Západočeská univerzita v Plzni Fakulta aplikovaných věd KKY/LS2. Plzeň, 2008 Pavel Jedlička

HTML
DOWNLOAD

Rozměr: px

Začít zobrazení ze stránky:

Download "Západočeská univerzita v Plzni Fakulta aplikovaných věd KKY/LS2. Plzeň, 2008 Pavel Jedlička"

Eduard Štěpánek
před 9 lety
Počet zobrazení:

1 Západočeská univerzita v Plzni Fakulta aplikovaných věd KKY/LS2 Semestrální práce Plzeň, 2008 Jan Krčmář Pavel Jedlička

2 1 Měřený model Je zadán systém (1), který budeme diskretizovat použitím funkce c2d s parametrem zoh v matlabu. Poté provedeme zpětný posuv. 4 F (p) = p 2 (1) + 0.4p + 1 F (z) = z z z F (z) = z z z z 2 Systém a jeho odezvu nasimulujeme v simulinku. Používáme vzorkovací periodu 0.2 s. Obrázek 1: Zapojení v simulinku Tím záskáme vstupní hodnoty u a výstupní hodnoty y. Pomocí matlabu určíme parametry regresního systému. b 1 z + b 2 F s (z) = z 2 + a 1 z + a 2 Po zanedbání nuly vypadá přenos takto Θ = [ ] T z F s (z) = z z s F s (p) = p p F s (p) = p p Zanedbáním nuly jsme se nedopustili téměř žádné chyby. Přechodové charakteristiky jsou téměř totožné. Jednotlivé impulzní a přechodové charakteristiky jsou na obrázku (2). Vypočteme diskretizované modely při T = 0.2 s a jejich póly 1

Obrázek 1: Zapojení v simulinku Tím záskáme vstupní hodnoty u a výstupní hodnoty y. Pomocí matlabu určíme parametry regresního systému.

3 1. tvarovač nultého řádu z F s (z) = z z p 1,2 = ± i 2. obdélníková aproximace F s (z) = z z z z p 1,2 = ± i 3. lichoběžníková aproximace F s (z) = z z z z p 1,2 = ± i Aproximace přechodových charakteristik se od původního systému příliš neliší a velice věrně popisují spojitý systém. Impulzní charakteristiky nejsou tak přesné. Aproximace popisují systém s vetší chybou, protože jsme volili větší periodu vzorkování. Nejlépe vychází lichoběžníková aproximace. Z grafu (3) je patrné, že póly diskrétních přenosů jsou umístěny téměř na stejném místě. Póly získané tranformací z = e pt resp. p = 1 T ln z jsou také uvnitř jednotkové kružnice, můžeme tedy tvrdit že stabilita zůstane zachována. Póly prvních dvou přenosů jsou stejné, lichoběžníková aproximace má póly na jiném místě. 2

1862i Aproximace přechodových charakteristik se od původního systému příliš neliší a velice věrně popisují spojitý systém. Impulzní charakteristiky nejsou tak přesné.

4 Obrázek 2: Přechodové a impulzní chrakteristiky pro aproximaci tvarovačem, obdélníkovou a lichoběžníkovou 3

5 Obrázek 3: Póly dikrétních přenosů 4

6 2 Polohový servosystém Uvažujeme polohový servosystém podle schématu (4) a (1) podle zadání. Obrázek 4: Schéma zapojení polohového servosystému Kritické zesíení získáme pokusným nastavením hodnoty Přenos uzavřené smyčky je K krit = K = 0.95 K krit = F y,v (p) = Konstantní porucha v se na výstupu projeví 0.04 p p 2 + p lim F y,v(p) = 0.04 = % p Z bodeho charakteristiky (5) určíme bezpečnost ve fázi P m = 7.5 o. Korekční článek jsme experimentálně určili (2). Jedná se o integrační článek. Z bodeho charakteristiky (8) určíme bezpečnost v zesíleni G m = 9.61 db a bezpečnost ve fázi P m = 46 o. F k (p) = 0.8 3p + 1 (2) Citlivostní funkce se definuje jako (3). Průběh citlivostní funkce před a po korekci nám ukazuje graf (9). Je vidět, že korekce výrazně potlačuje harmonické poruchy okolo 0.95 rad/sec. S(jω) = F o (jw) (3) 5

5712 F y,v (p) = Konstantní porucha v se na výstupu projeví 0.04 p 3 + 0.4p 2 + p + 0.3828 lim F y,v(p) = 0.04 = 0.1045 10.45% p 0 0.

7 Obrázek 5: Bodeho diagram Obrázek 6: Odezva uzavřeného systému polohového servosystému 6

8 Obrázek 7: Přechodová charakteristika s korekčním článkem Obrázek 8: Bodeho diagram s korekčním článkem 7

9 Obrázek 9: Bodeho diagram pro citlivostní funkce 8

10 3 PID regulátor Požadované hodnoty jsou G 10% a maximální doba regulace T reg 5 s. Vypočteme konstantu ω n podle vzorců ln σ max ξ π 1 + ( ln σ max ) 2 = ξ = 0.6 π ω n = 4.6 ξt reg = 1.533; rad/sec Určíme přenos požadovaného systému (4) a jeho komplexně sdružené póly (5). F s (p) = ω 2 n p 2 + 2ξω n p + ω 2 n = p p (4) p 1,2 = 0.92 ± i (5) Dále předpokládáme ideální PID a zvolíme jeho nuly poblíž pólů požadovaného systému. z = 1 ± 1.2j (p z i ) = (p j)(p j) = p 2 + 2p F P ID = K d p 2 + d 1 p + d 0 p = K d p 2 + 2p p Přenos otevřené regulační smyčky je F o (p) = F s (p)f P ID (p) = K d 4.009p p p p p Z grafu GMK (10) určíme zesílení K d = 3.32 posunem ve směru GMK. Regulační systém předpokládáme ve tvaru (6) a konstanty dopočteme. Porovnání přechodových charakteristik je na obrázku (11). Je vidět, že regulovaný systém splňuje požazavky. Bodeho charakteristika a bezpečnost ve fázi a zesílení otevřené regulační smyčky je na obrázku (12). K = K d d 1 = 6.64 K i = K d d 0 = F P ID (p) = K + K i p + K dp = p (6) p Přechodová charakteristika pro uzavřený regulovaný systém je F s (p) = 13.31p p p p p

2267i (5) Dále předpokládáme ideální PID a zvolíme jeho nuly poblíž pólů požadovaného systému. z = 1 ± 1.2j (p z i ) = (p + 1 + 1.2j)(p + 1 1.2j) = p 2 + 2p + 2.

11 Obrázek 10: Zobrazení GMK Obrázek 11: Přechodové charakteristiky s PID regulátorem 10

12 Obrázek 12: Bodeho chrakteristiky pro PID regulátor 11

13 4 2DOF regulátor Požadovaný přenos uzavřeného systému chceme F y,w (p) = Y (p) W (p) = 2.44 p p = B M(p) A M (p) (7) Přenos uzavřeného regulačního obvodu má tvar F y,w (p) = Y (p) W (p) = α = B M(p) B(p) αt (p)b(p) A(p)C(p) + B(p)D(p) = A(p)C(p) + B(p)D(p) = A M (p)t (p) 1. T (p) = p c(p) = p d(p) = 0.26p T (p) = p + 2 c(p) = p d(p) = p Přechodové charakteristiky jsou v obou případech stejné a shodují se s přenosem systému (7). Přechodová charakteristika je na obrázku (14). Obrázek 13: Přechodová charakteristika s 2 DOF Citlivostní funkci jsme definovali jako (3). Pro její určení potřebuje znát přenos otevřeného systému. Ten je vyjádřen F o = αt(p)b(p) c(p)a(p) 12

6086 A(p)C(p) + B(p)D(p) = A M (p)t (p) 1. T (p) = p + 0.2 c(p) = p + 2.1992 d(p) = 0.26p 0.4248 2. T (p) = p + 2 c(p) = p + 3.9992 d(p) = 1.1575p + 0.

14 1. T (p) = p T (p) = p + 2 F o (p) = F o (p) = 2.44p p p p p p p p Obrázek 14: Citlivost pro 2 DOF regulátor s různými polynomy T(p) 13

488 p 3 + 2.6p 2 + 1.878p + 2.191 2.44p + 0.

15 5 Stavový regulátor a kritérium ITAE Z přenosu (1) určíme stavový popis [ ] 0 1 A = B = [ ] 0 3 C = [ 1 0 ] Dále určíme matice [ ] A Bk Bkw A z = B w C A w k = [k 1 k 2 ] A w = 0 B w = 1 Pro zvolené ω n = 1 platí po dosazení do vzorce podle kritéria ITAE det(pi A z ) = p p p + 1. Můžeme tedy vypočítat konstanty k w = k = [ ] Odezva na referenční signál je na obrázku (15). Simulace byla provedena v Simulinku. Sledování referenčního signálu je relativně pomalé, ale s malým překmitem. Obrázek 15: Odezva systému na po částech konstantní funkci 14

vzorce podle kritéria ITAE det(pi A z ) = p 3 + 1.75p 2 + 2.15p + 1. Můžeme tedy vypočítat konstanty k w = 0.663 k = [0.3833 0.

16 6 Obecný diskrétní regulátor Diskrétní přenos systému je F s (z) = z z z = B(z) A(z) Přenos referenčního systému w(t) = sin(ωt ). Perioda vzorkování je T = 0.2 s a ω = 1 rad/s. W (z) = z sin(ωt ) z 2 2z cos(ωt ) + 1 = z z z + 1 Polynomy v čitateli a jmenovateli přenosu regulátoru budou stupně st(c) = 4. Přenos regulátoru bude F r (z) = d 4z 4 + d 3 z 3 + d 2 z 2 + d 1 z + d 0 (z 1)(z z + 1)(z c 0 ) = D(z) C(z) Polynom z c 0 je stupně m = 1. To bylo určeno ze vzorce m + n = 2m 1, kde n = 2 je stupeň přenosu F s (z). A z (z) = C(z)A(z) + D(z)B(z) = z st(c)+st(a) = z 6 Můžeme tedy vypočíst jednotlivé koeficienty u přenosu regulátoru. z 6 = (z 1)(z z+1)(z c 0 )(z z+0.923)+(d 4 z 4 +d 3 z 3 +d 2 z 2 +d 1 z+d 0 )(0.1516z ) d 4 = d 3 = d 2 = d 1 = d 0 = c 0 = Konečný přenos regulátoru ted yvypadá takto F r (z) = 31.87z z z z z z z z Přechodová charakteristika (16) ukazuje správnou regulaci po 5ti krocích. V grafu je zakreslena i chyba a řízení. 15

Přenos regulátoru bude F r (z) = d 4z 4 + d 3 z 3 + d 2 z 2 + d 1 z + d 0 (z 1)(z 2 1.9601z + 1)(z c 0 ) = D(z) C(z) Polynom z c 0 je stupně m = 1.

17 Obrázek 16: Odezva regulovaného systému na w(t) = sin t 16

18 7 dead-beat, ripple-free control Přenos budeme uvažovat jak bylo zadáno F s (p) = 1 p Po diskretizování získáváme přenos p p = p p p F s (z) = z z z z z = z z z z z Náš přenos lze upravit do tvaru F s (z) = K s Přenos regulátoru uvažujeme ve tvaru B(z) (z 1)A(z) = z z (z 1)(z z ) F r (z) = K r D(z) C(z) Aby byly splněny podmínky dead beat, ripple free control je nutné, aby platilo D(z) = A(z) (z 1)C(z) + K r K s B(z) = z n K r K s B(z) = 1 pro z = 1 2. Stupeň přenosu regulátoru určíme, tak aby bylo možné uregulovat náš systém jako st(c) = st(d) = F r (z) = K r z2 + d 1 z + d 0 z 2 + c 1 z + c 0 Dosazením do podmínek získáme soustavy rovnic a z nich určíme jednotlivé parametry regulátoru c 1 = c 0 = d 1 = d 0 = A přenos regulátoru bude vypadat takto F r (z) = z z z z Přechodová charakteristika regulovaného systému (17) ukazuje regulaci po třech krocích. Průběh řízení je na obrázku (18). 17

6124 z 2 + 3.9583z + 0.9802 10 4 (z 1)(z 2 1.9510z + 0.

19 Obrázek 17: Odezva regulovaného systému dead beat, ripple free Obrázek 18: Průběh řízení pro dead beat, ripple free 18

20 8 Úplný rekonstruktor stavu Stavový popis systému je ẋ = Ax + Bu y = Cx Rekonstruktor stavu předpokládáme ve tvaru ˆx = F ˆx(t) + Gu(t) + Ky(t) ŷ(t) = C ˆx(t) Stavový popis systému bereme [ ] 0 1 A = B = [ ] 0 1 C = [ 4 0 ] Pro náš systém n = 2 a parametr K = [k1 k2] T můžeme určit z rovnice det(pi A + KC) = n (p p i ) (8) i Vlastní čísla matice dynamiky rekonstruktoru F musí ležet v pravé polorovině. Využijeme vztahu pro umistitelnost pólů a volíme parametry p 1,2, protože chceme, aby byl rekonstruktor rychlejší, než náš systém. p 1 = 5 p 2 = 6 Dosazením do rovnice (8) získáme (p + 5)(p + 6) = (p 4k 1 )(p + 0.4) + (1 4k 2 ) A můžeme tedy vypočíst parametr K a určit matici F = A KC. [ ] K = [ ] T F = V simulinku spustíme simulaci s počátečními podmínkami ˆx 0 = [ 2 0.5] T. Výstup je v grafu (19). Rekonstruktor se se systémem schoduje již po 2 vteřinách. Při nulových počátečních podmínkách ˆx 0 = [0 0] T se výstup rekonstruktoru a systému schoduje, což je patrné v grafu (20). 19

polorovině. Využijeme vztahu pro umistitelnost pólů a volíme parametry p 1,2, protože chceme, aby byl rekonstruktor rychlejší, než náš systém.

21 Obrázek 19: Porovnání výstupu rekonstruktoru a systému Obrázek 20: Porovnání výstupu rekonstruktoru a systému při n.p.p. 20

22 9 Porovnání stavového regulátoru a rekonstruktoru Porovnání regulátoru a rekonstruktoru je v obrázku (21). Stavový regulátor a rekonstruktor mají přechodovou charakteristiku téměř stejnou. Je vidět, že rekonstruktor dožene regulovaný systém již po 5-ti vteřinách. Obrázek 21: Porovnání výstupu rekonstruktoru a regulovaného systému 10 Závěr V práci jsme si oveřili základní postupy při navrhování regulátorů, jak diskrétních tak spojitých. Přes občasné problémy jsme všechny části práce zvládli k uspokojivému výsledku. Na konci práce jsme porovnávali regulátor a rekonstruktor. Výsledky jsou velmi podobné. 21

Podobné dokumenty

Západočeská univerzita. Lineární systémy 2

Západočeská univerzita. Lineární systémy 2 Západočeská univerzita FAKULTA APLIKOVANÝCH VĚD Lineární systémy Semestrální práce vypracoval: Jan Popelka, Jiří Pročka 1. květen 008 skupina: pondělí 7-8 hodina 1) a) Jelikož byly měřící přípravky nefunkční,