3. ROVNICE A NEROVNICE Lineární rovnice Kvadratické rovnice Rovnice s absolutní hodnotou Iracionální rovnice 90

Transkript

1 ROVNICE A NEROVNICE 8 Lineární rovnice 8 Kvdrtické rovnice 8 Rovnice s bsolutní hodnotou 88 Ircionální rovnice 90 Eponenciální rovnice 9 Logritmické rovnice 9 7 Goniometrické rovnice 98 8 Nerovnice 0 Úlohy k smosttnému řešení 0 Výsledky úloh k smosttnému řešení 07 Shrnutí lekce 09 Kontrolní test 09 Výsledky testu 0 Klíč k řešení úloh 0-8 -

2 ROVNICE A NEROVNICE Průvodce studiem V kpitolách -7 se nučíte poznávt jednotlivé typy rovnic n řešených příkldech se seznámíte s výpočtem jejich kořenů Získné vědomosti pk použijete při řešení nerovnic v kpitole 8 která se zcel opírá o získné znlosti z předchozích kpitol N závěr jsou zřzeny úlohy k procvičení k upevnění získných vědomostí které si ověříte n kontrolním testu Cíle Po prostudování této kpitoly budete schopni řešit lineární kvdrtické rovnice rovnice s bsolutní hodnotou ircionální eponenciální logritmické goniometrické rovnice n závěr se seznámíte s řešením nerovnic Úlohy budete řešit v oboru přirozených celých rcionálních reálných čísel Předpokládné znlosti Předpokldem pro studium této kpitoly je lespoň zvládnutí počítání se zlomky úprv lgebrických výrzů Lineární rovnice Výkld Lineární rovnice jsou rovnice jež je možné uprvit n tvr + b 0 kde b R 0 Jejich řešením je jediné číslo b Tvr + b 0 stejně jko řešení úprvmi o nichž víme že nezmění řešení rovnice Ptří k nim: b získáváme ze složitějšího zdání ekvivlentními přičítání (odčítání) téhož výrzu k oběm strnám rovnice násobení (dělení) obou strn rovnice týmž výrzem ( 0) - 8 -

3 Řešená úloh Příkld Řešte rovnici Řešení: Obě strny vynásobíme společným jmenovtelem ( 0 ) dostneme: Zkoušk: / k oběm strnám přičteme ( ) 7 / vydělíme L P Číslo je řešením rovnice Kvdrtické rovnice Výkld Kvdrtická rovnice je rovnice kterou je možno uprvit n tvr + b + c 0 kde b c R 0 Jejím řešením je dvojice čísel kterou můžeme získt npř ze vzorce: b ± b c Výrz D b c nzýváme diskriminntem kvdrtické rovnice Je-li D > 0 pk má rovnice dv různé reálné kořeny je-li D 0 pk má jeden dvojnásobný reálný kořen je-li D < 0 pk rovnice nemá řešení v oboru reálných čísel le má dv kompleně sdružené kořeny Je-li b 0 nebo c 0 jedná se o neúplnou kvdrtickou rovnici kterou řešíme následovně: ) + c 0 b) + b 0 c ± ( + b) 0 0 b - 8 -

4 Je-li kořen kvdrtické rovnice pk výrz ( ) se nzývá kořenový činitel ( )( ) + b + c je rozkld kvdrtického trojčlenu n součin kořenových činitelů Řešené úlohy Příkld Určete kořeny kvdrtické rovnice: ) + 0 d) 9 0 b) + 0 e) + 0 c) + 0 ( ) ± ± ± Řešení: ) kořeny reálné různé b) ( ) 0 rovnice má jeden dvojnásobný kořen c) ± ± ± i + i kořeny komplení i d) 9 ± 9 9 e) ( + ) 0 0 Výkld Jsou-li kořeny kvdrtické rovnice 0 + b + c resp + p + q 0 (rovnice v normovném tvru) pk pro kořeny pltí Viètovy vzorce: Řešené úlohy resp c + b q + p Příkld Určete kořeny kvdrtické rovnice + 0 pomocí výše uvedených vzthů Řešení: ( ) ( ) ( )9 ( 9)

5 zvolené dvojice dosdíme do rovnice: - + nevyhovují proto vyhovuje dvojice 9 Příkld Pomocí vzthů mezi kořeny koeficienty sestvte kvdrtickou rovnici jejíž kořeny jsou: ) b) Řešení: ) 8 q + + p Hledná rovnice má tvr b) q + + p 7 Hledná rovnice má tvr + 0 nebo Rovnice s bsolutní hodnotou Výkld Rovnice s bsolutní hodnotou jsou rovnice v nichž se vyskytuje neznámá lespoň jednou v bsolutní hodnotě Řešit je znmená uprvit je n rovnice v nichž bsolutní hodnot není pro pro 0 < 0 Řešené úlohy Příkld Řešte rovnici

6 Řešení: + + pro + 0 tj pro < ) pro + < 0 tj pro ( ) pro 0 tj pro < ) + pro < 0 tj pro ( ) ( ) < ) < ) prvdivý výrok vyhovují všechn čísl intervlu ( ) ( ) Řešením rovnice jsou všechn ( > ( + ) + + vyhovuje ptří do intervlu < - ) ( ) neprvdivý výrok nevyhovuje žádné < ) Příkld Řešte rovnici y + y y Řešení: y + y + pro y + 0 tj pro y < ) - y - pro y + < 0 tj pro y ( ) y - y pro y 0 tj pro y ( - + y pro y < 0 tj pro y ( ) ( ) < ) < ) y + y y + y + y y y + y

7 ( y) y y y + y y y y ptří do ( ) y ( y) y y + y + + y y y y ptří do < ) y ( + y) y y + y + + y y 0 neprvdivý výrok nevyhovuje žádné < ) Řešením rovnice jsou čísl y y Ircionální rovnice Výkld Ircionální rovnice jsou rovnice v nichž se vyskytuje neznámá lespoň jednou pod odmocninou Řešit ircionální rovnici znmená uprvit ji n rovnici v níž odmocniny nejsou Toho dosáhneme umocňováním Protože umocňování není ekvivlentní úprv můžeme zjistit pltnost kořenů dvojím způsobem: ) řešíme rovnici pltnost kořenů ověříme zkouškou b) při kždém umocňování stnovíme podmínky pro to by rovnice dná umocněná byly ekvivlentní Tento způsob užíváme jen u jednoduchých ircionálních rovnic Poznámk Rychlejší je způsob řešení ) Řešené úlohy Příkld Řešte rovnici + oběm způsoby Řešení: způsob: + osmosttníme odmocninu

8 umocníme ± ± Zkoušk: L ( ) + P ( ) L ( ) P() - kořen vyhovuje L ( ) + P ( ) L( ) P() - kořen nevyhovuje způsob: + podmínk: rovnici dále řešíme pro Závěr: Řešením zdné rovnice je vyhovuje podmínce nevyhovuje podmínce Výkld Je-li v rovnici více odmocnin opět jednu osmosttníme osttní členy rovnice převedeme (před umocňováním) n druhou strnu Je zřejmé že bude třeb postup umocňování opkovt Příkld Řešte rovnici Řešení: + 7 / / : / 9 Zkoušk: L ( ) P Závěr: Řešením dné rovnice je - 9 -

9 Eponenciální rovnice Výkld Eponenciální rovnice jsou rovnice které mjí neznámou v eponentu mocniny Jejich řešení probíhá ve dvou krocích: ) rovnici převedeme n zákldní tvr b kde > 0 ) zákldní tvr řešíme V převodu n zákldní tvr užíváme především znlostí o počítání s mocninmi ojediněle pk substituce y Při řešení zákldního tvru b > 0 pltí: pro b < 0 nemá rovnice řešení b > 0 řešení má rozlišujeme dvě možnosti: b z rovnice b lze převést n mocniny o stejném zákldu Pk použijeme vlstnost f ( ) g( ) f ( ) g( ) b nelze převést n mocniny o stejném zákldu Pk použijeme definice logritmu nebo obě strny rovnice zlogritmujeme Poznámk Obecně lze eponenciální rovnice řešit grficky nebo přibližnými numerickými metodmi Řešené úlohy + + Příkld Řešte rovnici + 0 Řešení: ) převod n zákldní tvr (užijeme znlostí o počítání s mocninmi): + 0 [ + 0] / :

10 b) řešení zákldního tvru protože pltí: f ( ) g ( ) ( ) g( ) f Příkld Řešte rovnici + 0 Řešení: ) převod n zákldní tvr substitucí ( ) + ( ) ± 9 + ± < je vhodná substituce b) řešení zákldního tvru: po doszení do substituční rovnice dostneme 0 0 je řešením dné rovnice Rovnice nemá řešení neboť vždy pltí > Příkld Řešte rovnici + Řešení: ) převod n zákldní tvr: ( 7 + 9) ( ) 7 7 b) zákldní tvr řešíme zlogritmováním obou strn rovnice: log 7 log 7 log 7 log log 9 log - 9 -

11 Logritmické rovnice Výkld Logritmické rovnice jsou rovnice které mjí neznámou v rgumentu logritmu Při řešení logritmických rovnic používáme nejčstěji: ) definici logritmu: y log y b) vlstnosti logritmů: log ( y) log + log y log y log log y log k k log log log 0 Při řešení logritmických rovnic se čsto setkáme s těmito typickými situcemi: ) obdržíme logritmickou rovnici v zákldním tvru log b ( > 0 ) pro b libovolné b má tto rovnice jediné řešení (příkld ) b) zdání je složitější pomocí vlstností logritmů převedeme n: zákldní tvr log b (příkld ) log což pltí tehdy jen tehdy když f g zákldní tvr f ( ) log g( ) (příkld ) ( ) ( ) c) zdání nznčuje že by zjednodušení pomocí substituce log y nebo převedlo rovnici logritmickou n rovnici lgebrickou jež by byl snáze řešitelná (příkld ) log y Poznámk Obecně se logritmické rovnice řeší grficky nebo přibližnými numerickými metodmi - 9 -

12 Řešené úlohy Příkld Řešte rovnici log Řešení: Rovnice je definován pro > 0 Pk podle definice logritmu pltí: což vyhovuje podmínce Příkld Řešte logritmickou rovnici log + log + log Řešení: Rovnice je definován pro > 0 log + log + log ( + + ) log log Příkld Řešte logritmickou rovnici log( + ) log ( + ) Řešení: Podmínk: ( + ) > 0 ( + ) což vyhovuje podmínce [ ] 0 > Levou strnu rovnice uprvíme pomocí vlstností logritmů prvou strnu vyjádříme jko logritmus: Závěr: i ( + ) ( + ) log ± ( + ) ( + ) log ( + ) ± ± 8 vyhovují podmínce jsou řešením dné rovnice - 9 -

13 Příkld Řešte logritmickou rovnici log + log 0 Řešení: Zvolíme substituci log y dostneme kvdrtickou rovnici Poznámk y + y 0 ( y + )( y ) 0 y y Dosdíme zpět do substituční rovnice: log 8 log Závěr: vyhovují podmínce > 0 jsou řešením dné rovnice 8 Pozor n psní mocniny: log log Příkld Určete všechn přirozená čísl splňující rovnici log log log log Řešení: Nejprve si převedeme zápis ( ) ( ) pomocí log log substituce log y dnou rovnici převedeme n rovnici kvdrtickou y 7y 8 0 ( y+ )( y 8) 0 y y 8 Vrátíme se k substituci dosdíme z y jen hodnotu 8 protože - nevyhovuje podmínce > 0 tkže log 8 log 0 Příkld Řešte rovnici: log log log + log + Řešení: Nejprve uprvíme rovnici tk bychom měli n levé strně rovnice mocniny o zákldu n prvé strně mocniny o zákldu zároveň využijeme znlostí o log log log počítání s mocninmi log log log vytkneme mocninu ( ) ( ) 9 Uprvíme n tvr log log 9 log Získli jsme eponenciální rovnici o stejném zákldu tkže pltí log

14 Příkld 7 Řešte logritmickou rovnici log( + ) log + + log + Řešení: Podmínk: + > 0 > Pomocí vlstností logritmů uprvíme rovnici n tvr: log( + ) log( + ) + log log( + ) log 0 [ log( + ) ] + log( + ) 0 log ( +) y (substituce) y + y 0 y ± + Vrátíme se k substituční rovnici: log ± ( + ) log ( + ) zákldní tvr logritmické rovnice je pk log( + ) log0 log( + ) log Závěr: vyhovují podmínce jsou řešením dné rovnice log( + 9) Příkld 8 Vyřešte rovnici log + stnovte podmínky řešitelnosti Řešení: Protože eistují jen logritmy kldných čísel musí být + > 0 > dále musí pltit: log tkže rovnice je řešitelná pro ( ; ) ( ; ) Po vynásobení jmenovtelem máme log( + 9) log + převedeme úprvou n zákldní tvr log( + 9) log( + ) odtud po odlogritmování dostneme Závěr: 0 vyhovuje podmínce je řešením dné rovnice

15 7 Goniometrické rovnice Výkld Goniometrické rovnice jsou rovnice které mjí neznámou v rgumentu goniometrické funkce Zákldní typy goniometrických rovnic jejich řešení ) Typ sin cos kde < > tg b cotg b Tyto rovnice mjí nekonečně mnoho řešení proto určíme nejdříve kořeny ležící v zákldním intervlu Ten je u sinu kosinu 0 pk všechn řešení zpíšeme přidáním celého násobku periody T u tngens kotngens určíme kořeny ležící v zákldním intervlu ( ) nebo ( 0 ) opět všechn řešení zpíšeme přičtením celého násobku periody T (viz řešené příkldy 7) b) Typ sin A ( ) cos A ( ) < > tg A ( ) b cotg A ( ) b kde A() je lgebrický výrz v proměnné řešíme substitucí A () α (příkld 7) c) Typ obshující různé mocniny goniometrické funkce stejného rgumentu převedeme n lgebrickou rovnici(příkld 7) d) Typ obshující více goniometrických funkcí stejného rgumentu řešíme převedením všech funkcí n jedinou funkci téhož rgumentu (příkld 7) e) Typ rovnice nulovné jejíž levou strnu lze rozložit n součin řešíme tk že jednotlivé činitele položíme rovny nule řešíme(příkld 7)

16 Řešené úlohy Příkld 7 Řešte rovnice: ) sin 0 b) tg Řešení: ) sin 0 Kldných hodnot v zákldním intervlu nbývá sinus v I II kvdrntu Proto: je řešení v I kvdrntu je řešení v II kvdrntu Všechn řešení dné rovnice jsou: + k + k kde k Z tg kořen b) tg pro záporných hodnot nbývá funkce tngens ve II kvdrntu tedy Všechn řešení dné rovnice jsou + k kde k je celé číslo Příkld 7 Řešte rovnici cos( + ) Řešení: Zvolíme substituci + α pk rovnice bude ve tvru cosα α je pk řešení v zákldním intervlu < 0 > + + k + k + k k Z jsou všechn řešení

17 Příkld 7 Řešte goniometrickou rovnici sin sin 0 Řešení: Substitucí sin y se změní dná rovnice n y y 0 Pro pro sin je řešení v zákldním intervlu y ± + 8 sin je řešení ve III IV kvdrntu Opět je vhodné vyjít z řešení rovnice sin v intervlu (0 7 ) pk pro IIIkvdrnt je + pro IVkvdrnt dostneme Závěr: všechn řešení dné rovnice jsou 7 + k + k + k k Z Příkld 7 Řešte rovnici tg cotg Řešení: Protože cotg rovnici npíšeme ve tvru tg tg tg podmínky řešitelnosti: k + k tg tg tg ± pro tg je + k pro tg je + k + k k Z Příkld 7 Řešte rovnici cos + cos + 0 Řešení: Pomocí vzthu cos cos sin odstrníme v rovnici různé rgumenty cos sin + cos + 0 dosdíme z sin cos

18 Pro cos + cos + cos + 0 cos + cos 0 vytkneme cos 0 je cos + 0 pro ( ) je + k ( cos + ) 0 cos cos (II IIIkvdrnt) Nejprve si opět uvědomíme řešení rovnice pro II kvdrnt dostneme řešení pro III kvdrnt máme řešení cos + pk cos Všechn řešení dné rovnice jsou + k + k + k kde k Z 8 Nerovnice Výkld Jsou-li f() g() funkce definovné v R s oborem hodnot v R nzýváme nerovnicí vzth f ( ) > g( ) [ resp f ( ) g( ) ] f ( ) < g( ) [ resp f ( ) g( )] Úloh nlézt všechn která vyhovují dné nerovnici se opírá o znlosti dovednosti získné v kpitolách o řešení rovnic I zde užíváme ekvivlentních úprv jk byly zvedeny u lineárních rovnic s tím že při násobení nebo dělení záporným číslem se mění znménko nerovnice Řešené úlohy Příkld 8 Řešte nerovnici ( + ) 0 < ( ) Řešení: Zjednodušíme vynásobením + 0 < členy s neznámou budou n jedné strně < 8 vydělíme koeficientem u > řešením nerovnice jsou všechn ( ) ( + ) ( ) : - 0 -

19 7 Příkld 8 Řešte nerovnici Řešení: Nerovnice má smysl pro nelze ji vynásobit výrzem (-) protože nevíme je-li výrz kldný nebo záporný Podíl porovnáváme vždy s nulou proto volíme následující postup: Nulové body v nichž se mění znménko čittele jmenovtele jsou 8 Rozdělí nám číselnou osu n tři disjunktní intervly Do zlomku dosdíme libovolné číslo npř - které se nchází v levém intervlu zjistíme že zlomek je kldné hodnoty V dlších intervlech zlomek střídá své znménkové hodnoty to vyznčíme pod číselnou osou jko + + Nulový bod jmenovtele nesmíme do intervlu zřdit Řešením nerovnice jsou < ; ) Příkld 8 Řešte nerovnici Řešení: Kvdrtické nerovnice řešíme opět pomocí nulových bodů tkže je nejprve nulujeme pk vždy rozložíme levou strnu n součin kořenových činitelů (vizkp) Dnou nerovnici vynásobíme ( ) tím se změní znk nerovnice levou strnu pk uprvíme n součin tkže nulové body: N číselné ose rozdělené nulovými body n disjunktní intervly vyznčíme kldnost nebo zápornost kvdrtického trojčlenu v jednotlivých intervlech Nulové body do intervlu ptří + + Řešením nerovnice jsou ( > < ) - 0 -

20 Příkld 8 Řešte nerovnici y + y < y Řešení: Při řešení nerovnic s bsolutními hodnotmi postupujeme podobně jko při řešení rovnic s bsolutními hodnotmi (viz kp) Zde všk zjišťujeme průnik řešení s jednotlivými intervly Řešení nerovnice se opět opírá o metodu nulových bodů které rozdělí číselnou osu n intervly v nšem příkldě n tři intervly V dné nerovnici jsou nulové body V následující tbulce je nejprve uvedeno jký je dvojčlen v bsolutní hodnotě v jednotlivých intervlech zd je hodnoty kldné či záporné pk následuje řešení nerovnice y + y ( ) < ) < ) y y + y + y y + y ( ) y ( ) y řešení nerovnice y ( y) < y y + y < y + + y < y < y < y + + y < y y > y < < 0 průnik s předpokldem ( y ) y < ) prázdná množin Řešením nerovnice jsou y ( ) Příkld 8 Řešte nerovnici sin( ) Řešení: sin pro nebo v zákldním intervlu sin / pro < + k + k > y sin

21 Úlohy k smosttnému řešení Řešte lineární rovnice: [ ] ( ) ( ) 0 ) b) [ ( )] c) + + d) 7v v + v e) v ( ) + 7 Rozložte n součin kořenových činitelů ) + b) + c) + + d) + e) + Řešte kvdrtické rovnice: ) b) 0 c) 08 8 ; d) + 0 e) Normovný kvdrtický trojčlen rozložte n součin kořenových činitelů: ) + b) c) d) 0 Sestvte kvdrtickou rovnici jejíž kořeny jsou : ) b) - Řešte rovnice ( pomocí Viètových vzorců q + p ) ) b) + 0 c)

22 7 Řešte rovnice: ) 7 + b) c) + + d) + e) f) Řešte rovnice: ) + 7 b) + c) d) e) ( + )( ) + g) f) Řešte eponenciální rovnice v zákldním tvru: ) 0 00 b) c) d) 0 e) 00 f) 8 0 Řešte v oboru reálných čísel rovnice: ) b) c) d) + log log e) f) g) + 0 Užijte definice logritmu k řešení jednoduchých rovnic: ) log b) d) log e) log 0 log c) log f) log 00 g) log h) log i) log 8-0 -

23 Určete všechn řešení dných rovnic v oboru reálných čísel: ( ) ( ) ) log + log log b) log log + log c) log log ( ) log log d) 0 ( ) ( ) 0 e) log log f) log log ( ) ( ) log Řešte goniometrické rovnice: ) sin 0 b) c) cotg cos d) sin cos cos e) sin sin f) sin + sin g) cos sin h) sin sin cos 0 i) tg cotg j) sin + cos Řešte v oboru reálných čísel nerovnice: ) < + b) + c) ( ) + ( ) > ( ) d) < 0 e) 7 f) + + g) 9 + < 0 h) + 0 < Řešte nerovnice s bsolutní hodnotou: ) + > b) c) 7 > + d) > - 0 -

24 Řešte goniometrické nerovnice: ) sin < 0 ; b) cotg < c) tg Výsledky úloh k smosttnému řešení ) 0 b) c) rovnice nemá řešení d) rovnice má nekonečně mnoho řešení e) v ) + ( + ) b) + ( )( + ) c) + + ( + + ) ( + ) d) + ( )( + ) + e) + ( + ) ( )( ) ) b) + c) ; d) e) rovnice nemá řešení v oboru reálných čísel ( )( ) ( 7 )( + ) ) b) c) d) ( )( 9) ( 0 )( + ) ( )( ) ) b) ( + ) ( ) ) b) 7 ) c) 0 c) b) 0 d) nemá řešení e) f)

25 8 ) 8 b) nemá řešení c) d) e) 9 f) nemá řešení g) 9 ) b) c) d) e) log 00 nebo f) log log8-08 log 0 ) 9 b) log log c) -70; log log d) e) f) 0 g) log nebo log -0 log ) 9 b) c) ) d) e) 0 f) 0 g) h) 9 b) 8 i) c) 9 9 d) 0 e) f) nemá řešení 7 k ) + k + k k Z b) ± + k Z c) k + k Z d) k + k Z 8 e) k ± + k k Z f) + k + k g) k ± + k Z h) k + k k Z i) ± + k k Z j) k + k + k k Z

26 9 ) ( ) b) ( > c) ( ) d) ( ) ( ) 7 e) ( > f) ( > < ) g) ( ) h) ( ) ( ) 7 8 ) ( ) ( ) b) < > c) ( ) d) ( ) 7 k k ) ( + k + k ) b) ( + k + k ) c) < + + ) 8 Shrnutí lekce První informce o úspěšném zvládnutí této kpitoly Vám djí příkldy k procvičení Pokud nevycházejí uvedené výsledky vrťte se k teorii řešeným příkldům Důvodem neúspěchu by mohly být i numerické chyby Pokud máte pocit že většinu příkldů k procvičení zvládáte přistupte k následujícímu testu Pokud se vám všk zdjí některé příkldy těžké nhlédněte do klíče n konci kpitoly kde njdete postup nebo návod k řešení Kontrolní test Pro která je trojčlen + + roven nule? ) 0 b) ± c) Pro která je trojčlen + + roven čtyřem? ) b) c) 0 Řešte rovnici ) b) c) 0 ± Určete řešení rovnice s bsolutními hodnotmi: ) ; b) c) ( 0) V oboru reálných čísel řešte rovnici log + log 7 + log 0 ) b) c)

27 Řešte v R rovnici + ) 0 b) c) ± 7 Njděte všechn řešení rovnice sin + 7 cos 0 ) ± + k b) ± + k c) + k ; + k + 8 V oboru reálných čísel řešte nerovnici < 0 + ) b) 0; c) ( ; 0) ( ; ) 9 V oboru reálných čísel řešte nerovnici + + < ) ( ; ) b) < ; ) c) ( ; ) (; ) Výsledky testu c); b); b); ); b); c); 7); 8c); 9) Klíč k řešení úloh ) Nejprve roznásobíme výrz v kulté závorce pk v hrnté po úprvě dostneme 0 0 b) Vynásobením společným jmenovtelem () odstrníme zlomky uprvíme n tvr 7 7 c) stejný postup jko v úloze ) po úprvě se vyruší zůstne že 0 proto rovnice nemá řešení viz zápis řešení ve výsledku Všechny kvdrtické rovnice musí být v zákldním tvru tzn n prvé strně je 0 Je vhodné před použitím vzorce pro kořeny kvdrtické rovnice (kp) vytknout společný násobek koeficientů Hledáme tkovou dvojici čísel že jejich součin je součet - součin je - součet - součin je 9 součet -0 součin je -0 součet - Která to jsou?(viz příkld ) - 0 -

28 viz příkld viz příkld 7 Volte stejný postup jko v příkldu nebo ) nulové body 7 rozdělí číselnou osu n intervly Pro kždý intervl zjistíme jkých hodnot nbývá v bsolutní hodnotě rovnici přepíšeme bez bsolutních hodnot vyřešíme ji výsledek porovnáme s předpokldem b) nulový bod je Nejprve rovnici řešíme pro ( ; ) pk pro < ; + ) c) nulové body rozdělí číselnou osu n intervly d) nulové body 0 rozdělí číselnou osu n intervly e) nulové body 0 rozdělí číselnou osu n intervly f) nulové body jsou ) návod n řešení njdete v řešeném příkldu Umocněním úprvou dostneme kvdrtickou rovnici ( 8)( ) 0 Zkouškou si ověříteže rovnici vyhovuje pouze kořen 8 b) stejný postup jko z ) c) rovnici si uprvíme tkto: dále postupujeme stejně jko u př d) obdobně jko v úloze e) po roznásobení závorek úprvě dostneme f) rovnice nemá řešení protože pltí podmínk g) rovnici umocníme uprvíme dostneme ( + 7)( ) 0 Zkouškou zjistímeže vyhovuje pouze 9 Všechny rovnice ) ž c) se řeší podle příkldu krok b)stčí si uvědomit že potřebujeme n prvé strně mocninu o stejném zákldu: ) 0 0 b) d) Uvědomíme si že + c) 0 rovnici přepíšeme do tvru e) f) řešíme zlogritmováním 0 ) b) viz řešení příkldu c) viz příkld 8 - -

29 d) stčí si uvědomit že mocninu ze jmenovtele můžeme npst do čittele s opčným + + eponentem tkto: protože log log log f) substituce y pk máme rovnici y + y 0 ( y + )( y ) 0 pokrčujeme jko v příkldu g) substituce y pk dostneme rovnici y + y 0 y + y 0 tu vyřešíme dále jko v předchozím příkldu Všechny rovnice se řeší stejným postupem jko v příkldu ) b) c) d) e) 0 f) 00 g) h) i) 8 Při řešení rovnic ) b) c) využijeme vlstností logritmů (kp) ) + log 00 log typ rovnice b) kp b) Zlogritmujeme mocniny sečteme: log log + log log c) Uprvíme n log log( ) ( ) Po umocnění úprvě dostneme kvdrtickou rovnici která má kořeny Druhý kořen nevyhovuje podmínce řešitelnosti rovnice: ( 7; } ( ) log log log d) Uvědomíme si že ( ) volíme substituci log y dostneme kvdrtickou rovnici y y 0 T má kořeny y y Druhý kořen nevyhovuje protože substituční rovnice je eponenciální Vrátíme se k substituci pk log log log log log log log 0 e) Rovnici přepíšeme do tvru log ( ) log ( ) po úprvě ( )( ) 0 nevyhovuje protože podmínk řešitelnosti rovnice je > f) Nejprve stnovíme podmínky řešitelnosti rovnice (viz př 8) uvědomíme si že n prvé strně rovnice máme log pk po vynásobení dostneme rovnici log ( ) log ( ) ( ) Kořeny kvdrtické rovnice nevyhovují podmínce řešitelnosti: ( ) ( ) proto dná rovnice nemá řešení ) viz příkld 7 druhý kořen doszený do substituční rovnice k b) cos (I IVkvdrnt) ± + k ± + k Z - -

30 c) cot g + k + k k Z d) použijeme vzorec sin α sinα cosα k sin cos sin + k + k Z 8 e) sin sin sin cos sin 0 sin (cos ) 0 sin 0 cos dále viz tb v kpitole 0 f) nejprve rovnici uprvíme n tvr sin sin + 0 substituce sin y y y + 0 (y ) 0 y tkže sin viz příkld 7) g) Pltí sin + cos sin cos toto dosdíme do rovnice po úprvě dostneme cos 0 cos cos ± cos ± + k ± + k cos (II IIIkvdrnt) pro IIkvdrnt: + k + k pro IIIkvdrnt + k + k Výsledky ± + k + k + k lze zpst jediným zápisem ± + k k Z h) po vytknutí: sin (sin cos ) 0 buď sin 0 k nebo sin sin cos tg + k k Z cos i) tg tg tg ± ± + k k Z tg j) Použijeme vzorec cosα cos α sin α nhrdíme v dné rovnici cos cos( ) cos sin dále pltíže cos sin tímto postupným nhrzováním následnou úprvou se dostneme k rovnici sin sin 0 sin (sin sin 0 k k k Z ) 0 sin 0 sin sin + k + k k Z pltí pro I kvdrnt (I IIkv) + k + k k Z pltí pro IIkvdrnt - -

31 ) po vynásobení číslem úprvě získáme nerovnici < < ( ) b) + ( > c) umocníme uprvíme n tvr > 8 < ( ) 7 7 d) nulové body rozdělí číselnou osu n intervly dále podle př8 7 e) zvolte stejný postup jko u příkldu 8 Úprvou dostneme 0 nulové body rozdělí číselnou osu n intervly 7 f) po úprvě dostneme kvdrtickou nerovnici ( )( ) 0 nulové body rozdělí číselnou osu n intervly dále podle př8 g) rozkld ( )( ) < 0 viz úloh f) h) + < 0 > 0 ( )( + ) > 0 dále metodou nulových bodů Nerovnice s bsolutní hodnotou )b) řešíme metodou nulových bodů viz příkld 8 c) nulové body 7 0 rozdělí číselnou osu n disjunktní intervly ( 0) < 0 ) < 7) < 7 ) d) z předpokldu že ( ) nerovnice > nemá řešení pro < ) nerovnici > uprvíme n > 0 > 0 ( ) ) vycházíme z grfu funkce y sin ten protneme přímkou y -0 průsečíky vymezí intervly viz příkld 8 b) z grfu funkce y cotg (kp0) vyčteme že pro ( ) je cotg < tkže náš rgument ( + k + k ) ( + k + k ) k Z c) z grfu funkce y tg vyčteme že pro < ) je tg tkže rgument < + k + k ) < + k + k ) k Z 8 - -