Pravděpodobnost a statistika (BI-PST) Cvičení č. 2

Transkript

1 Pravděpodobnost a statistika (BI-PST) Cvičení č. 2 J. Hrabáková, I. Petr, F. Štampach, D. Vašata Katedra aplikované matematiky Fakulta informačních technologií České vysoké učení technické v Praze ZS 2014/2015 Hrabáková, Petr, Štampach, Vašata BI-PST, Cvičení č. 2 ZS 2014/ / 15

2 Opakování teorie Definice: Buďte A, B jevy a P(B) > 0. Podmíněnou pravděpodobnost jevu A za předpokladu (jevu) B definujeme jako P(A B) = P(A B). P(B) Pro pravděpodobnost definovanou na konečné Ω jako P(A) = N (A)/N je tato definice přirozená: Zajímáme se pouze o takové výsledky, při kterých nastane B. Počet všech takových jevů je N (B) a počet příznivých jevů, kdy zároveň nastane A, je N (A B). Tudíž P(A B) = N (A B) N (B) = N (A B) N N N (B) P(A B) =. P(B) Hrabáková, Petr, Štampach, Vašata BI-PST, Cvičení č. 2 ZS 2014/ / 15

3 Opakování teorie Podmíněná pravděpodobnost - ve chvíli kdy máme částečnou informaci o výsledku experimentu. Hodíme kostkou a bez další informace víme, že P(4) = 1/6. Hrabáková, Petr, Štampach, Vašata BI-PST, Cvičení č. 2 ZS 2014/ / 15

4 Opakování teorie Podmíněná pravděpodobnost - ve chvíli kdy máme částečnou informaci o výsledku experimentu. Hodíme kostkou a bez další informace víme, že P(4) = 1/6. Pokud víme, že padlo sudé číslo je jasné, že P(4 sudé) = 1/3. Hrabáková, Petr, Štampach, Vašata BI-PST, Cvičení č. 2 ZS 2014/ / 15

5 Opakování teorie Podmíněná pravděpodobnost - ve chvíli kdy máme částečnou informaci o výsledku experimentu. Hodíme kostkou a bez další informace víme, že P(4) = 1/6. Pokud víme, že padlo sudé číslo je jasné, že P(4 sudé) = 1/3. P(A B) = P(A B) P(B) = P(B A) P(A) Lemma: Pro libovolné jevy A a B takové, že 0 < P(B) < 1, platí P(A) = P(A B) P(B) + P(A B c ) P(B c ). Hrabáková, Petr, Štampach, Vašata BI-PST, Cvičení č. 2 ZS 2014/ / 15

6 Opakování teorie Lemma: Nechť pro jev B platí P(B) > 0. Podmíněná pravděpodobnost P( B) je pravděpodobnost, tj. splňuje axiomy 1 P(Ω B) = 1 2 pro každý jev A platí P(A B) 0 3 pro disjunktní jevy A a C platí P(A C B) = P(A B) +P(C B) Lemma (Multiplikativní zákon): Nechť pro jevy A 1,..., A n je P(A 1 A n ) > 0 Pak platí P(A 1 A n ) = P(A 1 ) P(A 2 A 1 ) P(A 3 A 1 A 2 )... P(A n A 1 A n 1 ) Hrabáková, Petr, Štampach, Vašata BI-PST, Cvičení č. 2 ZS 2014/ / 15

7 Příklad 2.1 Ve třídě je 70% chlapců. 10% z chlapců hraje fotbal. Žádná z dívek nehraje fotbal / 5% dívek hraje fotbal. Kolik žáků ve třídě hraje fotbal? Hrabáková, Petr, Štampach, Vašata BI-PST, Cvičení č. 2 ZS 2014/ / 15

8 Příklad 2.2 Dvě losovací urny obsahují stejné modré nebo bílé kuličky. První urna obsahuje 2 bílé a 3 modré. Druhá potom 3 bílé a 4 modré. Z první urny náhodně vytáhneme kuličku a přendáme ji do druhé urny. Potom z druhé urny vytáhneme kuličku a podíváme se na ní. Jaká je pravděpodobnost, že bude mít modrou barvu? Hrabáková, Petr, Štampach, Vašata BI-PST, Cvičení č. 2 ZS 2014/ / 15

9 Opakování teorie Definice: Jevy A a B se nazývají nezávislé, pokud P(A B) = P(A) P(B). Obecně se množina jevů {A i i I } nazývá nezávislou, jestliže P i J A i = i J P(A i ) pro všechny neprázdné konečné podmnožiny J množiny I. Obecně neplatí, že A a B jsou nezávislé pokud A B =! (platí pouze pokud P(A) = 0 nebo P(B) = 0) Hrabáková, Petr, Štampach, Vašata BI-PST, Cvičení č. 2 ZS 2014/ / 15

10 Příklad 2.3 Házíme dvakrát poctivou mincí. Uvažujeme následující jevy: A - v prvním hodu padla panna B - v druhém hodu padla panna C - v obou hodech padl stejný výsledek Tvoří jevy A, B a C nezávislou množinu? Hrabáková, Petr, Štampach, Vašata BI-PST, Cvičení č. 2 ZS 2014/ / 15

11 Příklad 2.4 Máme balíček 52 karet. Jsou jevy vytažení srdcové karty a vytažení dámy nezávislé? Jak se výsledek změní přidáme-li do balíčku jednoho (více) žolíků? Hrabáková, Petr, Štampach, Vašata BI-PST, Cvičení č. 2 ZS 2014/ / 15

12 Příklad 2.5 Nechť A a B jsou nezávislé jevy. Ukažte, že také A c a B jsou nezávislé a tudíž i A c a B c jsou nezávislé. Hrabáková, Petr, Štampach, Vašata BI-PST, Cvičení č. 2 ZS 2014/ / 15

13 Příklad 2.6 Házíme dvakrát vyváženou kostkou (pravděpodobnost každé strany je stejná). Jaká je pravděpodobnost, že součet hodů bude větší než 7 za předpokladu, že v prvním hodu padla 4. Hrabáková, Petr, Štampach, Vašata BI-PST, Cvičení č. 2 ZS 2014/ / 15

14 Příklad 2.7 Mezi body A a B vedou dvě silnice a mezi body B a C vedou také dvě silnice. V zimě může být nezávisle na ostatních každá z těchto 4 silnic zablokována sněhem s pravděpodobností p. Jaká je pravděpodobnost, že je možné se dostat a bodu A do bodu C. Hrabáková, Petr, Štampach, Vašata BI-PST, Cvičení č. 2 ZS 2014/ / 15

15 Příklad 2.8 Předpokládejme, že pravděpodobnosti, že se narodí chlapec nebo dívka jsou stejné, pohlaví dvou různých dětí (i u týchž rodičů) jsou nezávislé. Vidím fotku na které jsou rodiče a dvě děti. Jedno z dětí je chlapec a druhé je v kostýmu (není poznat pohlaví). Jaká je pravděpodobnost, že i druhé dítě je chlapec? Jestliže víme, že chlapec rozpoznatelný na fotce se narodil v pondělí a děti se rodí ve všech dnech rovnoměrně, jak se změní odpověď? Hrabáková, Petr, Štampach, Vašata BI-PST, Cvičení č. 2 ZS 2014/ / 15

16 Příklad 2.9 Galtonův paradox Hodíme třemi poctivými mincemi. Minimálně dvě ukazují stejný výsledek (panna nebo orel) a je vyrovnaná šance, že třetí bude panna nebo orel. Takže pravděpodobnost, že budou všechny 3 stejné je P(3 stejné) = 1 2. Souhlasíte? Hrabáková, Petr, Štampach, Vašata BI-PST, Cvičení č. 2 ZS 2014/ / 15

17 Příklad 2.10 Urna obsahuje b modrých a r červených kuliček. Postupně je náhodně losujeme a nevracíme je zpět. Ukažte, že pravděpodobnost toho, že první červená kulička bude vytažena až v (k + 1) tahu se rovná ( ) ( ) r + b k 1 r + b /. r 1 b Hrabáková, Petr, Štampach, Vašata BI-PST, Cvičení č. 2 ZS 2014/ / 15