8.2.7 Geometrická posloupnost

Transkript

1 87 Geometrická posloupost Předpokldy: 80, 80, 80, 807 Pedgogická pozámk: V hodiě rozdělím třídu dvě skupiy kždá z ich dělá jede z prvích dvou příkldů Větši studetů obou skupi potřebuje pomoc u tbule Ob příkldy píšu tbuli echám je tm do okmžiku, kdy sestvujeme vzorce pro -tý čle Př : Poločs rozpdu (dob z kterou se rozpde přibližě polovi existujícího možství látky) frci 87 Fr je přibližě miut Jké možství této látky zbude z počátečích 0grmů po půl hodiě? Budeme sledovt možství frci vždy po pěti miutách: počátečí možství 0 po miutách 0 po 0 miutách 0 0 po miutách 0 0 po 0 miutách 0 0 po miutách 0 0 po 0 miutách , g Po 0 miutách zbude z původích 0 grmů pouze 0, grmu frci 87 Př : HDP (hrubý domácí produkt) České republiky dosáhl v roce 008 hodoty 70 Kč jedoho obyvtele Jké hodoty by dosáhl v roce 08, pokud by rostl stálým tempem % ročě? Postupujeme podobě jko v předchozím příkldě, postupě určujeme hodotu HDP po jedotlivých letech: počátečí hodot 70 po roce (rok 009) 70,0 po letech (rok 00) ( 70,0 ),0 70,0 po letech (rok 0) ( ) po letech (rok 0) ( ) 70,0,0 70,0 70,0,0 70,0

2 po 0 letech (rok 08) ( ) , 0, 0 70, 0 7 Po deseti letech bude při % růstu hodot HDP obyvtele 7 Kč Př : Njdi společou speciálí vlstost obou předchozích posloupostí U obou předchozích posloupostí pltí, že kždý čle získáme vyásobeím předchozího čleu stále stejým číslem Posloupost s uvedeou vlstostí se zývá geometrická Posloupost ( ) se zývá geometrická, právě když existuje tkové reálé číslo q, že pro kždé přirozeé číslo pltí + q Číslo q se zývá kvociet poslouposti Jestliže v poslouposti ( ) pltí 0 zároveň q 0, pk jsou všechy čley poslouposti růzé od uly můžeme psát + q, tedy podíl dvou po sobě ásledujících čleů geometrické poslouposti je kosttí rový jejímu kvocietu Př : Urči kvociety geometrických posloupostí z příkldů ) V příkldu pltí: + q b) V příkldu pltí: +,0 q,0 Př : Rozhodi, zd dá tři čísl tvoří tři po sobě jdoucí čley ějké geometrické poslouposti Pokud o urči kvociet ) 9 ; ; 9 b) ; ; + Pokud zdá trojice čísel tvoří tři po sobě jdoucí čley geometrické poslouposti, musí být jejich podíl stejé číslo ) 9 ; ; Jde o tři po sobě jdoucí čley geometrické poslouposti s kvocietem 9 b) ; ; + ( ) ( )

3 + ( + ) + + ( ) Jde o tři po sobě jdoucí čley geometrické poslouposti s kvocietem ( ) + Pedgogická pozámk: S předchozím příkldem mjí studeti opět ečeké problémy, hlvě u bodu b) se pk objevují problémy s uprveím výrzu Př : Npiš prvích pět čleů geometrických posloupostí: ), q, b) π, q 0, c), q, d) 0, q 0 Které z těchto posloupostí jsou ritmetické? ), q Čley poslouposti: ; ; ; 8;; eí ritmetická b) π, q 0 Čley poslouposti: π ;0;0;0;0; eí ritmetická c), q Čley poslouposti: ; ;; ;; eí ritmetická d) 0, q 0 Čley poslouposti: 0; 0;0; 0;0; je ritmetická s diferecí d 0 + Př 7: Dokž, že posloupost ( ) je geometrická Hledáme v defiici geometrické poslouposti podmíku, která odlišuje geometrickou posloupost od osttích posloupostí musíme dokázt, že pltí: + q + ( ) Dosdíme: q / : q / : q pltí pro všechy čley poslouposti posloupost + ( + ) Vzth q geometrická (s kvocietem ) je Geometrická posloupost je stejě prvidelá jko ritmetická měl by existovt vzorec pro -tý čle

4 Př 8: Njdi vzorec pro -tý čle posloupostí z příkldů Vyslov hypotézu o vzorci geometrické poslouposti: ; + q; N ) Čley poslouposti máme již uprveé tk, by byl kždý vyjádře pomocí d: počátečí možství 0 po miutách 0 po 0 miutách po miutách po 0 miutách po miutách po 0 miutách Zdá se, že posloupost by mohl být dá vzorcem 0 b) Čley poslouposti máme již uprveé tk, by byl kždý vyjádře pomocí d: počátečí hodot 70 po roce 70,0 po letech ( 70,0),0 70,0 po letech ( ) po letech ( ) po 0 letech ( ) 70,0,0 70,0 70,0,0 70,0 Zdá se, že posloupost by mohl být dá vzorcem 70, 0, 0 70, ,0 Ob odvozeé vzorce mjí stejý tvr: dá vzorcem q q zřejmě pltí: geometrická posloupost je O správosti ší hypotézy se musíme přesvědčit Zkusíme důkz mtemtickou idukcí:

5 Př 9: Dokž větu: V geometrické poslouposti ( ) N q s kvocietem q pltí pro kždé Ověříme pltost pro 0 q q pro vzorec pltí Předpokládáme, že vzorec pltí pro k dokzujeme, že pltí i pro k + k Víme: q k Chceme dokázt: ( k ) q q + k k + Určitě pltí rekuretí vzth pro geometrickou posloupost: k + k q k Dosdíme do rekuretího vyjádřeí z q : k k + k k + k q q q q q - to jsme chtěli Podřilo se ám vzth dokázt k Pedgogická pozámk: Pokud estíháme, předchozí příkld vyecháváme důkz buď rychle udělám tbuli ebo ho úplě přeskočíme Teď už můžeme pst s jistotou: V geometrické poslouposti ( ) q s kvocietem q pltí pro kždé N Vzorec je hodě podobý vzorci pro ritmetickou posloupost, opět v ěm vystupuje čle ( ), protože čle jsme kvocietem ještě eásobili Vzorec geometrické poslouposti připomíá předpis expoeciálí fukce geometrická posloupost je speciálím přípdem expoeciálí fukce Př 0: U ásledujících geometrických posloupostí sestv vzorec pro -tý čle, jdi rekuretí vyjádřeí urči ), q b) ; q ), q d) + c) ( ) ; ; N e) Rekuretí vyjádřeí: ; +, N Vzorec pro -tý čle: q b) ; q

6 Nejdříve si určíme : q 9 q q Rekuretí vyjádřeí: 9; +, N Vzorec pro -tý čle: 7 9 q c) ( ) Posloupost je zdá vzorcem pro -tý čle, q ;, N Rekuretí vyjádřeí: ( ) + Vzorec pro -tý čle už máme ( ) d) ; + ; N Rekuretí vyjádřeí už máme, q Vzorec pro -tý čle: 7 q e) Pozor, to eí klsický vzorec pro -tý čle geometrické poslouposti musíme vzth uprvit do tvru vzorce pro -tý čle, q Rekuretí vyjádřeí: ; + ; N Vzorec pro -tý čle: ( ) Př : Petáková: str 7/cvičeí 9 b) c) str 7/cvičeí 0 b) str 7/cvičeí ) c) d) Shrutí: Posloupost v íž kždý čle získáme z čleu předchozího vyásobeím stejým číslem se zývá geometrická Při výpočtu jejího -tého čleu ásobíme prví čle mociou kvocietu ( )