci v celém obvodu, zavedení kvazistacionárního stavu - pro t = 0 tedy: e jωt = 1 U m e jφ = U m - fázor napětí maximální hodnoty U = Ue jφ = U m / 2e jφ - fázor napětí efektivní hodnoty hodnota na voltmetru je rovna modulu fázoru napětí efektivní hodnoty: U = U 8

9 Fázor napětí časový průběh napětí srovnání 9

10 harmonické napětí na rezistoru časový průběh proudu u t i t = R = U m sin ωt + φ R = I m sin ωt + φ rotující fázor proudu u t i t = R = U m ej ωt+φ = I R m ej ωt+φ převod na fázor v max. hodnotách U m R ejωt e φ = I m e jωt e φ po vykrácení: U m R = I m 10

11 harmonické napětí na rezistoru časový průběh a fázorový diagram u(t) = U m sin ωt + φ i t = U m R sin ωt + φ 11

12 harmonické napětí na kapacitoru časový průběh proudu i t du t = C dt = C d U m sin ωt + φ dt = ωc U m cos(ωt + φ) pro: i t = I m sin ωt + φ : u t = I m cos(ωt + φ) ωc rotující fázor proudu: I m e jφ e jωt i t = C du t dt = C d U me jφ e jωt dt = jωcu m e jφ e jωt = jωcu m e jωt fázor v max. hodnotách: I m e jφ e jωt = jωc U m e jφ e jωt po vykrácení: I m = jωc U m U m = I m jωc 12

13 harmonické napětí na kapacitoru časový průběh a fázorový diagram i t = ωc U m cos(ωt + φ) u t = U m sin(ωt + φ) 13

14 harmonické napětí na induktoru napětí na induktoru u t di t = L dt = L d I m sin ωt + φ dt pro: u t = U m sin ωt + φ : i t = U m ωl rotující fázor napětí u t = L di t dt = L d I me jφ e jωt dt = ωl I m cos(ωt + φ) cos(ωt + φ) = jωli m e jφ e jωt = jωli m e jωt fázor napětí v maximálních hodnotách U m e jφ e jωt = jωl I m e jφ e jωt po vykrácení: U m = jωl I m I m = U m jωl 14

15 induktor časový průběh a fázorový diagram u t = U m sin(ωt + φ) i t = U m ωl cos(ωt + φ) 15

16 Imitance popis parametrů pasivních lineárních prvků v obvodu v harmonickém ustáleném stavu napětí a proud popsán fázory Impedance a admitance 16

17 Impedance definice - analogie odporu pro ss obvody, podíl fázoru napětí a fázoru proudu, jednotka 1 Ohm Z = U m I m = U I = U I ej φ U φ I modul impedance reálné číslo podíl modulů fázoru napětí a proudu Z = Z = U I = U I impedance ve složkovém tvaru Z = R + jx kde R: resistance, X: reaktance 17

18 Impedance základních prvků rezistor Z = U m I m = U m Um R = R, X R = 0 kapacitor : I m = jωc U m Z = U m I m = U m jωc U m = j ωc = 1 ωc e jπ 2, X C = 1 ωc induktor: jωl I m = U m Z = U m I m = jωl I m I m = jωl = ωle jπ 2, X L = ωl 18

19 Admitance Y definice, Y = I m U m = I U = I U ej φ I φ U analogie vodivosti pro ss. obvody, podíl fázorů proudu a napětí, jednotka 1 Siemens modul admitance Y = Y = I U = I U admitance ve složkovém tvaru Y = G + jb G: konduktance, B: susceptance 19

20 Admitance základních prvků rezistor Y = I m U m = Um R U m = 1 R = G, B R = 0 kapacitor : I m = jωc U m Y = I m U m = jωc U m U m = jωc = ωce jπ 2, B C = ωc induktor: jωl I m = U m Y = I m U m = I m jωl I m = j ωl = 1 ωl e jπ 2, B L = 1 ωl 20

21 I. Kirchhoffův zákon: i 1 + i 2 + i 3 + i 4 = i 5 + i 6 zápis harmonického proudu pomocí rotujícího fázoru: i1 + i 2 + i3 + i4 = i5 + i6, pro i = I m e jωt platí I m1 e jωt + I m2 e jωt + I m3 e jωt + I m4 e jωt = I m5 e jωt + I m6 e jωt po vykrácení rotující složky a převodu na fázor v efektivních hodnotách: I 1 + I 2 + I 3 + I 4 = I 5 + I 6 neplatí pro modul fázoru proudu, (hodnota měřená ampérmetrem nejde aplikovat při aplikaci pro sestavení obvodových rovnic) 21

22 II. Kirchhoffův zákon u 1 + u 2 + u 3 + u 4 + u 5 = 0 zápis okamžitého napětí rotujícího fázoru u 1 + u 2 + u 3 + u 4 + u 5 = 0, pro u = U m e jωt platí U m1 e jωt + U m2 e jωt +U m3 e jωt +U m4 e jωt + U m5 e jωt = 0 po vykrácení rotující složky a převodu do fázoru v efektivních hodnotách U 1 + U 2 + U 3 + U 4 + U 5 = 0 neplatí pro modul fázoru napětí (hodnota naměřená voltmetrem nejde aplikovat pro sestavení obvodových rovnic ) 22

23 sériové řazení imitancí impedance v sérii se sčítají U = U 1 + U U n Z I = Z 1 I + Z 2 I + + Z n I Z = Z 1 + Z Z n 1/Y = 1/Y 1 + 1/Y /Y n 23

24 paralelní řazení imitancí paralelně řazené admitance se sčítají I = I 1 + I I n Y U = Y 1 U + Y 2 U + + Y n U Y = Y 1 + Y Y n 1/Z = 1/Z 1 + 1/Z /Z n 24

25 Výpočty v lineárních obvodech napájených harmonickými zdroji o jedné frekvenci transfigurace princip superpozice ekvivalentní náhrady ekvivalence lineárních harmonických zdrojů Theveninův a Nortonův teorém běžné metody řešení obvodových rovnic 25

26 Příklad obvodové rovnice vypočtěte fázor napětí u R 1 = 200 Ω, R 2 = 10 Ω, L = 200 mh, C = 200 μf u t = 30 sin(314,2t), i t = 1 sin(314,2t + π 4 ) Řešení - podle věty o uzlových napětích: převod veličin zdrojů na fázory (v efektivních hodnotách), prvky jako impedance: I 0 = 0,5 + j0,5 A, U 0 = 30 2 V, Z R1 = 200 Ω, Z R2 = 10 Ω, Z C = j15,91 Ω, Z L = j62,84 Ω sestavení rovnice: (dosazení, výpočet) I 0 u Z C u Z R1 + U 0 u Z L + Z R2 = 0 26

27 Výkon při periodickém průběhu napájení okamžitý příkon (časový průběh příkonu) p t = u t i t střední výkon P av = 1 T T p(t) 0 dt = 1 T 0 T u t i(t) dt energie dodaná během periody w t = 0 T p(t) dt = P av T 27

28 Okamžitý příkon prvku při harmonickém napájení napětí a proud: u t = U m sin(ωt + φ U ), i t = I m sin(ωt + φ I ) okamžitý příkon: p t = U m I m sin(ωt + φ U ) sin(ωt + φ I ) zavedení rozdílu fází φ P = φ U φ I. Pro potřebu výpočtu příkonu má napětí na prvku nulovou fázi. Okamžitý příkon: p t = U m I m sin(ωt) sin(ωt + φ P ) po úpravě a převodu na efektivní hodnoty napětí a proudu p t = U mi m 2 cos φ P cos 2ωt + φ P = UI cos φ P cos 2ωt + φ P 28

29 Střední příkon prvku při harmonickém napájení T P av = 1 UI cos φ T P cos 2ωt + φ P = 0 = UI T T T cos φ P dt cos 2ωt + φ P 0 0 = UI T cos φ P T + 0 = UI cos φ P činný výkon, jednotka W, označení P dt 29

30 Zdánlivý výkon součinem efektivních hodnot napětí a proudu S = U I = U m I m 2 nemá fyzikální smysl jednotka 1 VA (voltampér), označení S vztah k činnému výkonu: S cos φ P = P S = P cos φ P Účiník poměr mezi činným a zdánlivým výkonem PF - Powerfactor Λ = P S = cos φ P = PF 30

31 Jalový výkon jde o výkon, který si obvod vyměňuje se do sítí jeho velikost se počítá podle pravoúhlého trojúhelníka jednotka 1 var (voltampér reaktanční), označení Q pro spotřebič nabývá kladných i záporných hodnot induktivní charakter zátěže - napětí před proudem - kladný kapacitní charakter zátěže - proud před napětím záporný Q = U I sin φ P S 2 = P 2 + Q 2 31

32 Komplexní výkon výpočet výkonu harmonického průběhu za pomocí fázorů napětí a proudu zavedení komplexního výkonu S fázor proudu se dosazuje komplexně sdružený (rozdíl fáze napětí a proudu při výpočtu okamžitého výkonu) S = UI = Ue jφ U Ie jφ I = UIe j φ U φ I = UIe jφ P = Se jφ P = UI cos φ P + jui sin φ P = P + jq 32

33 z komplexního výkonu se potom určí: činný výkon (reálná část kompl. výk.) P = Re S jalový výkon (imag. část kompl. výk.) Q = Im[S] zdánlivý výkon (modul kompl. výk.) S = S účiník Re S Λ = cos φ P = S 33

34 Komplexní výkon z jednoho fázoru veličiny a imitancí proud a impedance S = UI = ZII = ZI 2 = I 2 R + jx P = I 2 R Q = I 2 X napětí a admitance S = UI = U(UY) = Y U 2 = U 2 G + jb P = U 2 G Q = U 2 B výpočet činného a jalového výkonu z impedance a admitance bez použití komplexního oboru čísel 34

35 harmonický lineární zdroj harmonický lineární zdroj napětí s vnitřní impedancí Z i U = U i Z i I harmonický lineární zdroj proudu s vnitřní admitancí Y i I = I i Y i U 35

36 Přizpůsobení harmonického lineárního zdroje napětí harmonický lineární zdroj napětí U i s vnitřní impedancí Z i hledání maximálního přeneseného činného výkonu ze zdroje na zátěž o impedanci Z L Z i = R i + jx i Z L = R L + jx L 36

37 Přizpůsobení harmonického lineárního zdroje napětí P = Re UI = Re U i Z L Z L + Z i U i Z L + Z i = = Re U i 2 R L + jx L R L + R i + j X L + X i R L + R i j X L + X i = U 2 i R s = R L + R 2 i + X L + X 2 i maximální činný výkon se dosáhne, pokud R L = R i a X L + X i = 0, tedy X L = X i úplné přizpůsobení Z L = Z i neúplné přizpůsobení Z L = Z i, tedy Z L = Z i je připojena impedance o stejném modulu (absolutní hodnotě) 37

38 sériový RLC obvod impedance Z = R + j ωl 1 ωc nalezení takové frekvence ω r, kdy imaginární složka impedance bude rovna 0: ω r L = 1 ω r C, potom Z r = R obvod neodebírá ze zdroje jalový výkon, výměna energie mezi induktorem a kapacitorem Rezonance Určení frekvence rezonance Thompsonův vzorec ω r L = 1 ω r C ω r 2 = 1 LC f r = 1 2π LC obvod v rezonanci 38

39 - rezonance sériový RLC obvod fázorový diagram frekvence nižší než rezonanční, kapacitní charakter rezonance frekvence vyšší než rezonanční, induktivní charakter ω < ω r ω = ω r ω > ω r 39

40 - rezonance sériový rezonanční obvod obecný popis při rezonanci modul fázoru napětí na LC maximální (napěťová rezonance) poměr mezi fázorem proudu ku fázoru proudu při rezonanci hledá se šířka pásma vytvoření normalizované frekvenční závislosti (konstantní modul fázoru napětí na krajních svorkách) U r U = Z r Z = R 1 1 R + j ωl 1 = 1 + j L ωc R ω 1 = ωlc 1 + j L R ω ω r 2 ω 1 1 = 1 + j ω rl ω ω = r 1 + jq s 1 R ω r ω s při dosazení: 1 = ω LC r 2, Q = ω rl, s = ω R ω r 40

41 - rezonance šířka pásma rezonance stanovení šířky tak, aby pro krajní frekvence pásma je hodnota veličiny U r U 1 veličina 1 2 = 0,7071 veličiny při rezonanci: = U r U 2 = 1 1 ± j = 1 2 Q s 1 1 s 1 = 1 Q s 2 1 s 2 = 1 šířka pásma závisí na jakosti rezonančního obvodu: s 1 s 2 = 1 s 2 s 1 = 1 Q fázový posun v krajních bodech pásma φ = arctg Im 1 Re 1 1 ± j 1 ± j = arctg ±1 2 = ± π 4 41

42 - rezonance šířka pásma rezonančního obvodu - frekvenční závislost na normalizované frekvenční závislosti poměru proudu ku rezonančnímu proudu 1/Q 42

43 - rezonance vliv jakosti rezonančního obvodu na frekvenční závislost zúžení šířky pásma rychlejší změna fáze při změně frekvence 1/Q 43

44 - rezonance Napětí na prvcích v sériovém rezonančním obvodu U R U = 1 1+jQ s 1 s U C U = Q js 1+jQ s 1 s U L U = jsq 1+jQ s 1 s velikost napětí v rezonanci U Lr = U Cr Q U riziko napěťového přetížení prvků 44

45 - rezonance paralelní RLC obvod admitance obvodu Y = 1 R + j ωc 1 ωl rezonanční frekvence, ω r L = 1 admitance reálná ω r C, kdy je celková proudová rezonanci při konstantním napětí na svorkách zvýšení proudu, proudové přetížení prvků jen teoretický význam reálný induktor má parazitní rezistor v sérii 45

46 fázorové diagramy paralelní RLC obvod frekvence nižší než rezonanční, induktivní charakter ω < ω r rezonance frekvence vyšší než rezonanční, kapacitní charakter r ω = ω r ω > ω r 46

47 - rezonance paralelní RLC obvod s RL v sérii používané zapojení lépe odpovídá realitě 47

48 - rezonance paralelní RLC obvod s RL v sérii admitance 1 Y = jωc + R + jωl = rezonanční frekvence - ω r C = ω rl R 2 +ω r 2 L 2 C L = R R 2 + ω 2 L 2 + j ωc ωl R 2 + ω 2 L 2 L R 2 +ω r 2 L 2 L C = R2 + ω r 2 L 2 L C R 2 = ω r 2 L 2 1 LC R2 L 2 = ω r 2 velikost R má vliv na rezonanční frekvenci ω r ω r = 1 LC R2 L 2 48

49 rezonance paralelní RLC obvod RL v sérii fázorový diagram frekvence nižší než rezonanční, induktivní charakter rezonance frekvence vyšší než rezonanční, kapacitní charakter ω < ω r ω = ω r ω > ω r 49

50 náhradní obvody Reálný kapacitor náhradní ztrátový obvod sériové spojení kapacitoru a rezistoru nulová frekvence (ss proud) nulová admitance vysoké frekvence odpor R s paralelní spojení kapacitoru a rezistoru nulová frekvence (ss proud) odpor R p vysoké frekvence nulová impedance volba náhradního obvodu podle použití přednostně paralelní spojení 50

51 náhradní obvody Induktor náhradní ztrátový obvod sériové spojení induktoru a rezistoru nulová frekvence (ss proud) odpor R s vysoké frekvence nulová admitance paralelní spojení induktoru a rezistoru nulová frekvence (ss proud) zkrat vysoké frekvence odpor R p volba náhradního obvodu podle použití přednostně sériové spojení 51

52 ztrátový činitel D poměr činného výkonu a jalového výkonu při stanovené frekvenci D = P Q = tg δ pro reálné kapacitory při paralelním náhradním ztrátovém obvodu D = U2 R P U 2 = 1 ωc P ωr P C P 52

53 činitel jakosti Q obecná definice poměr akumulované energie (tu co vrací prvek do obvodu) a ztracené energie během jedné periody označení Q (odlišovat od označení jalového výkonu, bezrozměrné) Q = 2π W a W d Pro reálné induktory při sériovém náhradním ztrátovém obvodu: Q = 2π W a W d = 2π L si 2 R s I 2 T = 2πf L si 2 R s I 2 = ωl s R s 53

54 kompenzace Zátěž s jalovým výkonem a jeho kompenzace odebírá část výkonu se vrací do sítě, proud je fázově posunutý, napájecími vodiči tečou větší proudy zvýšení ztrát na přívodních vodičích a transformátorech, nutnost dimenzovat zářivky s elektromagnetickým předřadníkem, asynchronní motory kapacitor kompenzuje jalovou složku výkonu 54

55 kompenzace velikost kompenzačního kondenzátoru podle výkonů zátěž odebírá jalový výkon: Q 1 = S 1 2 P 1 2 Požadovaný účiník cos φ 2 převod na úhel φ 2, Q 2 = P 1 tg φ 2 určí se jalový výkon, který má kompenzační kondenzátor odebírat ΔQ = Q 1 Q 2 kapacita kondenzátoru: C = ΔQ ωu 2 výkon kompenzačního kondenzátoru se uvádí v VAr nebo kvar 55

56 Elektrické obvody Děkuji za pozornost Tento materiál vznikl v rámci projektu ESF CZ.1.07/2.2.00/ , který je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem ČR.