1. roční, 2011/ 2012 Medzinárodný orešpondenčný seminár iks Řešení 5. série Úloha5. Vřaděje N žároveočíslovanýchpostupně 1až N.Kroem rozumímepřepnutí třížárove,jejichžčísla a, b, csplňují a + c = 2b.Určetevšechna N,proněžlzeonečnou posloupností roů všechny žárovy zhasnout nezávisle na jejich počátečním stavu. Řešení. oážeme,žepodmínana NzezadáníjeevivalentnísN 8.Hranatýmizávorami budeme v celém řešení značit roy. Nejprve inducí doážeme, že pro N 8 je již podmína ze zadání splněna. Jistě nám tomu bude stačit, dyž uážeme, že za této podmíny umíme pomocí nějaé posloupnosti roů změnit stav libovolné žárovy a stavy ostatních žárove přitom nezměnit. Pomocíroů [1,4,7],[4,5,6],[5,6,7]lzezměnitstav(jen)žárovy 1,stejnětapomocí roů [2,5,8],[5,6,7],[6,7,8]změnímestavžárovy 2.Předpoládejmenyní,žeumímezměnit stav žárove n a n+1, uážeme, že umíme změnit stav žárovy n+2(samozřejmě za předpoladu n+2 N).Toprovedemeta,žezměnímestavžárovám nan+1(cožumímedlepředpoladu) anásledněroem [n,n + 1,n + 2]těmtodvěmastavvrátímeazměnímestav n + 2.Tímje doázáno,žepro N 8umímezměnitstavteréolivžárovy. Nyníuážeme,žepro N < 8nejsmeschopnizhasnoutvšechnyžárovynapř.poudjena začátu rozsvícena pouze žárova 2(případ N = 1 je triviální). Rozdělme žárovy do tří supin Ž 0,Ž1,Ž2podlejejichzbytupodělenítřemi.Snadnozjistíme,žeaždýrobuďpřepnejednu žárovuvaždésupině,nebotřižárovyvjednésupině pro N < 8jeovšemjediným taovýmroem [1,4,7].Stavyžároveze Ž0a Ž2lzetedyměnitjenpomocítahů,terémění stavjednéžárovyvaždésupině,tímpádemaždázměnastavunějaéžárovyvž0nutně znamenáizměnustavujednéžárovyvž2anaopa.mají-litedynazačátupočtysvítících žárovevž0a Ž2různouparitu(cožjenapř.dyžjerozsvícenapouzežárova 2),budoujimít i po libovolné posloupnosti roů, nelze tedy dosáhnout zhasnutí všech žárove. Poznámy opravujícího. Všichni, do úlohu poslali, dostali plný počet bodů. Jen jsme si mysleli, že úlohu pošle více řešitelů, protože nám přišla spíše lehčí. ošlá řešení se mi dost líbila, protože důazové postupy byly vsutu origiánální žádná dvěřešenínebylastejná. (lexander Olin Slávi) ÚlohaN5. oažte,žeprovšechna n N, n > 1platí n 2 n Poznáma:patrovémocninyvyhodnocujemeshora,tj. a bc = a (bc). Řešení. Nejprve si doážeme pomocné lemma: 2 n 1 Lemma. Propřirozenéčíslo > 1existujepřirozenéčíslo r < snásledujícívlastností:pro libovolnápřirozenéčísla x,y splňujícínavíc r x yplatí 2 x 2 y. ůaz. Podívejmesenaposloupnost z n = 2 n mod.jejíhodnotynabývajípouze 0,1,2,..., 1anavícjemožnénatutoposloupnostnahlížetjaonaposloupnostdanoureurentním vztahem z n = 2z n 1 mod pro n 1.Poudsemeziprvy z 0,z 1,...,z 1 tétoposloupnosti vysytujenějaánula,všechnyprvyzaníjsouužnulové,stačítedyzvolit r = 1abudeplatit r 2 x prolibovolné x,tedyir 2 x 2 y. Poud se mezi prvními hodnotami nula nevysytuje, nějaá hodnota se musí objevit dvarát.nechťtedy z i = z j,pro i < j <.íytomu,žeposloupnost z nsplňujereurentní předpis, ta z i+1 = z j+1, z i+2 = z j+2,..., z i+n = z j+n Zvolme r = j i.potom z n = z n+r = z n+cr prolibovolné n iacelé c 0.Kdyždostaneme přirozenáčísla x,y splňující r x y,označíme njaomenšízx,yatodruhéznichbudeme považovatza n+cr.protože i <,ta n iatedy z x = z y.ztohojižplyne,že 2 x 2 y.. 1
Mezinárodní orespondenční seminář iks 5. série nynísevrátímenašíúloze.označme a n = 2. n Inducípodle ndoážeme,žepropřirozenéčíslo nsplňující n > 1platí n a n 1 anavícpro libovolné přirozené n platí a n a n 1. Proprvníindučníro n = 2snadnospočítáme a 2 a 1 = 2,cožjedělitelnéjajedničou, tadvojou,an = 2 2 = a 1. Nyní předpoládejme, že tvrzení platí pro n a doažme ho pro n + 1. Nejprve ověříme nerovnost, n+1 2 n 2 a n+1. Pro = 1platítvrzenízřejmě.Zvolmesplňující 1 < n.podlelemmatuexistuje r < taové,že 2 x 2 y dyoli x,y ar x y.protože r < n+1platí r n.využijeme indučnípředpolad r a n a n 1.áleplatí n a n 1 < a n,tedypředpoladylemmatujsou splněnypro x = a n 1, y = a n.tedy 2 an 2 a n 1. Poznámy opravujícího. Narozdíl od vzorového řešení jste často používali ulerovu funci ϕ, terámátuvlastnost,že 2 ϕ(a) 1 (mod a),avšatovásdonutilorozebratčíslo nasoučin lichého čísla a mocniny dvojy. Všech osm došlých řešení se ubíralo správným směrem, avša jen polovina byla zcela v pořádu. (Mire Olšá) Úloha5. Posloupnost {a n} n=1 jetvořenapouzepřirozenýmičísly,přičemžaždéznichalespoňjednouobsahuje.navícexistujereálnéčíslo > 0taové,žedyoliv m n,pa 1 an am < <. n m Uažte,žeproaždé n Nplatí a n n < 1 2 2. Řešení(podleŠtěpánaŠimsy). Nejprvesiuvědomíme,žepročísla a l, a psplňující a l a p = 1 platí l p <.Tedyvzdálenost 1 dvoučíselvposloupnostilišícíchseojedničujemenšínež. Nejprvedoážeme a n n < 1 2 2. Prosporpředpoládejme,žeexistuje ntaové,že a n n 1 2 2.Vezměmenejmenšíčíslo, terénenímezičísly a 1,a 2,...,a n 1.Protožejenědevnašíposloupnosti,označímesiho a z. Protožejetěchtočísel n 1an<a n,platí a z n < a n,aprotožejeažzačíslem n 1,máme z n. Vezmemečíslo a ytaové,že a y a na y z jeminimální.(tedynejbližsíčísloposloupnosti veléaspoň a n).zezadánímáme a y a z y z <, tedy y z > ay az = ay az an n > n+ 1 2 2 n = 1 2. Tedymeziprvy a i našíposloupnosti,de i z 1 2,z + 1 2 N,neníčísloveléaspoň a n. To je ale aspoň čísel. Vezměme největší číslo před těmito prvy posloupnosti. To musí být alespoň a n.čísloojednavětšímusíbýttedyažzatoutoposloupností,tedyjejichvzdálenost jevětšínež.tojesporaa n n < 1 2 2 provšechna n. 2 1 Vzálenostíčísel x, ymyslímečíslo x y.
1. roční, 2011/ 2012 Medzinárodný orešpondenčný seminár iks Našeposloupnostjeprostáana,tedyexistujeněcojao inverzní posloupnost b ntaová že b an = n.protožeposloupnost b nsplňujestejnépodmínyjao a n,platí b m m < 1 2 2 pro všechna m.poudpoložíme a n = m,dostaneme n a n < 1 2 2 provšechna n. elovětedydostáváme a n n < 1 2 2,cožjsemchtělidoázat. (Michael Majl ílý) Úloha G5. Trojúhelní splňující je vepsán do ružnice ω. Tečny vedené bodem eružniciopsanéstředůmjehostransejídotýajívbodech,.uažte,žepříma,příma atečnaωvedenábodem procházejíjednímbodem. Řešení. Úlohu lze řešit mnoha způsoby. My uvedeme jeden standardní, jeden triový a nastínímejeden dospělý. Standardnířešení. Označme ffeuerbachovuružnici 2 trojúhelnía a Fjejístřed.Jeliož, jsoutečnyf,je F = F = 90,tažebody, lzedefinovatjao průsečíy fsružnicínadprůměrem F,terouoznačíme ω.příma jepachordálou f a ω. Označme l tečnu e ružnici opsané trojúhelníu vedenou bodem a P její průsečí s přímou (ten existuje, neboť ). udeme hotovi, uážeme-li, že P má stejnou mocnostfjaoω. l ω X f F M 0 P Kružnice fprotne vestředu Mstrany avpatěvýšy 0 zbodu.označme Xdruhý průsečí ωal.stačíuázat,že PM P 0 = P PX,neboližečtyřúhelní M 0 Xje tětivový. Jeliož 0 M = 90,stačíuázat XM = 90.Myalevíme,že XF = 90 (F jeprůměr ω),tažezbýváuázat,žebody M, X, Fležívpřímce,neboliže MFjeolmána l. Tímjsmesedefinitivnězbavilibodů airužnice ωapřevedliúlohunajednoduchétvrzení o trojúhelníu, teré lze doázat napřílad následovně: Označme H ortocentrum trojúhelnía a druhý průsečí f a výšy 0. Pa 0 M = 90,taže M jeprůměrružnice f.zároveňvestejnolehlostisestředem H a oeficientem 2 přejde f na ružnici opsanou trojúhelníu, taže speciálně F přejde na Oa na.vtrojúhelníu OHjetedy F střednípříčaajeliož Ojeolmána l,jena niolmáimf. 2 Feuerbachovaružnice(čiružnicedevítibodů)danéhotrojúhelníajeružniceprocházející středy jeho stran, patami výše a středy spojnic vrcholů s jeho ortocentrem. 3
Mezinárodní orespondenční seminář iks 5. série O F H M 0 Triové řešení. Opět využijeme mocnost, tentorát vša podstatně důmyslněji. Symbolem p(x,ω)budemeznačitmocnostbodu Xeružnici ω. Označme f obrazružniceopsanéstředůmstran vestejnolehlostisestředem a oeficientem2a, obrazybodů,.jeliožpůvodníružniceprocházelastředystran, prochází f body a.příma jeprotochordálou f aružniceopsanétrojúhelníu, terou budeme nadále značit ω. ω f Vnímejmenyníbod jaoružnicisestředem anulovýmpoloměrem.pa p(,) = 2 = 2 = p(,f ) apodobně p(,) = p(,f ),taže jechordálaružnice f abodu. hordálouružnice ωabodu jetečnaωvedenábodem.všechnytřipřímyproto sutečněprocházejíjednímbodem potenčnímstředemružnic f, ωabodu. Nástindospěléhořešení. Označme Mstředstrany, 0 patuvýšyzvrcholu a Kprůsečí a. Jeliož je polára bodu vzhledem e ružnici opsané středům stran trojúhelníu, ječtveřice (,K; 0,M)díyznámemutvrzeníharmonicá 3.élyúseče 0 a Mumíme vyjádřitpomocídélestran,tažeumímevyjádřitidély K 0, KM,potažmo K, K. Podobněumímevyjádřitipoměr,vjaémpříma dělístranu.označíme-litedy X průsečí a,můžemepomocímenelaovyvětyvyjádřitpoměr X : X. 3 Prostručnéobeznámenístím,cotojeharmonicáčtveřice,simůžešpřečístnapřílad článe http://ms.mff.cuni.cz/library/harmonicy4pomertp/harmonicy4pomertp.pdf. 4
1. roční, 2011/ 2012 Medzinárodný orešpondenčný seminár iks M 0 K Označíme-li Y průsečí atečnyeružniciopsanétrojúhelníu,papoměr Y : Ysnadnovyjádřímepomocísinovévětyvtrojúhelnících Y a Y.Jaseuáže,vyjde tatážhodnotajaopro X (onrétně 2 : 2 ),tažebody X a Y splývajíamyjsme hotovi. Poznámy opravujícího. Sešlo se sedm správných řešení. Většina z nich se ubírala cestou prvního(standardního) řešení, přičemž s různými jeho pasážemi se vypořádávala různě elegantně. ospěléřešeníposlallenh Tonda ung,natriovéřešenínepřišelnido. Úloha šla poměrně přímočaře řešit i analyticy(resp. za pomoci omplexních čísel), o čemž se přesvědčil Rado Švarc. (Pepa Tadlec) 5