Příklady k přednášce 2 - Spojité modely
|
|
- Jitka Zemanová
- před 5 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 Příklady k přednášce - Spojité modely Michael Šebek Atomatické řízení 8 Evropký ociální fond Praha & EU: Invetjeme do vaší bdocnoti 9-6-8
2 Atomatické řízení - Kybernetika a robotika Řešení tavové rovnice v čaové oblati xt () () (), (), () () 8 6 xt + t x t t Při řešení v čaové oblati najdeme vlatní číla ( I A) p ( ) det , 4 a předpokládáme tavovo matici přechod ve tvar t 4t t 4t Ke + Ke Ke 3 + Ke 4 Φ() t t 4t t 4t K5e + K6e K7e + K8e Kontanty najdeme ze známých vlatnotí matice Φ() I K+ K, K3+ K4, K5 + K6, K7 + K8 Φ () A K 4K, K 4K, K 4K 8, K 4K takže t 4t t 4t e e e e Φ() t t 4t t 4t 4e + 4e e + e Michael Šebek ARI-Pr--5
3 Řešení tavové rovnice v čaové oblati Atomatické řízení - Kybernetika a robotika a odezva na počáteční tav je Φ( t) x() t 4t e e t 4t 4e + 4e ( tτ) 4( tτ) e e ( tτ) 4( tτ) e + e dále Φ( t τ ) B a z toho t t t 4 4 t τ t τ t 4t e e dτ e e dτ e + e Φ( t τ) B( τ) dτ t t t τ 4t 4τ t 4t e e dτ + e e dτ + e e Takže celková odezva je 7 t 7 4t t + e e x() t Φ() t x() + Φ( t τ) B( τ) dτ 7 t 7 4t e + e Michael Šebek ARI-Pr--5 3
4 Řešení Laplaceovo tranformací Atomatické řízení - Kybernetika a robotika xt () xt () + t (), x(), t () () t ( I A) ( I A) Obraz odezvy je celkem ( ) ( ) + + x() ( I A) B() ( I A) x a čaový průběh odezvy je tejný jako v minlém řešení ( ) ( 6 8) ( + )( + 4) 8 4( + ) 8( + 4) ( + )( + 4) ( + ) ( + 4) Michael Šebek ARI-Pr--5 4
5 Řešení Laplaceovo tranformací Atomatické řízení - Kybernetika a robotika Dále: z rozklad na parciální zlomky ( + ) ( + 4) ( I A) je zřejmé, že to je obraz tavové matice přechod >> Fiinv([ ; ]-A) Fi ^ >> xfi*([;]+[;/]) x ^ ^ + ^3 >> xpartial(x()) x -7/8 7/4 / >> xpartial(x()) x 7/ -7/ >> Fipartial(Fi(,)) Fi Michael Šebek ARI-Pr--5 5
6 Příklad: Směrování atelit Atomatické řízení - Kybernetika a robotika IO model Stavový model x + x y x [ ] Charakteritický polynom d J ϕ Fd C ϕ ωω, F c J ϕ d x, Fc, y ϕ ω J p ( ) det det a řešení tavových rovnic L-tranformací x() () () + x y () () + x() [ ] Michael Šebek ARI-Pr--5 6
7 Atomatické řízení - Kybernetika a robotika Stavová matice přechod Φ () k k Řešení v čaové oblati pro k k I () l l Φ l l Příklad: Směrování atelit det( I A) t () t t τ Φ Φ( t τ ) x, t () () t t ( t τ) dτ t t τ τ τ t Φ ( t) x(), Φ( t ) B( ) d dτ t A () k + lt k + lt Φ t k + lt k + lt t + xt () t t yt () + Michael Šebek ARI-Pr--5 7
8 Příklad: Divný ytém Atomatické řízení - Kybernetika a robotika Blokově a rovnicemi x y x x + x x x x x x y x tavový model výpočet řešení (Laplace) x +, [ ] x y x + + x() () () + x () + () ( + )( ) ( + )( ) + x Michael Šebek ARI-Pr--5 8
9 Příklad: Divný ytém Atomatické řízení - Kybernetika a robotika a výtp je y () () + [ + ] x() ( + )( ) ( + )( ) () + x() + x() ( + ) ( + ) ( ) přeno odezva na počáteční tav charakteritický polynom v. jmenovatel přeno: p ( ) ( + ) ( ) d ( ) ( + ) Odezva na kok ilně závií na počátečním tav nlový a nenlový počáteční tav x ( ) x ( ) x ( ) x ( ). Michael Šebek ARI-Pr--5 9
10 Příklad: Jiný divný ytém Atomatické řízení - Kybernetika a robotika Kakáda (mód je odblokován vtpní nlo) přeno je. řád a tabilní v x x y G () + + x ale úplný tavový popi je. řád: pro x x + x x x y + x [ ] [ ] x yx, v charakteritický polynom je p( ) det( I A) ( + )( ) Michael Šebek ARI-Pr--5
11 Atomatické řízení - Kybernetika a robotika Příklad: Kanonické formy řiditelnoti Kanonická forma řiditelnoti (někdy také forma fázových proměnných) y ( ) ( ) x x y 7 x 4 [ ] jiná varianta kanonická formy řiditelnoti - Controller Canonical Form Y() U( ) x x x x 3 y [ 7 ] x 3 x 3 x x y x x+ y x Michael Šebek ARI-Pr--5
12 Atomatické řízení - Kybernetika a robotika Příklad: Kanonické formy pozorovatelnoti Kanonická forma pozorovatelnoti - Oberver Canonical Form Y() 3 U() x 6 x+ 7 4 y x [ ] 7 x x x x 3 y 7 x 3 x 3 x x y Michael Šebek ARI-Pr x 6 x+ 7 9 y x [ ]
13 Atomatické řízení - Kybernetika a robotika Přeno Příklad: Kakádní realizace y ( ) 4 4 F () 3 ( ) ( + )( + 3)( + 4) Můžeme realizovat jako kakád (érii) bytémů. řád 4 ( + ) ( + 3) ( + 4) () 4 ( + ) x () x () x () 3 ( + 3) ( + 4) y () 4 x 3 x 3 x x x x y x 3 x+ 4 y x [ ] Michael Šebek ARI-Pr--5 3
14 Atomatické řízení - Kybernetika a robotika Přeno Můžeme realizovat jako paralelní pojení bytémů. řád 4 x x x x 3 x 3 x 3 4 Příklad: Paralelní realizace y ( ) 4 4 F () 3 ( ) ( + )( + 3)( + 4) y ( + ) 4 ( + 3) ( + 4) 4 + ( + ) ( + 3) ( + 4) rozklad na parciální zlomky x 3 x+ 4 4 y x [ ] jo-li (faktory) póly náobnoti, je tavová matice diagonální (viz Jordanův kanonický tvar matice) Michael Šebek ARI-Pr--5 4 Xx () x () X () xx () 3
15 Atomatické řízení - Kybernetika a robotika Přeno Příklad: Paralelní realizace - vícenáobné póly y ( ) ( + 3) F () + ( ) ( + ) ( + ) ( + ) ( + ) ( + ) Můžeme realizovat jako paralelní pojení bytémů max.. řád x x x 3 x 3 ( + ) jo-li (faktory) póly náobnoti větší než, nemí být tavová matice diagonální, ale může být blokově diagonální x x y Jordanův tvar matice může být ložený z bloků větší velikoti než ( + ) ( + ) x x+ y x [ ] Michael Šebek ARI-Pr--8 5
16 Výpočet tranformační matice Atomatické řízení - Kybernetika a robotika Někdy dány oba modely (ve tarých a nových ořadnicích) a hledáme přímo z tranformačních vztahů to vypočítat nejde? Anew T AoldTB, new T Bold, Cnew ColdT Tranformjme tedy matici C B A B A B n new new new new new new ( T A T) ( T A T) n T Bold T B old old T B old old T T n Bold AoldBold Aold Bold C old T a z toho je T C C pokd inverze exitje Obdobně ze vztah (pokd inverze exitje) T O Neboť platí kde obě matice jo tvar new old O O old new new O T old Ci i i O CA i n- CA i i i new, old Michael Šebek ARI--5 6
17 Odezva na vtp a počáteční podmínky Atomatické řízení - Kybernetika a robotika Odezva na vtpní ignál a počáteční tav je celkem [ Cadj( I A) B + det( I A) D] Cadj( I Ax ) b () n ( ) cx () y () () + + det( IA) det( IA) a () d() a () kde a () je charakteritický polynom ytém d () je jmenovatel L-obraz vtpního ignál výtp můžeme rozložit na parciální zlomky / módy takto y () Složky přílšné kořenům a () Složky přílšné kořenům d () + + ložky přílšné kořenům a () přirozená odezva ncená odezva odezva na poč. tav Michael Šebek ARI--5 7
18 Atomatické řízení - Kybernetika a robotika Ryzí racionální fnkci n () d (), kde d () má kořeny reálné a, m i j-náobné reálné komplexní ck σk ± jωk a n l -náobné komplexní cl σl ± jωl a tedy polynom d () má rozklad na kořenové činitele nejprve rozložíme na parciální zlomky Při zpětné tranformaci každý zlomek zpětně tranformjeme zvlášť dle vzorců at, ( ai ) e 3 ωk σt ωk σt e in ω kt, e ( inω ktωktcoωkt) ( + σk) + ωk (( + σk) + ωk) m j bt + σ σt ω ( ) t t e, k + σ σ e co ω, m te inω j ( b ) ( m kt kt )! ( + σ ) + ω (( + σ ) + ω ) Jednotlivým ložkám e říká módy Požití parciálních zlomků při výpočt odezvy m j ( ai ) ( ) ( ( + σ ) + ωk )) ( σl + ωl )) d () b j k ( + ) n () α βj β β mj j i j m j d ( ) ( a ) ( b ) ( ) i j bj ( b ) j γk + δk ε l + ϕ l εl + ϕl εnl + ϕ l nl l n l ( + σk ) + ωk ( + σl) + ωl (( + σl) + ωl )) (( + σl) + ωl )) j j k k k k n l b j Michael Šebek ARI-Pr--5 8
19 Atomatické řízení - Kybernetika a robotika x 5 x x 3 x + x x ( ) y [ 3 ] [ ] ( ) +, x x obecná odezva + 3 y ( ) ( ) x( ) + x( ) odezva na jednotkový kok a počáteční tav () Michael Šebek ncená + y () y () yt () + e e 5 5 Příklad: Odezva na vtp i počáteční tav přirozená 5t 3t det( I A) ( + 5)( + 3) x ( ), x ( ) volný pád ARI-Pr--5 ncená na vtp přirozená volný pád celková t:.:5; nc.4*one(,length(t)); pri.6*exp(-5*t);vol-exp(-3*t); plot(t,nc,t,pri,t,vol,t,nc+pri,... t,nc+pri+vol) 9
20 Příklad -pokračování Atomatické řízení - Kybernetika a robotika U() G () x ( ) Y() det( I A) ( + 5)( + 3) Im 5 3 Re + 3 x ( ) pól vtpního ignál generje nceno odezv pól přeno generje přirozeno odezv pól charakteritického polynom 5 35 Y() + generje volno odezv reálný pól -a generje exponenciální odezv e -ta 3 5t 3t nly a póly kombinjí vliv módů yt () e + e 5 5 ncená přirozená volný pád Michael Šebek ARI-Pr--5
21 Příklad: Odhad odezvy z polohy pólů Atomatické řízení - Kybernetika a robotika Když ná např. zajímá odezva na kok ytém () ( + 3) y () ( + )( + 4)( + 5) můžeme ji jednodše odhadnot tak, že naznačíme rozklad na parciální zlomky K K K3 K4 y () ( + ) ( + 4) ( + 5) zřejmě vtpní pól generje vynceno kokovo odezv a póly přeno generjí jednotlivé exponenciální ložky přirozené odezvy zpětno L-tranformací dotaneme yt () K + Ke + Ke + Ke t 4t 5t 3 4 přetože výpočet kontant není ložitý, kontanty ná čato nezajímají mnohdy tačí vědět, které ložky odezva obahje Michael Šebek ARI-Pr--5
22 Atomatické řízení - Kybernetika a robotika Ještě k modelům: změna měřítka amplitdy Změna měřítka amplitdy (škálování) zjednodšje analýz i návrh Odhadneme maximální očekávané/povolené hodnoty změn ignálů v pracovním režim Vyjdeme z odchylkového model (přeno) y G + Gd d vzniklého třeba lineární aproximací d a velikot každé veličin tlačíme pod vydělením, d maximální odhadnto nebo povoleno odchylko max maxd y míme škálovat polečně e, r neboť mají tejné jednotky a jo vázány e r y Můžeme požít r nebo čatěji e y r e max max : y, r, e maxe maxe maxe Potp formalizjeme požitím faktorů D ed, D, dd, r e max max d max r max a doazením dotaneme e e d d, Někdy k tom ještě zavedeme škálovano referenci. y D G D + D G D d e yr r r r D r r D r D D r max r e r e Pak je dt (), rt () a pomocí t () iljeme o et () Michael Šebek ARI-Pr--6
23 Příklad: Vytápění pokoje Atomatické řízení - Kybernetika a robotika energetická rovnováha: změna energie v pokoji přítok energie (zanedbáváme akmlaci ve těnách) d dt tepelná kapacita pokoje [J/K] změna tepla vnitř ( C T ) Q + α ( T T ) V teplota pokoje [K] přívod tepla přívod tepla [W] ztráty do okolí 5 zavedeme τ C V α a děláme LT pro nlovo pp. O koeficient přetp tepla [W/K] T() α Q TO τ+ + τ+. T() Q+ T + + venkovní teplota [K] T ( ) [ J K] Michael Šebek ARI-Pr--5 3 O α W K C kj K V, p CV [ ] T K [ ] QW T [ ] O K α [ W K] pracovní bod Qp kw, Tp TO, p K odchylkový model T T Tˆ, d C T Q α T V α + + dt O
24 Příklad: Vytápění pokoje Atomatické řízení - Kybernetika a robotika Zavedeme relativní bezrozměrné proměnné T () Q () T y () ; () ; d () T Q T kde ze zadání operacemi dotaneme max max O,max O () T K; Q kw ; T K max max O,max T() Q T Q T τ+ α T Q τ+ T T max O,max + max max max max O,max Q T y + d τ+ α T τ+ T max O,max () () () max y () () + d () + + max T O Michael Šebek ARI-Pr--5 4
25 Atomatické řízení - Kybernetika a robotika Ještě k modelům: změna čaového měřítka Ča většino měříme v ekndách, ale počítání velmi rychlými nebo pomalými ytémy může být špatně podmíněné a nmerický výpočet může být chybný Je proto žitečné mět změnit jednotk ča. Například mezi čaem t [] a čaem τ[m] platí vztah τ kt kde k Dopad na derivování je dx dx dx d x d x x k, x k, dt d( τ k) dτ dt dτ a tak e tavová rovnice tranformje na x () t Ax() t + B() t x ( τ ) Ax( ) B( ) k τ + k τ Z ní v měřítk ča vychází přeno τ ( ) ( ) ( ) g ( ) I A B I A k B k kia B τ τ τ τ τ τ Tedy je k τ což odpovídá, neboť proměnná v LT má rozměr /ča Dále platí pro čaové kontanty T kt τ Michael Šebek ARI-Pr--6 5
26 Příklad: změna čaového měřítka Atomatické řízení - Kybernetika a robotika Rychlý ocilátor přirozeno frekvencí ω n 5. rad (ai khz) 6 ϕ( t) + 5. ϕ( t) t ( ) Změníme-li jednotk ča ze ekndy na milieknd ( τ t ) Pak a rovnice v miliekndách je 6 ( ) ( ) d ϕτ ϕ t dτ d ϕτ ( ) + 5 ϕτ ( ) ( τ) dτ Z první rovnice dotaneme přeno, ze drhé y 6 y () () + 5. Z porovnání je zřejmé, že τ Změna ve tavovém model (pro x ϕ, x ϕ ) je ( τ ) () + 5 τ x () t x() t t () 6 x() t 5 x() t + x ( τ). x( τ) ( τ ) 3 x( τ) + 5 x( τ) g () g ( ) τ τ Michael Šebek ARI-Pr--5 6
27 Atomatické řízení - Kybernetika a robotika Spojité modely v Matlab objekty a fnkce Control Sytem Toolbox (lti), tf, zpk tep, imple, initial, Polynomial Tbx: df, (ldf, rdf, mdf), abcd, pol nm, den Symbolic MathTbx: ymbolické výpočty laplace, ilaplace Michael Šebek ARI-Pr--5 7
Příklady k přednášce 2 - Spojité modely
Příklady k přednášce - Spojité modely Michael Šebek Atomatické řízení 5 Evropký ociální fond Praha & EU: Invetjeme do vaší bdocnoti -5-5 Atomatické řízení - Kybernetika a robotika Řešení tavové rovnice
VíceZÁKLADY AUTOMATICKÉHO ŘÍZENÍ
VYSOKÁ ŠKOLA BÁŇSKÁ TECHNICKÁ UNIVERZITA OSTRAVA FAKULTA STROJNÍ ZÁKLADY AUTOMATICKÉHO ŘÍZENÍ týden doc Ing Renata WAGNEROVÁ, PhD Otrava 013 doc Ing Renata WAGNEROVÁ, PhD Vyoká škola báňká Technická univerzita
Více25 Dopravní zpoždění. Michael Šebek Automatické řízení 2013 21-4-13
5 Dopravní zpoždění Michael Šebek Automatické řízení 3-4-3 Dopravní zpoždění (Time delay, tranport delay, dead time, delay-differential ytem) V reálných ytémech e čato vykytuje dopravní zpoždění yt ( )
Více7 - Ustálený stav kmitavý a nekmitavý, sledování a zadržení poruchy
7 - Utálený tav kmitavý a nekmitavý, ledování a zadržení poruchy Michael Šebek Automatické řízení 018 31-3-18 Automatické řízení - ybernetika a robotika zeílení ytému na frekvenci ω je G( jω) - viz amplitudový
VícePříklady k přednášce 20 - Číslicové řízení
Příklady k přednášce 0 - Čílicové řízení Micael Šebek Automatické řízení 07-4- Vzorkování: vzta mezi a z pro komplexní póly Spojitý ignál má Laplaceův obraz póly v, Dikrétní ignál má z-obraz αt yt ( )
VícePříklady k přednášce 16 - Pozorovatel a výstupní ZV
Příklady k přednášce 6 - Pozorovatel a výtupní ZV Michael Šebek Automatické řízení 08 6-4-8 Příklad: Pozorovatel pro kyvadlo naivně pro kyvadlo frekvencí ω 0 a rovnicemi x 0 x 0 navrhneme pozorovatel dvojitým
Více( LEVEL 3 Laplaceova transformace jako nástroj řešení lineárních diferenciálních rovnic. )
( LEVEL 3 Laplaceova tranformace jako nátroj řešení lineárních diferenciálních rovnic. ) Podívejme e tentokrát na dynamiku pracovní edačky řidiče prizmatem matematiky aneb trocha teorie jitě nikomu neuškodí...
Více21 Diskrétní modely spojitých systémů
21 Dikrétní modely pojitýc ytémů Micael Šebek Automatické řízení 2015 29-4-15 Metoda emulace Automatické řízení - Kybernetika a robotika pojitý regulátor nazývá e také aproximace, dikrétní ekvivalent,
VíceInverzní Laplaceova transformace
Inverzní Laplaceova transformace Modelování systémů a procesů (MSP) Bohumil Kovář, Jan Přikryl, Miroslav Vlček Ústav aplikované matematiky ČVUT v Praze, Fakulta dopravní 6. přednáška MSP čtvrtek 30. března
VícePříklady k přednášce 25 Dopravní zpoždění
Příklady k přednášce 25 Dopravní zpoždění Michael Šebek Automatické řízení 23 2-4-3 L { } Dopravní zpoždění v Laplaceově tranformaci v ( + τ ) { f t } { } t f(): t f() t = t
VícePříklady k přednášce 25 Dopravní zpoždění
Příklady k přednášce 25 Dopravní zpoždění Michael Šebek Automatické řízení 28 5-5-8 L { } Dopravní zpoždění v Laplaceově tranformaci v ( + τ ) { } t f(): t f() t = t
VíceKapitola 7: Neurčitý integrál. 1/14
Kapitola 7: Neurčitý integrál. 1/14 Neurčitý integrál 2/14 Definice: Necht f je funkce definovaná na intervalu I. Funkci F definovanou na intervalu I, pro kterou platí F (x) = f (x) x I nazýváme primitivní
VíceDoplňky k přednášce 23 Diskrétní systémy Diskrétní frekvenční charakteristiky
Doplňky k přednášce 3 Dikrétní ytémy Dikrétní frekvenční charakteritiky Michael Šebek Automatické řízení 011-1-11 Automatické řízení - Kybernetika a robotika e jω Matematika: Komplexní exponenciála = coω+
VíceSIGNÁLY A SOUSTAVY, SIGNÁLY A SYSTÉMY
SIGNÁLY A SOUSTAVY, SIGNÁLY A SYSTÉMY TEMATICKÉ OKRUHY Signály se spojitým časem Základní signály se spojitým časem (základní spojité signály) Jednotkový skok σ (t), jednotkový impuls (Diracův impuls)
Více8 - Geometrické místo kořenů aneb Root Locus
8 - Geometrické míto kořenů aneb Root Locu Michael Šebek Automatické řízení 206 0-3-6 Metoda Root Locu Walter R. Evan, AIEE Tranaction, 948 Metoda root locu neboli geometrické míto kořenů vykreluje polohu
Více4 - Vlastnosti systému: Stabilita, převrácená odezva, řiditelnost a pozorovatelnost
4 - Vlastnosti systému: Stabilita, převrácená odezva, řiditelnost a pozorovatelnost Michael Šebek Automatické řízení 25 25-2-5 Stabilita obecně Automatické řízení - Kybernetika a robotika Stabilita obecně
VíceAutomatizace Úloha č.1. Identifikace regulované soustavy Strejcovou metodou
Automatizace Úloha č. Identifikace regulované outavy Strejcovou metodou Petr Luzar 008/009 Zadání. Zapojte regulační obvod reálnou tepelnou outavou a eznamte e monitorovacím a řídicím programovým ytémem
VícePříklady k přednášce 6 - Spojování a struktury
Příklad k přednášce 6 - Spojování a truktur Michael Šebek Automatické řízení 07 7-3-8 Automatické řízení - Kbernetika a robotika Zpětnovazební pojení tavových modelů Odvození obecného případu (značení
VíceKapitola 7: Integrál.
Kapitola 7: Integrál. Neurčitý integrál. Definice: Necht f je funkce definovaná na intervalu I. Funkci F definovanou na intervalu I, pro kterou platí F (x) = f(x) x I nazýváme primitivní funkcí k funkci
VícePříklady k přednášce 19 - Polynomiální metody
Příklady k přednášce 19 - Polynomiální metody Michael Šebek Automatické řízení 013 7-4-14 Opakování: Dělení polynomů: e zbytkem a bez Polynomy tvoří okruh, ale ne těleo (Okruh tvoří také celá číla, těleo
VíceKapitola 7: Integrál. 1/17
Kapitola 7: Integrál. 1/17 Neurčitý integrál - Motivační příklad 2/17 Příklad: Necht se bod pohybuje po přímce rychlostí a) v(t) = 3 [m/s] (rovnoměrný přímočarý pohyb), b) v(t) = 2t [m/s] (rovnoměrně zrychlený
Víces požadovaným výstupem w(t), a podle této informace generuje akční zásah u(t) do
Vážení zákazníci, dovolujeme i Vá upozornit, že na tuto ukázku knihy e vztahují autorká práva, tzv. copyright. To znamená, že ukázka má loužit výhradnì pro oobní potøebu potenciálního kupujícího (aby ètenáø
VíceProgram SMP pro kombinované studium
Zadání příkladů k procvičení na seminář Program SMP pro kombinované studium Nejdůležitější typy příkladů - minimum znalostí před zkouškovou písemkou 1) Matice 1. Pro matice 1 0 2 1 0 3 B = 7 3 4 4 2 0
Více1 Polynomiální interpolace
Polynomiální interpolace. Metoda neurčitých koeficientů Příklad.. Nalezněte polynom p co nejmenšího stupně, pro který platí p() = 0, p(2) =, p( ) = 6. Řešení. Polynom hledáme metodou neurčitých koeficientů,
Vícec ÚM FSI VUT v Brně 20. srpna 2007
20. srpna 2007 1. 3 arctg x 1+x 2 dx 2. (x 2 + 2x + 17)e x dx 3. 1 x 3 x dx Vypočtěte integrál: 3 arctg x 1 + x 2 dx Příklad 1. Řešení: Použijeme substituci: arctg x = t 3 arctg x dx = 1 dx = dt 1+x 2
VíceÚvod. Integrování je inverzní proces k derivování Máme zderivovanou funkci a integrací získáme původní funkci kterou jsme derivovali
NEURČITÝ INTEGRÁL Úvod Integrování je inverzní proces k derivování Máme zderivovanou funkci a integrací získáme původní funkci kterou jsme derivovali Umět pracovat s integrálním počtem Je důležité pro
Víceteorie elektronických obvodů Jiří Petržela obvodové funkce
Jiří Petržela obvod jako dvojbran dvojbranem rozumíme elektronický obvod mající dvě brány (vstupní a výstupní) dvojbranem může být zesilovač, pasivní i aktivní filtr, tranzistor v některém zapojení, přenosový
VíceX31EO2 - Elektrické obvody 2. Kmitočtové charakteristiky
X3EO - Elektrické obvody Kmitočtové charakteristiky Doc. Ing. Petr Pollák, CSc. Letní semestr 5/6!!! Volné šíření není povoleno!!! Fázory a spektra Fázor harmonického průběhu Û m = U m e jϕ ut) = U m sinωt
VíceMatematická analýza ve Vesmíru. Jiří Bouchala
Matematická analýza ve Vesmíru Jiří Bouchala Katedra aplikované matematiky jiri.bouchala@vsb.cz www.am.vsb.cz/bouchala - p. 1/19 typu: m x (sin x, cos x) R(x, ax +...)dx. Matematická analýza ve Vesmíru.
VíceKomplexní analýza. Laplaceova transformace. Martin Bohata. Katedra matematiky FEL ČVUT v Praze
Komplexní analýza Laplaceova transformace Martin Bohata Katedra matematiky FEL ČVUT v Praze bohata@math.feld.cvut.cz Martin Bohata Komplexní analýza Laplaceova transformace 1 / 18 Definice Definice Laplaceovou
VíceEXPERIMENTÁLNÍ METODY I. 2. Zpracování měření
FSI VUT v Brně, Energetický ústav Odbor termomechanik a technik prostředí prof. Ing. Milan Pavelek, CSc. EXPERIMENTÁLNÍ METODY I OSNOVA. KAPITOLY. Zpracování měření Zpracování výsledků měření (nezávislých
VíceDiferenciální rovnice
Obyčejné diferenciální rovnice - studijní text pro cvičení v předmětu Matematika - 2. Studijní materiál byl připraven pracovníky katedry E. Novákovou, M. Hyánkovou a L. Průchou za podpory grantu IG ČVUT
VíceZÁKLADY AUTOMATICKÉHO ŘÍZENÍ
VOKÁ ŠKOLA BÁŇKÁ TECHNICKÁ NIVEZITA OTAVA FAKLTA TOJNÍ ZÁKLAD ATOMATICKÉHO ŘÍZENÍ 9. týden doc. Ing. enata ANEOVÁ, Ph.D. Otrava 03 doc. Ing. enata ANEOVÁ, Ph.D. Vyoká škola báňká Technická univerzita Otrava
Víceteorie elektronických obvodů Jiří Petržela syntéza elektronických obvodů
Jiří Petržela příklad nalezněte dvě různé realizace admitanční funkce zadané formou racionální lomené funkce Y () () ( ) ( ) : první krok rozkladu do řetězového zlomku () 9 7 9 výledný rozklad ( ) 9 9
VíceNejdřív spočítáme jeden příklad na variaci konstant pro lineární diferenciální rovnici 2. řádu s kostantními koeficienty. y + y = 4 sin t.
1 Variace konstanty Nejdřív spočítáme jeden příklad na variaci konstant pro lineární diferenciální rovnici 2. řádu s kostantními koeficienty. Příklad 1 Najděte obecné řešení rovnice: y + y = 4 sin t. Co
Více15 - Stavové metody. Michael Šebek Automatické řízení
15 - Stavové metody Michael Šebek Automatické řízení 2016 10-4-16 Stavová zpětná vazba Když můžeme měřit celý stav (všechny složky stavového vektoru) soustavy, pak je můžeme využít k řízení u = K + r [
VícePříloha č. 1. amplitudová charakteristika filtru fázová charakteristika filtru / frekvence / Hz. 1. Určení proudové hustoty
Příloha č. 1 Při hodnocení expozice nízkofrekvenčnímu elektromagnetickému poli (0 Hz 10 MHz) je určující veličinou modifikovaná proudová hustota J mod indukovaná v tělesné tkáni. Jak je uvedeno v nařízení
VíceLaplaceova transformace
Laplaceova transformace Modelování systémů a procesů (11MSP) Bohumil Kovář, Jan Přikryl, Miroslav Vlček Ústav aplikované matematiky ČVUT v Praze, Fakulta dopravní 5. přednáška 11MSP pondělí 23. března
Více1 Mnohočleny a algebraické rovnice
1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1.1 Pojem mnohočlenu (polynomu) Připomeňme, že výrazům typu a 2 x 2 + a 1 x + a 0 říkáme kvadratický trojčlen, když a 2 0. Číslům a 0, a 1, a 2 říkáme koeficienty a písmenem
VíceKapitola 11: Lineární diferenciální rovnice 1/15
Kapitola 11: Lineární diferenciální rovnice 1/15 Lineární diferenciální rovnice 2. řádu Definice: Lineární diferenciální rovnice 2-tého řádu je rovnice tvaru kde: y C 2 (I) je hledaná funkce a 0 (x)y +
Více3 - Póly, nuly a odezvy
3 - Póly, uly a odezvy Michael Šebek Automatické řízeí 8 9-6-8 Automatické řízeí - Kyberetika a robotika Póly přeou a póly ytému Póly přeou jou kořey jmeovatele pro g () = b () a () jou to komplexí číla
VícePříklady k přednášce 5 - Identifikace
Příklady k přednášce 5 - Identifikace Michael Šebek Automatické řízení 07 5-3-7 Jiná metoda pro. řád bez nul kmitavý Hledáme ωn Gs () k s + ζωn s + ωn Aplikujeme u( ) us () s. Změříme y( ), A, A, Td y(
VíceIntegrální počet - II. část (další integrační postupy pro některé typy funkcí)
Integrální počet - II. část (další integrační postupy pro některé typy funkcí) Michal Fusek Ústav matematiky FEKT VUT, fusekmi@feec.vutbr.cz 7. přednáška z AMA1 Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 1 /
VícePříklady k přednášce 19 - Polynomiální metody
Příklady k přednášce 19 - Polynomiální metody Michael Šebek Automatické řízení 016 15-4-17 Dělení polynomů: e zbytkem a bez Polynomy netvoří těleo (jako reálná číla, racionální funkce, ) ale okruh (jako
VíceTento dokument obsahuje zadání pro semestrální programy z PAA. Vypracování. vypracovanou úlohu podle níže uvedených zadání. To mimo jiné znamená, že
Kapitola Zadání Tento dokument obsahuje zadání pro semestrální programy z PAA. Vypracování alespoň jedné úlohy je nutnou podmínkou pro úspěšné složení zkoušky resp. získaní (klasifikovaného) zápočtu (viz.
VíceIDENTIFIKACE REGULOVANÉ SOUSTAVY APLIKACE PRO PARNÍ KOTEL
IDENTIFIKACE REGULOVANÉ SOUSTAVY APLIKACE PRO PARNÍ KOTEL Ing. Zeněk Němec, CSc. VUT v Brně, Fakulta trojního inženýrtví, Útav automatizace a informatiky. Úvo, vymezení problematiky Přípěvek ouvií řešením
VíceKYBERNETIKA. Prof. Ing. Vilém Srovnal, CSc. Vysoká škola báňská Technická univerzita Ostrava
KYBERNETIKA Prof. Ing. Vilém Srovnal, CSc. Vysoká škola báňská Technická univerzita Ostrava 28 . ÚVOD DO TECHNICKÉ KYBERNETIKY... 5 Co je to kybernetika... 5 Řídicí systémy... 6 Základní pojmy z teorie
VíceVzdělávací materiál. vytvořený v projektu OP VK CZ.1.07/1.5.00/ Anotace. Integrální počet VY_32_INOVACE_M0307. Matematika
Vzdělávací materiál vytvořený v projektu OP VK Název školy: Gymnázium, Zábřeh, náměstí Osvobození 0 Číslo projektu: Název projektu: Číslo a název klíčové aktivity: CZ..07/.5.00/34.0 Zlepšení podmínek pro
VíceMKI Funkce f(z) má singularitu v bodě 0. a) Stanovte oblast, ve které konverguje hlavní část Laurentova rozvoje funkce f(z) v bodě 0.
MKI -00 Funkce f(z) má singularitu v bodě 0. a) Stanovte oblast, ve které konverguje hlavní část Laurentova rozvoje funkce f(z) v bodě 0. V jakém rozmezí se může pohybovat poloměr konvergence regulární
VíceTéma 22. Ondřej Nývlt
Téma 22 Ondřej Nývlt nyvlto1@fel.cvut.cz Náhodná veličina a náhodný vektor. Distribuční funkce, hustota a pravděpodobnostní funkce náhodné veličiny. Střední hodnota a rozptyl náhodné veličiny. Sdružené
VíceANALÝZA A KLASIFIKACE DAT. Institut biostatistiky a analýz
ANALÝZA A KLASIFIKACE DAT prof. Ing. Jiří Holčík,, CSc. III. PŘÍZNAKOVÁ KLASIFIKACE - ÚVOD PŘÍZNAKOVÝ POPIS Příznakový obraz x zpracovávaných dat je vyjádřen n-rozměrným loupcovým vektorem hodnot x i,
VíceVYBRANÉ PARTIE Z NUMERICKÉ MATEMATIKY
VYBRANÉ PARTIE Z NUMERICKÉ MATEMATIKY Jan Krejčí 31. srpna 2006 jkrejci@physics.ujep.cz http://physics.ujep.cz/~jkrejci Obsah 1 Přímé metody řešení soustav lineárních rovnic 3 1.1 Gaussova eliminace...............................
VíceOsnova přednášky. Univerzita Jana Evangelisty Purkyně Základy automatizace Stabilita regulačního obvodu
Osnova přednášky 1) Základní pojmy; algoritmizace úlohy 2) Teorie logického řízení 3) Fuzzy logika 4) Algebra blokových schémat 5) Vlastnosti členů regulačních obvodů 6) Vlastnosti regulátorů 7) 8) Kvalita
VíceDiferenˇcní rovnice Diferenciální rovnice Matematika IV Matematika IV Program
Program Diferenční rovnice Program Diferenční rovnice Diferenciální rovnice Program Frisch a Samuelson: Systém je dynamický, jestliže jeho chování v čase je určeno funkcionální rovnicí, jejíž neznámé závisí
VíceSPECIÁLNÍCH PRIMITIVNÍCH FUNKCÍ
VÝPOČET PECIÁLNÍCH PRIMITIVNÍCH FUNKCÍ Obecně nelze zadat algoritmus, který by vždy vedl k výpočtu primitivní funkce. Pro různé situace se hodí různé metody (výpočtu!). Jak již bylo několikrát zdůrazněno,
VíceVI. Derivace složené funkce.
VI. Derivace složené funkce. 17. Parciální derivace složené funkce Budeme uvažovat složenou funkci F = f(g, kde některá z jejich součástí může být funkcí více proměnných. Předpokládáme, že uvažujeme funkce,
Více5. cvičení z Matematické analýzy 2
5. cvičení z Matematické analýz 2 30. října - 3. litopadu 207 5. linearizace funkce a Pro funkci f, = e nalezněte její linearizaci v bodě a 0 = 6, 0. Použijte ji k přibližnému určení hodnot funkce f v
VíceIMPULSNÍ A PŘECHODOVÁ CHARAKTERISTIKA,
IMPULSNÍ A PŘECHODOVÁ CHARAKTERISTIKA, STABILITA. Jednokový impuls (Diracův impuls, Diracova funkce, funkce dela) někdy éž disribuce dela z maemaického hlediska nejde o pravou funkci (přesný popis eorie
VíceVzdělávací materiál. vytvořený v projektu OP VK CZ.1.07/1.5.00/34.0211. Anotace. Integrální počet VY_32_INOVACE_M0308. Matematika
Vzdělávací materiál vytvořený v projektu OP VK Název školy: Gymnázium, Zábřeh, náměstí Osvobození 0 Číslo projektu: Název projektu: Číslo a název klíčové aktivity: CZ..07/.5.00/3.0 Zlepšení podmínek pro
VíceIdentifikace systémů
Identifikace systémů Přednáška 2 Osvald Modrlák, Lukáš Hubka TECHNICKÁ UNIVERZITA V LIBERCI Fakulta mechatroniky, informatiky a mezioborových studií Tento materiál vznikl v rámci projektu ESF CZ.1.07/2.2.00/07.0247,
VíceSystém vztahů obecné pružnosti Zobecněný Hookeův zákon
Stém vtahů obecné pružnoti Zobecněný Hookeův ákon V PPI e řešil úloh pružnoti u prutů. Pro řešení pouvů napětí a přetvoření obecného 3D těleo je třeba etavit a řešit tém vtahů obecné pružnoti. Jeho řešení
VícePříklady k přednášce 8 - Geometrické místo kořenů aneb Root Locus
Příklady k přednášce 8 - Geometrické místo kořenů aneb Root Locus Michael Šebek Automatické řízení 018 1-3-18 Automatické řízení - Kybernetika a robotika Pro bod na RL platí (pro nějaké K>0) KL( s) = (k
VícePříklady k přednášce 4 -Vlastnosti systému
Příklady k přednášce 4 -Vlastnosti systému Michael Šebek Automatické řízení 06-3-6 Příklad: Tužka na lavici Automatické řízení - Kybernetika a robotika Postavte tužku na lavici bez držení. Proč to nejde?
VíceDefinice 13.1 Kvadratická forma v n proměnných s koeficienty z tělesa T je výraz tvaru. Kvadratická forma v n proměnných je tak polynom n proměnných s
Kapitola 13 Kvadratické formy Definice 13.1 Kvadratická forma v n proměnných s koeficienty z tělesa T je výraz tvaru f(x 1,..., x n ) = a ij x i x j, kde koeficienty a ij T. j=i Kvadratická forma v n proměnných
VíceLineární stabilita a teorie II. řádu
Lineární stabilita a teorie II. řádu Sestavení podmínek rovnováhy na deformované konstrukci Konstrukce s a bez počáteční imperfekce Výpočet s malými vs. s velkými deformacemi ANKC-C 1 Zatěžovacídráhy [Šejnoha,
Více9. přednáška 26. listopadu f(a)h < 0 a pro h (0, δ) máme f(a 1 + h, a 2,..., a m ) f(a) > 1 2 x 1
9 přednáška 6 listopadu 007 Věta 11 Nechť f C U, kde U R m je otevřená množina, a a U je bod Pokud fa 0, nemá f v a ani neostrý lokální extrém Pokud fa = 0 a H f a je pozitivně negativně definitní, potom
VícePřijímací zkoušky z matematiky pro akademický rok 2018/19 NMgr. studium Učitelství matematiky ZŠ, SŠ
Přijímací zkoušky z matematiky pro akademický rok 8/9 NMgr studium Učitelství matematiky ZŠ, SŠ Datum zkoušky: Varianta Registrační číslo uchazeče: Příklad 3 4 5 Celkem Body Ke každému příkladu uved te
VíceAnalýza lineárních regulačních systémů v časové doméně. V Modelice (ale i v Simulinku) máme blok TransfeFunction
Analýza lineárních regulačních systémů v časové doméně V Modelice (ale i v Simulinku) máme blok TransfeFunction Studijní materiály http://physiome.cz/atlas/sim/regulacesys/ Khoo: Physiological Control
VíceDISPERZNÍ KŘIVKY V DESCE S KUBICKOU ANIZOTROPIÍ
DISPERZNÍ KŘIVKY V DESCE S KUBICKOU ANIZOTROPIÍ P. Hora, O. Červená Ústav termomechaniky AV ČR Příspěvek vznikl na základě podpory grantu cíleného vývoje a výzkumu AV ČR č. IBS276356 Ultrazvukové metody
VíceObsah. Gain scheduling. Obsah. Linearizace
Regulace a řízení II Řízení nelineárních systémů Regulace a řízení II Řízení nelineárních systémů - str. 1/29 Obsah Obsah Gain scheduling Linearizace Regulace a řízení II Řízení nelineárních systémů -
VíceMatematika IV 9. týden Vytvořující funkce
Matematika IV 9. týden Vytvořující funkce Jan Slovák Masarykova univerzita Fakulta informatiky jaro 2015 Obsah přednášky 1 Vytvořující funkce a Fibonacciho čísla 2 Vytvořující funkce - připomenutí 3 Řešení
VíceLaserová technika prosince Katedra fyzikální elektroniky.
Laserová technika 1 Aktivní prostředí Šíření optických impulsů v aktivním prostředí Jan Šulc Katedra fyzikální elektroniky České vysoké učení technické jan.sulc@fjfi.cvut.cz. prosince 016 Program přednášek
VíceNumerické metody a programování. Lekce 7
Numerické metody a programování Lekce 7 Řešení nelineárních rovnic hledáme řešení x problému f x = 0 strategie: odhad řešení iterační proces postupného zpřesňování řešení výpočet skončen pokud je splněno
VíceAplikovaná matematika I
Metoda nejmenších čtverců Aplikovaná matematika I Dana Říhová Mendelu Brno c Dana Říhová (Mendelu Brno) Metoda nejmenších čtverců 1 / 8 Obsah 1 Formulace problému 2 Princip metody nejmenších čtverců 3
VíceFlexibilita jednoduché naprogramování a přeprogramování řídícího systému
Téma 40 Jiří Cigler Zadání Číslicové řízení. Digitalizace a tvarování. Diskrétní systémy a jejich vlastnosti. Řízení diskrétních systémů. Diskrétní popis spojité soustavy. Návrh emulací. Nelineární řízení.
VíceParciální derivace a diferenciál
Parciální derivace a diferenciál Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem
VíceÚlohy k přednášce NMAG 101 a 120: Lineární algebra a geometrie 1 a 2,
Úlohy k přednášce NMAG a : Lineární algebra a geometrie a Verze ze dne. května Toto je seznam přímočarých příkladů k přednášce. Úlohy z tohoto seznamu je nezbytně nutné umět řešit. Podobné typy úloh se
VíceLineární rovnice prvního řádu. Máme řešit nehomogenní lineární diferenciální rovnici prvního řádu. Funkce h(t) = 2
Cvičení Lineární rovnice prvního řádu. Najděte řešení Cauchyovy úlohy x + x tg t = cos t, které vyhovuje podmínce xπ =. Máme nehomogenní lineární diferenciální rovnici prvního řádu. Funkce ht = tg t a
VíceDiskretizace. 29. dubna 2015
MSP: Domácí příprava č. 3 Vnitřní a vnější popis diskrétních systémů Dopředná Z-transformace Zpětná Z-transformace Řešení diferenčních rovnic Stabilita diskrétních systémů Spojování systémů Diskretizace
VíceX = x, y = h(x) Y = y. hodnotám x a jedné hodnotě y. Dostaneme tabulku hodnot pravděpodobnostní
..08 8cv7.tex 7. cvičení - transformace náhodné veličiny Definice pojmů a základní vzorce Je-li X náhodná veličina a h : R R je měřitelná funkce, pak náhodnou veličinu Y, která je definovaná vztahem X
VíceDoplňky k přednášce 24 Diskrétní řízení Diskrétní metody analogické spojitým
Doplňky k přednášce 24 Diskrétní řízení Diskrétní metody analogické spojitým Michael Šebek Automatické řízení 2013 21-4-13 Metody diskrétního návrhu Metody diskrétního návrhu, které jsou stejné (velmi
Více24. Parciální diferenciální rovnice
24. Parciální diferenciální rovnice Aplikovaná matematika IV, NMAF074 M. Rokyta, KMA MFF UK LS 2011/12 24.1 Rovnice vedení tepla Definice (Rovnice vedení tepla) Parciální diferenciální rovnici c(x)ρ(x)
VícePRUŽNOST A PEVNOST II
VYSOKÁ ŠKOLA BÁŇSKÁ TECHNICKÁ UNIVERZITA OSTRAVA FAKULTA STAVEBNÍ PRUŽNOST A PEVNOST II Navazující magisterské studium, 1. ročník Alois Materna (přednášky) Jiří Brožovský (cvičení) Kancelář: LP C 303/1
VíceParciální derivace a diferenciál
Parciální derivace a diferenciál Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem
VícePŘÍKLAD PŘECHODNÝ DĚJ DRUHÉHO ŘÁDU ŘEŠENÍ V ČASOVÉ OBLASTI A S VYUŽITÍM OPERÁTOROVÉ ANALÝZY
PŘÍKLAD PŘECHODNÝ DĚJ DRHÉHO ŘÁD ŘEŠENÍ V ČASOVÉ OBLASTI A S VYŽITÍM OPERÁTOROVÉ ANALÝZY A) Časová oblast integro-diferenciální rovnice K obvodu na obrázku je v čase t 0 napětí u b (t). t 0 připojen zdroj
VíceModelování a simulace
Modelování a simulace Doc Ing Pavel Václavek, PhD Modelování a simulace Úvod - str /48 Obsah a organizace Obsah a org Cíl předmětu Náplň přednášek Vyučující Hodnocení Literatura Modelování a simulace Úvod
Více12 Obyčejné diferenciální rovnice a jejich soustavy
12 Obyčejné diferenciální rovnice a jejich soustavy 121 Úvod - opakování Opakování z 1 ročníku (z kapitoly 5) Definice 121 Rovnice se separovanými proměnnými je rovnice tvaru Návod k řešení: Pokud g(c)
VíceFOURIEROVA TRANSFORMACE FOURIEROVA VĚTA
FOURIEROVA TRANSFORMACE FOURIEROVA VĚTA V kapitole o Fourierových řadách byla dokázána Fourierova věta (připomeňte si, že f(x = (f(x + + f(x /2: VĚTA Necht f je po částech hladká na R a R f konverguje
VíceZáklady matematiky pro FEK
Základy matematiky pro FEK 12. přednáška Blanka Šedivá KMA zimní semestr 216/21 Blanka Šedivá (KMA) Základy matematiky pro FEK zimní semestr 216/21 1 / 15 Integrování jako inverzní operace příklady inverzních
VíceInterpolace Uvažujme třídu funkcí jedné proměnné ψ(x; a 0,..., a n ), kde a 0,..., a n jsou parametry, které popisují jednotlivé funkce této třídy. Mějme dány body x 0, x 1,..., x n, x i x k, i, k = 0,
VíceMetody vnitřních bodů pro řešení úlohy lineární elasticity s daným třením
Metody vnitřních bodů pro řešení úlohy lineární elasticity s daným třením J. Machalová, P. Ženčák, R. Kučera Katedra matematické analýzy a aplikací matematiky PřF UP Olomouc Katedra matematiky a deskriptivní
VíceMatematika 4 FSV UK, LS Miroslav Zelený
Matematika 4 FSV UK, LS 2017-18 Miroslav Zelený 13. Diferenční rovnice 14. Diferenciální rovnice se separovanými prom. 15. Lineární diferenciální rovnice prvního řádu 16. Lineární diferenciální rovnice
VíceDrsná matematika III 6. přednáška Obyčejné diferenciální rovnice vyšších řádů, Eulerovo přibližné řešení a poznámky o odhadech chyb
Drsná matematika III 6. přednáška Obyčejné diferenciální rovnice vyšších řádů, Eulerovo přibližné řešení a poznámky o odhadech chyb Jan Slovák Masarykova univerzita Fakulta informatiky 23. 10. 2006 Obsah
VíceMatematická analýza 1b. 9. Primitivní funkce
Matematická analýza 1b 9. Primitivní funkce 9.1 Základní vlastnosti Definice Necht funkce f je definována na neprázdném otevřeném intervalu I. Řekneme, že funkce F je primitivní funkce k f na I, jestliže
VíceStavební fakulta Katedra mechaniky. Jaroslav Kruis, Petr Štemberk
České vysoké učení technické v Praze Stavební fakulta Katedra mechaniky Fuzzy množiny, fuzzy čísla a jejich aplikace v inženýrství Jaroslav Kruis, Petr Štemberk Obsah Nejistoty Teorie pravděpodobnosti
Vícecv3.tex. Vzorec pro úplnou pravděpodobnost
3 cvičení - pravděpodobnost 2102018 18cv3tex n i=1 Vzorec pro úplnou pravděpodobnost Systém náhodných jevů nazýváme úplným, jestliže pro něj platí: B i = 1 a pro i k je B i B k = 0 Jestliže je (Ω, A, P
VíceA0B01LAA Lineární algebra a aplikace (příklady na cvičení- řešení)
A0B0LAA Lineární algebra a aplikace příklady na cvičení- řešení Martin Hadrava martin@hadrava.eu. ledna 0.týdenod9.9. Řešení soustav lineárních rovnic Gaussovou eliminační metodou diskuse počtu řešení..
VíceÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika 0A1. Cvičení, zimní semestr. Samostatné výstupy. Jan Šafařík
Vysoké učení technické v Brně Stavební fakulta ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE Matematika 0A1 Cvičení, zimní semestr Samostatné výstupy Jan Šafařík Brno c 2003 Obsah 1. Výstup č.1 2 2. Výstup
Více1 Modelování systémů 2. řádu
OBSAH Obsah 1 Modelování systémů 2. řádu 1 2 Řešení diferenciální rovnice 3 3 Ukázka řešení č. 1 9 4 Ukázka řešení č. 2 11 5 Ukázka řešení č. 3 12 6 Ukázka řešení č. 4 14 7 Ukázka řešení č. 5 16 8 Ukázka
VíceImpedanční děliče - příklady
Impedanční děliče - příklady Postup řešení: Vyznačení impedancí, tvořících dělič Z Z : podélná impedance, mezi svorkami a Z : příčná impedance, mezi svorkami a ' ' Z ' Obecné vyjádření impedancí nebo admitancí
Více