( ) Příklady na otočení. Předpoklady: Př. 1: Je dána kružnice k ( S ;5cm)

Transkript

1 3.5.9 Přílady na otočení Předpolady: 3508 Př. 1: Je dána ružnice ( ;5cm), na teré leží body, '. Vně ružnice leží bod L, uvnitř ružnice bod M. Naresli obrazy bodů L, M v zobrazení řeš bez úhloměru. R ( ; '). Přílad Při onstruci využijeme sutečnosti, že úhly KK ', LL ' a MM ' jsou shodné s úhlem ' a musí tedy na ružnici vytnout stejný oblou. L l L m M L l M m M Zápis onstruce: 1. ;5,, ;, 2. L, M ; L > 5cm, M < 5cm 3. l ( ; L ), m( ; M ) 4. l ( L ; ), m ( M ; ) 5. L l, M m 6. L l L, M m M Pedagogicá poznáma: Předchozí onstruce je nutná, je třeba ji využívat, pro mnoho žá není samozřejmá a musí si ji vyzoušet v jednodušším obrázu. Čím větší je úhel ' tím větší problémy žáům onstruce působí. 1

2 Př. 2: Zopauj dvě záladní supiny příladů, teré jsme řešili pomocí shodných zobrazení. pojovací přílady V rovině hledáme dva body, o obou máme neúplnou (jednu) informaci (bod leží na přímce, ružnici, ). Poud najdeme mezi body vztah popsaný shodností, můžeme všechny podezřelé možnosti pro jeden z bodů zobrazit, tím obě informace spojit a najít druhý bod. Doončovací přílady Hledáme bod (útvar), terý má splňovat nějaé podmíny. Nedoážeme najít útvar ta, aby všechny podmíny ihned splňovat. estrojíme bod (útvar), terý splňuje všechny podmíny až na jednu. Tento útvar pomocí shodného zobrazení přemístíme ta, aby splňoval i zbývající vynechanou podmínu. U následujících příladů budeme vždy nejdříve zoumat, zda nepatří do jedné ze zmiňovaných supin (pa víme, čeho si máme všímat a ja bude řešení přibližně vypadat). Př. 3: Jsou dány dvě rovnoběžné přímy a, b a mimo ně bod. estroj všechny rovnostranné trojúhelníy ta, aby platilo a, b. Náčrte: a b Hledáme dva body, u obou máme neúplnou informaci (leží na přímce) zřejmě spojovací přílad snažíme se zobrazit jeden bod na druhý. ody, jsou vrcholy rovnostranného trojúhelníu platí =, = 60 bod můžeme zobrazit na bod v otočení R ( ;60 ) nebo R ( ; 60 ) zobrazíme v těchto otočení přímu a, de se její obrazy protnou s přímou b, tam leží bod. Konstruce: Zápis onstruce: a a 1. a, b, ; a b; a, b a 2. a ; R( ;60 ) : a a 3. = a b ; R ; 60 : b Úloha má vždy dvě řešení a ; R ; 60 : a a = a b ; R ;60 :

3 Př. 4: Koli řešení by předchozí úloha měla v případě, že by přímy a, b byly různoběžné? Řešení najdeme vždy, dyž obraz přímy a není rovnoběžný s přímou b příma a nesmí s přímou b svírat úhel 60. Poud je obraz přímy a s přímou b totožný, má přílad neonečně mnoho řešení. pq 60 dvě řešení., R ( ;60 ) : p q nebo pq = 60 řešení. pq = 60, R ( ;60 ) : p q a R ( ) Př. 5: Je dána ružnice ( ;5cm) R ; 60 : p q neonečně mnoho ; 60 : p q jedno řešení. a bod, = 4cm. Najdi všechny tětivy ružnice taové, aby procházely bodem a měly délu 7 cm. Náčrte: Zdá se, že přílad může patři do obou supin. Hledáme dva body,, o obou máme neúplnou informaci. Marně hledáme zobrazení jednoho z bodů na druhý ( nemusí být středem úsečy, neznáme směr posunutí, ani úhel případného otočení oolo bodu ) zusíme druhou možnost (jde o doončovací přílad). Hledáme tětivu, terá splňuje dvě podmíny první podmínu (déla 7 cm) splníme snadno, všechny tětivy ružnice o délce 7 cm můžeme navzájem zobrazovat otočením o vhodný úhel oolo středu nareslíme libovolnou tětivu o délce 7 cm a otočíme ji potřebný úhel ta, aby procházela bodem. Konstruce: Zápis onstruce: ;5cm l ( ;4cm) 3. ; l 4. K; K 5. L; L, KL = 7 cm 6., ; = KL 7. ; R ; : K 8. ; 9. m( ; ) 10. ; m 11. ; 3

4 m l K L Úloha má pro zadané rozměry vždy dvě řešení. Pedagogicá poznáma: Při disusi o příladu by se nemělo zastírat, že na první pohled by mohlo jít o spojovací přílad, něteré žáy to určitě napadne jao první možnost. Nápad je to přirozený a poud neprojdete a nevyloučíte jednotlivá zobrazení, zísává pro tyto žáy přílad příchuť neproninutelné magie. Na začátu příladu nespecifiujeme, ja najdeme vhodné otočení. Něteří žáci při jeho hledání budou potřebovat pomoc. od můžeme samozřejmě najít taé pomocí otočení R ;. Př. 6: (ONU) Urči, pro teré dély tětivy má předchozí přílad řešení. Pro extrémní dély tětivy l odvoď vzorec závislosti na poloměru r ružnice a vzdálenosti bodu od středu ružnice d. Poud zvětšujeme délu tětivy, přibližují se obě řešení průměru ružnice pro největší možnou délu tětivy platí l = 2r, obě tětivy splývají v průměr ružnice a přílad má jediné řešení. 4

5 Poud zmenšujeme délu tětivy, bod se blíží středu tětivy při nejmenší možné délce tětivy, obě tětivy splývají, bod je jejich středem a přílad má jediné řešení. Nejratší možná tětiva r d Z obrázu platí: l = 4 r d l = r 2 d 2 2. Př. 7: Je dán čtverec D, a = 6cm. Najdi všechny rovnoramenné trojúhelníy EF se záladnou EF, pro teré platí E, F D, α = 45. Náčrte: D F E Hledáme dva body, u obou máme neúplnou informaci (leží na straně čtverce) zřejmě spojovací přílad snažíme se zobrazit jeden bod na druhý. ody E, F jsou vrcholy rovnoramenného trojúhelníu platí E = F, EF = 45 bod E můžeme zobrazit na bod F v otočení R ( ;45 ) nebo R ( ; 45 ) zobrazíme v těchto otočeních stranu, de se její obrazy protnou se stranou D, tam leží bod F. R ; 45 se obraz strany se stranou D neprotne. Z náčrtu je zřejmé, že v otočení Konstruce: Zápis onstruce: 1. D ; R ;45 : p; p, p 4. F; F p D 5

6 5. ( ; F ) 6. E; E 7. D F E p Úloha má vždy jedno řešení. Př. 8: Je dána ružnice ( ;5cm) a bod, = 4cm. Najdi všechny tětivy ružnice taové, aby byly z bodu vidět pod úhlem 70 a měly délu 6cm. Náčrte: Podobné příladu 5. Hledáme tětivu, terá splňuje dvě podmíny první podmínu (déla 6 cm) splníme snadno, všechny tětivy ružnice o délce 6 cm můžeme navzájem zobrazovat otočením o vhodný úhel oolo středu nareslíme libovolnou tětivu o délce 6 cm a otočíme ji potřebný úhel ta, aby byla z bodu vidět pod úhlem 70. Konstruce: Zápis onstruce: ;5cm l ( ;4cm) 3., K; l, K 4. L; L, KL = 6cm 5. m; m { ρ; KL = 70 } 6., ; = m 6

7 l 7. ; R ; : K 8. ;, = 6cm 9. ; R ; : K 10. ;, = 6cm m K Úloha má pro zadané rozměry vždy dvě řešení. L Pedagogicá poznáma: Nalezení správného otočení působí žáům stejné problémy jao samotná hlavní myšlena řešení příladu. Pedagogicá poznáma: Protože množina bodů, ze terých je úseča KL vidět pod úhlem 70 je osobě souměrná podle osy úsečy KL platí K = L = bod bychom mohli rychleji nalézt pomocí ružnice n( ; ). Poud žáci používají tento postup je třeba se přesvědčit, zda nejde o pouhou mechanicou nápodobu příladu 5, de je tato možnost daleo zřejmější. Př. 9: Petáová: strana 78/cvičení 35 strana 78/cvičení 38 strana 79/cvičení 43 strana 79/cvičení 45 hrnutí: I přílady využívající otočení můžeme většinou přiřadit mezi spojovací nebo doončovací. 7