Různostranný (obecný) žádné dvě strany nejsou stějně dlouhé. Rovnoramenný dvě strany (ramena) jsou stejně dlouhé, třetí strana je základna

Transkript

1 16. Trojúhelník, Mnohoúhelník, Kružnice (typy trojúhelníků a jejich vlastnosti, Pythagorova věta, Euklidovy věty, čtyřúhelníky druhy a jejich vlastnosti, kružnice obvodový a středový, úsekový úhel, vzájemná poloha kružnic, Thaletova kružnice, Feuerbachova kružnice, Apolloniova kružnice) Trojúhelník Tři nekolineární body A,B,C určují trojúhelník ABC, jenž je průnikem polorovin ABC, BCA, CAB. Úsečky AB, BC, CA, též označovány pořadě c, a, b, jsou stranami trojúhelníku. Úhly CAB, ABC, BCA, označované také jako α,β,γ, jsou jeho vnitřními úhly. Vnější úhly jsou doplňkovými k těmto úhlům. V každém trojúhelníku platí: Rozdělení podle délek stran α+β +γ = 180 α = β +γ obdobně cyklicky Různostranný (obecný) žádné dvě strany nejsou stějně dlouhé Rovnoramenný dvě strany (ramena) jsou stejně dlouhé, třetí strana je základna Rovnostranný všechny strany jsou stějně dlouhé Rozdělení podle velikosti vnitřních úhlů Ostroúhlý všechny vnitřní úhly jsou ostré Pravoúhlý jeden z vnitřních úhlů je pravý Tupoúhlý jeden z vnitřních úhlů je tupý Trojúhelníková nerovnost pro strany trojúhelníku platí: b c < a < b+c Střední příčka je úsečka, spojující středy dvou stran trojúhelníku. Každá střední příčka trojúhelníku je rovnoběžná s tou stranou, jejíž střed nespojuje. Její délka je rovna polovině délky této strany. Výška je úsečka, jejímiž krajními body jsou vrchol trojúhelníku a pata kolmice vedené tímto vrcholem na protější stranu. Průsečík výšky s příslušnou stranou se nazývá pata výšky. Výšky trojúhelníku se protínají v ortocentru. 1

2 Těžnice je úsečka, jejímiž krajními body jsou střed strany a protilehlý vrchol trojúhelníku. Těžnice se protínají v jednom bodě, který se nazývá těžiště. Těžiště rozděluje každou těžnici na dva díly v poměru 2 : 1. Každá těžnice rozděluje trojúhelník na dva díly se stejným obsahem. Kružnice opsaná je kružnice, která prochází všemi vrcholy trojúhelníku. Střed kružnice opsané leží v průsečíku os stran, poloměr (r) se rovná vzdálenosti středu od libovolného vrcholu. Kružnice vepsaná je kružnice, která se dotýká všech stran trojúhelníku. Střed kružnice vepsané leží v průsečíku os vnitřních úhlů, poloměr ( ) se rovná kolmé vzdálenosti středu od libovolné strany. Kružnice připsaná je kružnice, která se dotýká jedné strany trojúhelníku a dvou přímek, které jsou prodloužením zbývajících stran trojúhelníku. Střed kružnice připsané leží v průsečíku osy jednoho vnitřního úhlu a dvou vnějších úhlů při zbývajících dvou vrcholech. Sinová věta a sinα = b sinβ = c sinγ = 2r Ze Sinové věty vyplývá, že proti největšímu z úhlů leží největší strana a naopak. Pythagorova věta platí v každém pravoúhlém trojúhelníku. Obsah čtverce sestrojeného nad přeponou pravoúhlého rovinného trojúhelníku je roven součtu obsahů čtverců nad jeho odvěsnami. c 2 = a 2 +b 2 Platí i obráceně: Platí-li pro délky stran trojúhelníka vztah c 2 = a 2 +b 2, je tento trojúhelník pravoúhlý a c je jeho přepona. Kosinová věta platí pro obecný trojúhelník. c 2 = a 2 +b 2 2abcosγ Euklidova věta o výšce Obsah čtverce sestrojeného nad výškou pravoúhlého trojúhelníku je roven obsahu obdélníka sestrojeného z obou úseků přepony. v 2 c = c a c b 2

3 Euklidova věta o odvěsně Obsah čtverce sestrojeného nad odvěsnou pravoúhlého trojúhelníka je roven obsahu obdélníka sestrojeného z přepony a úseku přepony k této odvěsně přilehlé. a 2 = c c a b 2 = c c b Meneláova věta Máme-li dány body A,B a C, které tvoří trojúhelník ABC, a jiné body D,E a F, které leží na přímkách BC, AC a AB, pak body D, E a F leží na přímce právě tehdy, když platí: AF BF BD DC CE EA = 1 Cèvova věta Máme-li dány body A,B a C, které tvoří trojúhelník ABC, a jiné body D,E a F, které leží na přímkách BC, AC a AB, pak přímky AD,BE a CF procházejí jedním bodem nebo jsou rovnoběžné právě tehdy, když platí: AF BF BD DC CE EA = 1 Eulerova přímka je přímka nacházející se v každém nerovnostranném trojúhelníku. Tato přímka prochází průsečíkem jeho výšek (ortocentrem), těžištěm a středem opsané kružnice. Těžiště dělí spojnici středu výšek a středu kružnice opsané v poměru 2 : 1. Na Eulerově přímce leží také střed Feuerbachovy kružnice devíti bodů, který je stejnolehlým obrazem středu kružnice opsané se středem stejnolehlosti v těžišti trojúhelníka a koeficientem κ = 0,5. Feuerbachova kružnice devíti bodů je taková kružnice trojúhelníku, na níž leží středy stran, paty výšek a středy spojnic vrcholů s ortocentrem. Dotýká se kružnice vepsané a kružnic připsaných. Kružnice devíti bodů je stejnolehlým obrazem kružnice opsané se středem stejnolehlosti v těžišti trojúhelníka a koeficientem κ = 0,5. Z toho plyne, že její střed leží na Eulerově přímce ve středu úsečky, spojující ortocentrum se středem kružnice opsané. Její poloměr je polovinou poloměru kružnice opsané. Čtyřúhelník V každém čtyřúhelníku platí: α+β +γ +δ = 360 Rozdělění podle konvexnosti Konvexní úsečka mezi jeho libovolnými body leží uvnitř čtyřúhelníku Nekovexní existuje úsečka mezi jeho dvěma body, která celá neleží uvnitř čtyřúhelníku 3

4 Rozdělění podle stran 1. Různoběžník (obecný) žádné jeho dvě strany nejsou rovnoběžné 2. Lichoběžník dvě jeho protější strany jsou rovnoběžné (základny) a zbývající dvě rovnoběžné nejsou (ramena). Součet vnitřních úhlů při každém rameni je úhel přímý. Střední příčka je úsečka spojující středy ramen, je rovnoběžná s oběma základnami, její délka je rovna aritmetickému průměru délek obou základen. (a) Rovnoramenný jeho dvě ramena mají shodnou délku (b) Pravoúhlý jedno jeho rameno je kolmé k základně 3. Rovnoběžník každé dvě jeho protější strany jsou rovnoběžné a mají shodnou délku. Protější vnitřní úhly jsou shodné. Úhlopříčky se navzájem půlí, jejich společný bod je střed rovnoběžníku. (a) Pravoúhlý všechny jeho vnitřní úhly jsou shodné (tj. mají velikost 90 ) (b) Kosoúhlý úhel mezi jeho stranami není 90 (a) Rovnostranný všechny jeho strany jsou shodné (b) Různostranný pouze jeho protilehlé strany mají shodnou délku Tětivový čtyřúhelník je takový čtyřúhelník kterému lze opsat kružnici (jeho strany jsou pak její tětivy). Platí pro něj: α+γ = β +δ Platí pro něj Ptolemaiova věta: ac+bd = ef Tečnový čtyřúhelník je takový čtyřúhelník kterému lze vepsat kružnici (jeho strany jsou pak její tečny). Pro jeho strany platí: a+c = b+d Dvojstředový čtyřúhelník je takový čtyřúhelník kterému lze opsat i vepsat kružnici Deltoid je čtyřúhelník jehož úhlopříčky jsou k sobě kolmé a hlavní úhlopříčka půlí vedlejší. Je to tečnový čtyřúhelník. Mnohoúhelník Uzavřená lomená čára s částí roviny ohraničenou touto lomenou čárou se nazývá mnohoúhelník. 4

5 Konvexní mnohoúhelník má všechny vnitřní úhly menší než 180. Úhlopříčka je spojnice dvou nesousedních vrcholů. Počet úhlopříček je dán vztahem n(n 3). 2 Součet vniřních úhlů je (n 2)180. Pravidený n-úhelník je mnohoúhelník, jehož všechny strany i vnitřní úhly jsou shodné. Pravidelnému n-úhelníku lze opsat i vepsat kružnici. Kružnice, Kruh Kružnice je množina všech bodů roviny, které mají od bodu S vzdálenost r. k = {X ; SX = r;r > 0} Kruh je množina všech bodů roviny, které mají od bodu S vzdálenost menší nebo rovnu r. K = {X ; SX r;r > 0} Přímka dělící kruh na dvě části se nazývá sečna a přímka dotýkající se kruhu na jednom místě se nazývá tečna. Tečny jsou vždy kolmé k spojnici bodu doteku a středu. Část sečny obklopená kružnicí se nazývá tětiva. Nejdelšími tětivami jsou ty, které prochází středem průměry. Část kruhu odseknutá tětivou je kruhová úseč. Část kružnice mezi dvěma poloměry se nazývá kruhový oblouk a oblast (tedy výřez kruhu) mezi poloměry a obloukem se nazývá kruhová výseč. Středový úhel je úhel, jehož vrcholem je střed kružnice a ramena procházejí krajními body oblouku > AB kružnice. Obvodový úhel je úhel, jehož vrcholem V je bod kružnice a ramena procházejí krajními body oblouku > AB kružnice. Všechny obvodové úhly příslušné k danému oblouku jsou shodné. Obvodový úhel příslušný k menšímu oblouku je ostrý, obvodový úhel příslušný k většímu oblouku tupý. Úsekový úhel je úhel, jenž svírá tětiva AB kružnice s tečnou kružnice v bodě A. Velikost středového úhlu je rovna dvojnásobku velikosti obvodového úhlu příslušného k témuž oblouku. Úsekový úhel příslušný k danému oblouku je shodný s obvodovými úhly příslušnými k témuž oblouku. 5

6 Thaletova věta Všechny obvodové úhly sestrojené nad průměrem kružnice jsou pravé. Vzájemná poloha dvou kružnic Pro dvě kružnice k 1 (S 1 ;r 1 ) a k 2 (S 2 ;r 2 ), kde r 1 > r 2 : 1. Žádný společný bod S 1 S 2 > r 1 +r 2 2. Vnější dotyk S 1 S 2 = r 1 +r 2 3. Dva společné body r 1 r 2 < S 1 S 2 < r 1 +r 2 4. Vnitřní dotyk S 1 S 2 = r 1 r 2 5. Jedna kružnice uvnitř druhé S 1 S 2 < r 1 r 2 6. Soustředné S 1 S 2 6