3.2.9 Věta o středovém a obvodovém úhlu

Transkript

1 3..9 ěta o středovém a obvodovém úhlu Předpolady: ody, rozdělují ružnici na dva oblouy. Polopřímy a pa rozdělují rovinu na dva úhly. rcholy obou úhlů leží ve středu ružnice říáme, že jde o středové úhly příslušné oblouu. ětšímu oblouu přísluší neonvexní středový úhel. Menšímu oblouu přísluší onvexní středový úhel. Dodate: Definice: Úhel, jehož vrcholem je střed ružnice a ramena procházejí rajními body oblouu ružnice, se nazývá středový úhel příslušný tomu oblouu, terý v tomto úhlu leží. Kromě středového úhlu můžeme oběma oblouům najít i úhly obvodové. Jejich vrcholy leží na obvodu ružnice (místo jejího středu). Obvodový úhel příslušný většímu oblouu. Obvodový úhel příslušný menšímu oblouu. Dodate: Definice: Úhel, jehož vrchol je bodem ružnice a ramena procházejí rajními body oblouu ružnice (, ), se nazývá obvodový úhel příslušný tomu oblouu, terý v tomto úhlu leží. elý rozdíl:

2 středový úhel určen jednoznačně (ružnice má pouze jeden střed), obvodových úhlů je neonečně mnoho (druhý oblou má neonečně mnoho bodů. Obvodový úhel příslušný většímu oblouu. Obvodový úhel příslušný menšímu oblouu. Pedagogicá poznáma: amozřejmě je daleo lepší nareslit něoli úhlů na tabuli, než promítat z dva staticé obrázy z projetoru. Př. : Doplň do obrázů naresleným středovým úhlům úhly obvodové. a) b) c) e všech případech existuje neonečně mnoho množností. Napřílad: a) b) c) Pedagogicá poznáma: ody b) a c) nejsou pro studenty samozřejmé. Poud mají problémy, nechte je, aby si vyznačili oblou, e terému středový úhel patří.

3 Př. : Doplň do naresleným obvodovým úhlům jejich úhly středové. a) b) c) e všech případech existuje právě jedno řešení: a) b) c) Pedagogicá poznáma: e třídě vždy žáy při následujícím příladu rozdělím a část z nich hledá úhly příslušející většímu oblouu (v opačném případě všichni rýsují úhly příslušející menšímu oblouu). Př. 3: Narýsuj ružnici, vyznač na ní dva navzájem různé body, a dvojici středový a obvodový úhel pro jeden z oblouů, terý body, na ružnici vytnou. Změř oba vyznačené úhly a najdi vztah mezi nimi. Pro úhly na obrázu platí: α = 35 β = 70 Zdá se, že středový úhel je dvarát větší než příslušný úhel obvodový. eliost středového úhlu je rovna dvojnásobu veliosti obvodového úhlu příslušného témuž oblouu. Předchozí věta má něoli zajímavých a důležitých důsledů a není samozřejmá provedeme důaz. Nejjednodušší možnost: úhly příslušející menšímu oblouu: 3

4 . střed ružnice leží na jednom z ramen obvodového úhlu. yužijeme speciální vlastnosti situace: body,, leží na ružnici jejich vzdálenost od středu ružnice je shodná označíme ji r. r r r Trojúhelní je rovnoramenný úhly a jsou shodné pro úhel ϕ platí: ϕ = 80 α. Úhle je úhel přímý platí: β = 80 ϕ = α = α Platí: β = α. ( ) Ještě nejsme hotoví. K nareslenému středovému úhlu náleží neonečně mnoho obvodových úhlů, z nichž pouze dva mají speciální polohu, pro terou jsme větu doázali. Zusíme další možnosti:. střed ružnice leží uvnitř obvodového úhlu. Máme dvě možnosti: vymyslet celý důaz od začátu, upravit obráze ta, abychom mohli použít předchozí důaz pro speciální situaci se středem na ramenní obvodového úhlu. 4

5 Polopříma rozdělí oba úhly na dvě části, střed ružnice leží na společném rameni obou vznilých obvodových úhlů platí β = α (předchozí část důazu), platí β = α (předchozí část důazu), β = β + β = α + α = α 3. střed ružnice leží vně obvodového úhlu. Opět dvě možnosti: vymyslet celý důaz od začátu, upravit obráze ta, abychom mohli použít předchozí důaz pro speciální situaci se středem na ramenní obvodového úhlu. Polopříma vytvoří v obrázu další dvě dvojice středový a obvodový úhel, střed ružnice leží na společném rameni obou vznilých obvodových úhlů platí β = α (předchozí část důazu), platí β = α (předchozí část důazu), β = β β = α α = α Žádná další možná poloha neexistuje doázali jsme větu pro všechny úhly příslušející menšímu oblouu. Př. 4: Navrhni důaz věty o obvodovém a středovém úhlu pro větší oblou a půlružnici obou případech můžeme postupovat stejně jao v rou. důazu pro menší oblou. 5

6 Př. 5: Co znamená náš vztah mezi středovým a obvodovým úhlem pro všechny obvodové úhly příslušné témuž oblouu? šechny obvodové úhly příslušné témuž oblouu jsou shodné. Př. 6: Doplň věty uvádějící důsledy věty o obvodovém a středovém úhlu. a) Obvodový úhel příslušný menšímu oblouu je b) Obvodový úhel příslušný většímu oblouu je c) Obvodový úhel příslušný půlružnici je Obvodový úhel příslušný menšímu oblouu je ostrý. Obvodový úhel příslušný většímu oblouu je tupý. Obvodový úhel příslušný půlružnici je pravý = Thaletova věta. Thaletova věta: šechny úhly nad průměrem ružnice jsou pravé. Př. 7: Kružnice je rozdělena na dva oblouy ta, že obvodový úhel příslušný většímu oblouu je roven středovému úhlu příslušnému menšímu oblouu. Urči veliost obvodových úhlů příslušných oběma oblouům ětší oblou: obvodový úhel α, středový úhel α. Menší oblou: obvodový úhel β, středový úhel β. Platí: obvodový úhel příslušný většímu oblouu je roven středovému úhlu příslušnému menšímu oblouu α = β. oba středové úhly se rovnají plnému úhlu: α + β = 360 α + β = β + β = 360 Dosadíme: ( ) β = 60 α = 0 6

7 Př. 8: ypočti veliosti vnitřních úhlů v trojúhelníu, terý dostaneš spojíš-li na ciferníu hodine body vyznačující čísla, 7, tačí, dyž si uvědomíme, že všechny vyznačené úhly jsou úhly obvodové, najdeme nim příslušné úhly středové. 0 eliost středového úhlu příslušející oblouu mezi dvěma hodinami: 360 = 30. α : 3 díly α = 3 30 = 90 α = 45 β : 5 dílů β = 5 30 = 50 β = 75 γ : 4 díly γ = 4 30 = 0 γ = 60 7 Př. 9: tětivovém čtyřúhelníu CD, platí α = 5, β = 96. Urči zbývající vnitřní úhly. Tětivový čtyřúhelní vrcholy leží na ružnici. Úhel α je obvodový úhel menšímu oblouu D, úhel γ je obvodový úhel většímu oblouu D α + γ = 80 γ = 80 α = 80 5 = 8 C Úhel β je obvodový úhel většímu oblouu C, úhel δ je obvodový úhel menšímu oblouu C β + δ = 80 δ = 80 β = = 84 D 7

8 Př. 0: je menší oblou ružnice a obvodovým úhlem 65. bodech, jsou sestrojeny tečny ružnice a bod X je jejich průsečí. ypočti veliost úhlu X. Nareslíme obráze. X Hledaný úhel X je jedním z vnitřních úhlů čtyřúhelníu X. Úhly čtyřúhelníu X: úhly X a X jsou pravé (tečna je olmá na poloměr) úhel je středový úhel příslušný obvodovému úhlu = ϕ = 30 ω = = 50 Úhel X má veliost 50. Př. : Petáová: strana 88/cvičení 5 strana 88/cvičení 53 strana 88/cvičení 54 hrnutí: tředový úhel příslušný danému obvodovému úhlu má dvojnásobnou veliost. 8