Teorie her a ekonomické Úvodní informace Obsah kursu 1. Úvod do teorie her
Úvodní informace Mgr. Jana SEKNIČKOVÁ, Ph.D. Místnost: 433 NB Konzultace: Středa 6:30 7:30, 19:30 20:30 Čtvrtek E-mail: jana.seknickova@vse.cz Hodnocení kurzu 19:30 20:30 (ISIS) 50 bodů ze semestru (práce na cvičení, domácí úkoly) 50 bodů ze zkouškového testu Doporučená literatura Dlouhý, M., Fiala, P.: Úvod do teorie her. Praha: Oeconomica, 2007. ISBN 978-80-245-1273-0. 2
Obsah kursu 1. Historie teorie her, některé paradoxy teorie užitku. 2. Hra v normálním tvaru antagonistický konflikt (konstantní součet) 3. Hra v normálním tvaru neantagonistický konflikt (nekonstantní součet) 4. Hra v rozvinutém tvaru řada po sobě jdoucích tahů 5. Opakovaná hra 6. Kooperativní hra s více hráči tvorba koalic 7. Hry s nedokonalou informací 8. Modely vyjednávání 9. Modely monopolu a oligopolu 10. Rozhodování za rizika a neurčitosti 11. Aukce 3
1. Úvod do teorie her Teorie her matematická ekonomie, teorie, operační výzkum Rozbor rozhodovacích situací s více hráči (konfliktní) Teorie her = ekonomická vědní disciplína, která se zabývá studiem konfliktních situací 4
1.1 Historie Augustin Cournot (Francie, 1838) výrobní kvóty duopolistů Ernst Zermelo (Německo, 1913), Émile Borel (Francie, 1921), John von Neumann (Maďarsko, USA, 1928) základy současné teorie her 5
1.1 Historie John von Neumann Oskar Morgenstern Theory of Games and Economic Behavior (Teorie her a ekonomické chování) Princenton, USA, 1944, 625 stran 6
1.2 Základní pojmy Teorie her se původně zabývala společenskými (salónními) hrami šachy, poker apod. Odtud používané názvosloví hra, hráč, strategie, výplatní funkce 7
1.2 Základní pojmy Konfliktní situace mezi několika účastníky = hra Účastníci konfliktní rozhodovací situace = hráči Možnost, kterou může účastník zvolit = strategie Soubor všech rozhodovacích možností účastníka = prostor strategií Výsledek hry (užitek), výhra hráče = výplatní funkce Každý hráč vybírá strategii ze svého prostoru strategií podle hodnoty výplatní funkce 8
1.2 Základní pojmy Výplatní funkce Závisí na rozhodnutí (strategii) samotného hráče Závisí také na rozhodnutí ostatních hráčů Optimální strategie = strategie, která pro danou hru zajišťuje hráči nejvyšší možnou hodnotu výplatní funkce Inteligentní hráč = hráč má o hře dokonalé informace a chová se tak, aby maximalizoval hodnotu výplatní funkce 9
1.2 Základní pojmy Zájmy hráčů Antagonistický konflikt = jsou v přímém protikladu Neantagonistický konflikt = nejsou v přímém protikladu Kooperativní teorie = možnost spolupráce Nekooperativní teorie = nemožnost spolupráce 10
1.3 Teorie užitku Hráč maximalizuje hodnotu výplatní funkce = maximalizuje užitek V ekonomické teorii užitek vysvětluje spotřebitelské chování Užitek = stupeň uspokojení ze spotřeby určitého statku Jedná se ovšem o subjektivní pojem 11
1.3 Teorie užitku Měřitelnost užitku Ordinalistická teorie užitku lze určit pouze pořadí (A je užitečnější než B) Kardinalistická teorie užitku užitek lze vyjádřit číselně (o kolik či kolikrát je A užitečnější než B) Teorie užitku používaná pro konstrukci výplatní funkce pro každého hráče 12
1.3 Teorie užitku Konstrukce funkce užitku: Výhra, remíza, prohra: +1, 0, 1 Zisk apod.: peněžní jednotky Teorie očekávané hodnoty (EV) Rozhodování za rizika EV = vážený průměr hodnot všech možných výsledků (váhy = pravděpodobnosti) Petrohradský paradox 13
Petrohradský paradox Daniel Bernoulli (Švýcarsko, 1738) Teorie EV není dostatečná Hráč hraje tuto hru jen jednou Bankéř hází mincí, dokud nepadne hlava Padne-li hlava v n-tém hodu, vyplatí 2 n Kč Hráč má právo nehrát a požadovat jakoukoliv částku, bankéř má právo tuto nabídku odmítnout (připadá-li mu moc vysoká) a proběhne hra 14
Petrohradský paradox Požaduje-li hráč rozumnou částku, bankéř vyhoví Kolik je ale rozumná částka? Střední hodnota výhry (očekávaná hodnota) Vaše volba? n n 1 krát padne orel a pak hlava p = 1 2 EV = 2 1 2 + 4 1 4 + 8 1 8 + + 2n 1 2 n + = 15
Petrohradský paradox Bankéř by tedy měl přistoupit na jakkoliv velkou částku, neboť očekávaná výhra hráče je EV = To však bankéř neudělá ve skutečnosti vysokou částku odmítne To si uvědomuje i hráč a volí podle toho svou strategii 16
Petrohradský paradox Bernoulliho vysvětlení: Bankéř ani hráč se neřídí očekávanou (střední) hodnotou Důvodem je užitečnost peněz Užitek jedné peněžní jednotky s rostoucím množstvím klesá Funkce užitku je tudíž konkávní (logaritmická) Rozhodování se tedy řídí užitkovou funkcí (ne očekávanou hodnotou) 17
1.3 Teorie užitku Teorie očekávané hodnoty byla nahrazena teorií očekávaného užitku (EUT, expected utility theory) I v případě Petrohradského paradoxu dobře zvolená funkce užitku zajistí, že střední hodnota užitku neroste do nekonečna 18
Allaisův paradox Maurice Allais (Francie, 1953; Nobelova cena z roku 1988) Lidé někdy projevují preference v rozporu s axiomy EUT Hráči jsou předloženy vždy dvě loterie Hráč z dvojice volí tu, která se mu zdá lepší (kterou preferuje, přináší mu větší užitek) V jedné z dvojic nabízí jedna loterie jistou výhru 19
Hra 1 Allaisův paradox A: 1 mil. Kč 100 % B: 5 mil. Kč 10 % 1 mil. Kč 89 % 0 Kč 1 % Hráči většinou volí loterii A EV(A) = 1 mil. Kč EV(B) = 1,39 mil. Kč Vaše volba? 20
Hra 2 Allaisův paradox C: 5 mil. Kč 10 % 0 Kč 90 % D: 1 mil. Kč 11 % 0 Kč 89 % Hráči většinou volí loterii C EV(C) = 0,5 mil. Kč EV(D) = 0,11 mil. Kč Vaše volba? 21
Allaisův paradox Podle EV se hráči nerozhodují (již víme z Petrohradského paradoxu) Ani podle funkce užitku peněz však nebylo toto rozhodnutí racionální Z uvedených preferencí lze ukázat: A je lepší než B a C je lepší než D B je lepší než A což je spor 22
Allaisův paradox Dokažme, že: C je lepší než D B je lepší než A C je lepší než D: 0,10u 5 + 0,90u 0 > 0,11u 1 + 0,89u(0) Platí, že 0,11u 1 = 1 0,89 u 1 = u 1 0,89u(1) a dosazením 0,10u 5 + 0,90u 0 > u 1 0,89u 1 + 0,89u 0 a odtud: 0,10u 5 + 0,89u 1 + 0,01u 0 > u 1 neboli B je lepší než A 23
Allaisův paradox Výsledky potvrzují hypotézu, že jistota (100% pravděpodobnost) posiluje přitažlivost dané varianty jistota nějaké varianty ovlivní hodnocení ostatních variant Výsledky tohoto experimentu zpochybňují teorii racionálního očekávání (výhry se stejnou střední hodnotou by měly mít stejný užitek) Závěr: na jednotlivé části hry (loterie) nelze pohlížet jako na nezávislé části 24
Ellsbergův paradox Daniel Ellsberg (USA, 1962) Lidé někdy projevují preference v rozporu s axiomy EUT (totéž jako Allais) Hráči absolvují dvě rozhodovací kola V každém volí jednu ze dvou sázek V obou kolech je v urně 90 míčků 30 má červenou barvu Zbývající (60) mají černou a žlutou barvu neznámý poměr 25
Hra 1 Ellsbergův paradox A: sázka na červenou červená = 10 Kč jinak = 0 Kč B: sázka na černou černá = 10 Kč jinak = 0 Kč Hráči většinou volí A Tedy: 1 u 10 + 2 u 0 > p u 10 + 1 p u(0) 3 3 Vaše volba? p pravděpodobnost vytažení černé 26
Hra 2 Ellsbergův paradox C: sázka na červenou a žlutou D: sázka na černou a žlutou červená či žlutá = 10 Kč, jinak = 0 Kč černá či žlutá = 10 Kč, jinak = 0 Kč Hráči většinou volí D Tedy: p u 10 + p u(10) + 1 u 0 > 3 1 3 Vaše u 10 + p u 10 volba + p u(0)? p pravděpodobnost vytažení černé, p žluté 27
Hra 1 1 Ellsbergův paradox u 10 + 2 u 0 > p u 10 + 1 p u(0) 3 3 1 u 10 + 2 u 0 > p u 10 + u 0 p u 0 3 3 1 u 10 1 u 0 > p u 10 p u(0) 3 3 1 3 u 10 u 0 > p u 10 u 0 1 3 > p neboť u 10 > u 0 a tudíž u 10 u 0 > 0 Černých je méně než 1/3. 28
Hra 2 Ellsbergův paradox p u 10 + p u(10) + 1 3 u 0 > 1 u 10 + 3 p u 10 + p u(0) p + p = 2 3 p = 2 3 p p + p u 10 + 1 3 u 0 > 1 u 10 + p u 10 + p u(0) 3 2 3 u 10 + 1 3 u 0 > 1 3 u 10 + 2 p u 10 + p u(0) 3 2 3 u 10 + 1 3 u 0 > 1 3 u 10 + 2 u 10 p u(10) + p u(0) 3 1 3 u 0 1 u 10 > p u(0) u(10) 3 Černých je více než 1/3. 1 3 < p neboť u 0 u 10 < 0 29
Závěr: Ellsbergův paradox Hra 1 ukazuje, že hráč očekává méně než třetinu černých míčků Hra 2 ukazuje, že hráč očekává více než třetinu černých míčků Což je spor v racionálním očekávání Je porušen předpoklad nezávislosti užitkové funkce na riziku (averze vůči riziku) 30
1.3 Teorie užitku Existují další nové modely teorie užitku (např. kumulativní prospektová teorie, Amos Tversky, Daniel Kahneman, 1992) umí vysvětlit Allaisův paradox I přes uvedené paradoxy se stále v teorii her (a nejen v ní) používá teorie očekávaného užitku 31
KONEC 32