Možnosti stanovení příčné tuhosti flexi-coil pružin

Jaub Vágner, Aleš Hába Možnosti stanovení příčné tuhosti flexi-coil pružin Klíčová slova: vypružení, flexi-coil, příčná tuhost, MKP, šroubovitá pružina. Úvod Vinuté pružiny typu flexi-coil jsou dnes jedním z nejvíce používaných prvů vypružení při stavbě olejových vozidel. Pomocí jedné pružiny ta lze realizovat nejen svislé vypružení, ale taé příčné resp. podélné vypružení. Příčná tuhost flexicoil pružin pa určuje zejména hodnotu momentu proti natáčení podvozu. Uplatnění nacházejí nejen v seundárním ale delší dobu taé v primárním vypružení. Při návrhu nového vozidla je nezbytné mít dispozici metodu, terou je možné stanovit tuto příčnou, resp. podélnou tuhost navrhované pružiny. V 6. letech minulého století bylo odvozeno a experimentálně ověřeno něoli empiricých vztahů něolia málo autory. Z nejvýznamnějších lze jmenovat práce od autorů Timošena a Ponomareva, Grosse, Whala, Sparinga. Je vša nutné zdůraznit sutečnost, že v 6. letech. století se tento typ pružin využíval zejména v seundárním vypružení vozidel a proto i experimentální ověření probíhalo na pružinách, jejichž rozměry odpovídaly právě rozměrům pružin seundárního vypružení. V současnosti lze bez problému využít modernější způsoby pro stanovení parametrů navrhovaných pružin prostřednictvím metody onečných prvů (MKP). Za účelem porovnání možností výpočtu příčné tuhosti flexi-coil pružin jsou v tomto příspěvu na příladu dvou reálných pružin prezentovány výsledy výpočtů jejich příčné tuhosti pomocí něolia nejznámějších empiricých vzorců a pomocí MKP analýzy. Ve všech výpočtech se příčná tuhost předpoládá jao poměr příčné síly (síla olmá na svislou osu pružiny) a příčné deformace pružiny (vzájemný posuv dosedacích ploch závěrných závitů ve směru příčné síly). Jeliož má na příčnou tuhost vliv taé svislé zatížení pružiny, ve všech výpočtech je svislé zatížení rovno hodnotě staticého zatížení pružiny. Ing. Jaub Vágner, 98, absolvent Dopravní faulty Jana Pernera Univerzity Pardubice, obor Dopravní prostředy olejová vozidla, nyní postgraduální dotorsé studium na DFJP UPa KDPD, asistent na DFJP UPa KDPD. Tel.: 66 6, e-mail: Jaub.Vagner@upce.cz Ing. Aleš Hába, Ph.D., 979, absolvent Dopravní faulty Jana Pernera Univerzity Pardubice, obor Dopravní prostředy olejová vozidla, nyní asistent na DFJP UPa KMMČS. Tel.: 65 5 6, e-mail: Ales.Haba@upce.cz

. Parametry vybraných pružin Záladní rozměrové parametry obou vybraných pružin jsou uvedeny v tab.. Označení veličin je shodné pro všechny níže uvedené metody výpočtu. Hodnoty uvedené v tabulce jsou zísány z výresové doumentace výrobce pružiny, případně byly změřeny (ověřeny) na reálné pružině. Ostatní parametry byly vypočteny podle následujících vztahů: H Štíhlostní poměr nezatížené pružiny: β (a) D Štíhlostní poměr zatížené pružiny: Moment setrvačnosti průřezu drátu: H β (a) D d I π (a) 6 Polární moment setrvačnosti: I p d π (b) Svislá tuhost: z G d 8 D n () Deformace pod zatížením: Q () z z Tab. Rozměrové parametry vybraných pružin Veličina Označení Pružina A Pružina B Zdroj Počet činných závitů n [-] 9,8 7 Měření Celový počet závitů N [-],5 9 Měření Průměr drátu D [mm] 6 8 Výres / Měření Střední průměr pružiny D [mm] 8 Výres / Měření Volná výša H [mm] 65 6 Výres / Měření Zatížení jedné pružiny Q [N] 7 7 68 6 Výres Svislá tuhost z [N.mm - ] 77,5 55,9 Vypočet () Deformace pod zatížením z [mm] 6 Výpočet () Výša zatížené pružiny H [mm] 5 57 Výpočet (H z) Moment setrvačnosti průřezu drátu I [mm ] 8 7 6 576 Výpočet (a)

Veličina Označení Pružina A Pružina B Zdroj Polární moment setrvačnosti I p [mm ] 6 895 5 5 Výpočet (b) Štíhlostní poměr nezatížené pružiny β [-],5,65 Výpočet (a) Štíhlostní poměr zatížené pružiny Β [-],79, Výpočet (b) Modul pružnosti v tahu E [MPa] - Modul pružnosti ve smyu G [MPa] 78 5 78 5 - V následujících apitolách je proveden výpočet podle jednotlivých metod. Ve všech případech se předpoládá, že dosedací plochy závěrných závitů jsou rovnoběžné, svislé zatížení je rovno staticému zatížení pružiny a není zohledněna poloha závěrných závitů.. Výpočty příčné tuhosti pružin podle vybraných empiricých vztahů.. Výpočet příčné tuhosti podle Grosse Empiricý vztah podle Grosse pro určení příčné tuhosti: ygross Q H tg α H + α H s (5) Příčná tuhost podle Grosse je závislá na onstantě α, terá je závislá na tzv. ohybové tuhosti o a na tzv. smyové tuhosti s. Výpočet onstanty α je dán následujícím vztahem: α Q Q s (6) Ohybová a smyová tuhost jsou veličiny závislé na materiálových charateristiách E a G a na momentech setrvačnosti průřezu drátu pružiny I a I p. Ohybová tuhost je určena podle vztahu (7), smyová tuhost podle vztahu (8): H D π n E I + G I p (7)

s E H I D π n (8) Vypočtené hodnoty ohybové a smyové tuhosti se dosadí do vztahu (6) pro onstantu α, terá se dosadí již přímo do vztahu (5) pro příčnou tuhost pružiny. Výsledy výpočtu jsou uvedeny v tab.. Tab. Výsledy výpočtu příčné tuhosti pružin podle Grosse Veličina Označení Pružina A Pružina B Vztah Ohybová tuhost o [N.mm ], 9,9 9 (5) Smyová tuhost s [N],7 5 7,9 5 (6) Konstanta α [mm - ] 5,59 -,9 - () PŘÍČNÁ TUHOST - GROSS ygross [N.mm - ] 7, 85,66 ().. Výpočet příčné tuhosti podle Wahla Ve vztahu pro výpočet příčné tuhosti podle Wahla je důležitým parametrem onstanta U, jejíž hodnota je dána graficy dle štíhlostního poměru β nezatížené pružiny. Graficý průběh závislosti U f (β ), terý je uveden na obr., byl nahrazen regresním polynomem. řádu následujícího tvaru: U β,68 β +, β,6 β +,89 +,5 (9) Pro provedenou náhradu řivy regresním polynomem (9) je hodnota oeficientu spolehlivosti regrese R.9856. Lze tedy onstatovat, že náhrada je dostatečně spolehlivá a jedinou chybou je pouze vliv nepřesnosti odečtu z grafu.

y.68x +.x.6x +.89x +.5 R.9856 WAHL Polynom Obr. Určení onstanty U z grafu [] Výpočet příčné tuhosti podle Wahla je pa dán následujícím vztahem []: ywahl.6 z +.77 β Q U H z () Výsledy výpočtu jsou uvedeny v tab.. Tab. Výsledy výpočtu příčné tuhosti pružin podle Wahla Veličina Označení Pružina A Pružina B Vztah Štíhlostní poměr nezatížené pružiny β [-],5,65 (a) Štíhlostní poměr zatížené pružiny β [-],79, (b) Konstanta U U [-],65,9 (9) PŘÍČNÁ TUHOST - WAHL ywahl [N.mm - ], 95,8 ().. Výpočet příčné tuhosti podle Sparinga Výpočet příčné tuhosti podle Sparingova empiricého vztahu je stejně jao u předešlého výpočtu dle Wahla založen na určení doplňujícího parametru na záladě dané graficé závislosti. V tomto případě je vša onen parametr (označen A) závislý (viz obr. ) na dvou poměrných veličinách a a b. 5

Obr. Určení onstanty A z grafu [] Veličiny a a b jsou dány následujícími vztahy: a H z st b d D H d () Ze vztahů () je patrné, že parametr a je u dané pružiny závislý na zvolené staticé deformaci. V tomto případě byla provedena náhrada odečtených hodnot regresním polynomem, což umožňuje měnit hodnotu svislé deformace (v původním zdroji označenou jao y) bez nutnosti odečtu z grafu. Z předešlého textu je vša zřejmé, že tuto náhradu je potřeba provést pro aždou pružinu zvlášť. Tvar regresního polynomu. řádu je pro pružinu A je vyjádřen vztahem (), pro pružinu B vztahem (). A 65,7 a 66, a + 9, a 5,86 a +,599 () A,78 a +,896 a, a +, a +,9769 () Na záladě vztahu (), resp. () je stanovena hodnota veličiny A, terá se dosadí přímo do Sparingova vztahu pro výpočet příčné tuhosti daného následujícím vztahem: 6

ysparing.6 z H d A +.77 D () Výsledy výpočtu jsou uvedeny v tab.. Tab. Výsledy výpočtu příčné tuhosti pružin podle Sparinga Veličina Označení Pružina A Pružina B Vztah Veličina a a [-],, () Veličina b b [-],, () Konstanta A A [-],8,7 (), () PŘÍČNÁ TUHOST - Sparing ysparing [N.mm - ] 6,6, ().. Výpočet příčné tuhosti podle British Standard Pro výpočet příčné tuhosti podle British Standard [] je nutné nejdříve stanovit bezrozměrnou veličinu X, terá je dána vztahem: X H D Q.8 Q + H.6 z z H (5) Veličina X se po té dosadí přímo do vzorce pro výpočet příčné tuhosti podle British Standard: ybs D Q.8.8+ Q z H tg ( X ) H (6) Výsledy výpočtu jsou uvedeny v tab. 5. Tab. 5 Výsledy výpočtu příčné tuhosti pružin podle BS Veličina Označení Pružina A Pružina B Vztah Pomocná veličina X [-],7, (5) PŘÍČNÁ TUHOST - BS ybs [N.mm - ] 8, 78,98 (6).5. Výpočet příčné tuhosti podle Timošena-Ponomareva Lze se domnívat, že nejlépe podloženou metodou pro výpočet příčné tuhosti flexi-coil pružin je metoda vypočtu příčné tuhosti podle Timošena-Ponomareva. Odchyly této metody od hodnot naměřených u reálných pružin byly zjištěny 7

do %. Zjednodušený Timošeno-Ponomarevův empiricý vztah je dán následovně: ytim Pon z D ( γ ) ( H ψ d),96 +,8 D ( H,5 d) (7) V uvedeném vztahu se vysytují dvě pomocné veličiny. První pomocnou veličinou je bezrozměrná proměnná γ, terá je závislá na štíhlostním poměru zatížené pružiny. Právě podle hodnoty štíhlostního poměru se tato pomocná veličina vypočte jedním z následujících vztahů: Q d γ.57 β β.5 pro β <. 6 (8) H D z Q β z H γ.8 ( β β 6.87) pro β. 6 (9) Druhou pomocnou veličinou je onstanta ψ zohledňující způsob uložení závěrných závitů (loubové nebo tuhé uložení). Pro počítané pružiny je tato onstanta rovna hodnotě,5, terá odpovídá tuhému uložení. Výsledy výpočtu jsou uvedeny v tab. 6. Tab. 6 Výsledy výpočtu příčné tuhosti pružin podle Timošena - Ponomareva Veličina Označení Pružina A Pružina B Vztah Štíhlostní poměr nezatížené pružiny β [-],5,65 () Štíhlostní poměr zatížené pružiny β [-],758, () Konstanta ψ [-],5,5 - Konstanta (tuhé uložení onců) M [-] - Pomocná veličina při (β <,6) γ [-],67,9 (8) Pomocná veličina při (β,6) γ [-],89,6 (9) PŘÍČNÁ TUHOST (β <,6), 7,6 ytim-pon [N.mm - ] PŘÍČNÁ TUHOST (β,6) 8,8,86 (7) 8

. Analýza příčné tuhosti vybraných pružin pomocí MKP.. Vstupní model pružin Obě analyzované pružiny jsou pro MKP analýzu modelovány pouze svými činnými závity jao těleso rozdělené pomocí rovnoměrné sítě na 8-uzlové trojrozměrné prvy. Zobrazení obou pružin jao drátového modelu v daném souřadném systému je uvedeno na obr.. Obr. Modely obou pružin v daném souřadném systému.. Stanovení přesnosti popisu modelu pružin pro MKP analýzu Přesnost výsledů výpočtů MKP je vša závislá na hustotě sítě. Z toho důvodu byl proveden rozbor za účelem zjištění optimální hustoty sítě vzhledem potřebné přesnosti výsledů. Tento rozbor je založen na porovnávání výsledů svislé deformace pružiny vyvolané svislým staticým zatížením prostřednictvím MKP analýzy při různé hustotě sítě současně s výsledy analyticého výpočtu svislé deformace pružiny dle vztahu (), resp. (). Při svislém zatěžování pružin jsou spodnímu oncovému průřezu drátu ve všech uzlech předepsány nulové hodnoty všech posuvů i rotací, hornímu oncovému průřezu drátu jsou ve všech uzlech předepsány nulové hodnoty všech rotací a nulové hodnoty posuvů ve směru osy x a y. Do aždého uzlu horního oncového průřezu je dále předepsáno zatížení svislou osamělou silou orientovanou proti smyslu osy z. Hodnota síly v aždém uzlu odpovídá příslušné části celového svislého zatížení (dle počtu uzlů v průřezu). Výsledy rozboru přesnosti svislé deformace zjištěné pomocí MKP analýzy jsou uvedeny v tab. 7 a v tab. 8, de jsou v obou případech vždy v posledním sloupci uvedeny odečtené hodnoty deformace uzlů zatíženého horního oncového průřezu drátu pružiny. 9

Tab. 7 Rozbor přesnosti MKP výpočtového modelu pružina A Počet prvů na průměr drátu Počet prvů na závit Celový počet prvů Celový počet uzlů Zobrazení Svislá deformace F ZA 77 N 8 9 876 5,8 mm 6 8 67 6, mm 6 96 9 88,8 mm 8 8 88 976, mm 6 57 98 9,8 mm 6 FZA DA z A d A n E ča ( + μ) 6 77 8 9,8 ( +,) 6 8,6 mm () Tab. 8 Rozbor přesnosti MKP výpočtového modelu pružina B Počet prvů na průměr drátu Počet prvů na závit Celový počet prvů Celový počet uzlů Zobrazení Svislá deformace F ZB 686 N 8 58 7,8 mm 6 768 9,7 mm 6 96 9 7,6 mm 8 8 57 78 6, mm 6 898 5,5 mm 6 FZB DB z B d B n E čb ( + μ) 6 686 7 ( +,) 8, mm ()

Z porovnání výpočtů zjištěné svislé deformace prostřednictvím MKP analýzy pro různé hodnoty hustoty sítě je patrné, že v obou případech je odchyla mezi dvěma posledními modely menší než mm. Rozdíl mezi deformací zjištěnou pomocí posledních dvou nejpřesnějších modelů MKP analýzy (vždy poslední dva řády v tab. 7 a 8) je méně než mm. Odchyla analyticého výpočtu je sice větší (,8 mm u pružiny A a, mm u pružiny B), avša poud stanovíme v tomto případě riterium přesnosti 5 %, což odpovídá toleranci pro svislou deformaci sutečné pružiny, lze nejpřesnější z uvedených modelů považovat za dostatečně přesný. Dalším zvýšením hustoty sítě by se jistě odchyly ještě zmenšily, avša pro účely porovnání příčné tuhosti pružiny zjištěné MKP analýzou a vypočtené pomocí výše uvedených empiricých vztahů má model s uvedenou nejhustší postačující přesnost... Rozbor příčné tuhosti pružin Důležitou vlastností příčné tuhosti šroubovité pružiny je proměnlivost její hodnoty v závislosti na směru namáhání a poloze oncových průřezů. V této souvislosti je provedena MKP analýza u obou vybraných pružin pro různé směry a taé různé hodnoty příčné deformace. Vzhledem e složitosti namáhání drátu pružiny zatížené v příčném směru totiž autoři nepředpoládali lineární charateristiu. Pružina je namáhána ve dvou na sebe olmých směrech, a to v obou smyslech, přičemž jeden ze směrů je vždy rovnoběžný s rovinou horního oncového průřezu. Příčná tuhost byla u aždého směru i smyslu namáhání zjišťována pro deformace 5,,, a 6 mm. Obr. Zobrazení obou analyzovaných pružin při příčné deformaci 6 mm Spodnímu oncovému průřezu drátu jsou ve všech uzlech předepsány nulové hodnoty všech posuvů i rotací, hornímu oncovému průřezu drátu jsou ve všech uzlech předepsány nulové hodnoty všech rotací a nulová hodnota posuvu v příčném směru olmém na směr namáhání. Do všech uzlů horního oncového průřezu je dále předepsáno posunutí ve směru osy z a proti smyslu této osy o hodnotu svislé deformace 9,8 mm u pružiny A, resp. 5,5 mm u pružiny B (hodnota svislé deformace vypočtená při samotném svislém zatížení předepsanou silou viz tab. 7 a 8) a posunutí o požadovanou hodnotu příčné deformace v příslušném směru

a smyslu. Na záladě součtu reačních sil v horním oncovém průřezu je pa stanovena v jednotlivých směrech namáhání pro aždou deformaci hodnota výsledné reační síly v horním oncovém průřezu. Zjištěné zatěžovací charateristiy pro oba směry jsou pro obě pružiny uvedeny na obr. 5. 6. Pružina A. Pružina B 6.. směr x. směr y Zatížení [N].. směr y Zatížení [N] 8... -. směr x -. -8. -. -. -6. -6. -6 - - 6 -. -6 - - 6 Deformace [mm] Deformace [mm] Obr. Zatěžovací charateristiy příčného namáhání pružin zjištěné MKP analýzou Proti předpoládanému očeávání autorů je možné jednoznačně onstatovat, že příčná charateristia flexi-coil pružin je v celém svém rozsahu lineární, pouze u pružiny A je zřetelná mírná odchyla od přímy tuhosti v oblasti malých deformací. Vliv změny směru namáhání v příčné rovině má pouze za následe posunutí příčné charateristiy pružiny, což vša ve výsledu znamená i jinou hodnotu příčné reace při stejné deformaci v různém směru. Významně se tato sutečnost projevuje zejména při malých deformacích. Při porovnání obou grafů je možné si též povšimnout, že při deformaci pružiny B ve směru rovnoběžném s rovinou horního oncového průřezu drátu (a zároveň i spodního, jeliož pružina B má celý počet závitů) obdržíme charateristiu centrovanou, zatímco u pružiny A tomu ta není. Na tomto místě je důležité podotnout, že pružina A nemá celý počet závitů, nicméně do celého počtu závitů jí chybí,9 závitu. Lze jednoznačně předpoládat, že v případě celého počtu závitů pružiny A ( závitů), by její zatěžovací charateristia byla rovněž centrovaná, jao je tomu u pružiny B. Posunutí jednotlivých charateristi při zatěžování v různém směru je pa zřejmě mírou právě změny směru zatěžování pružiny. 5. Zhodnocení a porovnání výsledů výpočtů příčné tuhosti V tab. jsou pro přehlednost souhrnně uvedeny vypočtené hodnoty příčných tuhostí pro jednotlivé pružiny dle jednotlivých výše uvedených metod. Na obr. 5 jsou tyto hodnoty uvedené v tab. pro názornější porovnání zobrazeny též formou sloupcových grafů. Porovnání jednotlivých způsobů výpočtu je provedeno ta, že výsledy všech empiricých metod byly vztaženy relativně výsledům MKP analýzy.

Tab. 9 Tabelární porovnání výsledů všech použitých metod výpočtu příčné tuhosti vybraných pružin Pružina A Pružina B Metoda výpočtu Příčná tuhost [N/mm] Relativně MKP [%] Příčná tuhost [N/mm] Relativně MKP [%] Gross 7, % 85,66 7% Wahl, 9% 95,8 77% Sparing 6,6 6%, 86% BS 8, 5% 78,88 7% Timošeno- Ponomarev,67 %,86 95% MKP 7 % 55 % N/mm Porovnání vypočtených tuhostí Gross Wahl 5 Sparing BS Timošeno-Ponomarev MKP 5 5 Příčná tuhost A Příčná tuhost B Obr. 5 Graficé porovnání výsledů všech použitých metod výpočtu příčné tuhosti vybraných pružin

Z provedeného porovnání je patrné, že největší shodě došlo u pružiny B, a jedná se onrétně o shodu MKP výsledu analýzy a metody Timošena- Ponomareva, terá právě ja již bylo výše zmíněno je metodou obecně nejlépe podloženou. Naopa výsledů MKP analýzy v porovnání s výsledy empiricých metod u pružiny A jsou zcela odlišné. Je vhodné připomenout, že pružina B má na rozdíl od pružiny A celý počet závitů. Tato sutečnost vša má zřejmě vliv pouze na posunutí její charateristiy příčného zatěžování, ja již bylo uvedeno výše. Nicméně významnějším vliv zde zřejmě bude mít štíhlostní poměr pružin, terý je taé rozdílný. Lze vyslovit domněnu, že pružina B s nižším štíhlostním poměrem a tím typičtějším tvarem pro použití v seundárním vypružení olejových vozidel je právě typicým představitelem pružin, podle terých byly sestaveny ony empiricé vztahy pro výpočet příčné tuhosti flexi-coil pružin v 6. letech minulého století. Na tomto místě je tedy možné vyslovit závěr, že výpočty příčné tuhosti pružiny pomocí empiricých vztahů nejsou pro všechny druhy pružin spolehlivě použitelné. Toto tvrzení je vša možné onstatovat pouze v případě, že MKP analýza posytuje pro tento typ zatěžování pružiny sutečně spolehlivé výsledy. Sutečné ověření vša je pa možné provést pouze experimentálně. Zde je vša nutné podotnout, že reálná pružina je navíc opatřena ještě závěrnými závity jejichž tvar a poloha může mít rovněž vliv na hodnotu příčné tuhosti. V souvislosti s další analýzou příčné tuhosti flexi-coil pružin, týající se zejména jejich stability při příčném zatěžování, budou autoři dále ve studiu této problematiy poračovat ve formě přesnější MKP analýzy se zahrnutím závěrných závitů pružiny a ontatu jejich dosedacích ploch za účelem důladné teoreticé přípravy na experimentální analýzu příčné poddajnosti reálných flexi-coil pružin. Literatura [] IZER, J., JANDA, J., MARUNA, Z., ZDRŮBEK, S. Kolejové vozy. Bratislava: Alfa, 986. 8 s. ISBN 6-87-8. [] MOHYLA, Miloslav. Nové poznaty o příčné tuhosti šroubových pružin. Technicé zprávy VÚKV, 98, roč., č. 6, s. 5-5. Příspěve vznil za podpory projetu MŠMT M59 Výzumné centrum olejových vozidel. Pardubice, září Letoroval: Ing. Pavel Janouše VUZ, a.s.