Zákldy mtemtiky Poloupoti 5 POSLOUPNOSTI A ŘADY 5 5 Pojem poloupoti číel 5 5 Grfické zázorěí poloupoti 5 5 Některé vltoti poloupotí 55 Kotrolí otázky 57 5 Aritmetická poloupot 58 5 Součet prvích čleů ritmetické poloupoti 59 Kotrolí otázky 6 5 Geometrická poloupot 6 5 Součet prvích čleů geometrické poloupoti 65 Kotrolí otázky 68 5 Užití geometrické poloupoti 69 55 Limit poloupoti 70 Kotrolí otázky 7 56 Nekoečá geometrická řd 7 Úlohy k mottému řešeí 75 Výledky úloh k mottému řešeí 76 Klíč k řešeí úloh 76 Kotrolí tet 78 Výledky tetu 79 Shrutí lekce 79-5 -
Zákldy mtemtiky 5 POSLOUPNOSTI A ŘADY Poloupoti Průvodce tudiem Sezámili jte e už pojmem reálé fukce jedé reálé proměé Nyí teto pojem rozšíříme ezámíme e fukcemi, jejichž defiičím oborem jou je přirozeá číl Ukážeme i, jk je užitečé e těmito peciálími fukcemi zbývt Nové vědomoti pomohou vyřešit moho prktických úloh Cíle Objit pojem poloupoti obecě, dále pojem poloupoti ritmetické geometrické, limity poloupoti ekoečé geometrické řdy příkldech ukázt možoti využití Předpokládé zloti Pojem reálé fukce jedé reálé proměé, který jte i zopkovli v kpitole 5 Pojem poloupoti číel Výkld Mějme z úkol ledovt u emocého pciet teplotu Důležitá je eje měřeá hodot le i deí dob pořdí, ve kterém byl měře Měřeí budeme provádět v kždou celou hodiu výledek ší péče o pciet zpíšeme do tbulky Pořdí měřeí: 5 6 7 deí dob: 7 8 9 0 teplot: 6,6 C 6,5 C 7 C 7 C 7, C 7,9 C 8 C Sledujeme-li v tomto přehledu pouze upořádé dvojice [ ;6,6], [ ;6,5], [ ;7], td, vidíme v ich, že přirozeým čílům,,,, jou přiřzová reálá číl 6,6; 6,5; 7; 7; 7,; td Toto přiřzeí je fukcí, jejíž rgumet je vždy přirozeé čílo, je tedy poloupotí O měřeých hodotách mluvíme jko o čleech poloupoti Jiý, ež tbulk či upořádé dvojice, je používý zápi: 6, 6; 6, 5; 7, Fukce, jejímž defiičím oborem je moži N všech přirozeých číel, e zývá poloupot (ekoečá číelá poloupot) - 5 -
Zákldy mtemtiky U fukcí tohoto druhu zpiujeme rgumet jko idex hodoty fukce Tedy: f ), f (), f (),, f ( ) (, Poloupoti Poloupot, která kždému N přiřzuje čílo R, e zpiuje ěkterým z áledujících způobů:,,,,, Příkldy poloupotí:, ( ), { }, ebo tručě { } Číl,, 6, 8, 0,, jou prvími čley poloupoti udých kldých číel Tto poloupot vzike tk, že kždému přirozeému čílu { } Libovolý čle Zpiujeme ji přiřdíme jeho dvojáobek Číl,,,, jou prvími čley poloupoti převráceých číel k přirozeým čílům Doteme ji přiřzováím převráceé hodoty ke kždému přirozeému čílu, tkže její libovolý čle Číl, 7, 0,, 6, jou prvími čley poloupoti, ve které je kždému přirozeému čílu přiřzeo čílo + zpiujeme ji { + } Řešeá úloh Příkld 5 Jký je rozdíl mezi ymboly ) { }, b) {, N }, c) Řešeí: ) Teto ymbol ozčuje poloupot b) Tkto ozčujeme možiu všech čleů poloupoti { } c) Toto je -tý čle poloupoti { } - 5 -
Zákldy mtemtiky Poloupoti 5 Grfické zázorěí poloupoti Výkld Poloupoti zázorňujeme v prvoúhlé outvě ouřdic v roviě Grfem poloupoti je vždy moži izolových bodů {[, ] } zázorňujeme v prvoúhlé outvě ouřdic bodem A [, ] N R Čle poloupoti reálých číel Řešeé úlohy Příkld 5 Grficky zázorěte prvích pět čleů poloupoti { } Řešeí: Příkld 5Grficky zázorěte prvích pět čleů poloupoti Řešeí: - 5 -
Zákldy mtemtiky Příkld 5 Grficky zázorěte prvích pět čleů poloupoti { 5 } Poloupoti Řešeí: 5 Některé vltoti poloupotí Výkld Poloupot reálými čley je zvláštím přípdem reálé fukce reálé proměé, proto můžeme tké u í zkoumt obdobé vltoti, př ohričeot mootóot Poloupot { } e zývá hor ohričeá, exituje-li tkové čílo zdol ohričeá, exituje-li tkové čílo h R, že h, N, d R, že d, N, ohričeá, je-li ohričeá hor i zdol Poloupot { } e zývá rotoucí N pltí, že + >, klejí N pltí, že < +, eklející erotoucí N pltí, že, + N pltí, že + Má-li poloupot ěkterou ze čtyř výše uvedeých vltotí, zývá e mootóí, přičemž poloupoti rotoucí klející e zývjí ryze mootóí - 55 -
Zákldy mtemtiky Poloupoti Řešeé úlohy Příkld 55 Zjitěte, zd poloupot, ve které pro libovolý čle pltí ryze mootóí ( ), je + Řešeí: Předpokládejme, že tto poloupot je rotoucí je tedy < + Čle ( ) + ( + )(( + ) ) ( + ) čle + ( + ) + + dodíme do předpokldu < + doteme erovici ( ) ( + ) <, u které potřebujeme zjitit, zd + + pltí pro všech přirozeá číl Po jejím vyáobeí kldým čílem doteme ( + )( + ) + < + + Odtud pk po úprvě >, což pltí N Náš předpokld byl právý zjitili jme, že poloupot je rotoucí tedy ryze mootóí Příkld 56 Zjitěte, zd je poloupot + ohričeá Řešeí: Prví čley poloupoti jou:,, 6, 8, 5 0 00,,, 6 0 Lze uuzovt, že je rotoucí, což ověříme pltotí vzthu dozeí dotáváme + >, N Po ( + ) >, po úprvě ( + + ) > ( + ), tedy + + > 0 Víme yí, že poloupot rote, chceme zjitit, zd je ohričeá Čle této rotoucí poloupoti má ejmeší hodotu Zdáí pro -tý čle uprvíme tkto: : ( + ) + + Z toho vyplývá, že všechy čley poloupoti jou meší ež přirozeá číl je, tedy tedy ohričeá Zjevě pro všech d h, kde d, h Poloupot je - 56 -
Zákldy mtemtiky Poloupoti Pozámk N předchozích příkldech vidíme, že je možé ěkteré poloupoti určit vzorcem pro -tý čle Jou všk i jié velmi důležité poloupoti, u kterých tkový vzorec udt eumíme (Npříkld u rotoucí poloupoti všech prvočíel:,, 5, 7,,, 7, 9,, ) Velmi čtý důležitý je přípd, kdy je dá prví čle ebo ěkolik prvích čleů poloupoti pro áledující čley je dá předpi, jk e má určit čle čleů + zákldě zloti předchozích,,, V tkovém přípdě říkáme, že poloupot { } je defiová rekuretě (ltiky recurrere běžeti zpět) Řešeé úlohy Příkld 57 Npište prvích pět čleů poloupoti, která je dá rekuretě:,, + Řešeí: ; ; 5 5 Příkld 58 Npište prvích deet čleů poloupoti dé rekuretě: 0 +,, + + Řešeí: 0,,,,, 5, 8,,, Tto poloupot e zývá Fibocciov Kotrolí otázky Tvoří moži N všech přirozeých číel upořádých podle velikoti poloupot? + Je poloupot mootóí? Může být grfem poloupoti přímk ebo polopřímk? - 57 -
Zákldy mtemtiky 5 Aritmetická poloupot Poloupoti Výkld Aritmetické poloupoti jou peciálí typy poloupotí, které mjí velký teoretický i prktický výzm Aritmetická poloupot je kždá poloupot určeá rekuretě vzthy:, + d, N, + kde, d jou dá reálá číl Čílo d zýváme diferece (diferece rozdíl), protože e rová rozdílu + kterýchkoliv dvou ouedích čleů poloupoti, tj d + Uvedeme i yí jedu vltot kždé ritmetické poloupoti, která je pro i chrkteritická Podle defiice je rozdíl kždých dvou jejích ouedích čleů kottí Pltí tedy : + pro kždé N, Odtud dotáváme rovici, z íž plye pro čle : + + Teto vzth vyjdřuje, že počíje druhým čleem, je kždý čle ritmetické poloupoti ritmetickým průměrem čleů ouedích Obráceě, je-li v poloupoti kždý čle, ritmetickým průměrem čleů ouedích, jedá e o ritmetickou poloupot Řešeá úloh Příkld 5 Určete prvích pět čleů ritmetické poloupoti, je-li dá edmý čle 7 0 šetý čle 6 8 Řešeí: 7 6 5 6 5 + d + d + d + d + d + d 0 8 + d d 8 6 0 5 + + + + + 5 6 0-58 -
Zákldy mtemtiky Poloupoti Výkld Sdo vidíme, že -tý čle ritmetické poloupoti lze vyjádřit pomocí prvího čleu potřebého áobku diferece: + ( ) d Pro libovolé dv čley r, ritmetické poloupoti pltí vzth: + ( r d r ) Řešeé úlohy Příkld 5 V ritmetické poloupoti je dáo 8, 7 6, určete, d, 0 Řešeí: Podle Podle + ( r d je r ) 7 + d d 7 d + ( ) d pk je + d d 0 Podle + ( ) d je tké 0 + 9d 0 + 9( ) 5 Součet prvích čleů ritmetické poloupoti Výkld Mějme z úkol ečít všech přirozeá číl od jedé do pdeáti Můžeme i počít tk, že píšeme čítce vzetupě etupě pk je ečteme : + + + + 9 + 50 50 + 9 + + + + Součtem těchto rovic dotáváme : 50 5 + 50 5 75 ( 50) + ( + 9) + + ( 50 + ) Z tkto řešeé úlohy vidíme, že lze odvodit pro oučet poloupoti { } vzorec: prvích čleů ritmetické ( + ) - 59 -
Zákldy mtemtiky Poloupoti Řešeé úlohy Příkld 5 Vypočtěte oučet prvích přirozeých lichých číel Řešeí: Lichá přirozeá číl tvoří ritmetickou poloupot, ve které je Podle + ( ) d je + ( ) ;, d proto podle ( + ) ( + ) je + + 5 + + ( ) Součet prvích lichých přirozeých číel má hodotu Příkld 5 Trubky jou rováy v omi řdách d ebou tk, že vrchí má trubek kždá dlší řd o jedu více Kolik je všech trubek dohromdy? Řešeí: Počty trubek v řdách jou prvími omi čley ritmetické poloupoti, ve které je, d podle + ( ) d je + 7 0 Máme-li určit 8 počet všech trubek, určíme oučet prvích omi čleů této poloupoti Dodíme do vzorce Trubek je tedy celkem ( + ) 8 ( + 0) 8 Příkld 55 Délky tr prvoúhlého trojúhelíku jou prvími třemi čley ritmetické poloupotiurčete délky odvěe víte-li, že přepo měří 0 cm Řešeí: Ozčme odvěy v trojúhelíku b, c 0 d 0 d d 0 d, Z Pythgorovy věty pro délky tr prvoúhlého trojúhelíku dotáváme (0 d) 900 0d + d 5d d d, 80d + 900 0 6d + 80 0 6 ± + (0 d) 0 + 900 60d + d 6 80 900 6 ± d 0, d 6 Koře d 0 pro áš úkol emá myl Druhý koře d d 0 6 8, 0 6 6 Stry prvoúhlého trojúhelíku měří 8, 0 cm - 60 -
Zákldy mtemtiky Poloupoti Příkld 56 Mezi číl,6; b, 7 vložte 9 číel tk, by dými dvěm číly tvořil prvích čleů ritmetické poloupoti Řešeí: V uvžové poloupoti je zdá její prví jedeáctý čle,6 b,7,7,6 + 0d,7,6 d 0, 0 Prvích jedeáct čleů poloupoti jou tedy číl:, 6;, 8;, 0;, ;, ;, 65;, 86;, 07;, 8;, 9;, 7 Příkld 57 Aritmetická poloupot má difereci d čle 5 Kolik prvích čleů této poloupoti má oučet 56? Řešeí: ( ) d 5 ( )( ) 5 + + Pro oučet doteme rovici ezámou (+ + 5) 56 / 9 8+ / : 6 5 + + 5 0 ± 9 ( 5) ± 5, 9 8, N Hledé je 8 N : V dé poloupoti má prvích om čleů předpokládý oučet Příkld 58 Z dobrý propěch dl otec yovi počátkem školího roku prví kpeé 00 Kč tím, že mu bude v průběhu pěti měíců toto kpeé zvyšovt buď po měíci vždy o Kč, ebo po půl měících vždy o Kč Zkute ejprve odhdout, která bídk je pro y výhodější, pk e o tom výpočtem převědčte Řešeí: Odhdli jte, že je výhodější pro y, když mu bude otec zvyšovt kpeé o Kč z půl měíce ež o Kč z měíc? Převědčíme e o tom porováím oučtů dvou ritmetických poloupotí - 6 -
Zákldy mtemtiky Poloupoti Poloupot při měíčím vyšováí má 00, d, 5 Její oučet je Její oučet je ( + 00 + (5 ) d ) 5 00 5 5 08 50 Při půlměíčím vyšováí kpeého jde o jiou poloupot, která má 50, d, 0 ( 50 + 50 + (0 ) d ) 0 0 5 09 55 Porováím zíkých oučtů vidíme, že je druhá vrit pro y o pět koru výhodější Příkld 59 Určete ritmetickou poloupot, u které pltí: + + 5 6, 7 6 Řešeí: Určit máme hodotu prvího čleu diferece Použitím + ( ) d doteme outvu dvou lieárích rovic o dvou ezámých vyřešíme dozovcí metodou + d + + 6d + d + + d 6 ( + d ) ( + d ) 6, d, kterou + 7d 6 + d 6 d 6 ( d 6) + 7d 6 9d 8 + 7d 6 6d d 7 7 6 6 5 Poloupot je urče vým prvím čleem 5 diferecí d 7 Příkld 50 Jk je hluboká tud, víme-li, že výkop kždého áledujícího metru byl o 500 Kč držší ež výkop metru předešlého Z výkop poledího metru třetího metru od koce bylo zplceo dohromdy tolik, kolik by tál výkop celé tudy, pokud by kždý metr výkopu tál tejě jko výkop prvího metru Průměrá ce jedoho metru výkopu byl 500 Kč Řešeí: Cey z výkopy po obě jdoucích metrů tudy jou prvími čley ritmetické poloupoti, o které ze zdáí víme, že d 500, 500 + - 6 -
Zákldy mtemtiky Poloupoti Hledá hloubk tudy je rov počtu čleů ší poloupoti zjevě je možé předpokládt, že Užitím vzthů pltých v ritmetické poloupoti zíkáváme ze zdáí: ( + ) + 500 + 5000 5000 d + d + ( ) d 5000 Pro d 500 je + 5500 500 750 50 d d + ( ) d + + ( ) d ( ) 000( ) + d d Pro je 000 Dozeím dotáváme: 000 750 50 50 750 7 Stud je hluboká edm metrů Kotrolí otázky Je ritmetická poloupot rotoucí, je-li její diferece d < 0? Jk určíme oučet prvích čleů ritmetické poloupoti? Co je to diferece ritmetické poloupoti? 5 Geometrická poloupot Výkld Aritmetické poloupoti vytihovly změu, kterou bychom mohli chrkterizovt jko rovoměrou, eboť přírůtky od jedoho čleu k áledujícímu byly kottí Nyí ledujme míček volě puštěý z výšky jedoho metru, který e po dopdu vodorovou roviu odrzí vždy do výše rové výšky, ze které dopdl Číl,,,, jou výšky, 9 7 kterých míček po odrzech dohuje Tvoří poloupot, kterou zýváme geometrickou - 6 -
Zákldy mtemtiky Poloupoti Geometrická poloupot je kždá poloupot určeá rekuretě vzthy, q, N, kde, q jou dá číl + Čílo q e zývá kvociet geometrické poloupoti Budeme předpokládt, že je 0 q 0 V tkovém přípdě je kždé 0 z rekuretího vzthu plye pro kvociet (ltiký ázev pro podíl), že + q Uveďme i ukázku prvích pět čleů geometrické poloupoti, je-li dá její prví čle kvociet ) b) c), q ; ; 9; 7; 8;, q,5 ; ;,5; 6,75; 0,5; 0, q 0; 5;,5;,5; 0,65; d), q ; 6;8; 5; 6; Pozámk Je-li kvociet záporý ( q < 0 ), pk čley geometrické poloupoti reálých číel jou třídvě kldé záporé tková poloupot eí i rotoucí, i klející; to vidíme příkldu d) Je-li kvociet kldý ( q > 0 ), pk má geometrická poloupot reálých číel buď všechy čley kldé, ebo všechy čley záporé Je-li q, eí poloupot i klející i rotoucí, je kottí Poloupoti kldými čley, jou pro q > rotoucí pro 0 < q < klející Výkld Tké pro geometrické poloupoti reálých číel je možé odvodit chrkteritickou vltot, která pltí je pro poloupoti geometrické Z defiice plye, že podíl kždých dvou ouedích čleů je kottí Zmeá to, že pltí: + q tké q Můžeme tedy porovt + + Souči je kldé čílo tedy + + - 6 -
Zákldy mtemtiky Je-li { } geometrická poloupot reálých číel, pk bolutí hodot kždého jejího čleu (kromě prvího) je rov geometrickému průměru čleů ouedích, tj + Obráceě, je-li v poloupoti reálých číel { } bolutí hodot kždého čleu (kromě prvího) geometrickým průměrem čleů ouedích, je to poloupot geometrická Poloupoti Z defiice geometrické poloupoti víme, že je urče prvím čleem kvocietem pltí: + tj q, q q, q, q, q N zákldě toho vidíme, že pro výpočet -tého čleu geometrické poloupoti dé prvím čleem 0 kvocietem 0 pltí vzth: q q Pro libovolé dv čley, geometrické poloupoti, v íž je 0, q 0, pltí rovot r r rq 5 Součet prvích čleů geometrické poloupoti Výkld Pro oučet prvích čleů geometrické poloupoti { } pltí vzthy: q pro q, ebo pro q q Řešeé úlohy Příkld 5 Npište prvích pět čleů geometrické poloupoti, je-li dáo: ),, b), 5-65 -
Zákldy mtemtiky Řešeí: ) Nejprve určíme podíl dvou ouedích čleů eboli kvociet ší geometrické poloupoti q Z defiice je pk Poloupoti q (ebo podle q je 9 q ), 9 q 9 7 (ebo 5 q 7 8 (ebo q ), 7 5 q ) 8 b) Jou dáy dv libovolé čley geometrické poloupoti Kvociet určíme podle r q r 5 q q q q 5 Tto rovice dává dvě možá řešeí Nejprve určíme zbývjící čley poloupoti pro q : 6, 6, 6 q q q Nyí druhé řešeí pro q : 6 6 ( ), 6, Příkld 5 Určete počet prvích čleů geometrické poloupoti, záte-li 7, oučet ( + 9) Řešeí: Užitím q doteme: 7 q q 9 q q 9-66 -
Zákldy mtemtiky Poloupoti Toto vyjádřeí polu e zdáím dodíme do vzthu q q q ( + 9) 7 9 / ( )( q ) q, pro q q + q q 9, odkud je po úprvě + + q + ( + ) Dozeím do vzthu q zíkáme expoeciálí rovici 9 9, kterou převedeme tvr, odtud je, tj 5 Příkld 5 Předtvme i, že dv přátelé zpozorovli de led v 000 hodi přitáí vemíré lodi mimozemšťy Během čtvrt hodiy věděly o přitáí i jejich mželky Během dlší čtvrt hodiy dělil kždý z ich tuto událot vému zámému, tkže o událoti vědělo půl hodiy po půloci již 8 lidí Předpokládejme, že by e tkto mohl zpráv šířit po čtvrthodiách i dlší obyvtele Země Zjitíte, kdy by e o přitái vemíré lodi dozvědělo lidtvo celého vět? Zkute ejprve odhd Řešeí: Počty iformových lidí po čtvrthodiách jou čley geometrické poloupoti,, 8, 6,,, kde, q Muíme zjitit, který její čle přeáhe vou hodotou počet obyvtel Země 9 Víme, že je teto počet přibližě šet milird to zpiujeme jko čílo 6 0 Chceme, by 9 6 0 q Řešíme tedy erovici log log6 + 9log0 log log6 + 9 log 6 + 9 log 6 0 9, pro N Po zlogritmováí obou tr je log 6 + 9 0,778 + 9 log 0,00 Tkže téhož de led v 7hodi 5 miut by o událoti vědělo - 67 -
Zákldy mtemtiky Poloupoti 9 967 96 obyvtel z dlší čtvrt hodiy už by počet přeáhl počet obyvtel ší plety, eboť dlší čle poloupoti je 8 589 9 59 Odhdli jte, že by k tomu tčilo přibližě om hodi? Příkld 5 Možá jte už ěkdy dotli ebo dotete dopi, v ěmž jou uvede čtyři vám zámá i ezámá jmé dremi výzv ke hře, jejíž prvidl jou tručě tkováto pošli pohledici hráči, jehož dre je z uvedeých čtyř dre prví v pořdí Pokyy k této hře čtyřikrát opiš tím rozdílem, že prvího hráče vyecháš píšeš ebe čtvrté míto dopiy pošli čtyřem ovým poluhráčům Pk e můžeš těšit, že v krátké době doteš 56 pohledic Neí to lákvé? Jitě o, zvláště když e v jié vritě této hry bízí míto pohledic peíze! Můžeme le těch 56 pohledic kutečě dott? Řešeí: Rozešlete-li dopi e vou dreou čtvrtém mítě čtyřem zámým, kždý z ich opět čtyřem zámým vší dreou třetím mítě td, ž e vše dre objeví prvím mítě všech účtíků vám zšle pohledici, zdá e, že je vše v pořádku Ale pozor, ztím jme euvžovli o tom, kolikátí v pořdí jte e do hry dotli Předtvte i, že jte jedím z hráčů, který vtoupil do hry příkld v omém kole hry Počty hráčů v jedotlivých kolech vytvářejí geometrickou poloupot, 6,6,56,, 56,, ze které vidíme, že v omém kole by e muelo hry zúčtit 8 6556 hráčů, byte byli jitě úpěší Je le docel možé, že e do hry dotete ž v kole dváctém Aby e v tomto přípdě dotl vše dre prví míto, muelo by e už hry zúčtit dokoce 6777 6 hráčů, tedy víc hráčů, ež má ČR obyvtel Odpověď ši otázku tedy zí, že ejpíše e Kotrolí otázky Jký je geometrický průměr číel 8? Co je to kvociet geometrické poloupoti? Jk určíme oučet prvích čleů geometrické poloupoti? - 68 -
Zákldy mtemtiky 5 Užití geometrické poloupoti Poloupoti Výkld Čto e etkáváme růtem ebo pokleem číelých údjů, které jou čley geometrické poloupoti, změ jedotlivých čleů je zdá v procetech Vzrůt kždého čleu o p procet zmeá vzrůt čleu ze 00% jeho hodoty (00+p)% této hodoty, tkže čley e tále zvětšují v poměru 00 + p + p 00 00 Tkovými údji jou příkld počty obyvtel v určitém čovém období, rozpd rdi, výpočet úroků od bky z uložeých vkldů podobě V áledujících příkldech e podíváme možá využití Řešeé úlohy Příkld 5 Z kolik let vzrote vkld Kč při tálém ročím přírůtku o p% k- 0) áobek ( k > vé původí hodoty? Řešeí: Ozčme velikot vkldu po letech + p p + + 00 00 ( +) Stv po Jedá e zde o geometrickou poloupot kvocietem q To zmeá, že q q Podle zdáí pltí k, tkže q k, odkud q k letech pk je p q + prvím čleem 00 Logritmováím zíkáme rovici log q log k, ze které log k tj p log + 00 Dý vkld vzrote k-áobek vé původí hodoty z log k, log q log k p log + 00 let Příkld 5 Ve mětě de žije 85 600 obyvtel Jký počet obyvtel tm můžeme očekávt z 6 let, předpokládáme-li kždoročí přírůtek,7%? - 69 -
Zákldy mtemtiky Poloupoti Řešeí: Po roce e zvětší počet obyvtel 0,7% tvu, který byl počátkem roku Počty obyvtel po uplyutí jedotlivých roků tvoří geometrickou poloupot 0,7 kvocietem q, 07 00 Ozčme i tedy počátečí tv 0 85600 Počet po prvím roce bude 0q 6 6 á zjímá čle q 85600,07 9 70 6 0 Z šet let můžeme ve mětě očekávt i 9 70 obyvtel 55 Limit poloupoti Výkld Teto ový pojem budeme potřebovt v dlších úvhách přitom e změříme je ěkolik málo užití Npříkld pro odpověď otázku, zd může exitovt koečý oučet ekoečě moh číel Po vyvětleí tohoto ového pojmu i ukážeme, že tkový oučet exitovt může, byť ečít ekoečě moho číel elze Možá jte lyšeli o řeckém filozofovi Zeoovi z Eleje (i 90 0 přl), který potrápil trověké mtemtiky škodolibým tvrzeím, že rychloohý Achille emůže ikdy dohoit želvu, má-li želv určitý ákok Je to emyl, le ukázt to eí jedoduché Limit poloupoti ám k odpovědi pomůže Slovo limit je ltikého původu zmeá mez ebo hrici Všiměme i poloupoti + 5 6 7 Její čley,,,,,, klejí rotoucím, 5 6 ikdy všk ebudou meší ež, eboť + Čley této poloupoti e zjevě blíží, eboli kovergují, k jedé Čílo je limitou této poloupoti To zmeá, že od určité + hodoty pltí < ε, kde ε je libovolě zvoleé kldé čílo Řekeme, že poloupot { } má limitu R, jetliže ke kždému ε > 0 exituje tkové čílo 0 N, že je Poloupot má ejvýše jedu limitu < ε pro všech > 0, N Píšeme lim Má-li poloupot koečou limitu, říkáme, že je kovergetí (bíhvá) V opčém přípdě mluvíme o divergetí (rozbíhvé) poloupoti - 70 -
Zákldy mtemtiky Poloupoti N obrázku je vidět, že pro všech > ptří obrzy čleů poloupoti v outvě { } ouřdic v roviě do vitřku páu hricemi ε, + ε Řešeá úloh Příkld 55 Zjitěte, zd je poloupot + 7 7 kovergetí ebo divergetí Řešeí: Dá poloupot má -tý čle po úprvě 7 ; + 7 + 7 + 7 + 7 + 7 Sledujme yí poloupot žme e podle defiice limity poloupoti + 7 zjitit její limitu Sdo vidíme, že je + 7 + 7, ( ) eboť N je + 7 > 0 Proto můžeme předpokládt, že + 7 < ε ( ) 7ε odtud po úprvě < ε + 7ε > 0 ε Obráceě, je-li > 0, tj pltí-li ( 5 ), pltí i ( ) tkové čílo, že pltí ( ) pro všech > 0 0 ( 5 ) () ( ) Ke kždému ε > 0 exituje tedy - 7 -
Zákldy mtemtiky Ze vzthů ( ), ( ), ( ) plye, že lim Poloupoti Protože ke kždému > 0 exituje tkové, že Podle () můžeme tedy pát ε 0 <, > 0 7 lim + 7 Dá poloupot je kovergetí, koverguje k ε Kotrolí otázky Má kždá poloupot vou limitu? Je kottí poloupot kovergetí? 56 Nekoečá geometrická řd Výkld Vložíme-li mezi kždé dv čley poloupoti { } + + +, + + zméko +, doteme chém které zpiujeme zkem (čteme um od do ekoeč) zýváme ekoečá řd Číl,,, zýváme čley této řdy Omezíme e je ekoečé geometrické řdy ukážeme i, jk v ěkterých přípdech dopějeme k pojmu oučet ekoečé řdy Vytvoříme poloupot:,, + + + + + +, kterou zveme poloupotí čátečých oučtů dé ekoečé řdy Pro tuto poloupot pk mohou tt pouze tyto dv přípdy: - má limitu ; - emá limitu +, - 7 -,
Zákldy mtemtiky Poloupoti V prvím přípdě říkáme, že dá ekoečá řd je kovergetí, čílo zýváme jejím oučtem V druhém přípdě říkáme, že ekoečá řd je divergetí, tj emá oučet Je-li ekoečá řd kovergetí e oučtem, pk ymbolem ozčujeme zápi eje této řdy, le tké její oučet Píšeme Lze dokázt, že ekoečá geometrická řd q je kovergetí jeom v tom přípdě, když je q < ; její oučet potom je Pro q je řd divergetí q Řešeé úlohy Příkld 56 Určete oučet ekoečé geometrické řdy Řešeí: Řdu i ejprve vyjádříme pomocí ěkolik prvích čleů: Je zřejmé, že + + + + 6 6 q, ( q < ) Řd je kovergetí pro její oučet pltí: Příkld 56 Njděte řešeí dé rovice: 8 x + 0 + x 9 x 7 x + Řešeí: N prvé trě je v rovici ekoečá geometrická řd prvím čleem kvocietem q <, tedy < q, kterou je uto ečít To lze v přípdě, že je plěo: x Tto erovice je plě pro všech ( ; ) ( ; ) x x - 7 -
Zákldy mtemtiky Poloupoti Pro tto x řd koverguje je tedy podle : q x 8 x 0 x q x + x + 0 x + + x x Řešeí tkto uprveé rovice hledáme možiě (, 0) ( 0, ) ( ) M, 8 x / + 0 + x+ 0 x+ 8x+ x + 0x ( x ) ( x ) ± + ± 0 x + x 0 x, x 6, x Ob kořey leží v možiě M jou tedy hledým řešeím dé rovice Příkld 56 Určete dé rcioálí periodické čílo 0,8 ve tvru zlomku, jehož čittel i jmeovtel jou celá číl Řešeí: Dé čílo (eryze periodické) je 0,888 0, + 8 0 + 8 0 6 + 8 0 8 + Z čílem 0, vidíme kovergetí ekoečou geometrickou řdu o prvím čleu 8 0 kvocietu q 0 Je tedy 0, +, kde je oučet té řdy Proto je q 8 0 0 8 0 0 8 9900 8 99 + 8 5 + 00 9900 9900 9900 Pozámk Vzpomíáte i tvrzeí filozof Zeo, že Achille ikdy edohoí pomlou želvu? Přibližme i vyvětleí tohoto prdoxu jedodušším tvrzeí Zeo, že žádý běžec emůže proběhout úek z mít A do mít B Zeoov úvh byl dlouho mtemticky evyvrtitelá Pouďte mi Má-li běžec proběhout vzdáleot AB, muí proběhout - 7 -
Zákldy mtemtiky Poloupoti ejdříve poloviu této vzdáleoti, potom poloviu zbývjící vzdáleoti, potom opět poloviu zbývjící vzdáleoti td Muí tedy proběhout vzdáleot, která e rová oučtu ekoečého počtu úeků o délkách + + 8 + 6 + A teď položil Zeo otázku Jk je možé, že může běžec překot ekoečý počet úeků z koečý č? Vyvětleí jitě už mi vidíte Je to možé, protože úeky tvoří ekoečou geometrickou řdu kvocietem q q, tedy kovergetí ekoečou řdu, která má koečý oučet A tk je dokázáo, že tuto vzdáleot může běžec proběhout v koečém če Podobě bychom dokázli, že Achille dohoí želvu Úlohy k mottému řešeí Určete ritmetickou poloupot, u které pltí + + 6 7, 5 Sečtěte prvích dvcet čleů ritmetické poloupoti, ve které je:, 0 8 0 V ritmetické poloupoti určeé čleem 7 diferecí d je oučet prvích čleů 0 Určete čílo Prví čle geometrické poloupoti je záporý Která podmík muí být plě, by poloupot byl: ) rotoucí, b) klející 5 Určete kvociet geometrické poloupoti, je-li:, 9 6 Určete, q geometrické poloupoti, u íž pltí: 7 5 8, 6 + 5 8, 0 6 7 Teploty Země přibývá do hloubky přibližě o o C 0 metrů Jká je teplot dě dolu 05 metrů hlubokého, je-li v hloubce 5 metrů teplot 9 o C? 5 8 Řešte rovici: x + x + x + x + 9 Mezi kořey kvdrtické rovice x 6x + 5 0 vložte číl tk, by polu kořey tvořil ritmetickou poloupot e oučtem 7 Určete tto číl difereci 0 Určete v geometrické poloupoti, kde pltí: - 75-5, 60
Zákldy mtemtiky Poloupoti Výledky úloh k mottému řešeí 5, d 7 ; 0 ; 0 0 ; ) q ( 0; ) ; b) ( ; ) q ; 5 q ; 6, q, 0 ; 7 C ; 8 0, q, 5 5 5 ; ; 9,7,0,,6,9,; d ; 7 Klíč k řešeí úloh Užitím vzthů + ( ) d + ( r d zíkáte outvu dvou rovic o r ) dvou ezámých + + d + + 5d 7, uprvíme ji + d ( + d) ( + d) + 8d + d 7 6 doteme řešeí 5 d 7 Užijeme potupě vzthy + ( ) d, + ( r d Doteme outvu + 9d 0 0 + 9d 9 + 9 0 + 7d / ( ) 0 ( + 0 ) 0 0 ( 9 + 0) 0 Užitím vzthů + ( ) d ezámé Ze vzthu kořey jou r ) po vyřešeí d, 9, ( + ) ( + ) zíkáte kvdrtickou rovici o (7 + ) 0 ; N dozeím úprvou doteme 8 0 0, 0, Ale eí přirozeé čílo, řešeí je tedy jedié 0 Poloupoti rotoucí tejě jko poloupoti klející jou mootóí K tomu je třeb, by jejich čley eměly zmék třídvě kldá záporá, což by tlo při áobeí záporým čílem Budeme tedy v obou přípdech poždovt, by kvociet bylo čílo kldé Vyjděme z podmíky pro rotoucí poloupot, t je + > Když zde ob čley - 76 -
Zákldy mtemtiky Poloupoti hrdíme podle vzthu q doteme k vyřešeí erovice: q q > q > q < ( q q ) > 0 / < 0 0 0, které potupě uprvujeme: q q < 0, q ( q ) < 0 To je plěo pro q < 0 q > 0 ebo pro q > 0 q < 0 Z těchto podmíek je q < 0 q > ebo q > 0 q < N závěr dotáváme q ebo q ( 0, ) Geometrická poloupot e záporým prvím čleem je tedy rotoucí, je-li její kvociet čílo z otevřeého itervlu (0, ) Nyí vyjdeme z podmíky < + V předchozím potupu změíme zméko erovoti, geometrická poloupot e záporým prvím čleem je klející, má-li její kvociet hodotu větší ež jed, tz řešeím bude itervl (, ) r 5 Použijeme vzthy q q r 6 Použijeme vzthy q, q r r q q q 7 Použijeme plté vzthy ritmetické poloupoti 8 N prvé trě zdé rovice jou dvě ekoečé geometrické řdy, u kterých je třeb podle určit oučty q 9 Kořey rovice ozčit jko prví -tý čle ritmetické poloupoti užít vzth ( + ) r 0 Nejprve určit prví čle kvociet užitím vzthů q, q pk použít r vzth q q - 77 -
Zákldy mtemtiky Poloupoti Kotrolí tet V ritmetické poloupoti záte, 5 Určete čle 0 5 0 ), b) -5, c) 0, d) -5 Mezi kořey kvdrtické rovice x + x 0 vložte 6 číel tk, by polu kořey tvořil čley ritmetické poloupoti Jký je oučet vložeých číel? ) oučet 6, b) oučet 0, c) oučet, d) oučet 50 Obvod prvoúhlého trojúhelíku měří cm Velikoti jeho tr tvoří tři po obě jdoucí čley ritmetické poloupoti Určete délku přepoy ), b) 0, c) 8, d) 6 Aritmetická poloupot má difereci d edmý čle 7 Vypočítejte kolik čleů této poloupoti má oučet 0? ) -8, b) 8, c) 7, d) 0 7 5 Vypočtěte omý čle ritmetické poloupoti, ve které pltí 0, 8 + + 5 57 7 ) 8, b) 8 0, c) 8 8, d) 8 7 6 Kolik číel je třeb vložit mezi číl 5 60 tk, by oučet vložeých číel byl 60 by vložeá číl tvořil dými číly po obě jdoucí čley geometrické poloupoti? ) 0, b) 6, c) 8, d) 9 7 Kvádr, jehož velikoti hr tvoří geometrickou poloupot, má povrch S 78m Součet délek hr procházejících jedím jeho vrcholem je m Vypočtěte hodotu objemu tkového kvádru v cm ) 7, b), c) 0, d) 8 Součet čtyř po obě jdoucích čleů geometrické poloupoti je 80 Určete její kvociet prví čle, víte-li, že druhý čle je devětkrát meší ež čtvrtý čle ) q, 5, b) q 5, c) q 5 7, d) q, - 78 -
Zákldy mtemtiky Poloupoti 9 Určete oučet geometrické poloupoti, ve které je 8 88 ) 00, b), c) 0, d) 7 0 Určete prví čle oučet geometrické poloupoti, ve které je 80 0 5 ), 58, b), 05, 5 c), 00, d), 0 6 5 Výledky tetu b); d); b); d); 5 ); 6 b); 7 ); 8 d); 9 d); 0 b) Shrutí lekce Smylem této kpitoly bylo především docílit pochopeí pojmu poloupoti tk, jk je v mtemtice používá N příkldech poloupotí ritmetických geometrických pk po utém procvičeí ukázt i možá použití při řešeí prktických úloh Pojem limity poloupoti je zde uvede je tručě bez uvedeí všech jejích vltotí, le dottečě jě, bychom mohli pochopit i pojem ekoečé geometrické řdy Dodejme, byte e měli co těšit, že mtemtik prcuje i jiými řdmi, příkld mociými, hrmoickými, lterujícími ebo Fourierovými, které jou oučátí mtemtické lýzy lze jejich pomocí řešit řdu zjímvých úloh - 79 -