Modernizace studijního programu Matematika na PřF Univerzity Palackého v Olomouci CZ.1.07/2.2.00/28.0141 KMA/MDS Matematické důkazy a jejich struktura Seminář 2
Výroková logika pokračování Logické vyplývání Mějme dány dvě formule α, β. Řekneme, že α logicky implikuje β, neboli β logicky vyplývá z α, jestliže při jakémkoliv ohodnocení proměnných, pro které je pravdivá formule α, je pravdivá i formule β. Píšeme α β. Příklad 2.1 Ukážeme, že platí a (a b) a b. Je potřeba uvažovat všechna ohodnocení proměnných formulí α = a (a b) a β = a b. Je vidět, že jde o tři proměnné a, b a c. Nejefektivnější způsob je vypsat tato ohodnocení do tabulky konkrétně do pravdivostní tabulky těchto dvou formulí α a β. Protože máme ověřit pouze zda je pravdivá β za předpokladu pravdivosti α, lze si ušetřit práci tím, že vypočítáme pravdivostní hodnoty formule α pro všechna ohodnocení proměnných, přitom pravdivostní hodnoty formule β stačí vypočítat jen pro taková ohodnocení, pro které je α pravdivá. Viz tabulku. Vidíme, že jsme si ušetřili a b a b a (a b) a b 0 0 1 0 0 1 1 0 1 0 0 0 1 1 1 1 1 Tabulka 1: Pravdivostní tabulka pro zjištění log. vyplývání dvou formulí práci a vypočítali pravdivostní hodnotu formule β pouze pro poslední pravdivostní ohodnocení. Protože ve sloupci napravo se nevyskytuje 0, dostáváme, že opravdu α logicky implikuje β. Pokud bychom v tabulce v předchozím příkladu přidali sloupec pro pravdivostní hodnotu formule (a (a b)) (a b), zjistili bychom, že jde o tautologii. To není náhoda. Dokonce obecně platí, že α β právě tehdy, když je formule α β tautologie. Logická ekvivalence Mějme dány dvě formule α, β. Řekneme, že α a β jsou logicky ekvivalentní, jestliže pro jakékoliv ohodnocení mají formule α i β stejnou pravdivostní hodnotu. Píšeme α β. Platí 2
α β právě tehdy, když α β je tautologie, α β právě tehdy, když α β a zároveň β α. Z kapitoly Tautologie z předchozí opory lze získat následující ekvivalence budeme je nazývat pravidly nahrazení 1 : Název a zkratka komutativita (Com) asociativita (Assoc) distributivita (Dist) De Morganovy zákony (De M) dvojí negace (DN) Ekvivalence (α β) (β α) (α β) (β α) (α (β γ)) ((α β) γ) (α (β γ)) ((α β) γ) (α (β γ)) ((α β) (α γ)) (α (β γ)) ((α β) (α γ)) (α β) ( α β) (α β) ( α β) α α implikace (Impl) (α β) ( α β) obměna (Trans) ekvivalence (Equiv) (α β) ( β α) (α β) ((α β) (β α)) (α β) ((α β) ( α β)) spojování předpokladů (Exp) (α β) γ α (β γ) Tautologie (Taut) α α α α α α Tyto ekvivalence často používáme k úpravě formulí na bud jednodušší formule, či formule v nějakém vhodném tvaru. Budou také potřeba v důkazech, viz dále. Úsudek (argument) Úsudkem budeme rozumět (konečnou) množinu výroků, kterým budeme říkat předpoklady (premisy), společně s dalším výrokem, kterému budeme říkat závěr. Závěr bývá uvozen slovy proto platí, že nebo pak apod. Úsudek je takovou základní jednotku usuzování. Příklad 2.2 Uvažujeme následující úsudek: Dnes má Eva zkoušku z fyziky nebo z matematiky. Eva dnes nemá zkoušku z fyziky. Proto platí, že Eva má dnes zkoušku z matematiky. Premisami jsou dva výroky: Dnes má Eva zkoušku z fyziky nebo z matematiky. Eva dnes nemá zkoušku z fyziky. Závěr je výrok: Eva má dnes zkoušku z matematiky. 1 Neplést si s pravidlem nahrazení z předchozí opory. 3
Označme F : Dnes má Eva zkoušku z fyziky. M: Dnes má Eva zkoušku z matematiky. Pak premisy našeho úsudku lze psát jako F M, F a závěr lze zapsat jako M. Zamyslíme-li se nad úsudkem z Příkladu 2.2, mohli bychom se shodnout na tom, že je správný budeme říkat platný. Tato platnost ovšem není a nesmí být závislá na konkrétních výrocích, ale k její platnosti musíme dospět pouze prostředky logiky. Abstrahovat od obsahu konkrétních výroků již umíme místo jednotlivých výroků budeme uvažovat příslušné formule. Takto přejdeme od konkrétního úsudku k pojmu úsudková forma. Úsudková forma Srovnejme úsudek z Příkladu 2.2 s následujícím úsudkem: Premisy jsou Dnes půjdu do kina nebo divadla, Dnes nepůjdu do kina se závěrem Dnes půjdu do divadla. Asi bude opět platný. Vidíme, že ačkoliv se v něm mluví úplně o jiných věcech, k intuitivnímu ověření jeho správnosti jsme došli stejnou logickou úvahou. Při usuzování je tedy důležitá struktura, nikoliv konkrétní výroky. To nás vede k zavedení pojmu úsudkové formy. Ta má vztah ke konkrétnímu úsudku stejný, jako má formule ke konkrétnímu výroku (jeho instanci). Úsudkovou formou budeme rozumět (konečnou) množinu formulí, kterým budeme říkat předpoklady (premisy), společně s další formulí, které budeme říkat závěr. Dosadíme-li do premis a závěru úsudkové formy za výrokové symboly konkrétní výroky, dostaneme úsudek, kterému budeme říkat instance úsudkové formy. Příklad 2.3 Uvažujme úsudkovou formu s premisami a b, a a závěrem b. Dosadímeli za proměnné a a b postupně výroky dnes má Eva zkoušku z fyziky a dnes má Eva zkoušku z matematiky, dostaneme úsudek z Příkladu 2.2, který je jeho instancí (jednou z mnoha). Následuje důležitá definice: Řekneme, že úsudková forma s premisami α 1, α 2,..., α n a závěrem β je platná, jestliže pro každé ohodnocení výrokových proměnných platí, že jsou-li všechny premisy pravdivé, je pravdivý i závěr. Pokud tomu tak není, říkáme, že úsudková forma je neplatná. Snadno lze nahlédnout, že úsudková forma je platná právě tehdy, když (α 1 α 2... α n ) β, 4
neboli, když je formule (α 1 α 2... α n ) β tautologií. Nyní můžeme konečně zadefinovat platnost úsudku: Řekneme, že úsudek je platný, jestliže je instancí platné úsudková formy. Snadno lze ověřit, že ((a b) a) b, tzn. úsudek z Příkladu 2.2 je skutečně platný! Nekonzistentní premisy Může se stát, že premisy úsudkové formy jsou takové, že nejsou zároveň všechny pravdivé při žádném pravdivostním ohodnocení tzn. konjunkce všech premis je kontradikcí. To pak ale má za následek, že implikace z definice platnosti úsudkové formy je vždy (tzn. při jakémkoliv pravdivostním ohodnocení) pravdivá. Jinak řečeno, z takových premis pak může vyplývat cokoliv. Příklad 2.4 Uvažujme například úsudek s premisami jestliže je Michal na dovolené, pak je na Bermudách, Michal je bud v kanceláři nebo na dovolené, Michal není v kanceláři a není ani na Bermudách a závěrem Michal má dovolenou. Zjistíme, že tento úsudek je platný (proved te!). Zajímavé ovšem je, že zaměníme-li v tomto úsudku závěr za jeho negaci, tj. Michal nemá dovolenou, dostaneme opět platný úsudek (ověřte sami)! Dokonce, vezmeme-li za závěr jakýkoliv (!) výrok (opravdu jakýkoliv, vůbec se nemusí týkat Michala), bude úsudek opět platný. Důvodem je fakt, že konjunkce všech premis příslušné úsudkové formy je kontradikce. Jestiže konjunkce všech premis dané úsudkové formy je kontradikce, říkáme, že premisy jsou nekonzistentní. Protože z nekonzistentních premis lze usoudit cokoliv, nebudou nás takové úsudkové formy (a jejich instance) zajímat! Formální důkaz platnosti úsudku Platnost úsudku jsme definovali prostřednictvím platnosti příslušné úsudkové formy. Ověřit platnost úsudkové formy pomocí pravdivostní tabulky je tak jednoduché, že je to možno provést i strojově. Problém ovšem nastává, když je počet výrokových proměnných v úsudkové formě větší. Jak lze snadno spočítat, objevuje-li se v úsudkové formě n výrokových proměnných, pak má pravdivostní tabulka 2 n řádků. V praxi se vyskytujících úsudkových formách by se ale mohly objevovat desítky proměnných, což už by časem nezvládaly ani superpočítače. Proto je potřeba platnost úsudku ověřit jinak důkazem. Půjde o seznam výroků, kde na začátku budou stát premisy, každý další řádek bude logicky vyplývat z předchozích řádků a na posledním řádku bude závěr úsudku. 5
Budou se používat následující pravidla odvozování 2 jde o platné úsudkové formy. Název a zkratka Premisy Závěr zjednodušení (Simp) a b a součet (Add) a a b konjunkce (Conj) a, b a b disjunktivní sylogismus (DS) a b, a b modus ponens (MP) a b, a b modus tollens (MT) a b, b a hypotetický sylogismus (HS) a b, b c a c absorpce (Abs) a b a (a b) konstruktivní dilema (CD) (a b) (c d), a c b d Nyní můžeme definovat metodu formálního důkazu úsudku. Ta nám umožní snáze pochopit definici důkazu matematické věty. Pro daný úsudek s premisami P 1,..., P n a závěrem Q, rozumíme formálním důkazem jeho platnosti seznam výroků, začínajícím premisami a končící závěrem. Přitom pro každý výrok z tohoto seznamu platí: je premisa, nebo může být odvozen pomocí pravidel odvození z předcházejících výroků, nebo je ekvivalentní pomocí pravidel nahrazení s některým z předcházejících výroků. Z této definice je vidět, že opět nezávisí na konkrétních výrocích ale struktuře premis a závěru. Proto místo o premisách a závěru můžeme místo o výrocích mluvit o příslušných formulích (jejichž jsou instancemi). Shrnutí V této opoře jsme si ukázali, co to znamená logické vyplývání formulí výrokové logiky a co je logická ekvivalence dvou formulí. Nejdůležitějšími pojmy této opory byly úsudek a jeho důkaz. Úsudek je seznam výroků, kterým říkáme premisy plus výrok navíc, kterému se říká závěr. Platnost úsudku se ověřuje takto: 1. Najdeme úsudkovou formu jejíž je úsudek instancí. 2. Označíme-li α 1,..., α n premisy úsudkové formy a β její závěr (nyní jde o formule!), pak platnost či neplatnost úsudkové formy závisí na tom, zda je či není formule (α 1... α n ) β tautologií. 2 Promyslete jejich smysl. Většinu těchto pravidel denně používáte automaticky. Zkuste je začít používat vědomě. 6
3. Úsudek je platný či neplatný, pokud je taková jeho úsudková forma. Na tomto postupu je potřeba si uvědomit fakt, že úsudek nejprve převedeme na úsudkovou formu, která nic neví o obsahu jednotlivých výroků našeho úsudku, pouze zachycuje vniřní logickou strukturu (realizovanou pomocí logických spojek). Platnost pak závisí pouze na pravidlech logiky. Dále jsme si ukázali dva způsoby jak ověřit platnost úsudku: 1. pomocí pravdivostní tabulky (potenciálně pracné, ale bez přemýšlení), 2. pomocí formálního důkazu (potenciálně méně pracné, ale vyžadující zkušenost, kreativitu a vhled do problému). Cvičení Úloha 2.1 Zjistěte platnost následujících úsudků. 1. Jestliže Tomáš přijede zítra, sním svůj klobouk. Tomáš zítra nepřijede. Proto nesním svůj klobouk. 2. Jestliže budu hodně pracovat, získám dobrou práci. Jestliže získám dobrou práci, stanu se váženým občanem. Proto, když budu hodně pracovat, stanu se váženým občanem. 3. Jestliže budou zbraně zakázány, budeme žít všichni v míru. Budeme žít v míru nebo lidská rasa vymře (pozor, zde je použito nebo ve vylučovacím smyslu!). Nebudeme žít v míru. Proto budou zbraně zakázány. 4. Jana přijde na mou párty právě tehdy, když Marek nepřijde. Jestliže Jana na mou párty nepřijde, pak Jirka na ni také nepřijde. Proto přijde bud Jirka nebo Marek ale ne oba současně. 5. Teplota roste právě tehdy, když slunce svítí. Slunce nesvítí a na obloze jsou mraky. Jestliže jsou na obloze mraky, pak teplota roste. Proto dnes nebude pršet. 6. Jestliže si koupím nové auto, nepojedu na dovolenou. Jestliže si nekoupím nové auto, koupím si motocykl. Proto bud pojedu na dovolenou nebo si koupím motocykl (nebo oboje). (Smyslem této úlohy je procvičení přepisu složených výroků do jazyka výrokové logiky a procvičení sémantiky logických spojek.) Úloha 2.2 Ověřte, že pravidla nahrazení jsou ekvivalence. Úloha 2.3 Ověřte, že pravidla odvozování jsou platné úsudková formy. Úloha 2.4 Zkonstruujte důkazy následujících úsudků. 1. Je-li Jarek v Paříži, pak je Maruška v New Yorku. Jarek je v Paříži a Franta je v Římě. Proto je Maruška v New Yorku. 7
2. Jestliže má Marek pravdu, nezaměstnanost se zvýší, a jestli má Anička pravdu, bude tuhá zima. Anička má pravdu. Proto se bude zvyšovat nezaměstnanost, nebo bude tuhá zima, nebo obojí. 3. Jestliže bude léto teplé, nepojedeme v srpnu na dovolenou. Pojedeme v srpnu na dovolenou nebo si koupíme nové auto (nebo obojí). Proto platí, že když bude léto teplé, koupíme si auto. 4. Jestliže bude pít víno nebo jíst sýr, bude ji bolet hlava. Bude pít víno a jíst čokoládu. Proto ji bude bolet hlava. 5. Vražda byla spáchána bud podezřelým A nebo oběma podezřelými B a C současně. Jestliže A nebo B spáchali vraždu, pak byla obět otrávena. Proto bud C spáchal vraždu nebo byla obět otrávena. (Vyřešením těchto cvičení si student osvojí pravidla nahrazení a odvození nezbytná pro další studium.) 8
Příloha A: Tabulka pravidel nahrazení a odvozování Název a zkratka komutativita (Com) asociativita (Assoc) distributivita (Dist) De Morganovy zákony (De M) dvojí negace (DN) Ekvivalence (α β) (β α) (α β) (β α) (α (β γ)) ((α β) γ) (α (β γ)) ((α β) γ) (α (β γ)) ((α β) (α γ)) (α (β γ)) ((α β) (α γ)) (α β) ( α β) (α β) ( α β) α α implikace (Impl) (α β) ( α β) obměna (Trans) ekvivalence (Equiv) (α β) ( β α) (α β) ((α β) (β α)) (α β) ((α β) ( α β)) spojování předpokladů (Exp) (α β) γ α (β γ) Tautologie (Taut) α α α α α α Název a zkratka Premisy Závěr zjednodušení (Simp) a b a součet (Add) a a b konjunkce (Conj) a, b a b disjunktivní sylogismus (DS) a b, a b modus ponens (MP) a b, a b modus tollens (MT) a b, b a hypotetický sylogismus (HS) a b, b c a c absorpce (Abs) a b a (a b) konstruktivní dilema (CD) (a b) (c d), a c b d 9
Příloha B: Metoda důkazu implikace Často se můžeme setkat s úsudky, jejichž závěry jsou výroky ve tvaru implikace, např. uvažujme úsudek s premisami P 1, P 2,..., P n a závěrem ve tvaru P Q, kde P 1,..., P n, P, Q jsou nějaké výroky. Příslušný formální důkaz pak může vypadat nějak takto: Řádek Výrok Komenář 1 P 1 premisa 2 P 2 premisa. n P n premisa. (n + k) P Q... komentář... To se může prakticky ukázat jako obtížné. Snazší by bylo dokazovat platnost úsudku s premisami P 1,..., P n, P a závěrem Q. Ukážeme si, že původní úsudek je platný právě tehdy, když je platný tento druhý úsudek. Provedeme následující úvahu: Úsudek s premisami P 1, P 2,..., P n a závěrem ve tvaru P Q je platný právě tehdy, když příslušná úsudková forma je platná, tzn. formule (p 1... p n ) (p q) je tautologií (kde P 1,..., P n, P, Q jsou instancemi formulí p 1,..., p n, p, q). S využitím pravidla spojování předpokladů, tzn. ekvivalence p (q r) (p q) r zjištujeme, že je tato formule ekvivalentní s formulí (p 1... p n p) q. Poslední formule je ale tautologií právě tehdy, když úsudková forma s premisami p 1,..., p n, p a závěrem q je platná, tzn. právě tehdy když je úsudek s premisami P 1,..., P n, P a závěrem Q je platný. Formální důkaz úsudku s premisami P 1,..., P n, P a závěrem Q budeme zapisovat následovně: Řádek Výrok Komenář 1 P 1 premisa 2 P 2 premisa. n P n premisa n + 1 P (CP). n + k Q... komentář... n + k + 1 P Q (CP), řádky n + 1 až n + k Zkratka (CP) znamená conditional proof. 10