Geometrická zobrazení

Transkript

1 Pomocný text Geometricá zobrazení hodná zobrazení hodná zobrazení patří nejjednodušším zobrazením na rovině. Je jich vša hrozně málo a často se stává, že musíme sáhnout i po jiných, nědy výrazně složitějších zobrazeních, o terých se budeme bavit později. Nejprve si vša představíme ta shodná: Definice 2.1. Nechť f je zobrazení roviny α na sebe, teré zachovává dély (tj. zobrazí-li se úseča AB na úseču A B, pa AB = A B ). Pa f je shodné zobrazení. Klasifiace shodných zobrazení: 1) Osová souměrnost je zobrazení dané přímou o, teré se říá osa souměrnosti. Obrazem bodu A v osové souměrnosti podle osy o je bod A, terý splňuje: AA o a zároveň střed úsečy AA leží na ose o. Body ležící na ose o jsou samodružné (tj. zobrazují se samy na sebe). 2) Posunutí (translace) je zobrazení dané vetorem v. Obrazem bodu A v posunutí o vetor v je bod A taový, že AA = v. Je-li vetor v nenulové dély, pa toto zobrazení nemá žádný samodružný bod. 3) Rotace (otočení) je zobrazení dané středem rotace a úhlem φ. Obrazem bodu A v rotaci se středem o úhel φ je bod A, de veliost orientovaného úhlu AA je rovna veliosti úhlu φ a A = A. třed rotace je samodružný. Poznáma. Každou shodnost lze vyjádřit jao složení něolia osových souměrností. Podobná zobrazení Úlohy na podobná zobrazení se velmi často vysytují v olympiádách a v jim podobných soutěžích. Jedná se o středošolsé učivo s daleým využitím v geometricých úlohách. Definice 2.2. Nechť f je zobrazení roviny α na sebe, teré zachovává poměry déle (tj. existuje onstanta > 0 taová, že zobrazí-li se úseča AB na úseču A B, pa A B = AB ). Pa f je podobné zobrazení, onstantu nazýváme oeficient podobnosti f.

2 Klasifiace podobných zobrazení: 1) hodnost Každé shodné zobrazení zachovává poměry déle a to s oeficientem podobnosti 1. 2) tejnolehlost (homotetie) je zobrazení dané středem stejnolehlosti a nenulovým oeficientem R. Obrazem bodu A v stejnolehlosti se středem a oeficientem je bod A : a) Poud > 0, pa A leží na polopřímce A a platí A = A. b) Poud < 0, pa A leží na polopřímce opačné polopřímce A a platí A = A. třed stejnolehlosti je v tomto zobrazení samodružný bod. 3) Ostatní podobná zobrazení lze vždy vyjádřit jao složení homotetie s něterou shodností. Afinní zobrazení Jistě se již aždý z nás setal s rovnoběžným přímočarým promítáním, teré se užívá napřílad ve stereometrii. Jde o zobrazení mezi dvěma rovinami definované tato: Definice 2.3. Nechť α, β jsou dané různoběžné roviny v prostoru E 3. Dále zvolme přímu p E 3 protínající obě roviny α, β. Nyní si definujme zobrazení f roviny α na rovinu β: Obrazem bodu X α v tomto zobrazení je bod Y β taový, že XY p. Zobrazení f nazveme rovoběžné přímočaré promítání roviny α na rovinu β ve směru přímy p. Věta 2.1. Rovnoběžné přímočaré promítání zachovává poměry obsahů - napřílad poměr obsahů dvou trojúhelníů a poměr obsahů jejich obrazů v tomto zobrazení je stejný (důaz je mimo rozsah tohoto textu). Obrazy dvou rovnoběžných příme jsou opět rovnoběžy. Rovnoběžné přímočaré promítání poměrně dost souvisí s afinním zobrazením, teré si definujeme v následujících odstavcích: Definice 2.4. Nechť V je libovolný bod v E 2 a v 1, v 2 E 2 dvojice lineárně nezávislých vetorů (tj. nerovnoběžných s nenulovou délou). Bodu V nyní začneme říat počáte. Trojice (V, v 1, v 2 ) se nazývá repér s počátem V a vetory báze v 1, v 2. Poznáma. V případě výběru dvou na sebe olmých vetorů se stejnou délou 1 se jedná o artézsou soustavu souřadnic. Definice 2.5. Nechť (V, v 1, v 2 ) je repér. Každé uspořádané dvojici reálných čísel [ 1, 2 ] přiřadíme bod K, do něhož se dostaneme z bodu V přičtením 1 -násobu vetoru v 1 a 2 -násobu vetoru v 2. Dvojici [ 1, 2 ] nazýváme souřadnice bodu K (v repéru (V, v 1, v 2 )). Není těžé si uvědomit, že taovéto přiřazení je bijetivní, a tedy i opačně jsme aždému bodu roviny E 2 jednoznačně přiřadili jeho souřadnice v repéru (V, v 1, v 2 ). (Napřílad bodu V jsme přiřadili souřadnice [0, 0].) Definice 2.6. Mějme dva různé repéry R 1, R 2 v rovině E 2. Afinní zobrazení t určené repéry R 1, R 2 definujeme tato: libovolnému bodu A E 2 se souřadnicemi [l 1, l 2 ] v repéru R 1 je přiřazen bod t(a) E 2 se stejnými souřadnicemi [l 1, l 2 ], ale v repéru R 2.

3 Jao přílad poslouží následující zobrazení: Body A, B, C, D, E, F jsou v repéru ([0, 0], (1, 0), (0, 1)) vrcholy pravidelného šestiúhelnía, ja je vidět na prvním obrázu. 4 3 E D 2 F C 1 0 A B Poud vša jejich souřadnice zaznačíme v jiném repéru, dostaneme afinní obraz šestiúhelnía ABCDEF, ja je vidět na druhém obrázu: 3 4 E D 1 2 F C 0 A B Všimněme si, že obrazem libovolných dvou rovnoběžných příme jsou opět rovnoběžy. Věta 2.2. Mějme množinu M 1 bodů v rovině s obsahem 1, zaznačenou v repéru R 1 = (V, v 1.v 2 ). Její afinní obraz v repéru R 2 = (W, w 1, w 2 ) označme M 2 a jeho obsah 2. Platí 1 2 = v 1 v 2 w 1 w 2, což je pro onrétní afinitu vždy onstanta. Afinní zobrazení tedy zachovává poměry veliostí obsahů. Nyní se dostáváme tomu, ja spolu souvisí afinní zobrazení a rovnoběžné přímočaré promítání: Věta 2.3. Mějme různoběžné roviny α, β E 3. Každé zobrazení složené z rovnoběžného promítání roviny α na rovinu β následovaného rovnoběžným promítáním roviny β na rovinu α je afinní zobrazení na rovině α. Poznáma. V předešlém zobrazení se úseča rovnoběžná s průsečnicí rovin α a β zobrazí na úseču stejné dély. Užitím pouze dvou různoběžných rovin tedy nemůžeme dostat libovolné afinní zobrazení. To, zda tři rovnoběžná přímočará promítání již postačí pro onstruci libovolné afinity, nebo jich budeme v něterých případech potřebovat více, necháme na rozmyšlení čtenáři.

4 Kruhová inverze Kruhová inverze je posledním zobrazením, terým se zde budeme zabývat. Jde již o poměrně složitou transformaci roviny a může nám pomoci u geometricých úloh, de se nám nedaří problém vyřešit předcházejícími prostředy. Typicy se užitím ruhové inverze dostaneme výrazně odlišné situaci, terá může být snáze rozřešitelná. Nepochybně ta patří velmi užitečným zobrazením, teré by měl maturant se zájmem o matematiu znát. Její ovládnutí pa vyžaduje léta cviu. Poznáma. Rovinu E 2 si doplníme o její nevlastní bod - neonečno. Tato vznilou množinu budeme označovat jao E 2 = E 2 { } Tato množina bodů má zajímavé vlastnosti - napřílad přímy se zde chovají jao ružnice s neonečným poloměrem a všechny přímy se protínají v neonečnu. Definice 2.7. Je dána ružnice se středem a poloměrem r > 0. Nechť f je zobrazení E 2 na E 2, ve terém se bod zobrazí do neonečna, neonečno zase na bod a aždý bod A E 2, A se zobrazí na bod A E 2 ta, že A leží na polopřímce A a platí A A = r 2. Pa zobrazení f nazýváme ruhovou inverzí podle ružnice. Poznáma. Všechny body ležící na ružnici jsou v ruhové inverzi podle ružnice samodružné. To znamená, že zobrazujeme-li v tomto zobrazení objet, terý má s ružnicí společný bod X, pa bude bod X náležet i obrazu tohoto objetu. Věta 2.4. Kruhová inverze je involutorní zobrazení, tedy dyž zobrazíme rovinu dvarát v téže ruhové inverzi, dostaneme identitu. Věta 2.5. Nechť je ružnice se středem a poloměrem r. Dále nechť A je libovolný bod uvnitř ružnice. Bodem A nazvěme obraz bodu A v ruhové inverzi podle ružnice. Zřejmě A leží vně ružnice. Označme T dotyový bod jedné z tečen e ružnici z bodu A. Potom bod A je pata olmice spuštěné z bodu T na přímu A. T r a A a A Důaz. Označme a, resp. a délu úsečy A, resp. A. Protože A je obrazem bodu A v ruhové inverzi s ružnicí o poloměru r, platí a a = r 2. Dále označme T 0 patu olmice z bodu T na přímu A. Euleidova věta o odvěsně T v pravoúhlém trojúhelníu A T nám říá, že přičemž r2 a r 2 = T 2 = T 0 A = T 0 a. T 0 = r2 a, = a. Přitom zřejmě T 0 A. Proto T 0 = A, čímž je důaz hotov.

5 Následující větu uvádíme bez důazu a je třeba si ji dobře promyslet. Obsahuje totiž nejdůležitější poznaty potřebné úspěšnému užití ruhové inverze: Věta 2.6. Mějme ružnici se středem o poloměru r a zobrazme následující útvary v ruhové inverzi podle : 1) Obrazem přímy p procházející středem ruhové inverze je ta stejná příma p. 2) Obrazem přímy p neprocházející bodem je ružnice l se středem L procházející bodem taová, že L p. Poud má navíc příma p s ružnicí společný bod, leží tento bod i na ružnici l (je to totiž samodružný bod). l L p p l L 3) Obrazem ružnice l se středem L procházející bodem je příma p olmá na přímu L. (Plyne z předchozího a involutornosti ruhové inverze.) 4) Obrazem ružnice m neprocházející bodem je ružnice n neprocházející bodem. Poud je navíc bod vně ružnice m, pa mají ružnice m, n společné tečny a ty se protínají v bodě. n m n M N m M N