Úloha Autoři Zaměření FYZIKÁLNÍ PRAKTIKUM FJFI ČVUT V PRAZE 2. Měření modulu pružnosti v tahu a modulu pružnosti ve smyku Martin Dlask Měřeno 11. 10., 18. 10., 25. 10. 2012 Jakub Šnor SOFE Klasifikace 1. PRACOVNÍ ÚKOLY 1.1. Změřte závislost relativního délkového prodloužení Δl/l ocelového drátu na napětí při zatěžování a odlehčování drátu a sestrojte graf této závislosti. Vypočítejte metodou nejmenších čtverců modul pružnosti v tahu ocelového drátu. 1.2. Změřte závislost průhybu z na velikosti síly F při zatěžování i odlehčování ocelového nosníku a narýsujte graf této závislosti. Metodou nejmenších čtverců vypočítejte modul pružnosti v tahu. 1.3. V přípravě odvoďte vzorec pro plošný moment setrvačnosti obdélníkového průřezu šířky a a výšky b. 1.4. Změřte závislost úhlu zkroucení φ ocelového drátu o velikosti krouticího momentu při postupném zvětšování a postupném zmenšování tohoto momentu. Výsledky měření vyneste do grafu. Metodou nejmenších čtverců vypočtěte modul pružnosti ve smyku G drátu. 1.5. Na torzním kyvadle měřte moment setrvačnosti základního systému I 0 a modul pružnosti ve smyku G ocelového drátu. Dobu torzních kmitů změřte postupnou metodou. 1.6. V přípravě odvoďte vzorce pro výpočet modulu pružnosti ve smyku G a momentu setrvačnosti základního systému torzního kyvadla I 0. 2. POUŽITÉ PŘÍSTROJE A POMŮCKY Stojan s indikátorovými hodinkami a se strunou, zařízení na měření modulu pružnosti ohybem, trafo 6 V, ocelový hranolek, odečítací mikroskop s okulár. mikrometrem, mikrometrický šroub, posuvné a pásové měřítko, závaží, zařízení na měření modulu smyku statickou metodou (přípravek z kul. úhloměru na velkém Bunsen. stojanu), torzní kyvadlo, ocelový drát, tyčka se závitem, kovové kroužky, stopky. 3. TEORETICKÝ ÚVOD 3.1. Prodloužení drátu Jednou z charakteristik každé pevné látky je Youngův modul pružnosti v tahu označovaný E a uváděný v jednotkách Pa. V případě drátu o plošném průřezu S a délce l, který je na jednom konci upevněn pevně a na druhém konci na něj působí síla F ve svislém směru, která způsobuje prodloužení o velikosti Δl, platí tzv. Hookův zákon:. (1) Jelikož drát je kruhového průřezu o poloměru r, platí. (2) 1/9
Pokud vyjádříme, (3) kde m je celková hmotnost závaží vyvolávající prodloužení drátu a g je místní tíhové zrychlení, a poměr m/δl označíme 1/α, kde koeficient α jsme získali metodou nejmenších čtverců, a vyjádříme modul pružnosti v tahu E, dostaneme vztah:. (4) 3.2. Ohyb nosníku Síla F, působící na nosník obdélníkového průřezu, vyvolává moment sil M, který lze také určit pomocí vztahu:, (5) kde E je modul pružnosti nosníku v tahu, 1/R je poloměr křivosti nosníku a I se nazývá moment setrvačnosti geometrického příčného průřezu. Tuto veličinu určíme při vypracování 3. úkolu. Jelikož je průhyb nosníku malý v porovnání s jeho délkou, platí vztah: ( ) ( ), (6) kde z(x) je funkce x, která popisuje křivku průhybu nosníku. Označme L vzdálenost mezi břity. Jelikož síla F působí ve středu nosníku, můžeme při vhodné volbě souřadnicového systému volit x = 0, čímž se vztah (6) zjednoduší na: ( ). (7) 3.3. Vzorec pro plošný moment setrvačnosti obdélníkového průřezu odvodíme následující sérií zřejmých rovností. (8) 3.4. Torze drátu Drát zkroucený podél své osy má tendenci vrátit se do původního, nezkrouceného stavu. Moment sil M, které na drát působí, můžeme určit pomocí vzorce:, (9) kde R je poloměr drátu a G je materiálová konstanta modul pružnosti ve smyku, popisující závislost mezi momentem působícím na drát a zkrutem. Vyjádříme-li ze vztahu (9) modul pružnosti ve smyku G a přepíšeme-li moment sil M jako:, (10) kde F je síla způsobující torzi drátu, m je hmotnost závaží, g je místní tíhové zrychlení a a je rameno síly. Dosadíme-li za m/φ koeficient 1/α, kde koeficient α jsme získali metodou nejmenších čtverců a vyjádříme-li modul pružnosti ve smyku G, dostaneme vztah:. (11) 3.5. Torzní kyvadlo Torzní kyvadlo je složeno z drátu uchyceného na jednom konci pevně a na druhém upevněného ke středu tyčky se závity, na kterou lze našroubovat závaží válcovitého tvaru do různé vzdálenosti od jejího středu. V případě stočení drátu o úhel φ bude 2/9
na tyč působit moment síly M, určený ze vztahu (9). Periodu kmitu T tohoto kyvadla lze určit ze vztahu:, (12) kde G je modul pružnosti ve smyku drátu, R je jeho poloměr, L je jeho délka a I je moment setrvačnosti závaží. Modul pružnosti G vyjádříme ze vztahu (12) jako: Pro moment setrvačnosti I 0 nezatížené tyčky se závity platí:. (13), (14) kde T 0 je perioda kmitů nezatíženého kyvadla, T 1 je perioda kmitů již zatíženého kyvadla a I * moment setrvačnosti systému, který odvodíme v 3.6. 3.6. Odvození vzorce pro moment setrvačnosti Moment setrvačnosti I závaží lze odhadnout, při předpokladu, že uvažujeme tvar válce, momentem setrvačnosti I v dutého válce o vnějším poloměru r 1, vnitřním poloměru r 2, výšce v a hmotnosti m jako: ( ). (15) Nyní odvodíme moment setrvačnosti základního systému I * za pomocí této aproximace. Nejprve určíme celkový moment setrvačnosti všech závaží, které soustava obsahuje. Moment setrvačnosti většího závaží I 1 * s parametry R 1, R 2, V a M je roven: ( ). (16) Moment setrvačnosti menšího závaží I 2 * s parametry r 1, r 2, v a m je roven: ( ). (17) Pro moment setrvačnosti I * užijeme vztahů (16) a (17) ve Steinerově větě: ( ) ( ), (18) kde R T je vzdálenost velkého závaží od osy otáčení a r T vzdálenost malého závaží od osy otáčení, pro které platí zřejmé vztahy:, (19), (20) kde a je vzdálenost velkého závaží od osy otáčení. Tím konečně dostáváme vztah: ( ) ( ) ( ) ( ). (21) 4. POSTUP MĚŘENÍ 4.1 Prodloužení drátu Nejprve zavěsíme na volný konec drátu velké závaží, aby došlo k jeho napnutí. Nyní změříme délku drátu svinovacím metrem od jeho pevného konce k zařízení, ze kterého lze odečíst prodloužení drátu. Zvážíme jednotlivá malá závaží na digitálních vahách, a postupně je přidáváme na volný konec drátu za sebe tak, že po každém jednotlivém závaží odečteme prodloužení na indikátorových 3/9
hodinkách. Po použití posledního závaží a odečtení hodnoty začneme závaží postupně odebírat a současně zjišťovat, jak se drát zkrátil. Měření opakujeme. 4.2 Ohyb nosníku Prvně zjistíme parametry nosníku jeho výšku a šířku posuvným měřítkem. Dále změříme vzdálenost mezi břity svinovacím metrem a umístíme na ně nosník. Na háček, který se nachází uprostřed nosníku, postupně zavěšujeme závaží předem zvážená na digitálních vahách a měříme jeho prohnutí pomocí odečítacího mikroskopu s okulár. mikrometrem. Jeden dílek stupnice mikrometru odpovídá 0,0253 mm. Po použití posledního závaží a odečtení hodnoty začneme závaží postupně odebírat a současně zjišťovat, jak se nosník pomalu narovnal. Měření opakujeme. 4.4 Torze drátu Změříme tloušťku drátu mikrometrem a délku drátu svinovacím metrem. Poté změříme průměr kolečka kladkostroje posuvným měřítkem a zvážíme jednotlivá závaží na digitální váze. Na dva provázky, které kroutí drát pomocí kladkostroje, přidáváme postupně dvojice závaží. Po každém zatížení odečteme příslušnou hodnotu na úhloměru. Po použití poslední dvojice závaží a odečtení hodnoty začneme dvojice závaží postupně odebírat a současně zjišťovat, jak se zmenšilo zkroucení drátu. Měření opakujeme. 4.5 Torzní kyvadlo Nejprve změříme svinovacím metrem délku torzního kyvadla a zvážíme dvě malá a dvě velká závaží na digitálních vahách, u kterých zjistíme vnitřní a vnější poloměr a výšku posuvným měřítkem. Dvakrát změříme dobu trvání deseti period otáčení nezatíženého kyvadla ručními stopkami. Poté našroubujeme na obě strany do stejné vzdálenosti od osy otáčení velká závaží, a malá závaží natěsno k velkým. Opět dvakrát změříme dobu trvání pěti period otáčení ručními stopkami. 5. VYPRACOVÁNÍ Naměřené hodnoty jsou udávány jako aritmetický průměr ± střední kvadratická chyba. Chyby uvedené u výpočtu byly určeny pomocí výpočtů s parciálními derivacemi. 5.1 Prodloužení drátu tíhové zrychlení (zdroj: [1]) g = (9,81±0,01) m s -2 délka drátu l = (99,0±0,1) cm poloměr drátu r = (0,095±0,003) mm číslo závaží 1 2 3 4 5 chyba měření m[g] 100,5 100,9 101,0 100,5 100,8 0,1 Tab. 1: hmotnosti závaží 4/9
Δ l [mm] číslo závaží hodnoty odečtené z indikátorových hodinek [10-5 m] bez závaží 3 4 3 3 1 21 18 16 20 2 33 35 32 34 3 52 52 50 53 4 70 70 65 68 5 82 82 82 82 Tab. 2: hodnoty prodloužení drátu odečtené s přesností 1 10-5 m zatížení [g] Δl [mm] l [mm] σ Δl [mm] 100,5 0,18 0,14 0,13 0,17 0,1550 0,0006 201,4 0,30 0,31 0,29 0,31 0,3025 0,0001 302,4 0,49 0,48 0,47 0,50 0,4850 0,0002 402,9 0,67 0,66 0,62 0,65 0,6500 0,0005 503,7 0,79 0,78 0,79 0,79 0,7875 0,0001 Tab. 3: průměrné prodloužení drátu 1,0 Graf 1: Závislost prodloužení na zatížení 0,8 0,6 Δl = 0,0016m - 0,0075 0,4 0,2 0,0 0 100 200 300 400 500 600 m [g] Metodou nejmenších čtverců určený koeficient α = (0,0016±0,0001) Po dosazení naměřených hodnot do vztahu (4) dostáváme: ( ) 5.2 Průhyb nosníku tíhové zrychlení (zdroj: [1]) g = (9,81±0,01) m s -2 vzdálenost mezi břity l = (49,8±0,1) cm šířka nosníku a = (1,04±0,01) cm výška nosníku b = (0,42±0,01) cm Sada závaží 1 5 byla použita stejná jako v úloze 1. prodloužení drátu lineární aproximace 5/9
Δz [mm] číslo závaží hodnoty odečtené z mikroskopu s okulár. mikrometrem bez závaží 3,8 3,9 3,9 3,9 1 4,7 4,8 4,8 4,9 2 5,6 5,8 5,8 5,8 3 6,6 6,7 6,6 6,6 4 7,5 7,6 7,6 7,7 5 8,5 8,6 8,6 8,7 Tab. 4: hodnoty prohnutí nosníku odečtené s přesností poloviny dílku stupnice zatížení [g] Δl [mm] l [mm] σ Δl [mm] 100,5 0,02277 0,02277 0,02277 0,0253 0,023403 0,000002 201,4 0,04554 0,04807 0,04807 0,04807 0,047438 0,000002 302,4 0,07084 0,07084 0,06831 0,06831 0,069575 0,000002 402,9 0,09361 0,09361 0,09361 0,09614 0,094243 0,000002 503,7 0,11891 0,11891 0,11891 0,12144 0,119543 0,000002 Tab. 5: průměrné prohnutí nosníku 0,16 Graf 2: Závislost průhybu na zatížení 0,14 0,12 0,10 0,08 0,06 Δz = 0,00024 m - 0,00084 0,04 0,02 0,00 0 100 200 300 400 500 600 700 m [g] Metodou nejmenších čtverců určený koeficient α = (0,00024±0,00001) Dosazením (8) do (7), označením poměru m/δz jako 1/α, kde koeficient α jsme získali metodou nejmenších čtverců, a vyjádřením modulu pružnosti v tahu E, dostaneme vztah: Po dosazení naměřených hodnot do vztahu (22) dostáváme: ( ) 5.4 Torze drátu tíhové zrychlení (zdroj: [1]) g = (9,81±0,01) m s -2 délka drátu L = (67,4±0,1) cm poloměr drátu R = (0,985±0,003) mm poloměr kolečka kladkostroje a = (1,995±0,003) cm průhyb nosníku lineární aproximace. (22) 6/9
Δφ [rad] číslo závaží 1 2 3 4 5 chyba měření m 1 [g] 100,5 100,9 101,0 100,5 100,8 0,1 m 2 [g] 100,5 101,2 101,0 100,8 101,0 0,1 Σ m [g] 201,0 202,1 202,0 201,3 201,8 0,2 Tab. 6: hmotnosti jednotlivých dvojic závaží sada závaží hodnoty odečtené z úhloměru bez závaží 223 224 223 223 1 235 236 235 234 2 245 246 244 246 3 256 259 257 258 4 270 270 269 271 5 279 280 281 281 Tab. 7: hodnoty zkroucení drátu odečtené s přesností 0,5 zatížení [g] φ [rad] φ [rad] σ Δφ [rad] 201,0 0,21 0,21 0,21 0,19 0,205 0,004 403,1 0,38 0,38 0,37 0,40 0,384 0,007 605,1 0,58 0,61 0,59 0,61 0,598 0,008 806,4 0,82 0,80 0,80 0,84 0,816 0,008 1008,2 0,98 0,98 1,01 1,01 0,995 0,010 Tab. 8: průměrné zkroucení drátu 1,2 Graf 3: Závislost zkroucení drátu na zatížení 1,0 0,8 0,6 Δφ = 0,997 m - 0,003 0,4 0,2 0,0 zkroucení drátu lineární aproximace 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 m [kg] Metodou nejmenších čtverců určený koeficient α = (0,997±0,022) Po dosazení naměřených hodnot do vztahu (11) dostáváme: ( ) 5.5 Torzní kyvadlo tíhové zrychlení (zdroj: [1]) g = (9,81±0,01) m s -2 délka drátu L = (70,4±0,1) cm poloměr drátu R = (0,245±0,003) mm 7/9
ozn. závaží hmotnost [g] vnější poloměr [cm] vnitřní poloměr [cm] výška [cm] velké 1 127,0 2,49 0,66 0,82 velké 2 127,6 2,49 0,66 0,82 malé 1 44,1 1,50 0,66 0,79 malé 2 44,1 1,50 0,66 0,79 Tab. 9: Parametry užitých závaží číslo měření 10T 0 [s] T 0 [s] 5T 1 [s] T 1 [s] 1 47,03 4,703 52,37 10,474 2 48,88 4,888 52,34 10,468 Tab. 10: Naměřené hodnoty period s přesností 1 10-3 s Po dosazení naměřených hodnot do vztahů (21), (14) a (13) dostáváme hodnotu modulu pružnosti ve smyku ( ) 6. DISKUSE A ZÁVĚR 6.1. Prodloužení drátu Námi naměřený modul pružnosti v tahu byl (214 ± 5) GPa, což dle [1] v rámci chyby odpovídá slitině oceli. Měření mohlo být ovlivněno zejména zhoršeným fungováním indikátorových hodinek, kdy při zatížení a odlehčení drátu bylo potřeba na hodinky trochu poklepat, aby ukázaly správnou hodnotu. 6.2. Ohyb nosníku Modul pružnosti tahu ocelového nosníku o hodnotě (164 ± 6) GPa, která nemusí úplně odpovídat oceli, uváděné v [1], což mohlo být způsobeno nepřesnostmi v měření. Je pravděpodobné, že chyba vznikla vysokou citlivostí odečítacího mikroskopu na otřesy způsobené přidáním závažím. I přesto, že jsme vždy počkali několik okamžiků, než se soustava ustálila, a přidávali každé závaží velice opatrně, osciloval ukazatel na mikroskopu stále. Dále bylo měření ovlivněno hysterezí, kdy se zejména při odebírání závaží, zůstával trámek prohnutější. 6.4. Torze drátu Naměřená hodnota modulu pružnosti ve smyku (90 ± 1) GPa dobře odpovídá tabulkové hodnotě oceli v [1]. Výsledek měření ovlivnila tloušťka drátu, která byla proměnlivá po celé jeho délce, a odečítání hodnot na úhloměru, které bylo velice náročné na přesnost, jelikož odečítající osoba nesměla změnit svůj úhel pohledu na úhloměr během celého měření, a tedy byla nutná asistence druhé osoby, která nezávisle závaží přidávala. 6.5. Torzní kyvadlo Hodnota modulu pružnosti ve smyku byla (88,7 ± 0,2) GPa, proto usuzujeme, že drát byl z velice podobného materiálu jako v úloze 4. Ovšem měření mohlo být ovlivněno zejména lidským faktorem při měření času. Tuto chybu jsme se snažili eliminovat měřením většího počtu period otočení torzního kyvadla. 8/9
7. REFERENCE [1] J. MIKULČÁK, B. KLIMEŠ, J. ŠIROKÝ, V. ŠŮLA, F. ZEMÁNEK: Matematické, fyzikální a chemické tabulky pro střední školy, Nakladatelství PROMETHEUS, 1988 [2] D. HALLIDAY, R. RESNICK, J. WALKER, Fyzika, část 1 Mechanika, Nakladatelství PROMETHEUS, 1997 [3] Návod k úloze: URL <http://praktikum.fjfi.cvut.cz/pluginfile.php/98/mod_resource /content/4/2_modul_pruznosti.pdf [cit. 2012-11-15] 9/9