Jiøí Vlèek ZÁKLADY ELEKTROTECHNIKY základní elektronické obvody magnetizmus støídavý proud silnoproud technologie technické kreslení odpor kapacita indukènost dioda tranzistor

Jiøí Vlèek Základy elektrotechniky Kniha vychází z publikací schválených MŠMT ÈR pro výuku na støedních a vyšších odborných školách. Tøetí opravené a doplnìné vydání Praha 2006

Obsah ZÁKLADY ELEKTROTECHNIKY úvod... 3 1 Proudové pole... 3 2Elektrostatické pole... 19 3 Magnetizmus... 26 4 Støídavý proud... 35 1 KURZ ZÁKLADÙ ELEKTRONIKY úvod... 53 2Základní pojmy a velièiny... 53 3 Magnetické vlastnosti látek... 55 4 Stejnosmìrné a støídavé velièiny... 57 5 Základní vlastnosti lineárních obvodù... 58 6 Zdroje napìtí... 67 7 Základní metody øešení lineárních obvodù... 69 8 Nelineární souèástky... 72 9 Dioda... 75 10 Øešení nelineárních obvodù... 80 11 Tranzistor... 82 12Obvody RCL... 92 13 Tyristor, triak... 107 14 Literatura... 108 15 Základy silnoproudé techniky... 109 16 Literatura... 116 ZÁKLADY SILNOPROUDU úvod... 117 1 Rozdìlení a vlastnosti elektrizaèních soustav... 117 2Vodièe pro rozvod elektrické energie... 118 3 Elektrická zaøízení v obytných a prùmyslových objektech... 123 4 Ochrana pøed nebezpeèným dotykovým napìtím a základní pøedpisy, které s ní souvisejí... 139 5 Dimenzování vodièù a kabelù... 153 6 Elektrické parametry rozvodných soustav... 156 7 Zapojení rozvodných soustav... 163 ELEKTROTECHNOLOGIE úvod... 171 1 Vlastnosti elektrotechnických materiálù... 171 2Elektronické souèástky... 193 3 Prùchod proudu plynem vakuová technika... 202 4 Optoelektronika... 204 5 Technika velmi vysokých kmitoètù... 208 6 Elektrotechnická výroba... 211 TECHNICKÉ KRESLENÍ 1 Základy technického kreslení... 220 2Tvorba elektrotechnické dokumentace... 233 ZÁVÌR... 245 2 J. Vlèek: Základy elektrotechniky

Tato publikace se skládá ze ètyø samostatných celkù, které vznikaly postupnì, mají samostatné èíslování kapitol i obrázkù a trochu odlišnou grafickou úpravu. Jejich slouèení zjednoduší distribuci a sníží cenu. Kurz základù elektroniky již døíve vyšel. Ve 3. vydání byla publikace doplnìna o kapitolu Technické kreslení. ZÁKLADY ELEKTROTECHNIKY úvod První kapitola seznamuje ètenáøe s definicí základních velièin, Ohmovým zákonem, sériovým a paralelním øazením rezistorù, základními metodami øešení lineárních obvodù. Další kapitoly se zabývají elektrostatickým polem (kapacita kondenzátoru), magnetismem (permanentní magnet, cívka, elektromagnetická indukce) a støídavým proudem (øešením RLC obvodù pomocí fázorù a komplexních èísel). Publikace je vhodná nejen pro 1. a 2. roèník SPŠE, ale i pro všechny technické a všeobecné støední školy a SOU, kde se elektrotechnika probírá. Celou tuto problematiku a hlavnì øešené pøíklady jsem se snažil zpracovat co možná nejstruènìji a s ohledem na praktické využití. Pøi kreslení obrázkù mám urèitá technická omezení, vìøím, že to ètenáøi pochopí. 1 Proudové pole Velièiny proudového pole Elektrický proud je dán uspoøádaným pohybem elektrických nábojù v urèitém smìru I = Q/t [A, C : s]. Proud 1 A pøedstavuje náboj jednoho coulombu, který projde vodièem za 1 sekundu. Elektrický proud znaèíme písmenem I, jednotkou je ampér (A). Definujeme jej pomocí silových úèinkù proudového pole. Elektrický náboj znaèíme Q a udáváme jej v coulombech (C). V každém atomu existuje kladný náboj proton a záporný náboj elektron. Náboj nelze od èástice oddìlit. Nejmenší velikost má náboj elektronu. Oznaèujeme jej e = 1,602. 10-19 C. (1 C = 6,242. 10 18 elektronù). Hmotnost elektronu m e = 9,11. 10-28 kg. Elektrický náboj se udává èasto v ampérhodinách (Ah). 1 Ah = 3 600 As = 3 600 C. Touto velièinou se udává napø. náboj (nepøesnì kapacita) baterie. Pøíèinou elektrického proudu je zdroj elektrické energie, který vytváøí elektrické napìtí. Znaèíme jej U a udáváme jej ve voltech (V). Mezi dvìma body je napìtí 1V, pokud k pøenesení náboje 1 C mezi nimi musíme vykonat práci 1 J. U = A/Q [V, J, C] Vodiè se prùchodem proudu zahøívá. Nosièe náboje (nejèastìji volné elektrony kovù) narážejí na jádra atomù a zpùsobují jejich pohyb teplo. Proudová hustota J = I/S, udává se v ampérech na m 2 (èastìji v A/mm 2 ). Aby se vodiè prùchodem proudu pøíliš nezahøíval, nemá být proudová hustota obvykle vyšší než 4 A/mm 2 (platí pro mìï nebo hliník). J. Vlèek: Základy elektrotechniky 3

Pøíklad: Vodièem prochází proud 0,5 A. Vypoèítejte jeho minimální prùmìr, pokud nesmí být pøekroèena proudová hustota 4 A/mm 2. S = I/J = 0,5/4 = 0,125 (mm 2 ) S = πd 2 /4 d = (4S/π) = 0,4 mm Výsledek zaokrouhlíme nahoru na nejbližší vyrábìnou hodnotu. Intenzita elektrického pole E udává jak se mìní napìtí v závislosti na délce vodièe l, udává spád napìtí. S elektrickým polem a jeho intenzitou setkáváme nejen ve vodièích, ale pøedevším v nevodivém prostøedí. E = U/l (V/m, V, m) Proud a napìtí jsou velièiny skalární celkové. Používají se pro homogenní proudové pole. Proudová hustota a intenzita elektrického pole jsou velièiny vektorové místní. Používají se v nehomogenním (nestejnorodém) elektrickém poli. Ohmùv zákon elektrický odpor Elektrický odpor R vyjadøuje vlastnosti prostøedí, kterým prochází elektrický proud. Každý vodiè má elektrický odpor. Souèástka, jejíž základní vlastností je odpor, se nazývá rezistor (hovorovì též odpor, není ale správné). R = U/I (Ω, V, A) Jednotkou elektrického odporu jsou ohmy (kiloohmy kω, megaohmy MΩ). V slaboproudé technice je výhodnìjší èasto dosazovat napìtí ve voltech, proud v miliampérech a odpor v kiloohmech. Vodiè má odpor 1 ohm, jestliže na nìm pøi proudu 1 A namìøíme úbytek napìtí 1 V. O platnosti Ohmova zákona se mùžeme pøesvìdèit jednoduchým pokusem: Pøipojíme rezistor k regulovanému zdroji napìtí, pro mìøení proudu zapojíme ampérmetr A (do série s rezistorem), pro mìøení napìtí voltmetr V (paralelnì s rezistorem). Postupnì zvyšujeme napìtí zdroje, do tabulky zapíšeme namìøené hodnoty proudu a napìtí. Namìøené hodnoty graficky znázorníme. Závislost proudu na napìtí (voltampérová VA charakteristika) je pøímka, která prochází poèátkem souøadnic. Øíkáme, že závislost napìtí a proudu je lineární, rezistor je tedy lineární souèástka. Obvod složený pouze z lineárních souèástek se nazývá lineární obvod. Nahradíme-li pùvodní rezistor R 1 jiným (v tomto pøípadì menším) rezistorem R 2 získáme jiné hodnoty. Pro každý rezistor bude platit, že pomìr napìtí a proudu je vždy konstantní (VA charakteristika je pøímka). Stejných výsledkù bychom dosáhli, kdybychom místo rezistorù použili vodièe z rùzných materiálù, rùzné délky a rùzného prùøezu. Elektrický odpor je charakteristickou vlastností každého vodièe. Odpor vodièe je pøímo úmìrný jeho délce, nepøímo úmìrný jeho prùøezu. Vlastnosti materiálu popisuje velièina mìrný odpor V (rezistivita), která se èíselnì rovná odporu vodièe 1 m dlouhého o prùøezu 1 m 2. 4 J. Vlèek: Základy elektrotechniky

Obr. 1.1 Ovìøení Ohmova zákona (V = voltmetr, A = ampérmetr) Odpor vodièe R = V. 1/S (Ω, Ω. m, m, m 2 ) V praxi se udává mìrný odpor jako odpor vodièe dlouhého 1 m o prùøezu 1 mm 2 (Ω. mm 2 m -1 ) Pøevrácenou hodnotou elektrického odporu je vodivost. Znaèí se G, jednotka siemens (S). Vodiè má vodivost 1 siemens, má-li odpor 1 Ω. Obdobnì definujeme mìrnou vodivost G = 1/R = I/U (S, A, V) = gs/l, kde g = 1/V je mìrná vodivost. Teplotní závislost odporu Mìrný odpor se udává pøi teplotì 20 C. S rostoucí teplotou jeho hodnota u kovù roste (tepelný pohyb atomù pøekáží pohybu volných elektronù). U nevodièù a polovodièù se naopak s rostoucí teplotou zvyšuje pravdìpodobnost roztržení vazby mezi ionty nebo uvolnìní elektronù. Tím se odpor snižuje. Teplotní závislost mìrného odporu na teplotì udává koeficient a teplotní souèinitel odporu (K -1 ). Èíselnì vyjadøuje pomìr zmìny odporu pøi ohøátí o 1 K k jeho pùvodní velikosti. Velikost odporu v závislosti na oteplení bude R = R 20 [1 + α (t 20 C)], kde R 20 je velikost odporu pøi teplotì 20 C. Nejlepšími vodièi jsou støíbro, mìï a hliník. Nejpoužívanìjší je mìï. Støíbro je pøíliš drahé. Hliník je sice levnìjší než mìï, snadno se ale láme, vlivem tlaku se deformuje (uvolnìní kontaktù na svorkovnicích a velmi tìžko se pájí). Tab. è. 1.RY 0 UQêRGSRU:PP P D. VW teur P KOLQtN ]ODWR åhoh]r NRQVWDQWDQ J. Vlèek: Základy elektrotechniky 5

Zlato se používá k povrchové úpravì kvalitních konektorù Existují speciální slitiny (konstantan, manganin) a s minimálním teplotním souèinitelem odporu. Z výše uvedených vztahù I = J. S, U = E. l, R = V. l/s po dosažení do Ohmova zákona U = R. I získáme vztah mezi proudovou hustotou a intenzitou elektrického pole. (Ohmùv zákon v diferenciálním tvaru). E = VJ, J = ge Tyto vztahy platí v každém místì vodièe. Jejich sumarizaci v homogenním prostøedí vznikne integrální tvar Ohmova zákona U = R. I Pøíklad: Jak velký odpor má mìdìný vodiè délky 15 m o prùmìru 0,1 mm? Jaký úbytek napìtí na nìm vznikne, protéká-li jím proud 0,1 A? S = pd 2 /4 = 3,14. 0,1 2 /4 = 0,00785 mm 2 R = V. l/s = 0,0178. 15/0,00785 = 34 Ω U = R. I = 34. 0,1 = 3,4 V Vidíme, že pøíliš malý prùmìr vodièe ve srovnání s protékajícím proudem není vhodný (ve výše uvedeném pøípadì 12,73 A/mm 2 ). Vzniká na nìm velký úbytek napìtí, vodiè se zahøívá a mùže se pøepálit (viz dále). Pro srovnání vypoèítáme stejný pøíklad pro d = 0,4 mm. S = 0,125 mm 2, R = 2,1 Ω. Zvìtšením prùmìru 4krát se odpor vodièe zmenšil 16krát. Pøíklad: Jaký musí být prùmìr mìdìného vodièe, který je dlouhý 2 m, aby na nìm pøi proudu 4 A byl úbytek napìtí 0,5 V? R = U/I = 0,5/4 = 0,125 W S = Vl/R = 0,0178. 2/0,125 = 0,285 mm 2 d = (4S/π) = 0,3628 = 0,6 mm Pøíklad: O kolik procent vzroste odpor mìdìného vinutí transformátoru pøi zvìtšení teploty z 20 C na 60 C? R = R 20 (1 + α(t 2 20)) = R 20 (1 + 0.0042. (60 20)) = R 20 (1 + 0,168) Odpor vzroste o 16,8 %. Pøíklad: Jak dlouhý musí být mìdìný vodiè, aby mìl pøi teplotì 100 C odpor 0,8 Ω pøi prùmìru 1,5 mm 2? R 100 = R 20 (1 + 0,0042. 80) = 1,336. R 20 (Ω) R 20 = R 100 /1,384 = 0,8/1,384 = 0,599 W = 0,6 Ω odpor pøi teplotì 20 C S = πd 2 /4 = 3,14. 1,5 2 /4 = 1,766 mm 2 l = R 20. S/V = 0,6. 1,766/0,0178 = 59,53 m 6 J. Vlèek: Základy elektrotechniky

Práce, výkon a tepelné úèinky elektrického proudu Z definice napìtí (práce potøebná k pøenesení náboje) mùžeme snadno odvodit vztah mezi výkonem, proudem a napìtím (Joule-Lencùv zákon) A = Q. U = I. t. U P. t = I. t. U P = I. U (W, A, V) Tímto vzorcem je možné také definovat napìtí: 1 volt je napìtí, pøi nìmž se na vodièi proudem 1 A vyvine výkon 1 W. Elektrická práce, kterou vykoná stejnosmìrný proud mezi dvìma místy v proudovém obvodu za urèitou dobu je dána napìtím U mezi tìmito místy, proudem I a dobou t, po kterou tento proud obvodem prochází. Elektrický proud, který obvodem prochází je vlastnì pohybem elektrických nábojù, který koná práci. Práce se mìní v teplo. Ztrátový výkon na vodièi nebo na rezistoru mùžeme po dosazení do Ohmova zákona vypoèítat ze vztahù: P = U. I = U 2 /R = R. I 2 Pøi výpoètu používáme kterýkoliv z tìchto vzorcù. U výše uvedených pøíkladù vypoèítejte ztrátový výkon na vodièi všemi zpùsoby, ovìøte shodnost výsledkù. Pøi daném odporu vodièe jsou tepelné ztráty na vodièi úmìrné druhé mocninì procházejícího proudu. Pøi pøenosu elektrické energie na velkou vzdálenost používáme vysokých napìtí a tím i malých proudù, abychom tyto ztráty snížili na minimum. Elektrickou práci udáváme buï v joulech (wattsekunda) nebo v kilowatthodinách 1 kwh = 3,6. 10 6 J V elektrických zaøízeních (motor, transformátor) dochází k pøemìnì energie z jedné formy na druhou. Využití energie není nikdy stoprocentní, èást energie se ztrácí ve formì tepla. Definujeme pøíkon P 1, výkon P 2 a úèinnost h h = 100 %. P 2 /P 1 (%, W, W) Pøíklad: Topnou spirálou vaøièe prochází pøi napìtí 220 V proud 2,5 A. Jakou práci vykoná elektrický proud za 40 minut? Jaký je pøíkon vaøièe? P = U. I = 220. 2,5 = 550 W pøíkon vaøièe A = P. t = 550. 40. 60 = 1 320 000 J = 0,367 kwh Pøíklad: Motor odebírá pøi napìtí 230 V proud 1,2 A. Jaký je jeho výkon, pokud úèinnost je 90 %. P 1 (pøíkon) = U. I = 230. 1,2 = 276 W P 2 (výkon) = P 1. η = 276. 0,9 = 248,4 W Pøíklad: Na rezistoru 100 Ω jsme namìøili úbytek napìtí 5 V. Jak velký proud jím teèe a jak velký je ztrátový výkon? J. Vlèek: Základy elektrotechniky 7

R = U/I = 5/100 = 0,05 A = 50 ma P = U 2 /R = 5 2 /100 = 0,25 W nebo P = U. I = 5. 0,05 = 0,025 W Pøíklad: Rezistor má hodnotu 4,7 Ω a maximální dovolené výkonové zatížení 0,2 W. Jak velký proud jím mùže protékat a jak velké napìtí na nìm mùže trvale být? U = (PR) = (0,2. 4,7) = 0,94 = 0,97 V I = (P/R) = (0,2/4,7) = 0,04255 = 0,206 A Zdroje napìtí a proudu Zdroje dodávají do elektrického obvodu napìtí a proud a tím i výkon. Zdrojem stejnosmìrného napìtí je nejèastìji baterie (akumulátor), kde vzniká napìtí a proud díky chemickým reakcím. Zdrojem støídavého napìtí jsou nejèastìji generátory v elektrárnách. Ze støídavého napìtí mùžeme vyrobit stejnosmìrné v pøístroji, který se nazývá laboratorní zdroj. Vývody stejnosmìrného zdroje oznaèujeme + a. Technický smìr proudu byl døíve zaveden od + k. K pozdìji se zjistilo, že smìr pohybu elektronù, které jsou nositeli proudu je opaèný. Pøi øešení obvodù používáme ideální zdroje. Ideální zdroj napìtí dává konstantní napìtí bez ohledu na velikost odebíraného proudu. U skuteèného zdroje dochází vždy pøi odbìru proudu k poklesu svorkového napìtí. Napìtí zdroje naprázdno nazýváme vnitøní napìtí zdroje U i. V sérii s tímto zdrojem je vnitøní odpor zdroje R i. Závislost svorkového napìtí na odebíraném proudu vyjadøuje zatìžovací charakteristika. Ve vìtšinì pøípadù (lineární zdroje) se jedná o pøímku, která spojuje 2 body U i a I k, kde I k je zkratový proud zdroje I k = U i /R i. U vìtšiny zdrojù musíme zajistit, aby nepracovaly do zkratu, jinak hrozí jejich znièení akumulátory (napø. autobaterie) mají velmi malý vnitøní odpor (øádovì 0,1 Ω), jejich zkratový proud je 100 200 A. Tepelné úèinky tohoto proudu mohou být nebezpeèné. Bìžné tužkové monoèlánky mají vnitøní odpor øádovì 1 Ω, pøi zkratu se silnì zahøejí a brzy se znièí. Obr. 1.2 a) Schematická znaèka a zatìžovací charakteristika ideálního zdroje napìtí (èárkovanì pùsobení proudové pojistky) b) Schematická znaèka a zatìžovací charakteristika ideálního zdroje proudu c) Náhradní schéma a zatìžovací charakteristika skuteèného lineárního zdroje 8 J. Vlèek: Základy elektrotechniky

Laboratorní (stabilizovaný) zdroj se chová jako ideální zdroj napìtí. Pøi pøekroèení pøednastaveného proudového odbìru (jednotky miliampér až jednotky ampér) dojde k prudkému poklesu napìtí, aby se zdroj neznièil nebo se nepoškodily obvody k nìmu pøipojené. Odpor sítì (400/230 V) je rovnìž velmi malý. Proti zkratu je rozvod napìtí chránìn jistièi. Zkratový proud by jinak poškodil vedení a mohl zpùsobil požár. Ideální zdroj proudu má nekoneènì velký vnitøní odpor. Dodává do zátìže stále stejný proud nezávisle na velikosti pøipojené zátìže. Zdroje napìtí mùžeme bez problémù zapojovat do série za úèelem zvýšení napìtí. Pøi paralelním zapojení na úèelem zvýšení odbìru proudu je nutná velká opatrnost. Zdroje musí mít stejné s vnitøní napìtí i vnitøní odpor, jinak hrozí jejich znièení vyrovnávacími proudy. 1. KIRCHHOFFÙV ZÁKON algebraický souèet proudù do uzlu vstupujících se rovná souètu proudù z uzlu vystupujících. Uzel je místo, kde se stýkají 2 nebo více vodièù. Tento zákon je v podstatì zákonem zachování elektrického náboje. Znaménkem, které proudùm pøiøadíme, rozlišujeme proudy do uzlu vstupující (napø. +) a proudy z uzlu vystupující (napø. ). Jako pøíklad si odvodíme vzorec pro PARALELNÍ ØAZENÍ REZISTORÙ. Pro uzel A platí: I = I 1 + I 2 do tohoto vztahu dosadíme: I 1 = U/R 1 I 2 = U/R 2 R = U/I na všech rezistorech je stejné napìtí U/R = U/R 1 + U/R 2 vydìlíme U 1/R = 1/R 1 + 1/R 2 èastìji uvádíme ve tvaru R = (R 1 R 2 )/(R 1 +R 2 ) 2. KIFHOFFÙV ZÁKON algebraický souèet svorkových napìtí zdrojù a všech úbytkù napìtí na spotøebièích v uzavøené smyèce se rovná 0 nule. Smyèka je uzavøená dráha v èásti obvodu. Tento zákon je zákonem zachování energie. Pøi prùchodu náboje elektrickým polem vzniká práce. Napìtí na každém spotøebièi je dáno prací potøebnou k pøemístìní náboje. Projde-li náboj po uzavøené dráze musí být tato nulová, náboj se vrátí do místa stejného potenciálu (potenciál = napìtí vùèi referenènímu uzlu zemi). Jako pøíklad použití si odvodíme vzorec pro SÉRIOVÉ ØAZENÍ REZISTORÙ. Obr. 1.3 Odvození vzorce pro a) paralelní (dìliè proudu), b) sériové (dìliè napìtí) øazení rezistorù J. Vlèek: Základy elektrotechniky 9

R 1 I I U o = 0 (R 1 ) I = U o R = U o /I R = R 1 všemi rezistory teèe stejný proud V obvodu vyznaèíme šipkou smysly proudù v jednotlivých smyèkách. Smìr proudu si mùžeme zvolit libovolnì. Pokud proud vyjde záporný, znamená to, že jeho smìr je opaèný. Vyjdeme od zvoleného uzlu a postupujeme smyèkou stále stejným smìrem. Souèiny R. I zapisujeme jako kladné, pokud je-li smìr proudu totožný se smìrem našeho postupu ve smyèce. Viz metoda smyèkových proudù popsaná v [3]. Dìliè napìtí Z výše uvedeného obrázku b sériového zapojení rezistorù si odvodíme dùležitý vztah pro dìliè napìtí U 1 = R 1 I U 2 = R 2 I U = (R 1 ). I U 1 /U = R 1 I/(R 1 )I = R 1 /(R 1 ) Pøíklad: Jaký je výsledný odpor paralelního spojení dvou rezistorù o hodnotách l kω? R = R 1 R 2 /(R 1 ) = 0,5 (kω) Zapamatujte si, že odpor paralelního spojení dvou stejných rezistorù se rovná polovinì hodnoty tohoto rezistoru. Pøidáme-li k rezistoru paralelnì jiný, jeho odpor se vždy zmenší. Pøíklad: O kolik procent se sníží odpor, pøidáme-li k rezistoru 4,7 kω rezistor 47 kω? R = 4,7. 47/(4,7 + 47) = 4,273 kω = 90,9 % pùvodní hodnoty. Pro pøibližný odhad (abyste pøi experimentování nemuseli poøád brát do ruky kalkulaèku) doporuèuji pøedpokládat, že pøidání paralelního rezistoru 10 (100 ) vìtšího sníží odpor daného rezistoru o 10 (1) %. Pøíklad: Odhadnìte odpor paralelního spojení dvou rezistorù 10 kω a 15 kω. Odhad: Výsledný odpor je podobný jako odpor paralelního spojení dvou rezistorù 12,5 kω (aritmetický prùmìr obou hodnot to je 6,25 kω). Výpoèet: 10. 15/(10+15) = 6 kω se pøíliš neliší od odhadu Pøíklad: Navrhnìte dìliè napìtí z 12 V na 5 V. U 1 = U. R 1 /(R 1 ) 5 = 12. R 1 /(R 1 ) 5/12 = R 1 /(R 1 ) 5/7 = R 1 /R 2 Úloha má nekoneènì mnoho øešení, po která platí, že R 1 : R 2 = 5 : 7. Vidíme, že napìtí na rezistorech se v sériovém zapojení dìlí v pomìru jejich velikostí. Pøíklad: Navrhnìte dìliè napìtí z 10 V na 4 V tak, aby jím tekl proud maximálnì 5 ma. Pro hodnoty R 1 a R 2 v mezním pøípadì platí R 1 = U/I = 10/5 = 2 kω (dosazujeme V, ma, kω, je to pohodlnìjší) R 1 /R 2 = 4/6 R 1 = 2R 2 /3 10 J. Vlèek: Základy elektrotechniky

Máme soustavu dvou rovnic o dvou neznámých, kterou dále upravíme: 2R 2 /3 = 2 5R 2 /3 = 2 R 2 = 6/5 = 1,2 kω R 1 = 0,8 kω Pøíklad: Jak se zmìní napìtí z pøedchozího pøíkladu, když k dìlièi (paralelnì k rezistoru R 1, jak je naznaèeno na obr. 1.3b) pøipojíme paralelnì rezistor 500 Ω. Jaký bude potom proud dìlièem? R 1 = 0,8. 0,5/(0,5 + 0,8) = 0,4/1,3 = 0,31 kω (nové hodnoty oznaèíme èárkou) U 1 = 10. 0,31/(0,31 + 1,2) = 2,05 V I = U/(R 1 ) = 6,62 ma Vidíme, že zatížením dìlièe rezistorem podobné nebo menší hodnoty, jako jsou rezistory v dìlièi, se napìtí podstatnì sníží, odbìr proudu se zvýší. Pøíklad: K dìlièi napìtí složeném ze dvou rezistorù o hodnotách 1 kω pøipojíme paralelnì k rezistoru R 1 rezistor 10 kω. Jak se zmìní výstupní napìtí U 1? Pùvodní napìtí: U 1 = U o /2 = 0,5 U o Nová hodnota rezistoru: R 1 = 1. 10/(1 + 10) = 0,909 kω Nové napìtí: U 1 = U o. R 1 /(R 1 ) = U o. 0,909/1,909 = 0,476 U o Napìtí na dìlièi kleslo pøibližnì o 5%. Èím vìtší rezistor k dìlièi paralelnì zapojíme, tím menší bude zmìna výstupního napìtí. Pøíklad: Navrhli jsme dìliè napìtí U o = 12 V, R 1 = 1 kω, R 2 = 3 kω. Napájecí (vstupní) napìtí U o se ale zmìnilo z 12 V na U o = 10 V. Jak musíme upravit R 2, aby výstupní napìtí dìlièe zùstalo zachováno? U 1 = 12. 1/(3 + 1) = 3 V U 1 = 10. 1/(3 + 1) = 2,5 V U 1 = U o. R 1 /(R 1 ) 3 = 10. 1/(1 ) R 2 = 7/3 = 2,33 kω pùvodní napìtí na dìlièi nové napìtí na dìlièi napìtí na dìlièi po zmìnì obvodu R 2 musíme zmìnit na 2,33 kω Druhý zpùsob: Proud dìlièem musí zùstat stejný. I = U o /(R 1 +R 2 ) = 3 ma nebo I = U 0 /(R 1 +R 2 ) = 3 ma na R 2 bude úbytek napìtí 10 3 = 7 V R 2 = 7/3 = 2,33 kω K pùvodnímu rezistoru R 2 musíme pøidat rezistor R p (pokud R 2 nechceme vyletovat z desky) tak, aby platilo R 2 = R 2. R p /R 2 + R p. 2,33 = 3R p /(3 + R p ) 7 + 2,33 R p = 3R p 7 = 0,66R p 10,60 kω = R p Pøíklad: Ke zdroji napìtí U = 30 V jsou zapojeny v sérii 3 rezistory R 1 = 5 kω, R 2 = 3 kω, R 3 = 7 kω. Jaké napìtí na nich bude? J. Vlèek: Základy elektrotechniky 11

Platí: U 1 + U 2 + U 3 = U = 30 V U 1 : U 2 : U 3 = R 1 : R 2 : R 3 = 5 : 3 : 7 U 1 = 10 V, U 2 = 6 V, U 3 = 14 V Druhý zpùsob: Vypoèítáme proud tekoucí obvodem a z Ohmova zákona vypoèítáme napìtí na rezistorech. I = U/(R 1 + R 3 ) = 30/(5 + 3 + 7) = 2 ma U 1 = 2R 1 = 10 V U 2 = 2R 2 = 6 V U 3 = 2R 3 = 14 V Nakonec zkontrolujeme, zda platí 2. Kirchhoffùv zákon (kdyby náhodou neplatil, byla by ve výsledku chyba) U = U 1 + U 2 + U 3. Pøíklad: Ke zdroji napìtí 12 V jsou paralelnì pøipojeny rezistory R 1 = 1 kω, R 2 = 4 kω a R 3 = 2 kω. Vypoèítejte proud tekoucí tímto obvodem a výsledný odpor této kombinace rezistorù. Výsledný proud bude souètem proudù jednotlivými rezistory. I 1 = U/R 1 = 12/1 = 12 ma I 3 = U/R 3 = 12/2 = 6 ma R = U/I = 12/21 = 0,571 kω I 2 = U/R 2 = 12/4 = 3 ma I = I 1 + I 2 + I 3 = 12 + 3 + 6 = 21 ma Druhý zpùsob: Vypoèítat výsledný odpor a z nìj pak proud. 1/R = 1/R 1 + 1/R 2 + 1/R 3 = 1/(1 + 0,25 + 0,5) = 1/1,75 R = 0,571 kω Vidíme, že øešit elektronické obvody mùžeme rùznými zpùsoby, všechny musí vést ke stejným výsledkùm. Obr. 1.4 a) paralelní, b) sériové øazení více rezistorù Sérioparalelní øazení rezistorù Pøi øešení složitìjších obvodù provádíme jeho zjednodušení podle pravidel o sériovém a paralelním øazení rezistorù. Tento postup si ukážeme na následujících dvou pøíkladech. 12 J. Vlèek: Základy elektrotechniky

Pøíklad: Vyøešte následující obvod (obr. 1.5). Vypoèítáme výsledný odpor, celkový proud obvodem a pøípadnì další velièiny. R = R 1 + ((R 2 par. R 3 ) par. R 4 ) R = 20 + 2,72 = 22,72 Ω Celkový proud obvodem I 1 = U/R = 20/22,72 = 0,88 A. Úbytek napìtí na R 1 bude U R1 = R 1. I 1 = 20. 0,88 = 17,60 V. Úbytek napìtí na R 2 R 3, R 4 U R2,3,4 = U- U R1 = 20 17,6 = 2,4 V. Nakonec vypoèítáme proudy: I 2 = U R2,3,4 /R 2 = 2,4/5 = 0,48 A I 4 = U R2,3,4 /R 4 = 2,4/10 = 0,24 A I 3 = U R2,3,4 /R 3 = 2,4/15 = 0,16 A Všimnìte si, že platí 1. Kirchhoffùv zákon I 1 = I 2 + I 3 + I 4 (kdyby náhodou pøestal platit, poèítejte znovu a pozornìji). Tento obvod bychom mohli rovnìž øešit metodou uzlových napìtí. V obvodu je jeden nezávislý uzel, pro který sestavíme rovnici I 1 = I 2 + I 3 + I 4, do které dosadíme: (U U R2,3,4 )/R 1 = U R2,3,4 /R 2 + U R2,3,4 /R 3 + U R2,3,4 /R 3 a kterou vyøešíme. Pøíklad: Vypoèítejte napìtí mezi body A a B v obvodu b). Obvod nejprve zjednodušíme. Slouèíme rezistory R 1, R 2 a R 5, R 6. Obr. 1.5 Sérioparalelní øazení rezistorù R 1 par. R 2 = R 1,2 = 0,5 kω R 5 + R 6 = R 5,6 = 3 kω U A = U o R 3 /(R 3 + R 1,2 ) = 10. 3/(0,3 + 0,5) = 3/0,8 = 3,75 V U B = U o R 5,6 /(R 4 + R 5,6 ) = 10. 3/6 = 5 V U B U A = 1,25 V J. Vlèek: Základy elektrotechniky 13

Pøi øešení (analýze) obvodù bychom si mìli uvìdomit, že na rozdíl od matematiky nikdy nezískáme pøesné (exaktní) øešení. Skuteèné rezistory mají výrobní tolerance (v souèasnosti typicky 1 %, døíve 5, 10 nebo 20 %). Jak poznáme pozdìji, v mnoha pøípadech není absolutní pøesnost pøíliš dùležitá. Pøesné øešení složitých obvodù je navíc pomìrnì složité, nìkdy vyžaduje i výpoèetní techniku. Pokud je to možné, snažíme se proto obvod zjednodušit. Na následujícím pøíkladu si ukážeme nìkterá pravidla pro zjednodušování. Obr. 1.6 Zjednodušování složitých obvodù Hodnota rezistoru R 1 je zanedbatelnì malá oproti ostatním rezistorùm. Proto jej nahradíme zkratem. Rezistor R 2 je paralelnì pøipojen ke zdroji napìtí, mùžeme jej vynechat. (Na samotném dìlièi R 1, R 2 je témìø plnì napájecí napìtí.) Hodnota rezistoru R 5 je o 2 øády vyšší než hodnoty R 3, R 4, R 6, R 7, R 8. Vynecháním tohoto rezistoru mùže vzniknout chyba øádovì 1 %. Hodnoty R 10 a R 9 jsou mnohem vìtší než hodnoty R 7 a R 8. Podle pravidla o rozdìlení proudù paralelnì zapojených rezistorech (proudy tekoucí jednotlivými rezistory jsou v pøevráceném pomìru jejich hodnot) mùžeme pøedpokládat, že proud tekoucí pøed R 9 a R 10 bude zanedbatelný oproti proudu tekoucímu pøes R 8 a rezistory R 9 a R 10 neovlivní podstatným zpùsobem napìtí na R 8. Po zkratování R 1, vynechání R 2 a R 5 a zanedbání R 9 a R 10 vypoèítáme napìtí na rezistoru R 8. U R8 = U o. R 8 /(R 8 + R 7 + R 6 ) = 5. 2/(2 + 5 + 1) = 1,25 V U x = U R8. R 9 /(R 9 + R 10 ) = 1,25. 1. 10 6 /(1,1. 10 6 ) =1,136 V Tento pøíklad bychom mohli pøesnì vyøešit s použitím Theveninovy vìty, pøípadnì transfigurace trojúhelník hvìzda (viz dále). Nastavit dìlièem pøesnou hodnotu napìtí je èasto obtížné, protože rezistory se vyrábìjí v urèitých hodnotách øada E 12, E 24. Je rovnìž tøeba si uvìdomit, že návrh (syntéza) elektrických obvodù nedává jedno možné øešení. Optimální oblast øešení tvoøí vždy urèitý interval hodnot. Napøíklad pøi návrhu dìlièe napìtí musíme dodržet vzájemný pomìr hodnot rezistorù dìlicí pomìr. Jejich velikost nemá být pøíliš malá, aby dìliè neodebíral zbyteènì velký 14 J. Vlèek: Základy elektrotechniky

proud, ani pøíliš velká, aby pøi zatížení dìlièe dalšími obvody se pøíliš nezmìnila hodnota jeho výstupního napìtí. Dìlièem by mìl téct naprázdno proud alespoò 10 vìtší než proud tekoucí do pøipojeného obvodu. Pøíklad: Navrhnìte dìliè napìtí z 15 V na 5 V tak, abychom mohli výstupní napìtí nastavit v rozsahu 4,5 až 5,4 V. Pøedpokládám odbìr proudu z dìlièe menší než 10 mikroampér (viz obr. 1.7). Zvolíme proud dìlièem naprázdno pøibližnì 100 mikroampér a dìlící pomìr 2/1. To znamená R 1 = 150 kω, R 1 = 47 kω, R 2 = 100 kω a P 1 = 10 kω (bìžnì vyrábìné hodnoty). Ovìøíme, zda výsledek odpovídá zadání, pøípadnì upravíme hodnoty souèástek. U 1min = U o R 1 /(R 1 + P 1 ) = 15. 47/(47 + 10 + 100) = 4,49 V (jezdec P 1 vytoèen smìrem dolù) U 1max = U o (R 1 + P 1 )/(R 1 + P 1 ) = 15(47 + 10)/(47 + 10 + 100) = 5,44 V (jezdec P 1 vytoèen smìrem nahoru) Pøi návrhu podobných obvodù èasto dìláme tzv. toleranèní analýzu. To znamená, že zjiš ujeme vliv zmìn jednotlivých velièin (napìtí 15 V) a toleranci souèástek (R 1, R 2 ). Pøíklad: Jak se mùže klesnout hodnota U o z pøedcházejícího pøíkladu, aby U 1 bylo možné nastavit maximálnì na 5 V, jsou-li tolerance R 1 a R 2 5 %? Dosadíme nejnepøíznivìjší pøípad, tzv. R 1n = 0,95. 47 = 44,65 kω, R 2n = 1,05. 100 = 105 kω, P 1 vytoèíme na maximální napìtí U 1 = 15. (44,65 + 10)/(105 + 44,65 + 10) = 5,13 V Dìlící pomìr (U 1 /U o ) je 0,342. Pro minimální napìtí 5 V musí být U o = 5/0,342 = 14,61 V. Pøi návrhu elektronických obvodù nás v urèitých pøípadech musí kromì hodnoty rezistorù zajímat i jejich maximální výkonové zatížení, které nesmíme pøekroèit. Pøíklad: Jaké nejmenší hodnoty rezistorù bude mít odporový dìliè z 30 V na 10 V, pokud chceme použít rezistory s maximálním ztrátovým výkonem 0,6 W? Na více zatíženém rezistoru R 2 (pøi stejném proudu je na nìm vìtší napìtí než na R 1 ) bude úbytek napìtí 20 V. Pro výkonové zatížení 0,6 W vypoèítáme maximální proud, který mùže téci dìlièem I max = P/U = 0,6/20 = 0,03 A = 30 ma. Z této hodnoty vypoèítáme souèet odporù dìlièe R 1 = U/I max = 30/30 = 1 kω. Navrhneme jednotlivé odpory tak, aby byl pøibližnì dodržen požadovaný dìlící pomìr. Používáme bìžnì vyrábìné hodnoty (øada E12, E24, viz [3]). Vypoètené hodnoty zaokrouhlíme (u R 2 nahoru, aby se maximální výkon nepøekroèil) na nejbližší vyrábìné hodnoty a pro kontrolu vypoèítáme s tìmito hodnotami napìtí na výstupu dìlièe. Pokud toto napìtí potøebujeme pøesnì nastavit (jednorázovì), pøidáváme k rezistorùm R 1 a R 2 paralelnì další rezistory nebo použijeme odporový trimr. R 2 = 680 Ω R 1 = 330 Ω U 1 = 30. 330/(330 + 680) = 9,8 V J. Vlèek: Základy elektrotechniky 15

Obr. 1.7 a) Dìliè napìtí s odporovým trimrem b) Obvod s více zdroji napìtí Princip superpozice Pokud v lineárním obvodu pùsobí nìkolik zdrojù souèasnì, urèíme napìtí nebo proud na libovolném prvku jako souèet pøíslušných napìtí nebo proudù vyvolaných jednotlivými zdroji samostatnì. Napìtí nebo proud vyvolaný jednotlivými zdroji samostatnì vypoèítáme tak, že ostatní zdroje napìtí nahradíme zkratem (pøípadnì zdroje proudu vyøadíme) a obvod vyøešíme stejnì jako u pøedcházejících pøípadù. (Superpozice platí pouze pro napìtí a proud, pro výkon nikoliv kvadratická závislost na U a I). Pøíklad: Vypoèítejte napìtí U x. Pøíspìvek od U 1 : U x1 = U 1 (R 3 par R 2 )/(R 1 + (R 3 par R 2 )U 2 zkratováno U x1 = 10. 4,29/(4,29 + 20) = 1,76 V Pøíspìvek od U 2 : U x2 = U 2 (R 3 par. R 1 )/((R 3 par. R 2 ) ) U 1 zkratováno U x2 = 5. 4/(4 + 30) = 0,59 V U x = U x1 + U x2 = 1,76 + 0,59 = 2,35 V Pro kontrolu mùžeme obvod zkusit vyøešit metodou uzlových napìtí, v obvodu je 1 nezávislý uzel, pro který sestavíme rovnici. (U 1 U x )/R 1 + (U 2 U x )/R 2 = U x /R 3 (10 U x )/20 + (5 U x )/30 = U x /5 /. 60 30 3U x + 10 2U x = 12U x 40 = 17U x 2,35 = U x TRANSFIGURACE TROJÚHELNÍK HVÌZDA (a hvìzda trojúhelník) se používá pøi zjednodušování zapojení, které není ani paralelní, ani sériové. R 10 = R a R c /(R a + R b + R c ) R 20 = R a R b /(R a + R b + R c ) R 30 = R b R c /(R a + R b + R c ) R a = R 10 0 + R 10 R 20 /R 30 R b = R 20 + R 30 0 R 30 /R 10 R c = R 10 + R 30 + R 10 R 30 /R 20 16 J. Vlèek: Základy elektrotechniky

Obr. 1.8 Transfigurace trojúhelník hvìzda Theveninova vìta Libovolnì složitý lineární obvod lze k jeho libovolným dvìma svorkám nahradit obvodem ideálního zdroje napìtí U n v sérii s rezistorem R n. Napìtí U n bude napìtí na tìchto svorkách naprázdno. Vnitøní odpor tohoto zdroje vypoèítáme jako odpor mezi výstupními svorkami, pokud je zátìž odpojena, zdroje napìtí zkratovány a zdroje proudu odpojeny. Odvození provedeme pro její nejjednodušší a taky nejèastìjší aplikaci dìliè napìtí. Pro uzel A platí 1. Kirchhoffùv zákon I 1 I 2 I z = 0 I z = proud do zátìže (U 0 U z )/R 1 U z /R 2 I z = 0 vynásobíme R 1 R 2 (U 0 U z ) R 2 U z R 1 I z R 1 R 2 = 0 (U 0 R 2 U z (R 1 ) I z R 1 R 2 = 0 Napìtí na zátìži U z = U 0 R 2 /(R 1 ) I z R 1 R 2 /(R 1 ). Mùžeme jej rovnìž vyjádøit ve tvaru U z = U n R n I z. U n = UR 2 (R 1 ) napìtí naprázdno na dìlièi R n = R 1 R 2 /(R 1 ) paralelní spojení R 1 a R 2 Obr. 1.9 Odvození Theveninovy vìty J. Vlèek: Základy elektrotechniky 17

Nortonova vìta Libovolný obvod složený z lineárních prvkù lze nahradit vzhledem k libovolným dvìma svorkám obvodem obsahující ideální zdroj proudu I 0, ke kterému paralelnì pøipojíme rezistor R i. I 0 je proud, který by procházel zkratovanými výstupními svorkami. Odpor R i vypoèítáme jako odpor mezi výstupními svorkami, pokud je zátìž odpojena, zdroje napìtí zkratovány a zdroje proudu odpojeny. Obr. 1.10 a) Grafické øešení nelineárních obvodù b) Obvod zjednodušený podle Nortonovy vìty c) Obecný obvod zjednodušený podle Theveninovy vìty (R n = R 4 par. R 3 ) Pøíklady na Theveninovu vìtu a øešení nelineárních obvodù najde ètenáø v [3]. Øešení nelineárních obvodù Obvod obsahující alespoò jeden nelineární prvek je nelineární. Nejznámìjší nelineární prvky jsou žárovka (prùchodem elektrického proudu se její vlákno rozžhaví a zvìtší svùj odpor), termistor (vyroben z materiálu o vysokém záporném teplotním souèiniteli vodivosti, s rostoucí teplotou klesá jeho odpor, pozistor (s rostoucí teplotou roste odpor), varistor (s rostoucím napìtím a intenzitou elektrického pole uvnitø jeho struktury se otvírá, jeho odpor se zmenšuje, slouží jako pøepì ová ochrana). Mezi nelineární souèástky patøí všechny polovodièe diody, tranzistory, integrované obvody. Matematické øešení takových obvodù, napø. metodou smyèkových proudù nebo uzlových napìtí by bylo velmi obtížné. Pøedevším bychom k nìmu museli znát matematickou rovnici VA (voltampérové) charakteristiky tohoto nelineárního prvku I = f(u), kterou nemáme vždy k dispozici. VA charakteristiky nelineárních prvkù, pokud ji u daného prvku nenajdeme v katalogu výrobce, získáváme nejèastìji mìøením (použijeme laboratorní zdroj, voltmetr, ampérme- 18 J. Vlèek: Základy elektrotechniky

tr, schéma mìøícího obvodu viz kapitola Ohmùv zákon). Obvykle na osu x vynášíme napìtí, na osu y proud. Máme-li nelineární prvek pøipojen do obvodu s lineárními souèástkami (zdroje napìtí, zdroje proudu, rezistory), snažíme se celé zapojení zjednodušit pomocí Theveninovy vìty tak, aby zapojení obsahovalo ideální zdroj napìtí v sérii s rezistorem (reálný zdroj), ke kterému je pøipojen nelineární prvek. Hledáme pracovní bod P nelineárního prvku, to znamená bod na jeho VA charakteristice urèující napìtí na tomto prvku a proud jím protékající. Ten leží na prùseèíku zatìžovací pøímky zdroje a VA charakteristiky nelineárního prvku. Zatìžovací pøímka zdroje je urèena napìtím naprázdno U o a proudem nakrátko I k, kde I k = U o /R i (viz obr. 1.10). Spojíme-li dva prvky, z nichž alespoò jeden je nelineární, do série, získáme jejich výslednou VA charakteristiku nejlépe jejich grafickým seètením. Proud, který jimi protéká, je stejný. Graficky seèteme napìtí na jednotlivých prvcích v co nejvìtším poètu bodù, ze kterých vytvoøíme výslednou charakteristiku. Pøi paralelním zapojení postupujeme obdobnì. Napìtí na obou prvcích je stejné, sèítáme proudy tekoucí pøes jednotlivé prvky. Obr. 1.11 Sériové a paralelní zapojení s nelineárními souèástkami 2 Elektrostatické pole Elektrické náboje, které jsou v klidu, se projevují silovými úèinky a vytváøejí elektrické pole. Elektrické náboje jsou kladné (nedostatek elektronù) a záporné (pøebytek elektronù). Souhlasné náboje se odpuzují, nesouhlasnì pøitahují. Coulombùv zákon øíká, že síla, kterou náboje na sebe pùsobí, je pøímo úmìrná souèinu jejich velikosti a nepøímo úmìrná druhé mocninì jejich vzdálenosti F = k Q 1 Q 2 /r 2 (A, N. m 2. C -2, C, C, m) k = 1/(4πε o ), kde e o je permitivita vakua (viz dále) e o = 8,854. 10-12 F/m Intenzita elektrického pole E je síla pùsobící na jednotkový kladný náboj E = F/Q (N. C -1, N, C). Je to vektorová velièina, která má v každém bodì elektrostatického pole o velikost a orientaci totožnou se smyslem síly, která na kladný jednotkový náboj pùsobí. J. Vlèek: Základy elektrotechniky 19

Jednotkou intenzity elektrického pole je N/C (newton/coulomb), v praxi se používá V/m [F] = J/m = V. A. s/m [Q] = C = A. s [E] = V/m Intenzita elektrického pole se v každém místì rovná spádu napìtí. Každému bodu elektrostatického pole mùžeme pøiøadit urèitý potenciál (napìtí vùèi jedné referenèní elektrodì). Místa, která mají vzhledem k nìkteré elektrodì stejné napìtí, se nazývají ekvipotenciální hladiny. Vektor intenzity elektrického pole je vždy kolmý k ekvipotenciálním hladinám. Ve vodièích je témìø nulová hodnota E, viz vztah J = γe. Kdyby tomu tak nebylo, blížila by se hodnota J nekoneènu. Pøiblížíme-li sobì dvì vodivá tìlesa, jedno nabité napø. záporným náboje (A), druhé bez náboje (B), nastane v nenabitém tìlese posun elektrických nábojù. Poruší se jeho elektrická rovnováha. Volné elektrony jsou odpuzovány do vzdálenìjší èásti tìlesa, do bližší èásti k tìlesu a jsou pøitahovány kladné náboje. Náboje ve vodièi B oznaèujeme jako indukované a celý jev nazýváme elektrostatickou indukcí. Obr. 2.1 Elektrostatické pole a) síla pùsobící mezi 2 nabitými tìlesy b) elektrická indukce c) homogenní elektrické pole d) nehomogenní elektrické pole Elektrická indukce Velièinu elektrostatická indukce oznaèujeme D(C/m 2 ). Jedná se o podíl náboje Q indukovaného na ploše S. D = Q/S Jedná se o vektorovou velièinu, její smìr je kolmý k ploše v takové poloze, kdy indukovaný náboj je nejvìtší. Pøíèinou elektrické indukce je elektrický náboj (který je z tìlesa A). Øíkáme, že z tìlesa A vychází indukèní tok Ψ, který se èíselnì rovná tomuto náboji. Y = Q = D. S Gausova vìta: Indukèní tok vycházející z libovolné uzavøené plochy se èíselnì rovná algebraickému souètu nábojù, které se nacházejí v prostoru omezeném touto plochou. 20 J. Vlèek: Základy elektrotechniky

Pøíklad: Elektrostatické pole má konstantní intenzitu elektrického pole 15 kv/m. Jaké je napìtí mezi 2 vodièi, které jsou od sebe vzdáleny 5 cm? U = El = 15. 0,05 = 0,75 kv = 750 V Pøíklad: V prostoru mezi deskami je elektrická indukce 0,1 C/m 2. Plocha desek je 30 cm 2. Vypoèítejte náboj na deskách Q = D. S = 0,1. 30. 10-4 = 3. 10-4 C Elektrostatické pole zobrazujeme pomocí elektrických siloèar. Jsou to myšlené èáry, které sledují smìr silového pùsobení tìles. Zaèínají a konèí vždy na povrchu vodivých tìles. Jejich smysl je shodný se smìrem pohybu kladného náboje vloženého do pole. V elektrostatickém poli neexistují uzavøené siloèáry. Siloèáry se nikdy neprotínají. Na siloèáry jsou kolmé tzn. ekvipotenciály køivky spojující místa se stejným elektrickým potenciálem. V homogenním elektrostatickém poli jsou siloèáry rovnobìžné. Intenzita elektrického pole je zde konstantní. Pøíkladem je pole mezi 2 rovnobìžnými deskami kondenzátoru. V nehomogenním elektrickém poli není hustota indukèních èar stejná, intenzita není konstantní. Pøíkladem je elektrostatické pole mezi 2 opaènì nabitými koulemi, mezi 2 vodièi, mezi dvìma soustøednými válci (koaxiání vodiè). Homogenní a nehomogenní pole Mezi intenzitou elektrického pole a elektrickou indukcí platí vztah D = ee, e se nazývá permitivita dielektrika. D = e o e r E, kde e o je permitivita vakua 8, 854. 10-12 F/m a e r je relativní permitivita (bezrozmìrná). Permitivita je charakteristickou vlastností izolantù (jako u vodièù vodivost). V izolantech jsou elektrické náboje (elektrony) vázány na pevné místo. V izolantech mùže existovat elektrické pole které je polarizuje. Uvnitø atomù nebo molekul dochází k posunu nábojù, vznikají dipóly. Relativní permitivita popisuje schopnost dielektrika se polarizovat pùsobením elektrostatického pole. Relativní permitivita vyjadøuje, kolikrát je intenzita elektrického pole v dielektriku menší než ve vakuu. Vztah mezi D a E je u vìtšiny materiálù lineární. Pøi pøekroèení elektrické pevnosti se u dielektrika roztrhnou vazby mezi náboji, nastává prùraz, dielektrikum se zaène chovat jako vodiè. Elektrická pevnost je dùležitou vlastností izolantù, závisí na teplotì, vlhkosti, apod. Typické hodnoty jsou pro vzduch 2 až 3 kv/mm, olej 20 30 kv/mm, polystyrén, sklo, slída 20 80 kv/mm. Pokud potøebujeme odstranit elektrostatické pole z urèitého prostoru, obklopíme jej vodivým krytem stínící kryt. Elektrostatické pole nemùže existoval uvnitø vodivého prostoru, elektrické siloèáry vždy konèí na povrchu vodièe. Kapacita je schopnost vodièe vázat urèitou velikost náboje pøi jednotkovém napìtí. Souèástky, jejichž základní vlastnost je kapacita, se nazývají kondenzátory. Jednotkou kapacity je farad F. Kondenzátor má kapacitu 1 F, jestliže pøi napìtí 1 V udrží náboj 1 C. C = Q/U. J. Vlèek: Základy elektrotechniky 21

Obr. 2.2 Polarizace a) atom nepolarizovaného dielektrika b) polarizovaného dielektrika c) princip stínìní V základní podobì tvoøí kondenzátor 2 vodivé, rovnobìžné desky. Prostor mezi nimi je vyplnìn dielektrikem. Odvodíme vztah pro výpoèet kapacity z rozmìrù kondenzátoru. S = plocha desek, d = vzdálenost mezi nimi. Q = D. S = ε o ε r E. S = ε o ε r S. U/d C = Q/U = e o e r. S/d Jako dielektrikum se používá kondenzátorový papír, slída, keramika, plastové folie. U elektrolytických kondenzátorù tvoøí dielektrikum tenká vrstva vrstva kyslièníku na povrchu hliníkové nebo tantalové elektrody. Ta se vytváøí a udržuje pùsobením elektrického proudu, je-li elektroda ponoøena ve vhodném elektrolytu. Vývody tìchto kondenzátorù jsou oznaèeny + a. Pøípadná jejich zámìna (pøivedení napìtí opaèné polarity) by zpùsobila depolarizaci této vrstvy a tím znièení kondenzátoru. Protože základní jednotka kapacity je pøíliš velká pro bìžné použití, používají se menší jednotky: mikrofarad µf (10-6 F), nanofarad nf (10-9 F) a pikofarad pf (10-12 F). Za základní jednotku se èasto považuje v praxi pikofarad. Je-li napø. ve schématu u kondenzátoru napsáno 100, znamená to 100 pf, 22 n znamená 22 nf, M1 = 0,1 mikrofaradu = 100 nf, 10 M (10 u) = 10 mikrofaradù, 2m2 = 2,2 milifarady = 2 200 mikrofaradù. Èasto se znaèí hodnota kondenzátorù èíselným kódem. Napø. 332 znamená 33. 10 2 (pikofaradù) = 3,3 nf. 104 = 10. 10 4 pf = 100 nf, apod. Ze vzorce pro výpoèet kapacity kondenzátoru vyplývá, že kapacita je pøímo úmìrná ploše elektrod a nepøímo úmìrná jejich vzdálenosti. Dielektrikum svojí polarizací zvìtšuje kapacitu schopnost vázat elektrický náboj. Plochu elektrod zvìtšujeme svitkovým uspoøádáním. Pøíklad: Stanovte kapacitu rovinného kondenzátoru S = 10 3 cm 2, d = 0,2 mm, ε r = 5 C = ε o ε r S/d = 5. 8,854. 10-12. 10-1 /(0,2. 10-3 ) = 22,13. 10-9 F = 22,13 nf 22 J. Vlèek: Základy elektrotechniky

Pøíklad: Plocha elektrod kondenzátoru je 6. 10 4 cm 2, vzdálenost mezi nimi 0,5 mm. Jaká musí být minimální permitivita dielektrika, aby kapacita kondenzátoru nebyla menší než 470 nf? C = 6. 8,854. 10-12 /0,5. 10-3 = 106,25 nf kapacita vzduchového kondenzátoru stejných rozmìrù ε r = C s diel. /C bez dielektrika = 470/106,25 = 4,42 Jaké bude prùrazné napìtí tohoto kondenzátoru, je-li prùrazné napìtí dielektrika 40 kv/mm? U prùrazné = E p. d = 40. 0,5 = 20 kv Maximální povolené napìtí na kondenzátoru musí být pochopitelnì výraznì menší než takto vypoètená hodnota. Je tøeba brát v úvahu výrobní tolerance, vliv neèistot, vlhkosti, teploty apod. S rostoucí tlouš kou dielektrika vzrùstá prùrazné napìtí kondenzátoru, vzrùstá ale i jeho velikost. Sériové a paralelní spojení kondenzátorù Obr. 2.3 Zapojení kondenzátorù a) paralelní b) sériové Pøi paralelním spojení je na všech kondenzátorech stejné napìtí, náboj se rozdìlí v pomìru kapacit Q 1 = C 1. U Q 2 = C 2. U Q = (C 1 +C 2 ). U C = C 1 +C 2 Pøi paralelním spojení kondenzátorù je výsledná kapacita souètem jednotlivých kapacit. Pøi sériovém zapojení kapacit náboj pøivedený na první kondenzátor váže stejný náboj na druhém kondenzátoru. V dielektrikách bude stejný indukèní tok, na všech kondenzátorech bude stejný náboj. Toto spojení mùžeme nahradit jedním kondenzátorem o kapacitì C na kterém bude napìtí U = U 1 + U 2 Q/C = Q/C 1 + Q/C 2 1/C = 1/C 1 + 1/C 2 C = C 1 C 2 /(C 1 +C 2 ) J. Vlèek: Základy elektrotechniky 23

Pøi sériovém spojení kondenzátorù se podobnì jako u paralelního zapojení rezistorù sèítají jejich pøevrácené hodnoty. U složitìjších zapojení provádíme zjednodušování podobným zpùsobem jako u rezistorù. Obr. 2.4 Øešení obvodù s kondenzátory Pøíklad: Vypoèítejte výslednou kapacitu obvodu z obr. 2.4a. C 2,3 = C 2 + C 3 = 47 + 22 = 69 nf C = C 2,3. C 1 /(C 2,3 + C 1 ) = 40,8 nf Pøíklad: Vypoèítejte výslednou kapacitu obvodu z obr. 2.4b. Tolerance vyrábìných kapacit bývá typicky ±20 %. Pøi zjednodušování obvodù nemá smysl poèítat s pøíliš velkou pøesností. Zapojení z obr. 2.4b mùžeme zjednodušit vynecháním C 4 a C 5 (jejich sériové spojení má kapacitu mnohem menší, než je kapacita C 2 ) a zkratováním C 1 (jeho kapacita je mnohem vìtší než ostatní kapacity), mùžeme je tedy zanedbat. Výsledná kapacita bude pøibližnì C = C 2 C 3 /(C 2 + C 3 ) = 10. 2,2/(10 + 2,2) = 1,8 nf. Pøíklad: Ke kondenzátoru 100 mikrofaradù, který byl nabit na 40 V byl paralelnì pøipojen kondenzátor 220 mikrofaradù, který byl nabit na napìtí 10 V. Jaké bude výsledné napìtí na spojených kondenzátorech? Platí zákon zachování elektrického náboje Q = Q 1 + Q 2 = C 1. U 1 + C 2. U 2 = = 0,1. 10-3. 40 + 0,22. 10-3. 10 = (4 + 2,2). 10-3 = 6,2. 10-3 C. Z náboje a výsledné kapacity, která je souètem obou kapacit, potom vypoèítáme hledané napìtí: U = Q/(C 1 + C 2 ) = 6,2. 10-3 /(0,1 + 0,22). 10-3 = 6,2/0,33 = 18,79 V. Složená dielektrika Jsou-li 2 desky oddìleny z dielektriky vedle sebe s relativními permitivitami ε r1 a ε r2, chová se zapojení jako dva paralelnì zapojené kondenzátory. Elektrickou pevnost urèuje dielektrikum s menší elektrickou pevností. U kondenzátoru s vrstveným dieleketrikem (2 dielektrika za sebou), bude v obou dielektrikách stejná indukce D (D = Q/S). Intenzita elektrického pole v obou dielektrikách vypoèítáme ze vztahu E = D/ε 0 ε r. V dielektriku s menší permitivitou je vìtší intenzita elektrického pole a naopak. Tato izolace se chová jako dva kondenzátory zapojené do série. 24 J. Vlèek: Základy elektrotechniky

ENERGII ELEKTROSTATICKÉHO POLE vypoèítáme ze vztahu W e = CU 2 /2. Dodaná energie se spotøebuje na polarizaci dielektrika. Jedná se o práci potøebnou k pøenesení náboje na kondenzátor. Úpravou tohoto vztahu získáme vztah pro objemovou energii W e = QU/2 dosadíme Q = ε. E. S a U = E. l W e = ε. E 2 S. l V objem kondenzátoru = S. l W e /V = DE/2 objemová energie kondenzátoru. Pøíklad: Deskový kondenzátor, jehož desky byly od sebe vzdáleny 1 mm se nabil na U o = 10 V. Jaké bude jeho napìtí po oddálení desek na 2 cm? Platí zákon zachování elektrického náboje Q o = Q 1. Kapacita kondenzátoru se zmenšila 20. C 1 = 0,05 C o C o U o = C 1 U 1 U 1 = 20 U o = 200 V Z tohoto pøíkladu vidíme, že statické napìtí o vysoké hodnotì mùže vzniknout prakticky z nièeho. Elektrické náboje vznikají mechanickým tøením nestejnorodých látek (pohyb dopravních pásù, pohyb sypkých materiálù, v tiskárnách, v letadlech, v automobilech). Mezi elektrostatické jevy patøí i blesky. Problémy pøináší elektrostatický náboj pøi práci s tìkavými hoølavými látkami a pøi práci s nìkterými typy polovodièù (technologie MOS). Pøed škodlivými úèinky tìchto nábojù se chráníme tìmito zpùsoby: vodivým pospojováním a uzemnìním kovových èástí pøístrojù, použitím vhodných (polovodivých) podlahových krytin (antistatické linoleum), vhodnou podložkou na pracovním stole, vhodná obuv a obleèení (bavlna, nikoliv umìlá vlákna), zvýšením vodivosti vzduchu zvlhèení, ultrafialové záøení. Pøíklad: Vybitý kondenzátor o kapacitì 5 mf se nabíjí proudem 1 ma po dobu 3 s. Na jaké napìtí se nabije? Q = I. t = 3. 10-3 C náboj, na který se kondenzátor nabije U = Q/C = 3. 10-3 /(5. 10-3 ) = 0,6 V Pøíklad: Kondenzátor o kapacitì 10 mf je nabit na 5 V. Jak dlouho mùže dávat do zátìže proud 40 µa, než jeho napìtí poklesne na 3 V? (Pøedpokládáme, že vybíjecí proud je konstantní a nezávislý na napájecím napìtí.) Pøi poklesu napìtí o 2 V klesne náboj kondenzátoru o Q = C. U = 10-2. 2 = 20 mc. t = Q/I = 20. 10-3 /(40. 10-6 ) = 0,5. 10 3 = 500 s Z tohoto pøíkladu vidíme, že kondenzátor o velké kapacitì mùže pro urèitou dobu (napø. pøi výpadku sí ového napìtí) fungovat u zaøízení s nízkou spotøebou (napø. obvod mìøení èasu, pamì nastavených hodnot) jako záložní zdroj energie (místo baterie). V této kapitole jsme pracovali s tzn. ideálním kondenzátorem, který je bezedrátový. Ve skuteèném kondenzátoru existuje urèitý svodový odpor mezi elektrodami (dielektrikum má urèitou vodivost). Ten zpùsobí, že se nabitý kondenzátor po urèité dobì sám vybije (náhradní schéma kondenzátoru viz dále paralelní obvod RC, na vyšších kmitoètech se uplatní i indukènost). J. Vlèek: Základy elektrotechniky 25

3 Magnetizmus Magnetické pole je silové pole, které vzniká následkem pohybu elektrických nábojù. Vytváøí jej buï permanentní magnet nebo elektromagnet. Magnet pøitahuje kovové pøedmìty. Jeho silové úèinky jsou zdánlivì soustøedìny v místech, které nazýváme póly. Rozeznáváme severní S (N nord) a jižní J (S south) magnetický pól. Stejnì jako v prostoru kolem elektrického náboje vzniká elektrostatické pole, vzniká v blízkosti elektrického proudu magnetické pole. U permanentních magnetù si magnetické pole vysvìtlujeme pohybem elektronù. Ty kromì pohybu okolo jádra atomù rotují i okolo své osy. Tomuto pohybu, který je pøíèinou magnetického pole, øíkáme spin elektronu. V látce vznikají elementární magnety vytvoøené dvìma opaènými spiny elektronù. V magnetické látce jsou oblasti o rozmìrech øádovì jednotek mikrometrù, ve kterých jsou spiny orientovány. Øíkáme jim domény. Každá doména je elementárním magnetem, jednotlivé domény nejsou uspoøádané, jsou orientovány v rùzných smìrech. Pùsobením vnìjšího magnetického pole se domény uspoøádají a látka se zmagnetuje. Obr. 3.1 a) elementární magnet dvojice elektronù s opaèným spinem b) neuspoøádané domény c) uspoøádané domény Magnetické pole zobrazujeme pomocí magnetických indukèních èar. Jsou to uzavøené køivky, které nikde nezaèínají a nekonèí. Zobrazují silové úèinky magnetického pole. Obr. 3.2 a) magnetické pole tyèového magnetu b) magnetické pole mezi nesouhlasnými póly c) magnetické pole mezi souhlasnými póly 26 J. Vlèek: Základy elektrotechniky

Magnetické indukèní èáry probíhají vnì magnetu od severního pólu k jižnímu, uvnitø opaènì. Kladný smysl je stanoven dohodou. Je dán smìrem do nìhož se v magnetickém poli natoèí severní pól magnetky (na níže uvedených obrázcích smìrem šipky). Nesouhlasné póly magnetu se pøitahují, souhlasné se odpuzují (viz obrázek). Rozdìlením tyèového magnetu vzniká vìtší poèet samostatných magnetù, každý z nich má svùj severní a jižní pól. Severní a jižní pól nemohou existovat samostatnì. Nejvìtším magnetem je zemìkoule. Toho využíváme pøi orientaci pomocí kompasu který má v sobì permanentní magnet ukazující stále k severnímu magnetickému pólu. Mezi elektrickým a magnetickým polem je urèitá podobnost. Elektrické napìtí je pøíèinou elektrického proudu. Pøíèinou magnetického pole je elektrický proud, tzn. elektromotorické napìtí F m = I. Pøi vybuzení magnetického pole nìkolika proudy je magnetomotorické napìtí dáno algebraickým souètem proudù, které indukèní èára obepíná. F m = I 1 I 2 + I 3 (viz obr. 3.3c) U cívky je magnetomotorické napìtí vynásobeno poètem jejích závitù. Fm = N. I Mezi každými dvìma body indukèní èáry lze definovat magnetické napìtí Um. Obr. 3.3 a) Oznaèení smìru proudu b) Magnetické pole pøímého vodièe c) Magnetické pole nìkolika vodièù d) Magnetické napìtí Intenzita magnetického pole H je dána magnetickým napìtím pøipadajícím na jednotku délky indukèní èáry, neboli spádem magnetického napìtí. Jednotkou je A/m. Jedná se o vektorovou velièinu. V okolí pøímého vodièe, kterým prochází elektrický proud I tvoøí indukèní èáry soustøedné kružnice. Ve vzdálenosti r od osy vodièe je intenzita magnetického pole stejná po celé délce indukèní èáry H = U m /l = I/2pr (Am -1, A, m). Smìr magnetického pole urèíme Ampérovým pravidlem pravé ruky (pøípadnì si jej zapamatujeme podle výše uvedeného obrázku). Uchopíme-li pravou rukou vodiè tak, že palec ukazuje smìr proudu, prsty ukazují smìr intenzity magnetického pole. J. Vlèek: Základy elektrotechniky 27