3. Rozvětvená teorie typů V této kapitole nejprve nastíníme vývoj, který vedl po objevu Russellova paradoxu k jednoduché a dále pak i k rozvětvené teorii typů. Taktéž si řekneme, proč je nezbytný krok k Tichého definici rozvětvené teorie typů. Podáme rovněž princip, který typovou hierarchii intuitivně opravňuje, a zformulujeme celkem čtyři principy bludného kruhu. Pak se dostaneme k Tichého rozvětvené teorii typů, kterou ovšem okomentujeme nejprve na zjednodušené variantě. Posléze přidáme příklady entit a příslušných typů, do nichž náleží. Je třeba předeslat, že níže není zdaleka vše, co by se mělo k Tichého rozvětvené teorii typů říci. To je však hlavním předmětem zatím nedokončené knihy (Raclavský 2008c), kde je tato teorie obsáhle srovnávána, komentována, a taktéž aplikována. 1 Jednu zcela zásadní věc je ale třeba říci už zde. Tichého rozvětvená teorie typů kombinuje churchovskou jednoduchou teorii typů s russellovskou rozvětvenou teorií typů. Jako taková je zcela unikátní (a svým způsobem ji není vhodné propagovat jako rozvětvenou teorii typů, neboť těmi se rozumí russellovské rozvětvené teorie typů). Důvod této kombinace tkví v tom, že Tichý se vyvaroval obou extrémů oněch dvou teorií každá z nich totiž vyhošťovala entity jednoho druhu. Tichého hierarchie však pojednává jak funkce, tak konstrukce (a rovněž funkce z či do konstrukcí). Od čtenáře se neočekává, že by po praktické stránce ovládl Tichého rozvětvenou teorii typů, zvláště tu skutečně rozvětvenou část. Většina konstrukcí, které diskutujeme v této knize, jsou totiž prvořádovými konstrukcemi a většina diskutovaných funkcí nejsou funkcemi z či do konstrukcí. Tím rozhodně nechceme naznačit, že uvedení Tichého definice (a její výklad) je v této knize zbytečný. V kapitolách Jazyk a vybrané sémantické pojmy a Paradoxy reference jsou pro nás její důsledky takříkajíc denním chlebem ; čtenář knihy proto nesmí být připraven o možnost látce porozumět. Na druhou stranu se klasifikování objektů v rámci jednoduché teorie typů (tj. v nejnižší části Tichého rozvětvené teorie typů) v této knize uplatňuje často; k snazšímu pochopení jsou určeny ony níže uvedené příklady. OD RUSSELLOVA PARADOXU K JEDNODUCHÉ A ROZVĚTVENÉ TEORII TYPŮ Jedna z nejlegendárnějších událostí na průmětu logiky, matematiky a filosofie je objev Russellova paradoxu. Stručně vyjádřeno, Bertrand Russell si při svých filosofických rozborech tzv. naivní teorie množin uvědomil, že možnost vymezení 1 V knize jsou i odpovědi na některé závažnější dílčí námitky vůči rozvětvené teorii typů; na ty v této knize opravdu není místo.
3. Rozvětvená teorie typů 47 množiny jakoukoli podmínkou vede k paradoxu (Russell 1903, Principles of Mathematics), kterému pak bylo dáno jeho jméno. V zadání paradoxu se uvažuje existence množin, které nejsou prvkem sebe sama. Například množina lidí nepatří sama mezi lidi, není tedy svým prvkem. Pokusme se nyní představit množinu právě takovýchto množin. Otázka nyní zní: Je množina všech množin, co neobsahují samy sebe, prvkem sama sebe?. Předpokládejme, že je; jenže to by přece mělo znamenat (srov. jak je ta množina zadána), že není což je ale spor s předpokladem. Spor dostaneme i při předpokladu, že prvkem sama sebe není. Russell si uvědomil paralelní verzi tohoto paradoxu, tzv. predikátový Russellův paradox: aplikuje se na sama sebe predikát nebýt aplikovatelný na sama sebe?. 2 Paradox má tudíž důsledky nejen pro teorii množin, ale též pro koncepci predikace. A tak není překvapení, že Russellův paradox se stal osudným Fregeho dílu (pojem jím byl pojat jako predikativní), takže logika se opravdu otřásla v základech. 3 Nebyl by to Russell, kdyby nepřispěchal s řešením (Russell 1903, Apendix B. The Doctrine of Types). Podle Russella má každá funkce svůj obor smysluplné aplikability ( range of significance ) a k paradoxu dojdeme proto, že vlastně překročíme hranici oné smysluplnosti. Podle oborů své smysluplné aplikability třídí Russell funkce (a jiné objekty) do typů (odtud název teorie typů ). Vysvětlení (řešení) Russellova množinového paradoxu pak můžeme podat v zásadě následovně. Množiny pojímejme jako charakteristické funkce. Množiny, co nejsou prvky sebe sama, jsou (charakteristické) funkce, které operují na oboru argumentů jistého typu. Po Russellově množině se chce, aby operovala na tomtéž oboru, do něhož má sama patřit. Jinými slovy, chce se po ní, aby se aplikovala též na samu sebe. To je ale vyloučeno, jak si ukážeme na schematickém obrázku funkce F (A i jsou argumenty a H i jsou příslušné pravdivostní hodnoty T či F): A 1 H 1 A 2 H 2 atd.? ad. A n H n Celé toto zobrazení-funkce F by se mělo nacházet v místě označením?, což zjevně nelze. Russellův paradox (paradox ve smyslu úsudku) tedy plodí nepřesnost, konfúze při uvažování nad různými typy množin, které jsou zmiňovány v zadání paradoxu. Obecně můžeme říci, že naivní teorie množin udělala tu chybu, že nekladla vůbec žádná omezení na tvorbu množin. Nejedná se o to, že dovolila zavádění množin nejen prostým výčtem prvků, ale i třeba podmínkou ( definičně ). Pro- 2 Nejenže tzv. paradox holiče ( barber paradox ), avšak ani jakákoli jeho varianta není Russellovým paradoxem (a ani Russellem nebyl vytvořen). Tento pseudoparadox generuje prostou kontradikci a proto nemá s Russellovým paradoxem vůbec nic společného. 3 Jeden z pozoruhodných rozborů Fregeho původní chyby a chyby ve Fregeho záplatě této chyby ( way out ) v nedávné literatuře je 12 v knize (Tichý 1988).
48 I. Význam blém je spíš v tom, že dovolila, aby predikáty (objektuálně vzato funkce) obsažené v podmínce mohly být aplikovatelné na cokoli. (Podle naivní teorie množin je tedy Russellova množina dobrou množinou, jenže ona takovou ve skutečnosti není.) Tato benevolence se jeví neškodná jen pro případ predikátů jako být výraz, protože tento predikát výrazem je a tak je na sebe aplikovatelný. Jenže predikátová verze Russellova paradoxu nám dává zřetelnou lekci, že nějaká omezení přijata být musí pokud nechceme skončit v kontradikcích. 4 Russell dobře věděl, že tato jednoduchá teorie typů neumí vyložit propoziční analogon Russellova paradoxu a přislíbil jeho řešení. Toto řešení se mu podařilo nalézt v průběhu pozoruhodného období, jehož vyvrcholením je rozvětvená teorie typů ( ramified theory of types ). Russellova rozvětvená teorie typů ale vyvolala zvláště u matematiků kritickou reakci. Zdá se, že reálný důvod tohoto odporu bylo Russellovo odmítnutí funkcí v moderním smyslu, Russellova tzv. no-class theory. Jinými slovy, Russell kromě individuí uznával pouze funkce v intenzionálním smyslu. Ty však matematiky a matematicky orientované logiky příliš nezajímaly a funkce v moderním smyslu chtěli vrátit do hry. Začaly být proto navrhovány jednoduché teorie typů (na tu Russellovu jednoduchou teorii typů se při tom zapomnělo). Tyto jednoduché teorie typů jsou ale určeny k třídění funkcionálních objektů, nikoli jiných. Patrně nejčistší podoba jednoduché teorie typů ( simple theory of types ) pochází od Alonza Churche (Church 1940). Zde je její zobecněná varianta: Nechť α 1,..., α n a β jsou libovolné typy objektů. a) α je typ b) (β α 1,..., α n ) je typ Podobně jako v minulé kapitole pro ilustraci uvažme typ δ, tj. kolekci přirozených čísel, a ο (řecké omikron), tj. kolekci pravdivostních hodnot. Dle kroku a) jsou jak δ, tak ο typ. Dle kroku b) vlastně jakákoli funkce z objektů jednoho typu do objektů jiného typu náleží do určitého typu (a celý tento typ je také typem). Například tu jsou funkce z dvojic čísel do pravdivostních hodnot (např. identita mezi čísly), které všechny patří do typu (οδδ). Funkce následníka zase náleží do typu (δδ), což je typ funkcí, která číslům přiřazují čísla. Všechny takovéto typy umožňuje zobecňující krok (β α 1,..., α n ) (všimněme si, že typ funkčních hodnot se píše zcela vlevo). Porovnejme to s tím, co říkala Russellova rozvětvená teorie typů, která byla prezentována již v Mathematical Logic as Based on the Theory of Types (Russell 1908). Dle Russella jsou propozice a propoziční funkce strukturované objekty, které mohou obsahovat proměnné (proměnné v objektuálním smyslu). Prvořádové propozice a propoziční funkce buď proměnnou neobsahují, nebo obsahují proměnnou pro individua. Druhořádové propozice a propoziční funkce obsahují (kromě jiného) proměnnou pro prvořádové propozice. Třetiřádové propozice a propoziční funkce obsahují (kromě jiného) proměnnou pro druhořádové pro- 4 Jen připomeneme čtenáři jistě známou skutečnost, že klasické moderní axiomatiky teorií množin přijímají restrikce, které jsou v jádru obdobné jednoduché teorii typů, neboť je jimi zamezováno právě Russellově paradoxu (či nějaké jeho obdobě).
3. Rozvětvená teorie typů 49 pozice; atd. až po n-řádové propozice a propoziční funkce. (Obvykle se zde uvažuje tzv. kumulativita to, co je prvořádové, je taktéž druhořádové; analogicky nahoru.) Příklady prvořádových propozic jsou (a=b) či x(x=a). Příkladem druhořádové propozice je c 1 (c 1 = (a=b)), která říká, že existuje prvořádová propozice, která je totožná s (a=b). Tato druhořádová propozice tedy obsahuje proměnnou c 1, která probíhá obor prvořádových (odtud 1 ) propozic, do něhož patří např. propozice (a=b). Právě uvedená hierarchie propozičních funkcí a propozic založená na pojmu řádu byla Russellem přímočaře zachycena v exaktní definici. Je těžké pochopit, proč tuto definici nejen filosofové, ale i logikové nazývají bizarně složitou (aj.), neboť není o nic obtížnější než exaktní formulace sémantiky predikátové logiky. Každopádně se Russellova rozvětvená teorie typů stala všeobecně nepopulární. Často se například citují kritické pasáže od autority, kterou je Kurt Gödel (Gödel 1944, 133 a dále), v nichž zpochybňoval Russellem přijatý princip bludného kruhu. Skutečný Russellův princip bludného kruhu ale Gödel nekritizoval, zpochybnil pouze jeho tři předběžné, netechnické varianty (na jejichž předběžnost Russell poukazoval, srov. např. v Russell 1908, 237). Dalším z takovýchto kritiků byl např. Willard van Orman Quine, který kromě řady dalších polemických připomínek namítal, že rozvětvená teorie typů spolu s axiómem reducibility kolabuje na jednouchou teorii typů, takže je zcela zbytečná (např. Quine 1963, 243). Jenže axióm reducibility říká, že ke každé n-řádové propoziční funkci existuje ekvivalentní n 1-řádová (např. prvořádová) propoziční funkce. Tedy, že dané dvě propoziční funkce jsou ekvivalentní nikoli identické. I kdyby však identické byly, nebyly by funkčními zobrazeními, které jediné je schopna jednoduchá teorie typů pojednat. Proto nemůže rozvětvená teorie typů, která klasifikuje propoziční funkce (což nejsou zobrazení), kolabovat na jednoduchou teorii typů. Odsuzování rozvětvené teorie typů se zakládá tedy spíš na jejímu neporozumění. Vzhledem k zažitosti Gödelovy a Quinovy kritiky obnáší přijmutí rozvětvené teorie typů nepopulární krok, nicméně k jeho učinění jsou rozumné důvody. Nyní se pokusíme poukázat na ty, co motivovaly Pavla Tichého. Až do publikace The Foundations of Frege s Logic (Tichý 1988) pracoval Tichý s churchovskou jednoduchou teorií typů (nikoli Churchovou, protože Church pojednával jen totální unární funkce, jak jsme si řekli již v minulé kapitole). Tichý pracoval se sférou funkcí (a non-funkcí), která podléhala typové klasifikaci. Konstrukce do této sféry nepatřily; obrazně řečeno, vznášely se nad onou říší jednoduché teorie typů. Z toho plyne, že konstrukce nemohly být uvnitř této říše traktovány. Tichý například nemohl pracovat s proměnnými probíhajícími obor konstrukcí, nemohl uvnitř systému použít ani trivializace konstrukcí. V minulé kapitole (sekce Trivializace) jsme uvedli, že Tichý chtěl logicky analyzovat větu jako 3 0 je nedefinováno. V zájmu adekvátnosti analýzy musel učinit konstrukci [ 0 3 0 0 0] předmětem výpovědi. Nemohl ji nechat něco konstruovat a tomu (totiž ničemu) něco predikovat. Musel tu konstrukci uchopit jako takovou (odtud 0 [ 0 3 0 0 0]) a právě o té konstrukci (nikoli o tom, co konstruuje) predikovat, že má tu a tu vlastnost. Jakmile už jsou konstrukce díky trivializaci předmětem diskurzu, je jen přirozené přes ně kvantifikovat. Například tvrdit, že existuje konstrukce, která je totožná s konstrukcí [ 0 3 0 0 0], atp. A jsou dobré dů-
50 I. Význam vody (budeme je diskutovat níže), proč nenechat např. proměnnou probíhat obor, v němž by byla ona sama. Zákonitým důsledkem adopce konstrukcí dovnitř rámce je pak rozvětvená hierarchie typů. Tichý ji přijal prostě proto, že musel bez rozvětvení by nebyl jeho systém věcně adekvátní. PRINCIP SPECIFIKACE V pozadí teorií typů jsou principy bludného kruhu (dle vicious circle principle ; do češtiny žel nebyl zaveden adekvátnější překlad princip zhoubného kruhu ). 5 Ty samy však vycházejí z ještě fundamentálnějšího principu našeho myšlení, principu specifikace, jak ho budeme nazývat. Formulovat ho můžeme následovně: Entitu nelze řádně specifikovat s (explicitní) pomocí entity, kterou právě specifikujeme, neboť ta přece ještě není specifikována. Například k specifikaci funkce F je třeba determinovat její argumenty a hodnoty. Specifikovat F by však bylo nemožné, kdyby ta funkce F sama měla být jedním z těch argumentů či hodnot. Neboť sama tato F přece dosud nebyla specifikována. Pro jiný příklad: k specifikaci proměnné x je třeba určit obor jejích hodnot. Specifikovat proměnnou x by však bylo nemožné, kdyby ta proměnná x měla být v oboru těch hodnot, neboť ona sama přece ještě nebyla specifikována. Principu specifikace se vlastně dovolával už Bertrand Russell (jde o výňatek z jeho rozboru): funkce φx má jedině tehdy dobře definovaný význam..., když objekty φa, φb, φc, atd. [jde o funkční hodnoty φ pro argumenty a, b, c,...; J.R.] jsou dobře definovány. Což znamená říci, že funkce není dobře definována, pokud všechny její hodnoty nejsou dobře definovány. (Whitehead, Russell 1910, 41) Je zvláštní, že kritikové Russellova principu bludného kruhu a teorie typů se o Russellově principu specifikace vůbec nezmiňují. Na druhou stranu se o něm nezmiňují ani (někteří) Russellovi příznivci. Jedním z nich byl Tichý, který však o specifikaci psal, jmenovitě o specifikaci (otevřených) konstrukcí, zvláště pak proměnných: Nekruhovost je omezení [ constraint ] regulující formování celků jakéhokoli druhu. [v těchto byl uveden příklad z oblasti mimo logiku či matematiku; J.R.]... Uvažme neúplnou, či schematickou kalkulaci, řekněme násobení něčeho sebou samým a odečtením tří od výsledku [tj. otevřenou konstrukci [[x 0 x] 0 0 3]; J.R.]. Jako část specifikace toho, která neúplná konstrukce to přesně je, musí být podáno, které objekty slouží jako výchozí body v konkrétních kalkulacích, které jsou zahrnuty v onom schématu. Ale pak ani ta schematická kalkulace sama, ani cokoli ji obsahující nebo předpokládající mezi těmi objekty být nemůže.... Ta (neúplná) konstrukce není zcela specifikována, dokud není specifikován obor jejích argumentů. Ale pokud některý z těchto argumentů zahrnují tu konstrukci samu, ten obor nemůže být specifikován, dokud není specifikována ta kon- 5 Jak známo, Russell přejal myšlenku principu bludného kruhu od H. Poincarého.
3. Rozvětvená teorie typů 51 strukce.... [zcela podobně pak; J.R.] Obor proměnné nemůže obsahovat cokoli, co tu proměnnou zahrnuje nebo předpokládá. (Tichý 1988, 47-48) V právě citované Tichého pasáži je tedy obsažena i Tichého formulace principu bludného kruhu pro otevřené konstrukce (a v důsledku toho i pro konstrukce, které otevřené konstrukce obsahují); na princip bludného kruhu pro funkcezobrazení dále Tichý naráží na stranách 54 a 228. Námi níže uvedené čtyři principy bludného kruhu doslova Tichého nejsou, nicméně souvislost je zákonitá. ČTYŘI PRINCIPY BLUDNÉHO KRUHU Postupně uvedeme čtyři principy bludného kruhu. 6 Ač je formulujeme pro uplatnění v rámci Tichého rozvětvené teorii typů, prvý z nich je všeobecně přijímán i těmi teoretiky, kteří si vystačují s funkcionálním rámcem (ti se nezřídka hlásí k jednoduché teorii typů). Nejprve tu je funkcionální princip bludného kruhu: Žádná funkce nemůže být svým vlastním argumentem či svou vlastní hodnotou; resp. nesmí být součástí argumentu či součástí hodnoty (pokud jsou jimi m-tice či nějaké jiné funkce). Výše jsme si již ilustrovali, že funkce-zobrazení, které by nesplňovalo funkcionální princip bludného kruhu je prostě nemožné. Tento princip je formulován dostatečným způsobem. Někdo by mohl nicméně namítnout, že přece jen nepokrývá všechny případy zhoubné kruhovosti. Uvažme funkci F, jejímiž (např.) hodnotami jsou jiné funkce; například je tou hodnotou funkce G. Ta sama je však funkcí do nějakých funkcí, řekněme H. Někdo by mohl argumentovat, že funkce F by snad mohla být jednou z hodnot H, není tedy zřetelně přítomna ve svém vlastním oboru. I toto by však byl zhoubný kruh a my takovéto případy budeme ošetřovat obratem nebo součástí čehokoli, co sama předpokládá. Nechť ti, co trvají na tom, že být součástí nepokrývá takové případy jako ten právě diskutovaný, připojí do výše uvedené formulace principu (a to zcela nakonec) onen korekční obrat. Další princip bludného kruhu souvisí s tím, proč je v definici konstrukcí zabudováno, že konstruuje-li konstrukce nějaký objekt, tak tento objekt je odlišný od ní samé. Nuže konstrukční princip bludného kruhu: Žádná konstrukce nemůže v-konstruovat (a to při žádné valuaci v) samu sebe či konstrukci, která ji obsahuje (nebo cokoli, co ji předpokládá). Pro výmluvný příklad nezbytnosti tohoto principu uvažme konstrukciproměnnou c konstruující určité konstrukce. Nedává žádný smysl, aby v oboru proměnnosti byla též tato proměnná c sama vzpomeňme, co jsme si již uvedli 6 V různých podobách se vyskytly již v několika autorových textech o sémantických paradoxech či o explikacích sémantických pojmů (odkazy viz v kapitole Paradoxy reference).
52 I. Význam o specifikaci proměnné. Je tak vyloučeno, že by c při jisté valuaci v-konstruovala sama sebe. Na druhou stranu je jistě přípustné, aby i tato konstrukce c byla konstruována nějakou jinou konstrukcí, pro příklad proměnnou d. Obor proměnnosti d tedy obsahuje konstrukci c (samozřejmě však neobsahuje tuto d samu). Už ve výše podané citaci z Tichého bylo uvedeno, analogické úvahy platí i pro konstrukce obsahující proměnné konstruující nějaké konstrukce. Pro ilustraci třeba uvažme schematickou [...c...]. Samozřejmě, že tytéž úvahy se týkají i konstrukcí takovéto konstrukce zahrnující, např. λc [...c...]. Konstruování této konstrukce by nemohlo být specifikováno, dokud by nebylo specifikováno c; v jejím oboru tudíž λc [...c...] být nemůže. Russell při svém objektuálním pojetí proměnných, které jsou součástmi propozičních funkcí, formuloval bludný kruh (hned při tom uvedl, co se bude rozumět klasifikací propozičních funkcí do typů) takto: Cokoli, co obsahuje zjevnou proměnnou, nesmí být možnou hodnotou této proměnné. Takže cokoli, co obsahuje zjevnou proměnnou, musí být typu odlišného od možných hodnot této proměnné; budeme říkat, že je vyššího typu. (Russell 1908, 237) Povšimněme si, že v závorce uvedený doplněk v naší formulaci konstrukčního principu bludného kruhu ( nebo cokoli, co ji předpokládá ) pokrývá to, co bychom mohli nazvat konstrukčně-funkcionální princip bludného kruhu: Žádná konstrukce nemůže v-konstruovat (a to při žádné valuaci v) funkci, jejímž argumentem či hodnotou je ona sama (či částí argumentu či částí hodnoty), nebo funkci, která tuto konstrukci předpokládá. Pro názorný příklad uvažme konstrukci 0 F konstruující funkční zobrazení F, jehož hodnotami (či argumenty) jsou nějaké konstrukce. Je zcela proti principu specifikace, aby jednou z hodnot zobrazení F byla sama konstrukce 0 F, která přece konstruuje toto F. Nyní ilustrujme případ předpokládání. Nechť konstrukce 0 G konstruuje funkční zobrazení G, jehož hodnotami jsou nějaké funkce-zobrazení jako třeba funkce H. Kruhově zhoubné by bylo, kdyby jednou z hodnot zobrazení H byla sama konstrukce 0 G, neboť ta přece konstruuje G, jehož hodnotou je ono H. Konstrukce 0 G by prostě nemohla být specifikována, pokud by jí konstruovaná funkce-zobrazení H zahrnovalo konstrukci 0 G. Ve funkcionálním principu bludného kruhu bylo (dodatkem) také ošetřeno ono předpokládání, přičemž vskrytu to rovněž pokrývá jistý princip spjatý s konstrukcemi. Totiž funkcionálně-konstrukční princip bludného kruhu: Žádná funkce nemůže ve svých argumentech či hodnotách (či částí těchto) obsahovat konstrukci, která tuto funkci v-konstruuje, nebo takovouto konstrukci jinak předpokládá. Princip tedy zjevně vylučuje funkci-zobrazení F, jejímž jedním argumentem (či hodnotou, anebo částí těchto) by byla například konstrukce 0 F konstruující tuto funkci F. Podobně je vyloučeno, aby tato funkce-zobrazení F v sobě zahrnovala, třeba jako hodnotu, proměnnou f, která v-konstruuje funkce, z nichž jednou by měla být právě F. Příkladem týkajícím se předpokládání pak je třeba funkce G,
3. Rozvětvená teorie typů 53 jejímiž hodnotami jsou konstrukce, přičemž jednou z nich je třeba 0 F a tato 0 F konstruuje funkci-zobrazení do konstrukcí jako např. 0 G. To je tedy případ, kdy funkce G předpokládá konstrukci 0 G; funkce G by tedy nemohla být specifikována. Napřed by totiž musela být specifikována 0 F, k jejíž specifikaci je zase třeba specifikace 0 G, k níž je zase nezbytná specifikace jí konstruované funkce G. Ač žádná z výše uváděných formulací nemůže být prohlášena za zcela konečnou, nezlomnou či nezpochybnitelnou, jejich (rozumný) smysl je jistě zřejmý. 7 KOMENTOVANÉ SCHÉMA TICHÉHO ROZVĚTVENÉ TEORIE TYPŮ Tichého rozvětvenou teorii typů můžeme pochopit s oporou v následujícím schématu Tichého exaktní definice: Nechť báze B je třídou vzájemně disjunktních kolekcí (základních) objektů. 1. (t 1 ) Prvořádové typy a) Jakýkoli prvek B je typem řádu 1 nad B. b) Jestliže α a β jsou libovolnými typy řádu 1 nad B, pak (βα), což je kolekce (totálních i parciálních) funkčních zobrazení z prvků α do prvků β, je typem řádu 1 nad B. Nechť ξ je libovolný typ řádu n nad B. 2. (c n ) n-řádové konstrukce a) Jakákoli konstrukce nějakého objektu náležícího do typu ξ je konstrukcí řádu n nad B (tj. je n-řádovou konstrukcí) Nechť * n je kolekcí konstrukcí řádu n nad B. 3. (t n+1 ) n+1-řádové typy a) Typ * n je typem řádu n+1 nad B. b) Jestliže α a β jsou typy řádu n nad B, tak (βα), což je kolekce totálních i parciálních funkčních zobrazení z prvků α do prvků β, je typem řádu n+1 nad B. V bodě 1. se nachází churchovská jednoduchá teorie typů. V bodě 1.a) jsou zahrnuty atomické typy, což jsou prvky naší báze B. Například typ pravdivostních hodnot (je-li v B) je typem atomickým. V bodě 1.b) jsou obecně zahrnuty všechny molekulární typy, které kategorizují funkce nad prvky B. Například je takovým typem typ unárních pravdivostních funkcí; typem je rovněž typ funkcí 7 Zpochybňováním takovéhoto smyslu se proslavil Quine (Quine 1963, 243; Quine argument převzal od Ramseyho, na něhož neodkazoval, srov. Ramsey 1990, 204). Přece není nijak bludné, namítal Quine, definovat průměrného Yalemana kruhově, odkazem na totalitu všech Yalemanů. Tento argument je neprůkazný. Yalemani jsou živočichové, mají údy, trupy, někdy spí, někdy bdí, mají volební právo, apod. Ať už jsou definice chápány jako výrazy, nebo jako funkce (či spíše jako jisté konstrukce), stěží lze zpochybnit to, že jsou objekty jiného druhu, než sami Yalemané definice tedy stojí mimo soubor Yalemanů, není tu kruh. Ramseyho a Quinova námitka by byla korektní jedině tehdy, kdyby definice byly věcmi téhož druhu jako Yalemani. (To, že by definice byly rovněž z masa a kostí jako Yalemani, anebo by Yalemani byli jako definice výrazy či funkce nebo konstrukce, je jistě absurdní.)
54 I. Význam z přirozených čísel do pravdivostních hodnot (za podmínky, že B obsahuje typ pravdivostních hodnot a typ přirozených čísel). Protože budeme mít i jiné řády typů, typy z bodu 1. jsou prohlášeny prvořádovými (je tomu tak proto, aby daná definice mohla být induktivní; mimo definici se klasifikace typů na prvořádové či n-řádové typy nevyužívá). V 1. je tedy implementován funkcionální princip bludného kruhu. V bodě 2. je jakoby zahrnuta russellovská rozvětvená teorie typů. Podle tohoto bodu objekty náležící do prvořádových typů (např. pravdivostní hodnota T) jsou konstruovány konstrukcemi, které jsou tzv. prvořádovými konstrukcemi. Jak plyne z poznámky před 3., typ prvořádových konstrukcí je * 1. Toto je zobecněno pro jakékoli n, srov. znění 2.a). (Níže uvidíme, že bod 2. je v Tichého definici rozdělen s ohledem na druhy konstrukcí.) Zásadní rozdíl proti jiným rozvětveným teoriím typů je tedy v tom, že konstrukce jsou navázány na objekty, které konstruují, a tím vlastně roste jejich řád. V 2. je tedy implementován konstrukční princip bludného kruhu (níže uvidíme, že je vlastně i v bodě 3.a). Dle bodu 3. se třídí funkce z či do konstrukcí (jde o jakousi jednoduchou teorii typů, ovšem pro objekty vyšší než objekty prvořádových typů). Jejich pomyslný nulární případ je v a), ostatní jsou v b); srov. s bodem 1., kde v a) jsou typy non-funkcí, b) typy funkcí. A toto je zobecněno, jelikož tu nejprve máme prvořádové objekty (přesněji objekty prvořádových typů), které jsou konstruovány prvořádovými konstrukcemi tyto konstrukce samy patří do * 1, což je druhořádový typ (dle 3.a; přičítá se jednička). Kdybychom dopustili, že je to typ prvořádový, tak by bylo v souladu s 2.a) dovoleno, aby prvořádová konstrukce konstruovala prvořádové konstrukce, například sebe sama to však nesmíme dopustit, proto musí být * 1 typem druhořádovým. Avšak nejen typ * 1 musí být druhořádovým. Rovněž funkce z či do prvořádových konstrukcí musí být zařazeny mezi druhořádové typy. Právě tady je implementován konstrukčně-funkcionální (analogicky pak funkcionálně-konstrukční) princip bludného kruhu. DEFINICE TICHÉHO ROZVĚTVENÉ TEORIE TYPŮ V Tichým podané definici (Tichý 1988, 66, Definice 16.1) provádíme změny uvedené již v kapitole Konstrukce (sekce K pěti modům formování konstrukcí). Kromě těchto je přidáno jen rozdělování na podbody jako a), b). Tedy: Nechť B je báze. 1. (t 1 i) Každý prvek B je typem řádu 1 nad B. (t 1 ii) Jestliže 0<m a ξ, ξ 1,, ξ m jsou typy řádu 1 nad B, pak soubor (ξξ 1...ξ m ) všech m-árních (totálních a parciálních) funkčních zobrazení z ξ 1,..., ξ m do ξ je také typem řádu 1 nad B. (t 1 iii) Nic není typem řádu 1 nad B, pokud to tak nevyplývá z (t 1 i) a (t 1 ii).
3. Rozvětvená teorie typů 55 Nechť ζ je jakýkoliv typ řádu n nad B. 2. (c n i) a) Každá proměnná probíhající ζ je konstrukcí řádu n nad B. b) Jestliže X je z (tj. náleží do) typu ζ, tak 0 X, c) 1 X a také d) 2 X jsou konstrukcemi řádu n nad B. (c n ii) a) Jestliže 0<m a C, C 1,, C m jsou konstrukcemi řádu n, pak [CC 1 C m ] je konstrukcí řádu n nad B. b) Jestliže 0<m, ζ je typem řádu n nad B, a C, stejně tak jako odlišné proměnné x 1,, x m, jsou konstrukcemi řádu n nad B, pak [λ ζ x 1 x m C] je konstrukcí řádu n nad B. (c n iii) Nic není konstrukcí řádu n nad B, pokud to tak nevyplývá z (c n i) anebo (c n ii). Nechť n je souborem konstrukcí řádu n nad B. Soubor typů řádu n+1 nad B je definován následovně: (t n+1 i) a) Typ n je typem řádu n+1. b) Každý typ řádu n je typem řádu n+1. (t n+1 ii) Jestliže 0<m a ξ, ξ 1,..., ξ m jsou typy řádu n+1 nad B, pak soubor (ξξ 1... ξ m ) všech m-árních (totálních a parciálních) funkčních zobrazení z ξ 1,..., ξ m do ξ je také typem řádu n+1 nad B. (t n+1 iii) Nic není typem řádu n+1 nad B, pokud to tak nevyplývá z (t n+1 i) anebo (t n+1 ii). Stojí za to podotknout, že Tichého teorie typů je výlučná nejen zkombinováním jednoduché teorie typů s rozvětvenou, ale i tím, že platí pro jakoukoli bázi B. 8 Ostatní doposud předložené teorie typů (nejen Russellova, nejenom Churchova) byly vystavěny nad specifickou bází, která vždy obsahovala alespoň kolekci individuí. Podejme ještě komentář, který jsme nemohli uvést při diskusi schématu definice. Dle (c n ii) a) a b) jsou kompozice i uzávěry typově homogenní n-řádovými konstrukcemi složenými výlučně z n-řádových konstrukcí. O jistém bodě však Tichého definice mlčí. Jistě nechceme zakázat konstrukce, jakou je třeba jistá třetiřádová konstrukce kvantifikující jak přes prvořádové, tak druhořádové konstrukce. Tato musí tedy uplatnit dvě různé proměnné tyto obory probíhající, řekněme c 1 a c 2. Homogenita konstrukce je obsahující jako podkonstrukce vede k tomu, že c 1 i c 2 jsou konstrukcemi třetiřádovými, tj. patří obě do 3. Ovšem c 1 už přece patří do 2. V diskusích variant Russellovy rozvětvené teorie typů se proto uvažuje kumulativita (Tichý ji nijak nezmiňuje). Tou se míní to, že všechny prvky 1 jsou zároveň prvky 2 (a pak 3 atd.), že všechny prvky 2 jsou zároveň prvky 3 8 Tento bod má dokonce velmi netriviální důsledek, s jehož pomocí kterým se dá vypracovat obhajoba vůči tzv. sebe-vyvracení teorie typů, tj. že teorie typů je formulována v rozporu s principy, které zavádí. Zde rozhodně není místo pro to, abychom to ukázali (odkazujeme na Raclavský 2008c).
56 I. Význam (a pak 4, atd.; samozřejmě, že nikoli prvky 1 kumuluje se vždy směrem nahoru). Z Tichého definic je však zřejmé, že kumulativitu předpokládá. 9 O objektu, který náleží do typu ξ, budeme často říkat, že je typu ξ; popř. že to je ξ-objekt. Na druhou stranu se vyhýbáme tomu říkat, že takový objekt je prvkem typu ξ, neboť termín být prvkem si rezervujeme pro označení relace mezi tímto objektem a nějakou třídou objektů. Kolekce, kterým říkáme typy, však uvnitř našeho systému za třídy nepovažujeme; např. typ δ není pro nás třídou. (Atomický) typ je totiž výsledkem pre-teoretického kategorizování objektů. Typ δ si nesmíme plést s univerzální třídou δ-objektů, což je uvnitř našeho systému (tedy 10 11 intrateoreticky) třída, tj. charakteristická funkce typu (οδ). PŘÍKLADY A KOMENTÁŘE Abychom ilustrovali uplatnění výše uvedené definice, využijeme Tichého vlastní příklady (Tichý 1988, 67-68), přidáme však i některé další. Pokud není indikováno jinak, dotyčná funkční zobrazení jsou totální. Aritmetiku přirozených čísel lze přijatelně chápat tak, že se týká hierarchie entit nad bází Ar, která se skládá ze dvou souborů: (nekonečného) souboru přirozených čísel δ a souboru ο ( omikron ) zahrnujícího dvě pravdivostní hodnoty, T a F (pravda a nepravda). Soubory δ, (δδ), (δδδ), (οδ), (οο), (οοο), (οδδ), (ο(οδ)) jsou pak příklady typů řádu 1 nad bází Ar (srov. (t 1 i) a (t 1 ii)). Zde jsou příklady entit těchto typů: entita typ popis 1 δ číslo jedna (podobně pro 2, 3, atd.) Následník (δδ) funkce následník, tj. monadické číselné funkční zobrazení, které číslu 0 přiřadí číslo 1, číslu 1 číslo 2, atd. + (δδδ) binární číselné funkční zobrazení sčítání (δδδ) (parciální) funkční zobrazení dělení 9 Následkem toho je, že typy konstrukcí, tj. třeba 1 a 2 nejsou vzájemně disjunktní což je rozdíl proti běžným typům. (Zachování vzájemné disjunktnosti je možné v rozvětvené teorii typů ošetřit dvěma dalšími způsoby, zde je nebudeme diskutovat.) 10 V definici rozvětvené teorie typů se být prvkem vyskytuje. Avšak proto, že je vlastně podána v metajazyce, uvnitř kterého lze diskutovat onu hierarchii typů. (Mimochodem, i tento metajazyk podkládá určitá hierarchie typů, nicméně ta je principiálně bohatší než ta, co podkládá objektovýjazyk ; srov. Raclavský 2008c.) 11 V následnictví Tichého budeme používat znak / jako zkratku za v-konstruuje objekt typu. Např. tedy C / ξ (pro libovolnou konstrukci C; přirozeně, některé konstrukce konstruují jeden a týž objekt při jakékoli valuaci v). Je třeba poznamenat, že mnozí uživatelé Tichého logiky se značně odchýlili od Tichého zkracovací konvence a / využívají jako zkratku za je objekt typu (např. následník / (δδ) ); to, že jistá proměnná probíhá jistý obor pak značí pomocí... (např. x... ξ); posléze začal být užíván znak jako zkratka v-konstruuje objekt typu ; příležitostně je uplatňováno C / k k vyznačení typu, do něhož náleží sama konstrukce C (za tímto účelem bychom my mohli využívat např. \ ; protože však naprostá většina konstrukcí zmiňovaných v této knize náleží do typu 1, na což není třeba neustále upozorňovat, chybí důvod pro zavádění této zkratky).
3. Rozvětvená teorie typů 57 Liché (οδ) třída lichých čísel, tj. funkční zobrazení, které číslu 0 přiřadí F, číslu 1 přiřadí T, atd. (οο) negace, tj. monadické pravdivostní funkční zobrazení, které přiřazuje pravdivostní hodnotě T hodnotu F a pravdivostní hodnotě F hodnotu T (οοο) disjunkce, tj. binární pravdivostní funkční zobrazení, které přiřazuje dvojicím pravdivostních hodnot <T,T>, <T,F>, <F,T> jako funkční hodnotu T a dvojici <F, F> hodnotu F (analogicky klasickými jsou totální pravdivostní funkce konjunkce, implikace a ekvivalence; jsou značeny pomocí,, ) = δ (οδδ) identita (pro typ δ), tj. binární funkční zobrazení, které přiřazuje dvojicím čísel pravdivostní hodnotu T, pokud jsou totožná, a pravdivostní hodnotu F, pokud jsou netotožná δ (ο(οδ)) obecný kvantifikátor, tj. funkční zobrazení, které třídě všech čísel přiřazuje pravdivostní hodnotu T a všem jiným třídám hodnotu F δ (ο(οδ)) existenční kvantifikátor, tj. funkční zobrazení, které neprázdným třídám čísel přiřazuje pravdivostní hodnotu T a všem jiným třídám hodnotu F Sng δ (δ(οδ)) singularizace, tj. (parciální) funkční zobrazení, které jednoprvkovým třídám čísel přiřazuje jejich jediný prvek, jiným třídám nevrací nic (je na takovýchto argumentech nedefinována) Card δ (δ(οδ)) kardinalita, tj. funkční zobrazení, které prázdným třídám čísel přiřazuje číslo 0, jednoprvkovým třídám čísel přiřazuje číslo 1, dvouprvkovým třídám čísel přiřazuje číslo 2, atd. Nechť x a s jsou proměnné probíhající typy δ a (οδ). Následujících sedm konstrukcí jsou příklady konstrukcí prvního řádu, tj. prvořádových konstrukcí, nad Ar: 0 3, x, s, [ 0 Následník x], [s [ 0 Následník x]], [ 0 δ.λx [ 0 [ 0 Liché x]]], [ 0 3 0 x] Pokud v je valuace, která přiřazuje číslo 0 proměnné x a proměnné s přiřazuje funkční zobrazení Liché, tak tyto konstrukce v-konstruují (v tomto pořadí) 3, 0, Liché, 1, T, F, ovšem poslední konstrukce je v-nevlastní, ne-v-konstruuje tedy nic. Soubory 1, ( 1 δ), ( 1 1 ), (δ 1 ), (ο 1 1 ), a (ο(ο 1 )) jsou příklady typů druhého řádu nad bází Ar. Konstrukce prvního řádu, jež byly zmíněny v předchozím odstavci, jsou všechny typu 1 (což je jeden z druhořádových typů). 12 Zde jsou příklady entit dalších typů: 12 Srov. (t n+1 i), s tím, že v tomto případě je n=1, neboť jde o konstrukce entit prvního řádu.
58 I. Význam entita typ popis Triv ( 1δ) ( 1 δ) funkční zobrazení, které přiřazuje každému přirozenému číslu jeho trivializaci (číslu 0 konstrukci 0, číslu 1 konstrukci 0 1, atd.); o tomto zobrazení budeme hovořit jako o trivializační funkci = 1 (ο 1 1 ) identita (pro typ 1 ), tj. binární funkční zobrazení, které přiřazuje dvojicím prvořádových konstrukcí pravdivostní hodnotu T, pokud jsou totožné, a pravdivostní hodnotu F, pokud jsou netotožné 1 (ο(ο 1 )) obecný kvantifikátor pro konstrukce prvního řádu Například trivializace těchto entit jsou (náleží do) typu 2, jsou to tedy druhořádové konstrukce (náleží do typu 3, srov. (t n+1 i)). Ač to Tichý explicitně neuvedl, nepochybně v dané hierarchii existují i zobrazení typu ( 2 1 ) či (ο 2 1 ), anebo třeba i ( k 1 ), ( k 2 ), apod. Jistě existuje i trivializační funkce zobrazující prvořádové konstrukce na jejich trivializace a podle (c n i) je každá trivializace prvořádové konstrukce konstrukcí řádu o 1 vyšší, takže daná funkce je objekt typu ( 2 1 ). Pro praktické užití v případech konstrukcí, které konstruují jiné než prvořádové konstrukce, si především zafixujme rutinu zvyšování řádu (a připsání typu) u konstrukcí obsahující proměnnou konstruující konstrukce. Proměnná c 1 v-konstruuje prvořádové konstrukce, tj. konstrukce patřící do typu * 1 (numerický horní index u c indikuje právě tento typ prvořádových konstrukcí). Tato proměnná ne-v-konstruuje (při žádné valuaci v) též samu sebe proměnná c 1 je totiž druhořádovou konstrukcí, patří do typu * 2. Sama c 1 může být v-konstruována až např. proměnnou c 2, která je třetiřádová; atp. Konstrukce-proměnné jsou typicky součástí konstrukcí s konstrukcemi kvantifikátorů. Z výše uvedeného plyne (díky homogenitě kompozic řádem konstrukcí), že každá konstrukce obsahující např. proměnnou c 2, která je sama třetiřádová, je celá třetiřádová. Podívejme se nyní na chování trivializace a jednoduché či dvojité exekuce. Pokud X v konstrukcích 0 X, 1 X či 2 X je non-konstrukcí, např. je to číslo 8, tak dle (c n i).b (c n i).d jsou 0 8, 1 8 či 2 8 prvořádovým konstrukcemi, tj. náleží do 1, neboť 8 je objekt prvořádového typu δ. Pokud X v 0 X, 1 X či 2 X je konstrukcí, uvažme třeba prvořádovou konstrukci C (tj. náleží do 1 ), tak dle (c n i).b (c n i).d jsou 0 C, 1 C i 2 C druhořádovými konstrukcemi, neboť C je objekt druhořádového typu 1, tj. náleží do 2. Čili jak trivializace, tak jednoduchá či dvojitá exekuce zvyšuje řád. 13 13 Nenechme se mást tím, že např. 20 C je kongruentní s C, takže se zdá, že by obě měly náležet do téhož typu. Z výše podaného vysvětlení je jasné, že 20 C je o dva řády vyšší než konstrukce C.