1 Seznamová barevnost úplných bipartitních
|
|
- Zuzana Růžena Navrátilová
- před 4 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 Barvení grafů pravděpodobnotní důazy Zdeně Dvořá 7. proince 208 Seznamová barevnot úplných bipartitních grafů Hypergraf je (labě) -obarvitelný, jetliže exituje jeho obarvení barvami neobahující monochromaticou hranu. Necht M () označuje nejmenší počet hran -uniformního hypergrafu, terý není -obarvitelný. Lemma. 2 M 2 () = O( 2 2 ) Důaz. Uvažme náhodný -uniformní hypergraf na n = vrcholech, de aždá -tice tvoří hranu náhodně nezávile pravděpodobnotí p = ( n n/2 ). Uvažme libovolné 2-obarvení ϕ vrcholů, přiřazující t vrcholům hodnotu a n t vrcholům hodnotu 0. Pa pravděpodobnot, že ϕ je dobré obarvení, je ( p) (t )+( n t ) ( p) ( n/2 ) e p( n/2 ) = e n, a tedy pravděpodobnotí (2/e) n 0 výledný hypergraf nemá 2-obarvení. Dle Marovovy nerovnoti má pravděpodobnotí alepoň /2 nejvýše 2p ( n ) = O( 2 2 ) hran. Naopa, má-li -uniformní hypergraf m hran, pa třední hodnota počtu monochromaticých hran v náhodném 2-obarvení je m. Je-li m < 2, pa 2 tedy hypergraf má nějaé dobré 2-obarvení. Věta 2. Každý bipartitní graf G méně než M 2 () vrcholy je -vybíravý. Důaz. Necht L je přiřazení eznamů dély vrcholům G. Uvažme hypergraf, jehož hrany jou -tice L(v) pro v V (G). Dle definice M 2 () je tento hypergraf 2-obarvitelný, barvy tedy můžeme rozdělit do množin A a B tž. L(v) A a L(v) B pro aždé v V (G). Vrcholy v jedné z partit obarvíme barvami z A, vrcholy ve druhé partitě barvami z B.
2 Věta 3. Jetliže n M 2 (), pa K n,n není -vybíravý. Důaz. Necht H je -uniformní hypergraf hranami e,..., e n, terý není 2-obarvitelný. Necht a i a b i pro i =,..., n jou vrcholy K n,n v různých partitách. Položme L(a i ) = L(b i ) = e i pro i =,..., n. Kdyby K n,n měl L- obarvení ϕ, položme A = {ϕ(a i ) : i =,..., n} a B = {ϕ(b i ) : i =,..., n}. Množiny A a B jou dijuntní a protínají aždou z hran H, dávaly by tedy dobré 2-obarvení H, což je por. 2 Seznamová barevnot grafů velého minimálního tupně Lemma 4. Graf G minimálního tupně δ obahuje bipartitní podgraf G minimálního tupně alepoň δ/2 tž. V (G ) = V (G). Důaz. Necht A, B je rozlad V (G) na dvě čáti taový, že počet hran jedním oncem v A a druhým v B je maximální. Pa aždý vrchol v V (G) má alepoň deg(v)/2 ouedů v opačné čáti. Věta 5. Má-li graf G minimální tupeň alepoň d = 2 ( ) 4 log [2 ( ) ] 4, pa eznamová barevnot G je větší než. Důaz. Dle Lemma 4 má G bipartitní podgraf G minimálního tupně alepoň d/2 tž. V (G ) = V (G). Necht A a B jou partity G a A B. Položme = 4 a C = {,..., }. Vrcholům G budeme přiřazovat jao eznamy -prvové podmnožiny C. Nejprve určíme eznamy vrcholů v B. Pro v B, necht X v je -prvové podmnožina C, zvolená uniformně a nezávile. Vrchol u A je univerzální vůči X, jetliže pro aždou -prvovou podmnožinu P C exituje uv E(G ) tž. X v = P. Pravděpodobnot, že u není univerzální, je nejvýše ( ) ( deg u ( )) ( ) ( d/2 ( )) ( )e 2( d ) = 2. Střední hodnota počtu vrcholů A, teré jou univerzální vůči X, je tedy alepoň A /2 B /2. Exituje tedy přiřazení -prvových podmnožin L v C vrcholům v B taové, že alepoň B /2 vrcholů z A je univerzálních vůči L. Seznamy L u C velioti pro vrcholy u A nyní zvolíme uniformně a nezávile. Uvažujme libovolné obarvení ϕ množiny B ze eznamů L. Je-li u A univerzální, pa na jeho oolí ϕ používá barvu z aždé -prvové podmnožiny 2
3 C, a tedy na jeho oolí používá alepoň + barev. Obarvení ϕ lze rozšířit na u pouze tehdy, dyž L u obahuje alepoň jednu z nejvýše barev, teré e nevyytují na oolí u. Pravděpodobnot, že to natane, je nejvýše ( ) ( ) ) < 2, ( a tedy pravděpodobnot, že ϕ lze rozšířit na všechny vrcholy A, je méně než ( 2 ) B /2. Možných voleb ϕ je B, a tedy pravděpodobnot, že alepoň jedno z těchto obarvení lze rozšířit, je méně než ( ) B 2 B /2 ( ) 4 B /2 = =. Proto exituje volba eznamů L u C velioti pro vrcholy u A taová, že žádné L-obarvení B nejde rozšířit na A, a tedy G (a tím píše G) není L-obarvitelný. Důlede 6. Necht d je nejmenší celé čílo taové, že aždý podgraf G má vrchol tupně nejvýše d. Pa ( ) d Ω χ l (G) d +. log d 3 Nezávilé množiny v grafech bez trojúhelníů Věta 7. Necht G je graf maximálního tupně n vrcholy. Jetliže G neobahuje trojúhelní, pa α(g) log 2 6 n. Důaz. Zvolme nezávilou množinu W v G uniformně. Necht v je libovolný vrchol G a Z je libovolná nezávilá množina v G N[v]. Necht je počet vrcholů v N(v), teré nemají oueda v Z. Povšimněme i, že N(v) je nezávilá množina v G. Podmíněná pravděpodobnot, že v W, za předpoladu, že W \ N[v] = Z, je. Střední hodnota počtu vrcholů W 2 + v N(v) za tejného předpoladu je 2. Necht X 2 + v = [v W ]+ N(v) W. Pa třední hodnota X v za předpoladu, že W \ N[v] = Z, je log
4 Jeliož tento odhad platí pro aždé Z, nepodmíněná třední hodnota X v je taé alepoň log 2, a třední hodnota 8 v V (G) X v je alepoň log 2 n. 8 Nicméně, v V (G) X v = W + v V (G) a proto třední hodnota W je alepoň log 2 6 n. N(v) W 2 W, Důlede 8. Graf G bez trojúhelníů na n vrcholech má nezávilou množinu velioti Ω( n log n). Rameyovo čílo R(3, m) je tedy O ( m 2 log m). Důaz. Jetliže (G) = Ω( n log n), pa oolí vrcholu nejvyššího tupně je nezávilá množina velioti Ω( n log n). Jetliže (G) = O( n log n), tvrzení plyne z Věty 7. 4 Barvení grafů bez trojúhelníů Funce f : A n R má reaci na změnu nejvýše c, jetliže pro aždé x a y, teré e liší pouze v jedné ouřadnici, platí f( x) f( y) c. Věta 9. Necht X,..., X n jou náhodné proměnné oborem hodnot A a necht f : A n R má reaci na změnu nejvýše c. Pa Pr [ f(x,..., X n ) E[f(X,..., X n )] > t ] < 2e t2 2c 2 n. Funce f : A R má r-certifiáty, jetliže pro aždé x tž. f( x) exituje nejvýše r ouřadnic I ta, že hoduje-li e y x na ouřadnicích I, pa f( y). Věta 0 (Talagrandova nerovnot). Necht X,..., X n jou náhodné proměnné oborem hodnot A a necht f : A n R má reaci na změnu nejvýše c a r- certifiáty. Necht E = E[f(X,..., X n )]. Pa pro 0 t E platí Pr [ f(x,..., X n ) E > t + 60c re ] < 4e t2 8c 2 re. Věta. Exituje 0 ta, že aždý graf G maximálního tupně 0 bez trojúhelníů má barevnot nejvýše ( ). Důaz. BÚNO G je -regulární (jina ho zanoříme do -regulárního grafu bez trojúhelníů). Přiřad me aždému vrcholu náhodně jednu z C = /2 barev uniformně nezávile. Náledně odbarvěme všechny vrcholy, teré mají 4
5 přiřazenu barvu hodnou barvou nějaého oueda. Uážeme, že nenulovou pravděpodobnotí pro aždý vrchol v exituje alepoň + barev, teré jou ( na ) oolí v použity alepoň dvarát. Proto můžeme G hladově dobarvit 2e barvami. Necht 6 X v je počet barev, teré byly přiřazeny alepoň dvěma ouedům v, a ani z jednoho oueda nebyly odbarveny. Necht A v je jev, že X v < +. Níže uážeme, že Pr(A v ) <. Jeliož A e 4 v může být ovlivněno jevy A w pouze pro w ve vzdálenoti nejvýše 4 od v, a počet taových vrcholů w je menší než 4, z Lovázova loálního lemmatu pa bude plynout, že nenulovou pravděpodobnotí žádný jev A v nenatává. Abychom uázali Pr(A v ) <, budeme doazovat náledující dvě nerovnoti. e 4 E[X v ] e 6 () Pr [ X v E[X v ] > log ] < 2e 4 (2) Z nich požadované tvrzení zjevně plyne, jeliož 2 + log <. Pro důaz () odhadujme počet barev, teré jou přiřazeny přeně dvěma vrcholům u, w N(v) a náledně nejou odbarveny. To natane, dyž nějaá barva α je přiřazena u a w a žádnému dalšímu vrcholu v N(u) N(v) N(w) těchto vrcholů je nejvýše 3 3 6C. Pravděpodobnot, že to natane ( ) pro zvolené u, w a α je alepoň C 6C, ( 2 C a voleb u, w a α je C 2). Dotáváme tedy E[X v ] C ( ) ( ) 6C ( 4 ) > 2 C 2 C e 6 C e. 6 Pro důaz (2) rozepišme X v = T v R v, de T v je počet barev, teré byly přiřazeny alepoň dvěma ouedům v, a R v je počet barev, teré byly přiřazeny alepoň dvěma ouedům v a na alepoň jeden z nich byl odbarven. Stačí tedy uázat, že T v a R v jou obě oncentrovány olem vé třední hodnoty. Proměnná T v záleží pouze na barvách ouedů v a změna barvy jednoho z nich změní T v nejvýše o 2. Z Věty 9 tedy dotáváme Pr [ T v E[T v ] > t ] < 2e t2 8. Proměnná R v záleží na barvách vrcholů ve vzdálenoti nejvýše 2 od v a opět změna barvy jednoho z těchto vrcholů změní R v nejvýše o 2. Navíc má R v 3-certifiáty: pro aždou barvu α započítanou do R v tačí mít dva ouedy v obarvené α a dalšího oueda jednoho z nich obarveného α. Jeliož E[R v ] C <, z Věty 0 máme Pr [ R v E[R v ] > t ] < 4e t2 96. Doazením t = 3 log do těchto dvou nerovnotí dotaneme (2). 5
Úvod do vybíravosti grafů, Nullstellensatz, polynomiální metoda
Úvod do vybíravosti grafů, Nullstellensatz, polynomiální metoda Zdeněk Dvořák 12. prosince 2017 1 Vybíravost Přiřazení seznamů grafu G je funkce L, která každému vrcholu G přiřadí množinu barev. L-obarvení
VíceVybíravost grafů, Nullstellensatz, jádra
Vybíravost grafů, Nullstellensatz, jádra Zdeněk Dvořák 10. prosince 2018 1 Vybíravost Přiřazení seznamů grafu G je funkce L, která každému vrcholu G přiřadí množinu barev. L-obarvení je dobré obarvení
VíceBarevnost grafů MFF UK
Barevnost grafů Z. Dvořák MFF UK Plán vztah mezi barevností a maximálním stupněm (Brooksova věta) hranová barevnost (Vizingova věta) příště: vztah mezi barevností a klikovostí, perfektní grafy Barevnost
VíceHypergrafové removal lemma a Szemérediho
Hypergrafové removal lemma a Szemérediho věta Zdeněk Dvořák 7. prosince 207 Hypergrafové removal lemma a jeho důsledek Definice. Dvojice (V, E) je k-uniformní hypergraf, je-li E množina neuspořádaných
VíceStromové rozklady. Definice 1. Stromový rozklad grafu G je dvojice (T, β) taková, že T je strom,
Stromové rozklady Zdeněk Dvořák 25. října 2017 Definice 1. Stromový rozklad grafu G je dvojice (T, β) taková, že T je strom, β je funkce přiřazující každému vrcholu T podmnožinu vrcholů v G, pro každé
Více9 Stupně vrcholů, Věta Havla-Hakimiho
Typicé přílady pro zápočtové písemy DiM 470-301 (Kovář, Kovářová, Kubesa) (verze: November 5, 018) 1 9 Stupně vrcholů, Věta Havla-Haimiho 9.1. Doážete nareslit graf na 9 vrcholech, ve terém mají aždé dva
VíceVrcholová barevnost grafu
Vrcholová barevnost grafu Definice: Necht G = (V, E) je obyčejný graf a k N. Zobrazení φ : V {1, 2,..., k} nazýváme k-vrcholovým obarvením grafu G. Pokud φ(u) φ(v) pro každou hranu {u, v} E, nazveme k-vrcholové
VíceMetoda konjugovaných gradientů
0 Metoda onjugovaných gradientů Ludě Kučera MFF UK 11. ledna 2017 V tomto textu je popsáno, ja metodou onjugovaných gradientů řešit soustavu lineárních rovnic Ax = b, de b je daný vetor a A je symetricá
VíceVýroková a predikátová logika - IV
Výroková a predikátová logika - IV Petr Gregor KTIML MFF UK ZS 2018/2019 Petr Gregor (KTIML MFF UK) Výroková a predikátová logika - IV ZS 2018/2019 1 / 17 Tablo metoda Tablo Tablo - příklady F (((p q)
VícePRVOČÍSLA 1 Jan Malý UK v Praze a UJEP v Ústí n. L. Obsah
PRVOČÍSLA Jan Malý UK v Praze a UJEP v Ústí n. L. Obsah. Elementární úlohy o prvočíslech 2. Kongruence 2 3. Algebraicé rovnice a polynomy 3 4. Binomicá a trinomicá věta 5 5. Malá Fermatova věta 7 6. Diferenční
Více1 Gaussova kvadratura
Cvičení - zadání a řešení úloh Zálady numericé matematiy - NMNM0 Verze z 7. prosince 08 Gaussova vadratura Fat, že pro něterá rovnoměrná rozložení uzlů dostáváme přesnost o stupeň vyšší napovídá, že pro
VíceGeometrická zobrazení
Pomocný text Geometricá zobrazení hodná zobrazení hodná zobrazení patří nejjednodušším zobrazením na rovině. Je jich vša hrozně málo a často se stává, že musíme sáhnout i po jiných, nědy výrazně složitějších
VíceMocnost bodu ke kružnici
3..0 ocnost bodu e ružnici Předpolady: 309 Př. : Je dána ružnice a bod, ležící vně ružnice. Veď bodem dvě různé sečny ružnice p a p. Průsečíy sečny p,. Průsečíy sečny p,. Změř potřebné vzdálenosti a spočti
VíceMocnost bodu ke kružnici
3.. ocnost bodu e ružnici Předpolady: 03009 Př. : Je dána ružnice a bod, ležící vně ružnice. Veď bodem dvě různé sečny ružnice p a p. Průsečíy sečny p s ružnicí označ A, B. Průsečíy sečny p s ružnicí označ
Více10 Přednáška ze
10 Přednáška ze 17. 12. 2003 Věta: G = (V, E) lze nakreslit jedním uzavřeným tahem G je souvislý a má všechny stupně sudé. Důkaz G je souvislý. Necht v je libovolný vrchol v G. A mějme uzavřený eurelovský
Více5. cvičení z Matematické analýzy 2
5. cvičení z Matematické analýz 2 30. října - 3. litopadu 207 5. linearizace funkce a Pro funkci f, = e nalezněte její linearizaci v bodě a 0 = 6, 0. Použijte ji k přibližnému určení hodnot funkce f v
Vícegrupa těleso podgrupa konečné těleso polynomy komutativní generovaná prvkem, cyklická, řád prvku charakteristika tělesa
grupa komutativní podgrupa těleso generovaná prvkem, cyklická, řád prvku Malá Fermatova věta konečné těleso charakteristika tělesa polynomy ireducibilní prvky, primitivní prvky definice: G, je grupa kde
Více3.3.4 Thaletova věta. Předpoklady:
3.3.4 Thaletova věta Předpolady: 030303 Př. : Narýsuj ružnici ( ;5cm) a její průměr. Na ružnici narýsuj libovolný bod různý od bodů, (bod zvol jina než soused v lavici). Narýsuj trojúhelní. Má nějaou speciální
VíceBuckinghamův Π-teorém (viz Barenblatt, Scaling, 2003)
Bucinghamův Π-teorém (viz Barenblatt, Scaling, 2003) Formalizace rozměrové analýzy ( výsledné jednoty na obou stranách musí souhlasit ). Rozměr fyziální veličiny Mějme nějaou třídu jednote, napřílad [(g,
VíceH {{u, v} : u,v U u v }
Obyčejný graf Obyčejný graf je dvojice G= U, H, kde U je konečná množina uzlů (vrcholů) a H {{u, v} : u,v U u v } je (konečná) množina hran. O hraně h={u, v} říkáme, že je incidentní s uzly u a v nebo
VíceDefinice 1 eulerovský Definice 2 poloeulerovský
Dále budeme předpokládat, že každý graf je obyčejný a má aspoň tři uzly. Definice 1 Graf G se nazývá eulerovský, existuje-li v něm uzavřený tah, který obsahuje každou hranu v G. Definice 2 Graf G se nazývá
Více3.2.9 Věta o středovém a obvodovém úhlu
3..9 ěta o středovém a obvodovém úhlu Předpolady: ody, rozdělují ružnici na dva oblouy. Polopřímy a pa rozdělují rovinu na dva úhly. rcholy obou úhlů leží ve středu ružnice říáme, že jde o středové úhly
VícePříklady: - počet členů dané domácnosti - počet zákazníků ve frontě - počet pokusů do padnutí čísla šest - životnost televizoru - věk člověka
Náhodná veličina Náhodnou veličinou nazýváme veličinu, terá s určitými p-stmi nabývá reálných hodnot jednoznačně přiřazených výsledům příslušných náhodných pousů Náhodné veličiny obvyle dělíme na dva záladní
Více4. Přednáška: Kvazi-Newtonovské metody:
4 Přednáša: Kvazi-Newtonovsé metody: Metody s proměnnou metriou, modifiace Newtonovy metody Efetivní pro menší úlohy s hustou Hessovou maticí Newtonova metoda (opaování): f aproximujeme loálně vadraticou
VíceDalší NP-úplné problémy
Další NP-úplné problémy Známe SAT, CNF, 3CNF, k-klika... a ještě následující easy NP-úplný problém: Existence Certifikátu (CERT ) Instance: M, x, t, kde M je DTS, x je řetězec, t číslo zakódované jako
Více4. cvičení z Matematické analýzy 2
4. cvičení z Matematické analýzy 2 22. - 26. října 208 4. Po funkci fx, y, z xy 2 + z 3 xyz učete v bodě a 0,, 2 deivaci ve měu u, kteý je učen tím, že víá kladnými měy ouřadných o potupně úhly 60, 45
VíceKMA/P506 Pravděpodobnost a statistika KMA/P507 Statistika na PC
Přednáša 04 Přírodovědecá faulta Katedra matematiy KMA/P506 Pravděpodobnost a statistia KMA/P507 Statistia na PC jiri.cihlar@ujep.cz Záon velých čísel Lemma Nechť náhodná veličina nabývá pouze nezáporných
VíceTento text je stručným shrnutím těch tvrzení Ramseyovy teorie, která zazněla
Ramseyovy věty Martin Mareš Tento text je stručným shrnutím těch tvrzení Ramseyovy teorie, která zazněla na mé letošní přednášce z Kombinatoriky a grafů I Předpokládá, že čtenář se již seznámil se základní
Více7.3.9 Směrnicový tvar rovnice přímky
7.3.9 Směrnicový tvar rovnice přímy Předpolady: 7306 Pedagogicá poznáma: Stává se, že v hodině nestihneme poslední část s určováním vztahu mezi směrnicemi olmých příme. Vrátíme se obecné rovnici přímy:
VíceKonstrukce trojúhelníků II
.7.0 Konstruce trojúhelníů II Předpolady: 00709 Minulá hodina: Tři věty o shodnosti (odpovídají jednoznačným postupům pro onstruci trojúhelníu): Věta sss: Shodují-li se dva trojúhelníy ve všech třech stranách,
VíceKřivkové integrály prvního druhu Vypočítejte dané křivkové integrály prvního druhu v R 2.
Křivové integrál prvního druhu Vpočítejte dané řivové integrál prvního druhu v R. Přílad. ds x, de je úseča AB, A[, ], B[4, ]. Řešení: Pro řivový integrál prvního druhu platí: fx, ) ds β α fϕt), ψt)) ϕ
Více1 Nenulové toky. 1.1 Úvod. 1.2 Definice
1 Nenulové toky 1.1 Úvod Naším výchozím bodem bude grafová dualita. Nechť G je graf s daným vnořením v rovině, které určuje jeho duální graf G. V rámci duality si navzájem odpovídají například následující
VíceKapitola 1. Úvod. 1.1 Značení. 1.2 Výroky - opakování. N... přirozená čísla (1, 2, 3,...). Q... racionální čísla ( p, kde p Z a q N) R...
Kapitola 1 Úvod 1.1 Značení N... přirozená čísla (1, 2, 3,...). Z... celá čísla ( 3, 2, 1, 0, 1, 2,...). Q... racionální čísla ( p, kde p Z a q N) q R... reálná čísla C... komplexní čísla 1.2 Výroky -
VíceBudeme pokračovat v nahrazování funkce f(x) v okolí bodu a polynomy, tj. hledat vhodné konstanty c n tak, aby bylo pro malá x a. = f (a), f(x) f(a)
Předáša 7 Derivace a difereciály vyšších řádů Budeme poračovat v ahrazováí fuce f(x v oolí bodu a polyomy, tj hledat vhodé ostaty c ta, aby bylo pro malá x a f(x c 0 + c 1 (x a + c 2 (x a 2 + c 3 (x a
Vícef (k) (x 0 ) (x x 0 ) k, x (x 0 r, x 0 + r). k! f(x) = k=1 Řada se nazývá Taylorovou řadou funkce f v bodě x 0. Přehled některých Taylorových řad.
8. Taylorova řada. V urzu matematiy jsme uázali, že je možné funci f, terá má v oolí bodu x derivace aproximovat polynomem, jehož derivace se shodují s derivacemi aproximované funce v bodě x. Poud má funce
VíceANALÝZA A KLASIFIKACE DAT. Institut biostatistiky a analýz
ANALÝZA A KLASIFIKACE DAT prof. Ing. Jiří Holčík,, CSc. III. PŘÍZNAKOVÁ KLASIFIKACE - ÚVOD PŘÍZNAKOVÝ POPIS Příznakový obraz x zpracovávaných dat je vyjádřen n-rozměrným loupcovým vektorem hodnot x i,
VíceUkážeme si lineární algoritmus, který pro pevné k rozhodne, zda vstupní. stromový rozklad. Poznamenejme, že je-li k součástí vstupu, pak rozhodnout
Ukážeme si lineární algoritmus, který pro pevné k rozhodne, zda vstupní graf má stromovou šířku nejvýše k, a je-li tomu tak, také vrátí příslušný stromový rozklad. Poznamenejme, že je-li k součástí vstupu,
VíceÚlohy krajského kola kategorie A
63. roční matematicé olympiády Úlohy rajsého ola ategorie A 1. Najděte všechna celá ladná čísla, terá nejsou mocninou čísla 2 a terá se rovnají součtu trojnásobu svého největšího lichého dělitele a pětinásobu
VíceSyntetická geometrie. Josef Tkadlec. online prostředí, Operační program Praha Adaptabilita, registrační číslo CZ.2.17/3.1.00/31165.
Synteticá geometrie Josef Tadlec Kurz vznil v rámci projetu Rozvoj systému vzdělávacích příležitostí pro nadané žáy a studenty v přírodních vědách a matematice s využitím online prostředí, Operační program
Více1.3.5 Kružnice, kruh. Předpoklady: Narýsuj bod S. Kružítkem narýsuj kružnici se středem v bodu S a poloměrem 3 cm.
1.3.5 Kružnice, ruh Předpolady: 010304 Př. 1: Narýsuj bod. Kružítem narýsuj ružnici se středem v bodu a poloměrem 3 cm. tejně jao přímy označujeme ružnice malým písmenem (většinou začínáme písmenem ;3cm,
Více3.2.9 Věta o středovém a obvodovém úhlu
3..9 ěta o středovém a obvodovém úhlu Předpolady: ody, rozdělují ružnici na dva oblouy. Polopřímy a pa rozdělují rovinu na dva úhly. rcholy obou úhlů leží ve středu ružnice říáme, že jde o středové úhly
Více1.1. Primitivní funkce a neurčitý integrál
Mateatia II. NEURČITÝ INTEGRÁL.. Priitiví fuce a eurčitý itegrál Defiice... Říáe, že fuce F( ) je v itervalu ( ab, ) priitiví fucí fuci f ( ), platí-li pro všecha ( ab, ) vztah F = f. Defiice... Možia
Více7.3.9 Směrnicový tvar rovnice přímky
739 Směrnicový tvar rovnice přímy Předpolady: 7306 Pedagogicá poznáma: Stává se, že v hodině nestihneme poslední část s určováním vztahu mezi směrnicemi olmých příme Vrátíme se obecné rovnici přímy: Obecná
Vícea jiné elektronické přístroje včetně mobilů. Pracujte samostatně. Povolen je 1 list A4 vlastnoručně psaných poznámek k předmětu...
Písemný test MA010 Grafy: 17.1. 2007, var A... 1). Vašim úkolem je sestrojit všechny neisomorfní jednoduché souvislé grafy na 6 vrcholech mající posloupnost stupňů 1,2,2,2,2,3. Zároveň zdůvodněte, proč
VíceDiamantová suma - řešení příkladů 1.kola
Diamantová suma - řešení příladů.ola. Doažte, že pro aždé přirozené číslo n platí.n + 2.n + + n.n < 2. Postupujeme matematicou inducí. Levou stranu nerovnosti označme s n. Nejmenší n, pro než má smysl
VíceTOPOLOGIE A TEORIE KATEGORIÍ (2017/2018) 3. PREDNÁŠKA - KOMPAKTNÍ PROSTORY.
TOPOLOGIE A TEORIE KATEGORIÍ (2017/2018) 3. PREDNÁŠKA - KOMPAKTNÍ PROSTORY. PAVEL RŮŽIČKA 3.1. Kompaktní prostory. Buď (X, τ) topologický prostor a Y X. Řekneme, že A τ je otevřené pokrytí množiny Y, je-li
Více( ) Příklady na otočení. Předpoklady: Př. 1: Je dána kružnice k ( S ;5cm)
3.5.9 Přílady na otočení Předpolady: 3508 Př. 1: Je dána ružnice ( ;5cm), na teré leží body, '. Vně ružnice leží bod L, uvnitř ružnice bod M. Naresli obrazy bodů L, M v zobrazení řeš bez úhloměru. R (
Více1. ročník, 2011/ 2012 Medzinárodný korešpondenčný seminár iks
1. roční, 2011/ 2012 Medzinárodný orešpondenčný seminár iks Řešení 5. série Úloha5. Vřaděje N žároveočíslovanýchpostupně 1až N.Kroem rozumímepřepnutí třížárove,jejichžčísla a, b, csplňují a + c = 2b.Určetevšechna
VícePredik atov a logika - pˇredn aˇska () Predik atov a logika - pˇredn aˇska / 16
Predikátová logika - přednáška 3 6. 1. 2015 () Predikátová logika - přednáška 3 6. 1. 2015 1 / 16 Věta (o dedukci) Bud L jazyk, T teorie pro L, ϕ L-sentence a ψ L-formule. Pak Věta (o kompaktnosti) T ϕ
VíceZÁKLADY AUTOMATICKÉHO ŘÍZENÍ
VYSOKÁ ŠKOLA BÁŇSKÁ TECHNICKÁ UNIVERZITA OSTRAVA FAKULTA STROJNÍ ZÁKLADY AUTOMATICKÉHO ŘÍZENÍ týden doc Ing Renata WAGNEROVÁ, PhD Otrava 013 doc Ing Renata WAGNEROVÁ, PhD Vyoká škola báňká Technická univerzita
Více3. Mocninné a Taylorovy řady
3. Mocninné a Taylorovy řady A. Záladní pojmy. Obor onvergence Mocninné řady jsou nejjednodušším speciálním případem funčních řad. Jsou to funční řady, jejichž členy jsou mocninné funce. V této apitole
VíceBipartitní grafy. Karel Klouda c KTI, FIT, ČVUT v Praze 28. března, letní semestr 2010/2011
MI-MPI, Přednáška č. 7 Karel Klouda karel.klouda@fit.cvut.cz c KTI, FIT, ČVUT v Praze 28. března, letní semestr 2010/2011 Bipartitní graf definice Definice Graf G = (W, E) se nazývá bipartitní / bipartite,
VíceVLASTNOSTI GRAFŮ. Doc. RNDr. Josef Kolář, CSc. Katedra teoretické informatiky, FIT České vysoké učení technické v Praze. BI-GRA, LS 2010/2011, Lekce 5
VLASTNOSTI GRAFŮ Doc. RNDr. Josef Kolář, CSc. Katedra teoretické informatiky, FIT České vysoké učení technické v Praze BI-GRA, LS 2010/2011, Lekce 5 Evropský sociální fond Praha & EU: Investujeme do vaší
VíceKaždé formuli výrokového počtu přiřadíme hodnotu 0, půjde-li o formuli nepravdivou, a hodnotu 1, půjde-li. α neplatí. β je nutná podmínka pro α
1. JAZYK ATEATIKY 1.1 nožiny nožina je souhrn objektů určitých vlastností, které chápeme jako celek. ZNAČENÍ. x A x A θ A = { { a, b a A = B A B 0, 1 2 a, a,..., a n x patří do množiny A x nepatří do množiny
VíceBinomická věta
97 Binomicá věta Předpolady: 96 Kdysi dávno v prvním ročníu jsme se učili vzorce na umocňování dvojčlenu Př : V tabulce jsou vypsány vzorce pro umocňování dvojčlenu Najdi podobnost s jinou dosud probíranou
VíceNáhodná veličina Číselné charakteristiky diskrétních náhodných veličin Spojitá náhodná veličina. Pravděpodobnost
Pravděpodobnost Náhodné veličiny a jejich číselné charakteristiky Petr Liška Masarykova univerzita 19.9.2014 Představme si, že provádíme pokus, jehož výsledek dokážeme ohodnotit číslem. Před provedením
VícePŘEDNÁŠKA 5 Konjuktivně disjunktivní termy, konečné distributivní svazy
PŘEDNÁŠKA 5 Konjuktivně disjunktivní termy, konečné distributivní svazy PAVEL RŮŽIČKA Abstrakt. Ukážeme, že každý prvek distributivního svazu odpovídá termu v konjuktivně-disjunktivním (resp. disjunktivně-konjunktivním)
VíceKMA/P506 Pravděpodobnost a statistika KMA/P507 Statistika na PC
Přednáša 02 Přírodovědecá faulta Katedra matematiy KMA/P506 Pravděpodobnost a statistia KMA/P507 Statistia na PC jiri.cihlar@ujep.cz Náhodné veličiny Záladní definice Nechť je dán pravděpodobnostní prostor
VíceV této sekci zobecníme vnější kalkulus z kapitoly 4 operaci vnějšího. se sice na zde zavedené operace budeme odvolávat, vždy ale jen jako
[2.03,1.12,1.14,2.04,2.02,2.02,2.03,2.03,2.02,0,1.03] Kapitola 8 Kovariantní vnější derivace V této seci zobecníme vnější alulus z apitoly 4 operaci vnějšího součinu a vnější derivace na obecnější tenzorové
VíceModely Herbrandovské interpretace
Modely Herbrandovské interpretace Petr Štěpánek S využitím materialu Krysztofa R. Apta 2006 Logické programování 8 1 Uvedli jsme termové interpretace a termové modely pro logické programy a také nejmenší
VíceDiskrétní matematika. DiM /01, zimní semestr 2018/2019
Diskrétní matematika Petr Kovář petr.kovar@vsb.cz Vysoká škola báňská Technická univerzita Ostrava DiM 470-2301/01, zimní semestr 2018/2019 O tomto souboru Tento soubor je zamýšlen především jako pomůcka
Více1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1
1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1 2 Aritmetické vektorové prostory 7 3 Eukleidovské vektorové prostory 9 Levá vnější operace Definice 5.1 Necht A B. Levou vnější
VíceVýroková a predikátová logika - II
Výroková a predikátová logika - II Petr Gregor KTIML MFF UK ZS 2017/2018 Petr Gregor (KTIML MFF UK) Výroková a predikátová logika - II ZS 2017/2018 1 / 17 Předběžnosti Základní pojmy n-ární relace a funkce
VíceDiskrétní matematika. DiM /01, zimní semestr 2016/2017
Diskrétní matematika Petr Kovář petr.kovar@vsb.cz Vysoká škola báňská Technická univerzita Ostrava DiM 470-2301/01, zimní semestr 2016/2017 O tomto souboru Tento soubor je zamýšlen především jako pomůcka
VíceDiskrétní matematika. DiM /01, zimní semestr 2018/2019
Diskrétní matematika Petr Kovář petr.kovar@vsb.cz Vysoká škola báňská Technická univerzita Ostrava DiM 470-2301/01, zimní semestr 2018/2019 O tomto souboru Tento soubor je zamýšlen především jako pomůcka
VíceKolik existuje různých stromů na pevně dané n-prvkové množině vrcholů?
Kapitola 9 Matice a počet koster Graf (orientovaný i neorientovaný) lze popsat maticí, a to hned několika různými způsoby. Tématem této kapitoly jsou incidenční matice orientovaných grafů a souvislosti
VícePLANIMETRIE ÚHLY V KRUŽNICÍCH KRUŽNICE
Předmět: Roční: Vytvořil: Datum: MTEMTIK DRUHÝ Mgr Tomáš MŇÁK 17 větna 2012 Název zpracovaného celu: PLNIMETRIE ÚHLY V KRUŽNICÍCH KRUŽNICE Kružnice je množina všech bodů X v rovině, teré mají od daného
VícePRIMITIVNÍ FUNKCE. Primitivní funkce primitivní funkce. geometrický popis integrály 1 integrály 2 spojité funkce konstrukce prim.
PRIMITIVNÍ FUNKCE V předchozích částech byly zkoumány derivace funkcí a hlavním tématem byly funkce, které derivace mají. V této kapitole se budou zkoumat funkce, které naopak jsou derivacemi jiných funkcí
VíceTeoretická informatika Tomáš Foltýnek Barvení grafů Platónská tělesa
Tomáš Foltýnek foltynek@pef.mendelu.cz Barvení grafů Platónská tělesa strana 2 Opakování z minulé přednášky Co je to prohledávání grafu? Jaké způsoby prohledávání grafu známe? Jak nalézt východ z bludiště?
VíceUčební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Skalární součin. študenti MFF 15. augusta 2008
Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Skalární součin študenti MFF 15. augusta 2008 1 10 Skalární součin Požadavky Vlastnosti v reálném i komplexním případě Norma Cauchy-Schwarzova nerovnost
VíceRovnice se separovanými proměnnými
Rovnice se separovanými proměnnými V této kapitole se budeme zabývat následující diferenciální rovnicí: y = g(y)f(x), (1) kde f a g jsou reálné funkce reálné proměnné. Tato rovnice se nazývá rovnice se
VícePřijímací zkouška - matematika
Přijímací zkouška - matematika Jméno a příjmení pište do okénka Číslo přihlášky Číslo zadání 1 Grafy 1 Pro který z následujících problémů není znám žádný algoritmus s polynomiální časovou složitostí? Problém,
VíceMatematika (KMI/PMATE)
Úvod do matematické analýzy Funkce a její vlastnosti Funkce a její vlastnosti Veličina Veličina - pojem, který popisuje kvantitativní (číselné) vlastnosti reálných i abstraktních objektů. Funkce a její
Více0.1 Funkce a její vlastnosti
0.1 Funkce a její vlastnosti Veličina - pojem, který popisuje kvantitativní (číselné) vlastnosti reálných i abstraktních objektů. Příklady veličin: hmotnost (m) čas (t) výše úrokové sazby v bance (i) cena
VíceDrsná matematika III 9. přednáška Rovinné grafy: Stromy, konvexní mnohoúhelníky v prostoru a Platónská tělesa
Drsná matematika III 9. přednáška Rovinné grafy: Stromy, konvexní mnohoúhelníky v prostoru a Platónská tělesa Jan Slovák Masarykova univerzita Fakulta informatiky 14. 11. 21 Obsah přednášky 1 Literatura
Více1. KOMBINATORIKA. Příklad 1.1: Mějme množinu A a. f) uspořádaných pětic množiny B a. Řešení: a)
1. KOMBINATORIKA Kombinatoria je obor matematiy, terý zoumá supiny prvů vybíraných z jisté záladní množiny. Tyto supiny dělíme jedna podle toho, zda u nich záleží nebo nezáleží na pořadí zastoupených prvů
VíceZadání a řešení testu z matematiky a zpráva o výsledcích přijímacího řízení do magisterského navazujícího studia od jara 2014
Zadání a řešení testu z matematiky a zpráva o výsledcích přijímacího řízení do magisterského navazujícího studia od jara 2014 Zpráva o výsledcích přijímacího řízení do magisterského navazujícího studia
VícePRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA
PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA Číselné charateristiy náhodných proměnných Charateristiy náhodných proměnných dělíme nejčastěji na charateristiy polohy a variability. Mezi charateristiy polohy se nejčastěji
VícePRIMITIVNÍ FUNKCE DEFINICE A MOTIVACE
PIMITIVNÍ FUNKCE V předchozích částech byly zkoumány derivace funkcí a hlavním tématem byly funkce, které derivace mají. V této kapitole se budou zkoumat funkce, které naopak jsou derivacemi jiných funkcí
Víceje amplituda indukovaného dipólového momentu s frekvencí ω
Induované oscilující eletricé dipóly jao zdroje rozptýleného záření Ja v lasicém, ta i v vantově-mechanicém přístupu jsou za původce rozptýleného záření považovány oscilující eletricé a magneticé multipólové
VíceLineární algebra : Násobení matic a inverzní matice
Lineární algebra : Násobení matic a inverzní matice (8. přednáška) František Štampach, Karel Klouda LS 2013/2014 vytvořeno: 17. března 2014, 12:42 1 2 0.1 Násobení matic Definice 1. Buďte m, n, p N, A
VíceMatematická logika. Miroslav Kolařík
Matematická logika přednáška šestá Miroslav Kolařík Zpracováno dle textu R. Bělohlávka: Matematická logika poznámky k přednáškám, 2004. a dle učebního textu R. Bělohlávka a V. Vychodila: Diskrétní matematika
VíceZákladním pojmem v kombinatorice je pojem (k-prvková) skupina, nebo také k-tice prvků, kde k je přirozené číslo.
přednáša KOMBINATORIKA Kombinatoria je obor matematiy, terý se zabývá uspořádáním daných prvů podle určitých pravidel do určitých supin Záladním pojmem v ombinatorice je pojem (-prvová) supina, nebo taé
VíceMatematika 2 pro PEF PaE
Vektorové prostory 1 / 17 Matematika 2 pro PEF PaE 8. Vektorové prostory Přemysl Jedlička Katedra matematiky, TF ČZU Vektorové prostory Vektorové prostory a podprostory 2 / 17 vektorového prostoru Množina
Více2. přednáška 8. října 2007
2. přednáška 8. října 2007 Konvergence v metrických prostorech. Posloupnost bodů (a n ) M v metrickém prostoru (M, d) konverguje (je konvergentní), když v M existuje takový bod a, že lim n d(a n, a) =
VíceDiskrétní matematika. DiM /01, zimní semestr 2018/2019
Diskrétní matematika Petr Kovář petr.kovar@vsb.cz Vysoká škola báňská Technická univerzita Ostrava DiM 470-2301/01, zimní semestr 2018/2019 O tomto souboru Tento soubor je zamýšlen především jako pomůcka
VíceLineární programování
Lineární programování Petr Tichý 19. prosince 2012 1 Outline 1 Lineární programování 2 Optimalita a dualita 3 Geometrie úlohy 4 Simplexová metoda 2 Lineární programování Lineární program (1) min f(x) za
VíceDůkaz Heineho Borelovy věty. Bez újmy na obecnosti vezmeme celý prostor A = M (proč? úloha 1). Implikace. Nechť je (M, d) kompaktní a nechť.
Přednáška 3, 19. října 2015 Důkaz Heineho Borelovy věty. Bez újmy na obecnosti vezmeme celý prostor A = M (proč? úloha 1). Implikace. Nechť je (M, d) kompaktní a nechť X i = M i I je jeho pokrytí otevřenými
VíceTGH09 - Barvení grafů
TGH09 - Barvení grafů Jan Březina Technical University of Liberec 15. dubna 2013 Problém: Najít obarvení států na mapě tak, aby žádné sousední státy neměli stejnou barvu. Motivační problém Problém: Najít
VíceRené Grežďo. Vrcholové barvení grafu
Západočeská univerzita v Plzni Fakulta aplikovaných věd BAKALÁŘSKÁ PRÁCE René Grežďo Vrcholové barvení grafu Katedra matematiky Vedoucí bakalářské práce: Studijní program: Studijní obor: RNDr. Jan Ekstein,
VíceTOPOLOGIE A TEORIE KATEGORIÍ (2017/2018) 4. PREDNÁŠKA - SOUČIN PROSTORŮ A TICHONOVOVA VĚTA.
TOPOLOGIE A TEORIE KATEGORIÍ (2017/2018) 4. PREDNÁŠKA - SOUČIN PROSTORŮ A TICHONOVOVA VĚTA. PAVEL RŮŽIČKA 4.1. (Kvazi)kompaktnost a sub-báze. Buď (Q, ) uspořádaná množina. Řetězcem v Q budeme rozumět lineárně
VícePříklady k přednášce 16 - Pozorovatel a výstupní ZV
Příklady k přednášce 6 - Pozorovatel a výtupní ZV Michael Šebek Automatické řízení 08 6-4-8 Příklad: Pozorovatel pro kyvadlo naivně pro kyvadlo frekvencí ω 0 a rovnicemi x 0 x 0 navrhneme pozorovatel dvojitým
Více19. Druhý rozklad lineární transformace
Matematický ústav Slezské univerzity v Opavě Učební texty k přednášce ALGEBRA II, letní semestr 2000/2001 Michal Marvan Úmluva. Všude P = C. Vpřednášce o vlastních vektorech jsme se seznámili s diagonalizovatelnými
VíceAnalýza Petriho sítí. Analýza Petriho sítí p.1/28
Analýza Petriho sítí Analýza Petriho sítí p.1/28 1. Základní pojmy Základní problémy analýzy bezpečnost (safeness) omezenost (boundness) konzervativnost (conservation) živost (liveness) Definice 1: Místo
VíceLineární algebra : Násobení matic a inverzní matice
Lineární algebra : Násobení matic a inverzní matice (8. přednáška) František Štampach, Karel Klouda frantisek.stampach@fit.cvut.cz, karel.klouda@fit.cvut.cz Katedra aplikované matematiky Fakulta informačních
VícePříklady k přednášce 19 - Polynomiální metody
Příklady k přednášce 19 - Polynomiální metody Michael Šebek Automatické řízení 013 7-4-14 Opakování: Dělení polynomů: e zbytkem a bez Polynomy tvoří okruh, ale ne těleo (Okruh tvoří také celá číla, těleo
VíceIB112 Základy matematiky
IB112 Základy matematiky Základy kombinatoriky a kombinatorická pravděpodobnost Jan Strejček Obsah IB112 Základy matematiky: Základy kombinatoriky a kombinatorická pravděpodobnost 2/57 Výběry prvků bez
VíceFunkce a limita. Petr Hasil. Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF)
Funkce a limita Petr Hasil Přednáška z matematiky Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipĺıny společného základu
VícePřednáška 9, 28. listopadu 2014 Část 4: limita funkce v bodě a spojitost funkce
Přednáška 9, 28. listopadu 2014 Část 4: limita funkce v bodě a spojitost funkce Zápisem f : M R rozumíme, že je dána funkce definovaná na neprázdné množině M R reálných čísel, což je množina dvojic f =
VíceZadání a řešení testu z matematiky a zpráva o výsledcích přijímacího řízení do magisterského navazujícího studia od jara 2017
Zadání a řešení testu z matematiky a zpráva o výsledcích přijímacího řízení do magisterského navazujícího studia od jara 207 Zpráva o výsledcích přijímacího řízení do magisterského navazujícího studia
Více