TEHNIKÁ UNIVERZIT V IERI aklta mechatoniky infomatiky a meziobooých tdií ERIKÁ TEORIE ŘÍZENÍ Učební tet Ing. et Mázek h.. ibeec Mateiál znikl ámci pojekt ES (Z..7/../7.47 Reflee požadaků půmyl na ýk oblati atomatického řízení a měření KTERÝ E SOUINNOVÁN EVROSKÝM SOIÁNÍM ONEM STÁTNÍM ROZOČTEM ČESKÉ REUIKY
lgebaická teoie řízení OYNOMY. n n kde je z - dále platí R R R -R kde jo polynomy nejětší polečný dělitel polynomů nejmenší polečný náobek polynomů a RR da páy neodělných polynomů R R kde R R - polynomiální (nimodální matice kteá má kont. nenloý deteminant říklad: mějme náledjící polynomy ( ( ( ( 3 nejětší polečný dělitel a nejmenší polečný náobek pak je ( a b ( ( ( 3 4 olynom je tilní (aymptoticky jetliže řada konegje k nle tzn. lim ( k k
lgebaická teoie řízení ř. Řešme diofanticko onici OYNOMIÁNÍ ROVNIE -- 3 - -4 3-4 4 5 - R - R- /- 3-4 obecné řešení je M/RH- 3-4 (H N/RH(-(- 3-4 (- H H liboolný polynom. Stilizjící egláto ř. Stejnoměný moto cizím bzením řízeným podem do koty má přeno. diketizoaný přeno je e ta ( k po jednodchot ažjme k/ T g( ( o zanedbatelno dob ýpočt akční eličiny egláto je pak přeno ( T g( ( bychom nemeli mít omezjící podmínky na egláto přeneme zpoždění do ytém. ak řešíme polynomiální onici tomto ta ( T X ( Y řešením ýše edené onice je X.75 Y/T (.5-.5 Y f X f N M 3
lgebaická teoie řízení kde f liboolný tilní přeno X Y - řešení polynomiální matice T ( ( (.5.5 ( T.75 ( S 3 S N M říklad. Modální řízení - náh egláto R tak y ytém měl zolený chaakteitický polynom Uažjme předchozí ytém Nechť chceme čit přeno egláto R tak y zpětnoazební obod měl nloé póly.haakteitický polynom zpětnoazebního obod je dán ap bp. Stpeň chaakteitického polynom je omezen ztahem zolíme např. i4 ni>n a -3 T ( z z z M z 4 N z ( po peiod T je pak přeno R N M.5 3.5z.5 z z 4
lgebaická teoie řízení 3. řizpůobení ytém zoleném model oblém je možné yětlit i na lineáním pojitém ytém o egláto jedním tpněm olnoti ( ( m( ( ( ( ( ( Regláto děma tpni olnoti ( Stpeň olitelného polynom X je dán ztahem ( m( 3 ( n >n a -n f -n b b- jetliže X je nltého tpně pak neplňje podmínk yzoti egláto poto olíme XX X M N X ( 3 3 ( M ( N ( ( X X olime M ( N ( X 4 pak ( po X 4 je N poze pního tpně. řeno egláto je ( 8 N M R X 4 3 ( R M 4 ( 4. Konečný počet koků eglace po neměřeno poch Mějme eglační obod kde ((-(-5 (53 - (-(-5 53 - - M N 5
lgebaická teoie řízení (.5.5 ( M M (.5.3 ( N N N M M.454 N.4777.7954.454.7954 (.4777 e M N (.4777 (.454.7954 6
lgebaická teoie řízení 5. KVRTIKY OTIMÁNÍ ISKRÉTNÍ ŘÍZENÍ ( RO SYSTÉMY S ENÍM VSTUEM ENÍM VÝSTUEM - SISO 5.. S OŘENÝM REUÁTOREM a Modení přítp ři kadaticky optimálním řízení hledáme optimální akční eličin. Stkta řízení četně označení eličin je edena na obázk. Minimalizjeme kadatické kitéim e ta ob. 5.. Stkta dopředného řízení ek κk ee k S w e w y κ κ κ κ (5..- Za předpoklad že je tilní polynom kteý zíkáme pektální faktoizací podle ýše popané onice. Sečteme členy α ( α (doplnění na úplný čteec αα κ α oplníme na úplný čteec oazením α do předchozí onice dotaneme Racionálně lomená fnkce α je zaedena po přehlednější úpa boltní minimm dotaneme když je řešením onice α V tomto případě řízení začíná mín nekonečn (není kazální tzn. že hodnota ýtp záií na minlých i bdocích hodnotách tp. 7
lgebaická teoie řízení boltní minimm při nekazálním řízení je κ jo neodělné polynomy Kazální řízení mí být yjádřeno jako podíl do polynomů kladných mocninách. oto je ntná dekompozice (přeedení acionálně lomené fnkce na polynomy onici α čímž dotaneme onici Y X X Y Tato onice neznámými polynomy X Y nemá jediné řešení. ak kiteim je ono X Y X Y X X X X X X Y Řízení e objeí poze poměnné. Kiteim bde minimální pokd nekazální čát ozklad bde čae nla nloá (tj. oltní člen polynom X bde oen nle (X a pak X/. Y X X X okd pak hodnota kitéia je minimální a opt je pak Y Y opt (5..- Minimální hodnota kiteia při kazálním řízení je X X 8
lgebaická teoie řízení e w y Y Y Y ( Y b Sočaný přítp na TU ibeci a b κ c a a b b κ c a κ c aa κ cc a b b b a b b b opt (5..-3 Záě: by eglační odchylka e byla tilní mí být tilní i w (polynom ep. mí být tilní. ále mí být při řízení oládáním tilní i řízený ytém (polynom a tilní. ožadaek na tilit ytém je podtatným omezením přímoazební tkty řízení. 5.. S REUÁTOREM Mějme chéma zobecněného model zpětnoazebního řízení ložený z egláto děma tpni olnoti a otao podle obázk. Ob. 5.. Model eglátoem jedním tpněm olnoti ob. 5.. Model eglátoem děma tpni olnoti Vyjádříme nejpe acionálně lomené fnkce potřebné po ýpočet a minimalizaci kadatického fnkcionál (y e. 9
lgebaická teoie řízení Odození acionálně lomené fnkce ýtp y y Q Q Q e ( w y Q Q y Q y Q Q y (5..- ( Q Q y S Q y y S Q y y Q S y S y (5..- ( Q Odození acionálně lomené fnkce tp Q Q e ( w y Q Q w Q Q Q Q Q (5..-3 ( Q S S Q S Q y Q S S Q ( Q S (5..-4 ( Q Odození acionálně lomené fnkce eglační odchylky e Q e (5..-5 ( Q S e w y (5..-6 ( Q d a Reglační odchylka e je dána ztahem ew-y. S S y e S kde Q je chaakteitický polynom celého zpětnoazebního ytém e k k κ k S ee κ S S S S S κ κ S S
lgebaická teoie řízení ( n kde je tilní čát polynom - je netilní čát polynom je fakto polynom (kořeny leží na jednotkoé kžnici je ecipoký polynom k netilní čáti polynom n je tpeň netilní čáti polynom S S α α S S ( α( κ α S boltní minimm dotaneme když což ede na nekazální egláto. ntné opět poét dekompozici. α e idět že je Y X X Y o doazení do kitéia S Y S Y (5..-7 Tím jme zajitili kazalit egláto (kladné mocniny X X κ Q S Y X Y o SY pedochaakteitický polynom zpětnoazebního obod yplýá z minimalizace kiteia při kazálním egláto yplýá z dekompozice kteá zajišťje kazalit egláto Vyločíme body na jednotkoé kžnici. Q X S (5..-8 Vyřešením ýše popaných diofantických onic zíkáme hledané polynomy Q S epektie M N.
lgebaická teoie řízení S e S y S opt H T H T e S e W ad b e ( (5..-9 Zaedeme fnkci ( takoo y byla tilní lineání kombinací e( a příůtků ( ( ty y též byly tilní po tilní ( a y přeno ( byl fnkcí ( a ealizoatelný. ále platí že acionální fnkci můžeme yjádřit jako očet konečného polynom a yze acionální fnkce. ak polynom yjadřjící neolinitelno čát obaz e( řízením ( ( ( ( ( ( a z toho yjádříme ( ( ( ( e Hodnota kadatického kiteia ( κ opt κ ( opt opt opt ( (5..- (
3 lgebaická teoie řízení dále jo možné úpay H Q ( κ yjádření mocniny je podmíněno po < < H Y Z Y Z H Z Q R R Z Q Y Z Q R R M N R opt opt ( (5..- říklad: ad b -.5 -.5 -.5 - o kapa polynom.48-.77.356 Řešení diofantické onice: (- Zíkáme potřebné polynomy podle ýše popaného potp Q-.75 H-.59.4898-.57 Z.776 Y-.398.3 R.763-.88 řeno egláto N/M.8565-.3565/.795 (optimální egláto po žádano hodnot w w 37675
lgebaická teoie řízení y ocha (jednotkoý kok d 6749 Oěření fnkce dikétního egláto na pojité otaě přenoem Skok na žádano hodnot 693 S ( 693 4
lgebaická teoie řízení Vyonání pochy Oěření fnkce dikétního egláto na pojité otaě ůznými hodnotami zeílení při kok na žádano hodnot w. M QSN ( e Vyřešením diofantické onice zíkáme hledané polynomy N a M řeno egláto N/MQ/.84-.35/.7 Q ad a S Kontola Q (-.5.5.7.5(84-.35.5(48-77356 (-.5.5.7.7-.6375 -.4.75.7-.5.35 7-.5.35 w 936 5
lgebaická teoie řízení y d 976 Oěření fnkce dikétního egláto na pojité otaě ůznými hodnotami zeílení při kok na žádano hodnot w. 6
lgebaická teoie řízení Záě: Modení přítp náh egláto zajišťjící kadaticky optimální dikétní řízení e liší od námi pblikoaného e chémat eglačního obod. Modení přítp e opíá o zobecněné chéma eglačního obod čímž je odtaněna nelineaita ( e jmenoateli obaz eglační odchylky. iteata: MORÁK Oald. Teoie atomatického řízení II (ičení. Ediční třediko VŠST ibeec. yd. 99.. 7 ŠTEH an HVEN Vladimí. Modení teoie řízení Vydaateltí ČVUT. yd.. 954. 97 KUČER Vladimí: icete linea contol cademia aha. yd. anglické 979.. 8 MORÁK Oald. Základy čílicoého řízení Stdijní mateiály Wold Wide Web. http://www.fm.lib.cz/ktb/fm/t/ta_zc.pdf MORÁK Oald. Z tanfomace Stdijní mateiály Wold Wide Web. http://www.fm.lib.cz/ktb/fm/t/c_p.pdf MORÁK Oald. Úod do dikétní paametické identifikace Stdijní mateiály Wold Wide Web. http://www.fm.lib.cz/ktb/fm/t/ta_did.pdf oděkoání: Tento tet znikl za podpoy pojekt ES Z..7/../7.47 Reflee požadaků půmyl na ýk oblati atomatického řízení a měření. 7