Medelova uiverzita v Brě Provozě ekoomická fakulta Využití pojisté matematiky v práci pojišťovacího zprostředkovatele Bakalářská práce Vedoucí práce: Doc. Ig. Eva Vávrová Ph.D. Lucie Pečiková Bro 2012
Na tomto místě bych chtěla poděkovat doc. Ig. Evě Vávrové, Ph. D. za vedeí bakalářské práce.
Prohlašuji, že jsem svoji bakalářskou práci vypracovala samostatě s využitím iformačích zdrojů, které jsou v práci citováy. V Brě de 4. leda 2013
Abstract This bachelor s thesis is dealig with isured mathematics i a job of isurace broker. First part is dedicated to characteristics of the isurace. Later it deals with isurace mathematics i isurace for idividuals i theory. But the mai emphasis is put o usage of isurace mathematics for calculatig lifelog pesios from pesio additioal isurace cover. Keywords Isured mathematics, lifetime pesio, pesio schemes. Abstrakt V této bakalářské práci se věuji problematice pojisté matematiky v práci pojišťovacího zprostředkovatele. Prví část je věováa charakteristice pojištěí. Potom se věuji teoreticky pojisté matematice v pojištěí osob. Hlaví důraz je ale klade a využití pojisté matematiky při výpočtu doživotích pezí z pezijího připojištěí. Klíčová slova Pojistá matematika, doživotí peze, pezijí připojištěí.
Obsah 5 Obsah 1 Úvod a cíl práce 10 1.1 Úvod... 10 1.2 Cíl práce... 11 2 Metodika 12 3 Charakteristika pojištěí 13 3.1 Děleí pojištěí dle formy vziku pojištěí... 13 3.2 Děleí pojištěí dle pojistých odvětví... 14 3.3 Děleí pojištěí dle délky jeho trváí... 15 4 Kalkulace pojistého v životím pojištěí 16 4.1 Úmrtostí tabulky... 16 4.2 Komutačí čísla... 19 4.3 Výpočet pojistého v pojištěí osob... 19 4.4 Pricipy v pojištěí osob... 20 4.5 Pojištěí a dožití... 20 4.6 Pojištěí důchodů... 21 4.6.1 Doživotí důchod... 22 4.6.2 Dočasý důchod... 23 4.6.3 Důchod vypláceý področě... 24 4.7 Pojištěí pro případ smrti... 24 4.8 Smíšeé pojištěí... 25 5 Aplikace pojisté matematiky 27 5.1 Pezijí fody... 27 5.2 Druhy pezí vypláceých pezijími fody... 28 5.2.1 Pezijí fod České pojišťovy... 29 5.2.2 Pezijí fod České spořitely... 32 5.2.3 Pezijí fod Komerčí baky... 33 5.2.4 ČSOB pezijí fod Stability... 35
6 Obsah 5.2.5 ING pezijí fod...36 5.2.6 Geerali pezijí fod... 38 5.2.7 AEGON pezijí fod... 41 5.2.8 AXA pezijí fod... 41 5.2.9 Pezijí fod Alliaz...42 5.3 Diskuze zjištěých výsledků...43 6 Závěr 45 7 Literatura 47 A Úmrtostí tabulky pro muže v roce 2011 50 B Úmrtostí tabulky pro žey v roce 2011 53
Obsah 7
8 Sezam obrázků Sezam obrázků Obr. 1 Fukce přežití pro muže a žey v roce 2011 17 Obr. 2 Graf doživotí rety a jedorázového vyrováí klieta A u Pezijího fodu České pojišťovy 30 Obr. 3 Graf doživotí měsíčí rety a jedorázového vyrováí u Pezijího fodu České pojišťovy 31 Obr. 4 Graf doživotí měsíčí rety v závislosti a objem u espořeých prostředků u Pezijího fodu České pojišťovy33 Obr. 5 Graf doživotí rety a jedorázového vyrováí klieta B u Pezijího fodu České pojišťovy 34 Obr. 6 Graf doživotí rety a jedorázového vyrováí klieta A u Geerali pezijího fodu 39 Obr. 7 Graf jedorázového vyrováí, doživotí rety vypláceé ročě a měsíčě klieta B u Geerali pezijího fodu 40
Sezam tabulek 9 Sezam tabulek Tab. 1 Děleí pojištěí dle předmětu pojištěí 14 Tab. 2 Komutačí čísla 19 Tab. 3 Vzorce pro důchod vypláceý področě 24 Tab. 4 Počet aktivích účastíků pezijího připojištěí 28 Tab. 5 Techické úrokové míry a typy úmrtostích tabulek jedotlivých fodů 29 Tab. 6 Výše doživotí peze u PF ČP pro klieta A 30 Tab. 7 Výše doživotí peze u PF ČP pro klieta B 31 Tab. 8 Výše měsíčí doživotí peze u Pezijího fodu České spořitely 32 Tab. 9 Výše měsíčí doživotí peze u PF Komerčí baky 34 Tab. 10 Výše doživotí peze u ČSOB PF Stabilita pro klieta A 35 Tab. 11 Výše doživotí peze u ČSOB PF Stabilita pro klieta B 36 Tab. 12 Výše doživotí ročí peze u ING PF pro klieta A 37 Tab. 13 Výše doživotí ročí peze u ING PF pro klieta B 37 Tab. 14 Výše doživotí měsíčí peze u ING PF 38 Tab. 15 Výše doživotí peze u Geerali PF pro klieta A 39 Tab. 16 Výše doživotí peze u Geerali PF pro klieta B 40 Tab. 17 Výše doživotí peze u AEGON PF pro klieta B 41 Tab. 18 Výše doživotí peze u AXA PF 42 Tab. 19 Porováí měsíčí doživotí peze klieta A u jedotlivých fodů 43 Tab. 20 Porováí měsíčí doživotí peze klieta B u jedotlivých fodů 44
10 Úvod a cíl práce 1 Úvod a cíl práce 1.1 Úvod Člověk je ovlivě áhodými událostmi, které mají vliv a aši čiost des a deě. Riziku jsou eustále vystavei eje jedotlivci ale i podiky. Riziko představuje možost ztráty majetkové či poškozeí zdraví vlivem působeí přírodích živlů či čiostí člověka. Vziku ahodilých událostí je možo předcházet, ale to eí možé ve všech případech. Jedou z možostí, jak se bráit před egativími dopady ahodilých událostí, je tvorba rezerv sloužících k zaplaceí vziklých škod. Ne vždy je ale jediec schope vytvořit tak velkou rezervu, aby mohl hradit tak velký rozsah škod. Tehdy přichází a řadu pojišťovy. V deší době eistuje spousta možostí, jak pojištěí sjedat. Kromě využití služeb přímo pojišťovy klieti často volí služby pojišťovacího zprostředkovatele. Práce pojišťovacího zprostředkovatele či fiačího poradce je s pojistou matematikou úzce spojeá. I když emusí provádět výpočty samotí zprostředkovatelé, je v jejich práci obsažea. Nepřízivý demografický vývoj ve spojeí se stále zvyšujícím dobou odchodu do důchodu vede kliety k tomu, že se začíají připravovat sami a propad příjmů po odchodu do důchodu. Často k tomuto účelu využívají produkty pojistého trhu jako apříklad pezijí připojištěí, životí ivestičí a kapitálové pojištěí. V současé době dochází ve spojitosti s důchodovou reformou ke zvýšeému zájmu o pezijí připojištěí. Důchodový systém v ČR fuguje a průběžém fiacováí. Roku 1994 začali a trhu vzikat pezijí fody, které abízí pezijí připojištěí se státím příspěvkem. Teto produkt se od roku 2013 stae III. pilířem důchodového systému a a počátku roku 2013 vzike i ový produkt, který bude představovat II. pilíř v podobě ového důchodového spořeí. Tyto dva pilíře doplí poviý I. pilíř, který zajišťuje výplatu současých starobích důchodů. Změy se budou týkat i populárího pezijího připojištěí. Od 1. leda 2013 vzikou ové fody, které se budou od těch starých lišit hlavě v tom, že již ebude garace ezáporého zhodoceí, možost sjedáí výsluhové peze a vybráí prostředků v rámci jedorázového vyrováí. Současé pezijí fody se staou tzv. trasformovaými fody se zachovaými podmíkami s výjimkou státího příspěvku, který bude ve stejé výši jako u ových účastických fodů. Sjedáí smlouvy za starých podmíek bylo možé pouze do koce listopadu 2012 a přestupy mezi fody byly možé pouze do úora 2012, což mělo za ásledek zvýšeý zájem o teto produkt eje u klietů pojišťovacích zprostředkovatelů. Někteří zprostředkovatelé využívali při svém rozhodováí o správé volbě fodu pro klieta hodoty vypočteých pezí pro jedotlivé fody. Pezijí fody provádí výpočty a základě pojistě matematických postupu uvedeých v pezijích pláech.
Úvod a cíl práce 11 1.2 Cíl práce Hlavím cílem bakalářské práce Využití pojisté matematiky v práci pojišťovacího zprostředkovatele je aalyzovat pojistě matematické postupy a modelových příkladech v práci pojišťovacího zprostředkovatele. Dílčím cílem je výpočet doživotí peze jedotlivých fodů a jejich porováí. Výsledkem by mělo být srováí, u kterého pezijího fodu kliet získá v současé době ejvyšší pezi. Bakalářská práce by měla pomoci k pochopeí zákoitostí při výpočtech pezí a výzamu pojisté matematiky v práci pojišťovacího zprostředkovatele.
12 Metodika 2 Metodika Celou bakalářskou práci je možé rozdělit a část teoretickou a část praktickou. Při vypracováí bakalářské práce se budu ejprve zabývat teoretickým pozatkům potřebým k výpočtům v praktické části. Teoretická část práce se věuje a úvod charakteristice pojištěí, a potom samoté pojisté matematice v životím pojištěí. Kapitola věovaá pojisté matematice v životím pojištěí (kapitola 4) začíá popisem úmrtostích tabulek a výpočtu komutačích čísel potřebých při kalkulacích v životím pojištěí. V této kapitole jsou zmíěy vzorce pro výpočet pojistého pro pojištěí a dožití, pojištěí peze a pojištěí pro případ smrti. Tyto vzorce jsou používáy ve stejé ebo lehce upraveé podobě při výpočtu peze z pezijího připojištěí. V ukázkových příkladech v teoretické části je počítáo s techickou úrokovou mírou 2 % a jsou používáy úmrtostí tabulky zveřejěé Českým statistickým úřadem pro rok 2011 v ČR. Kapitola 5 se věuje samotým výpočtům doživotí peze u jedotlivých fodů. U výpočtů je vycházeo z iformací poskytutými jedotlivými pezijími fody. Pomocí metod deskripce, aalýzy a komparace jsou rozebráy zjištěá data. Pro porováí jedotlivých pezí fodů jsem zvolila dva modelové kliety. Výpočet peze je v obou případech provádě v 60 letech klieta a je předpokládáo, že jsou vždy splěy podmíky pro výplatu peze. Rozdíl mezi dvěma modelovými kliety je pohlaví, kliet A je muž a kliet B je žea. Některé pezijí fody při výpočtech používají přepočteé úmrtostí tabulky, které ezveřejňují. Přepočteí je provedeo a základě vyásobeí tabulek ČSÚ selekčím koeficietem. V těchto případech jsou výpočty prováděy s úmrtostími tabulkami vydaými ČSÚ, tedy jsem selekčí koeficiet položila rove 1. U každého fodu je před výpočtem peze uvedeo, jaké úmrtostí tabulky jsou použity. Pro porováí je zaedbáo, že ěkteré fody vyplácí pezi v miimálí výši 500 Kč. Pokud je peze ižší ež je staoveá miimálí hraice, dochází k prodloužeí doby mezi jedotlivými výplatami. Pezijí fod Alliaz považuje údaje pro výpočet peze za iterí záležitost a tyto údaje ezveřejňuje, proto pro ěj ebyli jedotlivé peze počítáy a je uvedeý pouze vzorec pro výpočet. V závěru kapitoly věovaé aplikaci pojisté matematiky jsou pomocí komparace rozebráy výše doživotích pezí u jedotlivých fodů vypláceých měsíčě. Porováy budou výsledky zvlášť pro muže a zvlášť pro žey. Bude zmíě i rozdíl mezi výplatou peze pro muže a žey. Rozsah bakalářské práce mi edovoluje se věovat pojistým rezervám a ákladům pojišťovy.
Charakteristika pojištěí 13 3 Charakteristika pojištěí V současé době pojišťovy abízí esčeté možství pojištěí. Teoreticky lze říci, že každé riziko je možé pojistit. Na druhou strau pouze eistece rizika estačí ke vziku pojištěí, ale důležitou roli zde hraje i cea pojištěí a riziko musí splňovat určité kriteria. Současá abídka pojišťove je opravdu pestrá, a proto je třeba pojištěí třídit podle rozdílých parametrů. Názor a klasifikaci pojištěí ale eí sjedoce. V základí klasifikaci je možé pojištěí rozdělovat dle: formy vziku pojištěí, pojistého odvětví, délky trváí pojištěí. Jedotlivým děleí se budu věovat podroběji. 3.1 Děleí pojištěí dle formy vziku pojištěí Pojištěí může vzikat v ěkolika formách. Základí děleí je a smluví a zákoé. Smluví pojištěí se potom dále dělí a dobrovolé a smluví. Zákoé pojištěí vziká přímo ze zákoa, který přesě vymezuje, kdy pojištěí vziká a všechy jeho áležitosti včetě pojišťovy, pojistého a pojistých podmíek. Neí uzavíráa pojistá smlouva. Pojištěí je právími předpisy staoveo jako zákoé v případech obecém zájmu, kdy je zvýšeé riziko škod a je třeba zajistit fiacováí áhrady. Od tohoto typu pojištěí se postupě ustupuje. V ČR a pricipu zákoého pojištěí fuguje pouze zákoé pojištěí odpovědosti orgaizace za škodu při pracovím úrazu ebo emoci z povoláí. Smluví formy pojištěí vzikají a základě pojisté smlouvy (u krátkodobých pojištěích může pojištěí eistovat i bez pojisté smlouvy). Smluví dobrovolé pojištěí uzavírá pojistík a základě vlastí vůle. Jedá se o ejstarší formu pojištěí a a pojistém trhu zaujímá ejvětší podíl. Stejě jako u zákoé formy pojištěí mají v případě povié smluví formy zákoodárci zájem o vzik pojištěí, které má chráit hlavě osoby, jimž vzike škoda vlivem třetí osoby. Jak již ázev apovídá, pojištěí vziká a základě smlouvy a práví předpisy určují podmíky jeho vziku. Pojištěí se zaměřuje a odpovědost za škodu, která je spojea s jistou čiostí. Pravděpodobě ejzámějším příkladem je pojištěí odpovědosti z provozu vozidla. Další příklady jsou spojey s určitými profesemi jako lékaři, auditoři, daňoví poradci, makléři apod. Oproti zákoému pojištěí je tato forma fleibilější. Je možo volit mezi více pojišťovami a základě cey i rozsahu abízeého krytí. (Čejková, Nečas, 2006, str. 25-27)
14 Charakteristika pojištěí 3.2 Děleí pojištěí dle pojistých odvětví Na děleí podle odvětví je možo ahlížet z ěkolika pohledů. Jedím hlediskem, podle kterého lze pojištěí dělit do odvětví je předmět pojištěí. Rozlišujeme pojištěí majetku, pojištěí odpovědosti za škodu a pojištěí osob. Odvětví je možo dále dělit a skupiy pojištěí a to se dále čleí a jedotlivá pojištěí. (Čejková, Nečas, 2006, str. 27-28) Tab. 1 Děleí pojištěí dle předmětu pojištěí Pojištěí majetku Pojištěí pro cesty a pobyt Pojištěí motorových vozidel, havarijí pojištěí Pojištěí domácostí Pojištěí ztrát způsobeých přerušeím provozu (šomáží pojištěí) Pojištěí techických rizik Pojištěí fiačích rizik Pojištěí pro případ poškozeí věci vodou z vodovodího zařízeí Pojištěí pro případ škod způsobeých krádeží ebo loupežým přepadeím Pojištěí staveb Živelá pojištěí Pojištěí All risk Pojištěí přepravy Pojištěí úvěru Pojištěí letadel Jiá pojištěí Pojištěí odpovědosti za škodu Pojištěí odpovědosti za škodu způsobeou provozem vozidla Pojištěí odpovědosti za škodu způsobeou při výkou povoláí Pojištěí odpovědosti za škodu v občaském životě Pojištěí odpovědosti orgaizace za škodu způsobeou pracovím úrazem ebo emocí z povoláí Pojištěí odpovědosti za škodu maagemetu Pojištěí odpovědosti za výrobek Pojištěí odpovědosti za škodu civilího leteckého dopravce Pojištěí odpovědosti za škodu při výkou lovecké čiosti Jiá pojištěí Pojištěí osob Pojištěí pro případ smrti Kapitálové životí pojištěí Důchodové pojištěí Pojištěí pro děti a mládež Ivestičí životí pojištěí Pojištěí léčebých výloh Kombiovaé a skupiové pojištěí Pojištěí vážých chorob Pojištěí v případě emoci Úvěrové pojištěí Úrazové pojištěí Pojištěí pro případ hospitalizace Jiá pojištěí
Charakteristika pojištěí 15 Další možým čleěím je a základě způsobu tvorby rezerv a rizikové a rezervotvoré. Rizikové eboli eživotí pojištěí se vyzačuje tím, že eí předem jisté, zda pojisté událost astae či ikoliv a tedy zda pojišťova bude muset vyplácet pojisté plěí. Výše rezervy je staovea a základě rozsahu pojistého rizika, rozsahu způsobeých škod a pravděpodobosti vziku pojisté události. Rezervotvoré eboli životí pojištěí je pojištěí, které vždy vytváří techické rezervy. Jedá se o typ, kdy vždy dojde k pojistému plěí. Typickým příkladem je životí pojištěí, kdy pojišťova vyplácí plěí buď při úmrtí pojištěého ebo a koci pojištěí. Záko č. 37/2004 Sb., o pojisté smlouvě rozděluje pojištěí a škodové a obosové. Při škodovém pojištěí je vyplacea částka odpovídající výši škody vziklé v důsledku pojisté události. Obosové pojištěí se liší od škodového pojištěí právě ve vypláceí pojistého plěí. Při vziku pojisté události je při splěí smluvích podmíek vyplacea fiačí částka ezávislá a rozsahu škody. 3.3 Děleí pojištěí dle délky jeho trváí Dalším děleím dle Čejkové a Nečase (2006) je rozděleí a krátkodobé a dlouhodobé podle délky trváí pojištěí. Krátkodobé pojištěí bývá často azýváo jako področí a je to typ sjedaý a dobu kratší ež jede rok. Dlouhodobé pojištěí trvá déle ež jede rok. Do této skupiy se řadí i pojištěí a dobu eurčitou a obvykle se sem řadí i pojištěí trvající jede rok.
16 Kalkulace pojistého v životím pojištěí 4 Kalkulace pojistého v životím pojištěí 4.1 Úmrtostí tabulky Při výpočtech v životím pojištěí jsou využíváy úmrtostí tabulky, které popisují úmrtost. Jejich kostrukcí se zabývá demografie a jejich sestaveí je založeo a ěkolika předpokladech. Vychází se z toho, že edochází k migracím, eměí se věková struktura obyvatel a její velikost. Statistický úřad ČR každý rok zveřejňuje počet zemřelých a arozeých osob. Z ich jsou pak odvozeý úmrtostí tabulky. Pojišťovy obvykle využívají zveřejěá data, popřípadě je upravuje dle svých vlastích zkušeostí a vypozorovaých zákoitostí s přihlédutím a vlastí pojistý kme. Úmrtostí tabulky dle Cipry (1995) rozlišujeme: úplé: údaje jsou uváděy pro každý věk, tz. pro věk 0,1, ω, zkráceé: údaje jsou uváděy pro delší věkový iterval (0,1-4,5-9, ), běžé: data jsou čerpáy z úmrtostích zkušeostí populace během kratšího časového období, geeračí: v tabulce jsou zazameáváy skutečé vývoj kokrétí geerace. V prai pojišťovy jsou ejčastěji využíváy běžé úplé úmrtostí tabulky. Úmrtostí tabulky jsou sestavováy jedak bez rozlišováí pohlaví, ale i zvlášť pro muže a žey. Do tabulky jsou ve sloupcích většiou zazameáváy kokrétí veličiy, jako je apříklad věk osoby, počet žijících a zemřelých osob v daém věku, ročí míra dožití, ročí míra úmrtosti, počet roků prožitých osobami v daém věku, počet zůstávajících roků života a středí délka života. Některé veličiy v úmrtostích tabulkách rozeberu postupě podroběji: Prví sloupec zachycuje věk osoby a { 0,1...,ϖ }, ω je maimálí věk v úmrtostí tabulce, obvykle bývá pevě staove hodotou 103 ebo 105, i když se osoby dožívají i vyššího věku. Někdy bývají tabulky upravey tak, že hodoty začíají v 18 letech. Teto případ astává v případě vyššího vstupího věku pojištěého. Počet osob žijících ve věku vyjadřuje l. Začíá se hodotou l0 eboli kořeem úmrtostí tabulky, který reprezetuje úvodí počet osob mode- l se azývá fukce přežití. Příklad fukce lového souboru. Posloupost { } ω 0 pro muže a žey pro úmrtostí tabulky zveřejěé ČSÚ pro rok 2011 jsou zachycey a Obr. 1.
Kalkulace pojistého v životím pojištěí 17 Fukce přežití pro ČR v roce 2011 l počet osob žijících ve věku 120000 100000 80000 60000 40000 20000 0 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 věk Obr. 1 Fukce přežití pro muže a žey v roce 2011 Fukce přežití pro žey Fukce přežití pro muže Zároveň bývá v tabulce i uvádě počet osob, které zemřou ve věku. Počet zemřelých je zače d a jeho hodota je rova rozdílu počtu osob žijících ve věku +1 a. d = l +1 l (1) Pravděpodobost, že se -letá osoba dožije věku +1, eboli ročí míru dožití, ajdeme v tabulce ve sloupci ozačeém jako p. Její hodota je rova podílu osob žijících ve věku +1 a ve věku. p l +1 = (2) l Příklad: Jaká je pravděpodobost, že se 30letý muž dožije 31 let. Řešeí: l31 98380 p 30 = = = 0,999072 99,9072% l 30 98471 Pravděpodobost, že se muž dožije dalšího roku je 99,907 %. Ozačeí q vyjadřuje pravděpodobost, že se -letá osoba edožije věku +1 a její odvozeí vypadá ásledově:
18 Kalkulace pojistého v životím pojištěí p + q = 1 l q = 1 p = 1 l + 1 + 1 l l = l d = l Příklad: Jaká je pravděpodobost, že se 30letý muž edožije 31 let. Řešeí: q = 1 0,999072 = 0,000928 0,0928% 30 d30 91 q30 = = = 0,000928 0,0928% l30 98471 Pravděpodobost, že se muž edožije dalšího roku je meší ež 0,1 %. (3) Někdy se používají i další pravděpodobosti, příkladem jsou ásledující dva vztahy: Pravděpodobost toho, že se osoba ve věku dožije dalších let, tedy že se dožije věku +. p l+ 1... (4) l = p p+ p+ 1 = Pravděpodobost toho, že se osoba ve věku edožije věku +. q p l l + =1 + = (5) l Příklad: Pro 30 ti letého muže spočítejte ásledující pravděpodobosti: a) pravděpodobost, že se muž dožije 35 let. b) pravděpodobost, že se muž edožije 35 let. Řešeí: =10 =30 l35 98004 a) 5 p 30 = = = 0,995258 99,5258% l 98471 30 5 30 1 5 30 b) q = p = 1 0,995258 = 0,004742 0,4742% l30 l35 98471 98004 91 5q 30 = = = = 0,004742 0,4742% l 98471 98471 30 Pravděpodobost, že se muž dožije přežije ásledujících pět let je 99,52 % a 0,4742 %, že během ich zemře.
Kalkulace pojistého v životím pojištěí 19 4.2 Komutačí čísla Při výpočtech se často opakují ěkteré výrazy, proto se zavádějí komutačí čísla. Hodota komutačího čísla se odvíjí od úmrtostí tabulky a výši techické úrokové míry. Prví komutačí číslo D vyjadřuje diskotovaý počet osob ve věku. Pro zjedodušeí se předpokládá, že všechy osoby se arodili 1.1. a zemřou 31.12., proto je druhé komutačí číslo C diskotováo pomocí hodoty v +1. Tab. 2 Komutačí čísla Komutačí čísla pro živé D = l v ω i= 0 N = D ω i= 0 S = N + i + i Komutačí čísla pro mrtvé +1 C = d v ω i= 0 M = C ω i= 0 + i R = M + i I Pro výpočet diskotí faktoru v platí: i je (techická) úroková míra. v = 1, kde (6) 1 + i 4.3 Výpočet pojistého v pojištěí osob Při výpočtu pojistého je důležité pevě určit typ pojištěí, pohlaví pojištěého, věk pojištěého, způsob placeí pojistého, vybrat úmrtostí tabulky a zjistit úrokovou míru. V rámci pojištěí osob je možé uzavřít pojištěí pro případ smrti, pojištěí dožití, smíšeé pojištěí ebo důchodové pojištěí. Jak je z ázvu patré, v případě pojištěí pro případ smrti dostávají oprávěé osoby v případě smrti pojištěého pojistou částku. U pojištěí dožití je pojistou událostí dožití pojištěého věku určeého v pojisté smlouvě. Smíšeé pojištěí je potom kombiací obou zmíěých pojištěí. Důchodové pojištěí je zvláštím typem pojištěí, kdy je pojištěému vyplácea pravidelá částka. Pojisté (brutto pojisté) je tvořeo dvěma složkami, a to etto (čistým) pojistým a áklady pojišťovy. Pojisté rozlišujeme jedorázové a běžé. Při jedorázovém pojistém je celé pojisté uhrazeo ajedou a při běžém pojistém se obvykle částka platí jedekrát ročě popřípadě področě (měsíčě, čtvrtletě apod.)
20 Kalkulace pojistého v životím pojištěí 4.4 Pricipy v pojištěí osob Pricip solidarity v pojištěí zameá, že pojištěí projevují solidaritu vůči poškozeému. Při výpočtech pojistého vycházíme ale ze dvou dalších pricipů, a to pricipu fiktivího souboru a z pricipu ekvivalece. Při výpočtu pojistého se vychází z pricipu ekvivalece, což je předpoklad, že současé hodoty příjmů a výdajů pojišťovy jsou si rovy. Z tohoto pricipu vycházejí rovice ekvivalece, kdy se pokládají příjmy rovy výdajům pojišťovy diskotovaé ke stejému datu. V pricipu fiktivího souboru je skryt předpoklad, že pojištěí vždy uzavřou všechy osoby ve věku, tedy pojištěí uzavře l osob dle používaých úmrtostích tabulek. 4.5 Pojištěí a dožití Uzavře-li kliet ve věku pojištěí a dožití věku +, tak je pojistou událostí věk +, kdy je vyplacea pojistá částka PČ. Pojištěí budu ozačovat E. Odvozeí výpočtu pojistého: Při odvozeích budu adále používat PČ= 1p.j. a vždy budou z rovice ekvivalece Výsledkem je tedy jedorázové etto pojisté pro pojistou částku 1 Kč. Vyásobíme-li pravou straou pojistou částkou dostaeme etto pojisté, kte- π, kde je v závorce zdůrazě typ pojištěí. ré budu začit ( ) Rovice ekvivalece: l E = 1 l+ v Rovice ekvivalece vychází z toho, že příjmy a výdaje pojišťovy si musí být rovy. Na levé straě je příjem pojišťovy z pojistky vyásobeé počtem osob, které uzavřou pojištěí. Z předpokladu fiktivího souboru vyplývá, že pojištěí uzavře l osob. Na pravé straě jsou výdaje pojišťovy, což představuje diskotovaé pojisté plěí. Pojišťova vyplatí pojistou částku klietům, kteří se dožijí věku +, proto PČ vyásobíme hodotou l+ diskotovaou k počátku pojištěí. Z rovice ekvivalece je možé odvodit vzorec s použitím pravděpodobostí ebo komutačích čísel. Pravděpodobostí vzorec: l E l = 1 + / l E l E E l = l = l = + p + v v l v v l
Kalkulace pojistého v životím pojištěí 21 Pokud bychom chtěli zjistit jedorázové etto pojisté Π ( E ), používáme ásledující vzorec: Vzorec s použitím komutačích čísel: l E = 1 l Π ( E )= p v PČ (7) + l l D v v E E E = D = l = l v + + + v v + / v D+ E = D Vzorec pro jedorázové etto pojisté Π ) vypadá ásledově: ( E v D+ Π( E ) = PČ (8) D Stejým způsob je možé odvodit i ostatí vzorce v pojištěí osob, proto se odvozeím u ostatích pojištěí ebudu zabývat tak podrobě. Příklad: Jaká je pravděpodobost, že se 30 letý muž edožije 31 let. Řešeí: q = 1 0,999072 = 0,000928 0,0928% 30 d30 91 q30 = = = 0,000928 0,0928% l30 98471 Pravděpodobost, že se muž edožije dalšího roku je meší ež 0,1 %. 4.6 Pojištěí důchodů Pojištěí důchodu představuje ve své podstatě sérii za sebou jdoucích pojištěí a dožití. Pojištěému, popřípadě oprávěým osobám, jsou při splěé podmíek defiovaých pojistou smlouvou vyplácey pravidelé částky-důchod. Pokud eí sjedáa garace, je důchod vypláce je během života pojištěého. Podle toho, kdy je částka vyplácea, rozlišujeme důchod předlhůtí a polhůtí. Předlhůtí důchod je vypláce vždy a začátku smluveého období, polhůtí je vypláce a koci období. V tetu budu začit polhůtí důchod ä a předlhůtí a. Dále rozlišujeme důchod bezprostředí a odložeý. V případě bezprostředího důchodu výplata proběhe během prvího úrokovacího období po sepsáí
22 Kalkulace pojistého v životím pojištěí smlouvy, u odložeého důchodu je prví výplata odložeá o k úrokovacích období. Jak již bylo zmíěo, výplata dávek obvykle kočí úmrtím pojištěého. V tom případě mluvíme o doživotím důchodu. Další možostí je dočasý důchod, kdy k výplatě dochází pouze po určitou dobu. Často pojišťovy abízí i důchod s garací výplaty. Po dobu garace bude důchod vypláce i v případě úmrtí pojištěé osoby. 4.6.1 Doživotí důchod Doživotí důchod je vypláce pravidelě po dobu života klieta. Nyí se budu zabývat růzými typy doživotího důchodu. Prvě budou rozebráy důchody předlhůtí a potom polhůtí. Budou zmíěy i vzorce pro odložeý důchod a důchod s garací výplaty. Doživotí důchod předlhůtí ä Pravděpodobostí vzorec: Vzorec pomocí komutačích čísel: ω t t= 0 t Π(& a& ) = PČ p v (9) N Π (& a& ) = PČ (10) D Uzavře-li -letá osoba pojištěí důchodu, s tím že prví výplatu eobdrží okamžitě, ale až za k let po uzavřeí pojisté smlouvy, mluvíme o doživotím důchodu odložeém o k roků a začíme jej a& &. k Pravděpodobostí vzorec: Vzorec pomocí komutačích čísel: ω t t= k t Π( a& ) = PČ p v (11) k N+ k Π( a& ) = PČ k (12) D Často je využíváa i možost garace vyplaceí důchodu po dobu let. Důchod je vyplace i v případě úmrtí pojištěého.
Kalkulace pojistého v životím pojištěí 23 Pravděpodobostí vzorec: Vzorec pomocí komutačích čísel: ω v 1 Π = + PČ v 1 t= t p v t (13) v Π = v 1 N + D PČ 1 + (14) Eistují i další typy doživotího důchodu jako apříklad důchod s klesající popřípadě rostoucí pojistou částkou. Tyto typy jsou ale v prai méě využíváy, proto se jimi ebudu zabývat hlouběji. Doživotí důchod polhůtí a Nyí se budu věovat případu, kdy je důchod vypláce vždy a koci roku, u kterého uvedu pouze základí vzorec pro výpočet důchodu. Pravděpodobostí vzorec: Vzorec pomocí komutačích čísel: 4.6.2 Dočasý důchod ω t t= 1 t Π( a ) = PČ p v (15) N+1 Π( a ) = PČ (16) D Dočasý důchod spočívá v omezeí maimálí délky doby výplaty, tedy částka je vyplácea maimálě po dobu m. Dočasý důchod předlhůtí äm Pravděpodobostí vzorec: Vzorec pomocí komutačích čísel: m 1 t t= 0 t Π( a& & ) = PČ p v (17) m N N+ m Π(& a& m) = PČ (18) D
24 Kalkulace pojistého v životím pojištěí Dočasý důchod polhůtí am Pravděpodobostí vzorec: Vzorec pomocí komutačích čísel: 4.6.3 Důchod vypláceý področě m t Π( a ) = PČ p v (19) m t t= 1 N N + m+ Π( am) = + 1 1 PČ (20) D V předchozích příkladech byl důchod vypláce jedou ročě, často je však důchod vypláce častěji ež jedou za rok. Při výplatě m-krát za rok za předpokladu rovoměrého rozložeí úmrtí dostaeme ásledující vzorce pro ročí součet důchodu: Tab. 3 Vzorce pro důchod vypláceý področě Důchod Doživotí Dočasý Předlhůtí ( m) m 1 m m 1 a& = & a& a& = a & && 1 E 2m 2m Polhůtí ( m) m 1 m m 1 a =& a + a = & a + 1 E 2m 2m & I ( ) ( ) ( ) ( ) Výsledek je potřeba vydělit počtem výplat v jedom roce eboli hodotou m, abychom dostali částku, kterou bude kliet pravidelě dostávat. 4.7 Pojištěí pro případ smrti U pojištěí pro případ smrti je pojistou událostí smrt pojištěé osoby. V případě úmrtí pojištěého je a koci roku, kdy úmrtí astalo, vyplacea pojistá částka dědicům ebo určeým osobám. Pravděpodobostí vzorec: A ω = PČ t t= 0 p q + t v t+ 1 (21)
Kalkulace pojistého v životím pojištěí 25 Vzorec pomocí komutačích čísel: A PČ M = (22) D Někdy je pro klieta výhodější omezit dobu pojištěí a let. Například živitel rodiy může teto typ pojištěí využít, aby zajistil svou rodiu po dobu předpokládaého studia dětí. Pravděpodobostí vzorec: Vzorec pomocí komutačích čísel: 1 = PČ t t= 0 1 t+ 1 A p q+ t v (23) A 1 M = PČ M D + (24) V prai je velmi časté pojištěí pro případ smrti s klesající pojistou částkou apříklad ve spojeí s úvěrem, kdy pojistá částka klesá podle výše dlužé částky. Pojištěí je možé také odložit o k let, popřípadě uzavřít smlouvu s rostoucí pojistou částkou. 4.8 Smíšeé pojištěí Asi ejpopulárějším typem pojištěí je pojištěí smíšeé. Jedá se o kombiaci pojištěí dožití věku + a dočasé pojištěí pro případ smrti trvající let. Pokud si kliet přeje astavit stejou pojistou částku pro případ úmrtí i pro případ dožití (ozačeí A ) vypadají vzorce ásledově: Pravděpodobostí vzorec: A = p v + t= 1 t 0 p q + t v t+ 1 PČ (25)
26 Kalkulace pojistého v životím pojištěí Vzorec pomocí komutačích čísel: A M M + + D = D + PČ (26) V případě volby rozdílých pojistých částek pro úmrtí a pro dožití je potřeba vzorce upravit: Pravděpodobostí vzorec: 1 = + t+ 1 A PČ p v PČSMRT t p DOŽITÍ q+ t v (27) t= 0 Vzorec pomocí komutačích čísel: A ( M M ) PČ ÚMRTÍ + + PČ D DOŽITÍ + = (28) D
Aplikace pojisté matematiky 27 5 Aplikace pojisté matematiky V této kapitole se budu věovat aplikaci pojisté matematiky ve výpočtech peze z pezijího připojištěí. Vzhledem ke změám, které v současé době probíhají v ČR v rámci důchodové reformy, se zvyšuje prodej pezijích připojištěí a s tím roste i objem uzavřeých smluv pezijího připojištěí pojišťovacími zprostředkovateli. V rámci prodeje byl jedím z parametrů pro odlišeí výhodosti pezijího fodu používáa i výše vyplaceé doživotí rety. Prodejci často argumetovali výši peze bez zalosti toho, jak se výpočet provádí a a jakých parametrech závisí. Často docházeli k mylým závěrům, protože v případě smluv uzavřeých a delší dobu, eí možé počítat s pezí vypočítaou při uzavřeí smlouvy. Výše kokrétí peze je totiž ovlivěa úmrtostími tabulkami a techickou úrokovou mírou používaou v okamžiku výpočtu peze. Prvě se budu věovat pezijím fodům všeobecě, pak způsobům vyplaceí prostředků a výpočtům výše pezí u jedotlivých fodů. Na závěr rozeberu zjištěé výsledky. 5.1 Pezijí fody Pezijí připojištěí je dobrovolé spořeí podporovaé státem upraveé zákoem č.42/1994 Sb., v platém zěí. Na idividuálí účet účastíka jsou připisováy vlastí příspěvky, příspěvky zaměstavatele, státí podpora a podíly a výosech. Vlivem důchodové reformy bylo během prvích 3. čtvrtletí roku 2012 uzavřeo více ež 511 000 ových smluv. Změu počtu smluv a koci roku 2011 a v prvím čtvrtletí 2012 zachycuje tabulka Počet aktivích účastíků pezijího připojištěí. Do koce listopadu bylo možé uzavřít pezijí připojištěí, které garatuje ezáporé zhodoceí s možostí sjedáí výsluhové peze, proto je předpokládá v závěru roku 2012 ještě větší objem uzavřeí ových smluv. Důchodovou reformu upravují tyto zákoy: Záko č. 426/2011 Sb., o důchodovém spořeí, Záko č. 427/2011 Sb. o doplňkovém pezijím spořeí, Záko č. 428/2011 Sb., kterým se měí ěkteré zákoy v souvislosti s přijetím zákoa o důchodovém spořeí a zákoa o doplňkovém pezijím spořeí.
28 Aplikace pojisté matematiky Tab. 4 Počet aktivích účastíků pezijího připojištěí Pezijí fod Počet aktivích účastíků 4. čtvrtletí 2011 1.čtvrtletí 2012 Rozdíl v % AEGON PF 114521 102 421-10,56% Alliaz PF 212 156 305 574 44,03% AXA PF 472 169 462 479-2,05% ČSOB PF STABIL 721 634 715 606-0,83% GENERALI PF 62 087 64068 3,19% ING PG 408 312 402 151-1,51% PF České pojišťovy 1162 495 1162 498 0% PF České spořitely 938 209 957331 2,04% PF Komerčí baky 507626 515 150 1,48% Celkem 4599 209 4687278 1,91% Zdroj: Asociace pezijích fodů 5.2 Druhy pezí vypláceých pezijími fody V této kapitole rozeberu abídku pezí poskytovaých pezijími fody a formy výplaty dávek. Druhy pezí v systému pezijího připojištěí: Starobí peze je sjedáváa vždy a áleží výhradě účastíkovi. Nárok a i získá účastík ejdříve ve věku 60 let, pokud platil příspěvky alespoň 60 kaledářích měsíců. Sjedáí ivalidí peze je dobrovolé a výplata peze áleží pouze účastíkovi. Jejím přizáí zaiká árok a vyplaceí starobí peze. Nárok a pezi vziká pouze v případě sjedáí ve smlouvě, běží-li smlouva alespoň 36 měsíců a miimálě stejě dlouhou dobu jsou placeé i příspěvky. Nárok a pezi vziká ve chvíli, kdy je účastíkovi přizá plý ivalidí důchod z důchodového pojištěí. Výsluhová peze je dalším typem peze, kterou je možé v rámci smlouvy o pezijím připojištěí sjedat. Podmíkou výplaty peze je trváí smlouvy alespoň 180 měsíců a možé je vybrat až 50% prostředků evidovaých a idividuálím účtu účastíka. Pozůstalostí peze áleží ve smlouvě uvedeým oprávěým osobám, pokud smlouva trvá alespoň tři roky. Formy výplaty dávek: Doživotí peze je vyplácea pravidelě po celou dobu života účastíka. Jedorázové vyrováí je způsob, kdy jsou prostředky vyplacey jedorázově.
Aplikace pojisté matematiky 29 Odbyté áleží účastíkovi, který platil příspěvky alespoň po dobu 36 měsíců. V případě vyplaceí odbytého musí být smlouva ukočea výpovědí ebo dohodou. Vyplacey jsou příspěvky účastíka a příslušé podíly a výosech. Pro výpočty pezí budou použity techické úrokové míry uvedeé v ásledující tabulce. Tab. 5 Techické úrokové míry a typy úmrtostích tabulek jedotlivých fodů Pezijí fod Úmrtostí Techická tabulky úroková míra AEGON PF přepočteé 2% Alliaz PF ezveřejňuje ezveřejňuje AXA PF Přepočteé 1,4% ČSOB PF STABIL ČSÚ 2% GENERALI PF Přepočteé 2% ING PF ČSÚ 0,5% PF České pojišťovy Přepočteé 2% PF České spořitely Přepočteé 1,5% PF Komerčí baky přepočteé 0,75% 5.2.1 Pezijí fod České pojišťovy Největším pezijím fodem u ás je PF České pojišťovy. Jediým akcioářem je České pojišťova a fod i pojišťova je součástí Geerali PPF Holdigu. V jeho správě je téměř 1,2 milióů smluv představujících prostředky v objemu 55 miliard koru. Nyí se budu věovat výpočtu celoživotí peze. Dle přílohy k pezijímu pláu č. 6 lze výše doživotí ročí peze P získat z ásledujícího vzorce, kde K jsou všechy prostředky evidovaé ve prospěch klieta a a je počátečí hodota jedotkového doživotího důchodu vypočítaého dle vzorce (10): K P = (29) a Výpočet měsíčí peze provedu a základě vzorce: ( ) P m = 1 P (30) m Při výpočtu byly použity upraveé úmrtostí tabulky zveřejěé a strákách Pezijího fodu České Pojišťovy a techická úroková míra 2%.
30 Aplikace pojisté matematiky Vypočteé peze zaokrouhleé a celé koruy pro klieta A zachycuje pro růzé výše aspořeých prostředků ásledující tabulka: Tab. 6 Výše doživotí peze u PF ČP pro klieta A Výše aspořeých prostředků Ročí doživotí peze Měsíčí doživotí peze 100000 Kč 5 599 Kč 467 Kč 200000 Kč 11198 Kč 933 Kč 300000 Kč 16 797 Kč 1400 Kč 400 000 Kč 22 396 Kč 1866 Kč 500000 Kč 27995 Kč 2 333 Kč 600000 Kč 33594 Kč 2 799 Kč 700 000 Kč 39 193 Kč 3266 Kč 800000 Kč 44792 Kč 3733 Kč 900000 Kč 50391 Kč 4199 Kč 1000 000 Kč 55 990 Kč 4666 Kč Výše aspořeé částky představuje jedorázové vyrováí, pro které se kliet může také rozhodout. Budeme-li uvažovat případ, kdy by bylo jedorázové vyrováí 1 000 000 Kč a pomieme-li iflaci a možostí zhodoceí prostředků, bude stejý objem prostředků jako při jedorázovém vyrováí vyplace klietovy A až v 78 letech. Součet vyplaceých prostředků v podobě peze v jedotlivých letech zachycuje Obr. 2, kde je pro porováí i jedorázové vyrováí. Z grafu je možé vyčíst, kdy součet výplat převýší jedorázové vyrováí, tedy až po 18 letech výplaty peze. Porováí jedorázového vyrováí a doživotí peze 2 500 000 Kč Objem vyplaceých prostředků 2 000 000 Kč 1 500 000 Kč 1 000 000 Kč 500 000 Kč Jedorázové vyrováí Součet výplat doživotí rety 0 Kč 61 66 71 76 81 86 91 96 Věk účastíka Obr. 2 Graf doživotí rety a jedorázového vyrováí klieta A u Pezijího fodu České pojišťovy
Aplikace pojisté matematiky 31 Nyí se budu pomocí stejých vzorců věovat vypočtu pezí pro klieta B. Tab. 7 Výše doživotí peze u PF ČP pro klieta B Výše aspořeých prostředků Ročí doživotí peze Měsíčí doživotí peze 100000 Kč 4942 Kč 412 Kč 200000 Kč 9 885 Kč 824 Kč 300000 Kč 14827 Kč 1236 Kč 400 000 Kč 19 770 Kč 1647 Kč 500000 Kč 24712 Kč 2 059 Kč 600000 Kč 29 654 Kč 2 471 Kč 700 000 Kč 34597 Kč 2 883 Kč 800000 Kč 39 539 Kč 3295 Kč 900000 Kč 44 482 Kč 3707 Kč 1000 000 Kč 49 424 Kč 4119 Kč Jak je z tabulky patré, za stejých podmíek dochází u že k vypláceí ižších částek ež u mužů. To je způsobeo všeobecě zámým faktem, že žey se dožívají vyššího věku. Porováme-li výplatu muže a žey při aspořeé částce 1 000 000 Kč v 60 letech dostaou za dvacet let vyplaceo dohromady 1 119 799 Kč (muž) a 988 481 Kč (žea), rozdíl je tedy po 20 letech vypláceí peze 131 319 Kč. Na Obr. 3 je vidět porováí vyplaceé peze a jedorázového vyrováí při aspořeé částce 1 000 000 Kč v 60 letec. Po 21 letech bude vyplaceo přibližě 1 037 905 Kč, pokud bude žea žít déle ež 80 let, bude ji vyplacea částka vyšší, ež by získala jedorázovým vyrováím. Porováí jedorázového vyrováí a doživotí peze 2500000 Výše vyplaceých prostředků 2000000 1500000 1000000 500000 0 61 71 81 91 Věk účastíka Jedorázové vyrováí Součet výplat doživotí peze Obr. 3 Graf doživotí měsíčí rety a jedorázového vyrováí u Pezijího fodu České pojišťovy
32 Aplikace pojisté matematiky 5.2.2 Pezijí fod České spořitely Pezijí fod České spořitely zahájil svou čiost v ČR roku 1995. Již dvaáct let je čleem středoevropské skupiy Erste Bak. Fod si stabilě drží druhé místo v počtu klietů. Pezijí fod ezveřejňuje úmrtostí tabulky, proto byly pro výpočet použity tabulky publikovaé Českým statistickým úřadem pro rok 2011, z kterých fod vychází. Techická úroková míra, kterou fod pro výpočet pezí používá je 1,5 %. Dle přílohy k Pezijímu pláu č.4 je výše doživotí peze (starobí, výsluhové, ivalidí) vypočítáa podle vzorce: P ( 12) = 1 12 a&& ( 12) ( 12) ( 12) ( 12) ( A a&& ) + D ( a&& a&& ) + D a&& a&& ( 12) ( 12) ( 12) + u + D1 + u k 2 k + u: k 3 y+ s 1 2 S 2 ( ) + u, y+ s,kde (31) ( 12) i P je výše peze vypláceé měsíčě, + u je přesý věk klieta, S je stav účtu účastíka v době výpočtu peze, D 1 určuje, zda-li je sjedáa pozůstalostí peze a dobu k1, D 2 určuje, zda-li je sjedáa garace miimálí doby výplaty peze a dobu k2, D 3 určuje, zda-li je sjedáa doživotí pozůstalostí peze a y+s je věk oprávěé osoby. Platí D = 0, eí-li prvek sjedá a D = 1, je-li sjedá. Protože budu počítat doživotí starobí pezi, položím D 0, abych mohla vypočítat měsíčí i 1,2,3 = pezi. Výsledky v podobě měsíčí doživotí peze v obou modelových příkladech zachycuje ásledující tabulka: Tab. 8 Výše měsíčí doživotí peze u Pezijího fodu České spořitely Výše aspořeých prostředků Měsíčí doživotí peze pro klieta A Měsíčí doživotí peze pro klieta B 100000 Kč 504 Kč 425 Kč 200000 Kč 1008 Kč 851 Kč 300000 Kč 1513 Kč 1276 Kč 400 000 Kč 2 017 Kč 1702 Kč 500000 Kč 2 521 Kč 2 127 Kč 600000 Kč 3025 Kč 2 553 Kč 700 000 Kč 3530 Kč 2 978 Kč 800000 Kč 4034 Kč 3403 Kč 900000 Kč 4538 Kč 3829 Kč 1000 000 Kč 5 042 Kč 4254 Kč
Aplikace pojisté matematiky 33 Pro lepší porováí vztahu vypláceé rety a objemu aspořeých prostředků je závislost zachycea v Obr. 4 zvlášť pro pezi vypočítaou pro muže ve věku 60 let a pro žeu stejého věku. Výše doživotí peze v závislosti a výši aspořeých prostředků 6 000 Kč 5 000 Kč Výše měsíčí rety 4 000 Kč 3 000 Kč 2 000 Kč 1 000 Kč 0 Kč 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 Objem aspořeých prostředků v tisicích Kč Muži Žey Obr. 4 Graf doživotí měsíčí rety v závislosti a objemu espořeých prostředků u Pezijího fodu České pojišťovy 5.2.3 Pezijí fod Komerčí baky Pezijí fod Komerčí baky vstoupil a trh roku 1996 a dispouje druhým ejvětším základím kapitálem. V počtu klietů je fod a třetím místě a spravuje 11% smluv představujících předběžě 13,6% objemu prostředků všech účastíků pezijího připojištěí. Od roku 2006 je fod součástí fiačí skupiy Sociéte Géérale. Pro výpočet pezí byla použita techická úroková míra 0,75% a fodem přepočteé úmrtostí tabulky zveřejěé a iteretových strákách fodu. Výpočet doživotí peze byl provede a základě výpočetích formulí pro staoveí dávek pezijího připojištěí uvedeých v příloze Pezijího pláu č. 4. Výpočet peze se řídí vzorcem: CVP P = ( 12) 12 a&&,kde (32) P je výše peze vypláceé měsíčě, CVP je celková výše prostředků, z ichž je staovea peze, ( 12) a& & je počátečí hodota jedotkového měsíčě předlhůtě vypláceého důchodu.
34 Aplikace pojisté matematiky Platí ( 12) a& & = důchodu. N D 11 24, což zameá, že fod zohledňuje področí vypláceí Tab. 9 Výše měsíčí doživotí peze u PF Komerčí baky Výše aspořeých prostředků Měsíčí doživotí peze pro klieta A Měsíčí doživotí peze pro klieta B 100000 Kč 484 Kč 399 Kč 200000 Kč 968 Kč 799 Kč 300000 Kč 1452 Kč 1198 Kč 400 000 Kč 1937 Kč 1598 Kč 500000 Kč 2 421 Kč 1997 Kč 600000 Kč 2 905 Kč 2 397 Kč 700 000 Kč 3389 Kč 2 796 Kč 800000 Kč 3873 Kč 3196 Kč 900000 Kč 4357 Kč 3595 Kč 1000 000 Kč 4842 Kč 3995 Kč Porováí součtu výplat pro může a žey při aspořeé částce 1 000 000 Kč zachycuje Obr. 5, z kterého je patré, že mužům je vyplacea vyšší částka. Objem vyplaceých prostředků Porováí jedorázového vyrováí a doživotí peze 2 500 000 Kč 2 000 000 Kč 1 500 000 Kč 1 000 000 Kč 500 000 Kč 0 Kč 61 66 71 76 81 86 91 96 Věk účastíka Jedorázové vyrováí Součet výplat doživotí rety (muži) Součet výplat doživotí rety (žey) Obr. 5 Graf doživotí peze a jedorázového vyrováí klieta B u Pezijího fodu Komerčí baky
Aplikace pojisté matematiky 35 5.2.4 ČSOB pezijí fod Stability ČSOB pezijí fod Stabilita, a.s. je čleem skupiy ČSOB a a české trhu pezijího připojištěí působí od roku 1994. ČSOB pezijí fod Stabilita jako jede z mála fodů používá při výpočtech peze aktuálí úmrtostí tabulky ČSÚ, i když v pezijím programu má možost využití přepočteých tabulek uvedeu. Při výpočtu peze byla použita techická úroková míra 2%. Fod abízí při doživotí pezí i mimořádou prví splátku ve výši až 1/3 aspořeých prostředků. Výpočet ročí peze P je založe a vzorci: P ( MZ ) k k = 1, kde (33) N VZ + b L M P je výše ročí peze, MZ je podíl prví splátky a celkovém objemu aspořeých prostředků, k VZ k je stav účtu účastíka v době výpočtu peze, b je koeficiet, který určuje, zda je či eí sjedáa pozůstalostí peze ( b = 0 eí-li peze sjedáa, b = 1 je-li sjedáa), L je doba v letech, a kterou je sjedáa pozůstalostí peze L 2; 20. Protože ás zajímá doživotí peze, položíme MZ k = 0a b = 0, protože uvažujeme případ, kdy eí sjedáa pozůstalostí peze. Fod abízí možost výplaty peze ročě, měsíčě, čtvrtletě ebo pololetě. V tom případě je výplata peze vypočítáa dle vzorce (30). Fod vyplácí při področí pezi pouze příslušou poměrou část. Jedotlivé výše výplat pezí pro modelové kliety A a B zachycují pro růzé četosti výplaty Tab. 10 a Tab. 11. Tab. 10 Výše aspořeých prostředků k D Výše doživotí peze u ČSOB PF Stabilita pro klieta A Ročí peze Pololetí peze Čtvrtletí peze Měsíčí peze 100000 Kč 6 364 Kč 3182 Kč 1591 Kč 530 Kč 200000 Kč 12 729 Kč 6 364 Kč 3182 Kč 1061 Kč 300000 Kč 19 093 Kč 9 547 Kč 4773 Kč 1591 Kč 400 000 Kč 25 458 Kč 12 729 Kč 6 364 Kč 2 121 Kč 500000 Kč 31 822 Kč 15 911 Kč 7956 Kč 2 652 Kč 600000 Kč 38 187 Kč 19 093 Kč 9 547 Kč 3182 Kč 700 000 Kč 44551 Kč 22 276 Kč 11138 Kč 3713 Kč 800000 Kč 50916 Kč 25 458 Kč 12 729 Kč 4243 Kč 900000 Kč 57280 Kč 28 640 Kč 14320 Kč 4773 Kč 1000 000 Kč 63645 Kč 31 822 Kč 15 911 Kč 5 304 Kč
36 Aplikace pojisté matematiky Tab. 11 Výše aspořeých prostředků Výše doživotí peze u ČSOB PF Stabilita pro klieta B Ročí peze Pololetí peze Čtvrtletí peze Měsíčí peze 100000 Kč 5 404 Kč 2 702 Kč 1351 Kč 450 Kč 200000 Kč 10808 Kč 5 404 Kč 2 702 Kč 901 Kč 300000 Kč 16 212 Kč 8 106 Kč 4053 Kč 1351 Kč 400 000 Kč 21616 Kč 10808 Kč 5 404 Kč 1801 Kč 500000 Kč 27020 Kč 13510 Kč 6 755 Kč 2 252 Kč 600000 Kč 32 424 Kč 16 212 Kč 8 106 Kč 2 702 Kč 700 000 Kč 37828 Kč 18 914 Kč 9 457 Kč 3152 Kč 800000 Kč 43 232 Kč 21616 Kč 10808 Kč 3603 Kč 900000 Kč 48 636 Kč 24318 Kč 12 159 Kč 4053 Kč 1000 000 Kč 54041 Kč 27020 Kč 13510 Kč 4503 Kč 5.2.5 ING pezijí fod ING pezijí fod vzikl v roce 1995 tehdy ještě pod ázvem Průmyslový pezijí fod a je čleem fiačí skupiy ING, jejíž původ bychom ašli v Holadsku a v současosti poskytuje služby ve více ež 40 zemích světa. Fod abízí ěkolik variat výplaty pezí (doživotí peze pro účastíka, doživotí peze s garatovaou dobou výplaty, doživotí peze pro účastíka a oprávěou osobu, doživotí peze pro účastíka a oprávěou osobu s garatovaou dobou výplaty, variabilí doživotí peze pro účastíka a oprávěou osobu, variabilí doživotí peze pro účastíka a oprávěou osobu s garatovaou dobou výplaty, doživotí peze s garatovaou dobou výplaty pro oprávěé osoby). Kvůli srováí s ostatími fody, budu počítat doživotí pezi pro účastíka. Pro požadovaou pezi je ročí peze vypláceá v m dávkách za rok polhůtě rova: K SUM P P =, kde (34) a P je výše peze vypláceé měsíčě, SUM K je hodota jedorázového vyrováí, PP je výše prví zvýšeé splátky peze, aje počátečí hodota zvoleé peze. Kde počátečí hodota jedotkové doživotího důchodu je vypočítáa jako: a = a ( m) N+ 1 m 1 = + (35) D 2m
Aplikace pojisté matematiky 37 Fod používá při výpočtech tabulky ČSÚ a techickou úrokovou míru 0,5%. Nejprve vypočítám ročí peze pro jedotlivé frekvece výplat, které budu muset vydělit počtem výplat během jedoho roku. Výsledky jsou zaesey v Tab. 12 a Tab. 13. Tab. 12 Výše doživotí ročí peze u ING PF pro klieta A Výše aspořeých prostředků Ročí peze Ročí peze vypláceá pololetě Ročí peze vypláceá čtvrtletě Ročí peze vypláceá měsíčě 100000 Kč 5 753 Kč 5 671 Kč 5 631 Kč 5 605 Kč 200000 Kč 11506 Kč 11342 Kč 11263 Kč 11210 Kč 300000 Kč 17258 Kč 17014 Kč 16 894 Kč 16 815 Kč 400 000 Kč 23011 Kč 22 685 Kč 22 525 Kč 22 420 Kč 500000 Kč 28 764 Kč 28 356 Kč 28 156 Kč 28 025 Kč 600000 Kč 34517 Kč 34027 Kč 33788 Kč 33630 Kč 700 000 Kč 40269 Kč 39 698 Kč 39 419 Kč 39 235 Kč 800000 Kč 46 022 Kč 45 370 Kč 45 050 Kč 44840 Kč 900000 Kč 51775 Kč 51041 Kč 50682 Kč 50445 Kč 1000 000 Kč 57528 Kč 56 712 Kč 56 313 Kč 56 050 Kč Tab. 13 Výše aspořeých prostředků Výše doživotí ročí peze u ING PF pro klieta B Ročí peze Ročí peze vypláceá pololetě Ročí peze vypláceá čtvrtletě Ročí peze vypláceá měsíčě 100000 Kč 4743 Kč 4687 Kč 4660 Kč 4642 Kč 200000 Kč 9 486 Kč 9 375 Kč 9 320 Kč 9 284 Kč 300000 Kč 14229 Kč 14062 Kč 13980 Kč 13926 Kč 400 000 Kč 18 972 Kč 18 750 Kč 18 641 Kč 18 569 Kč 500000 Kč 23715 Kč 23437 Kč 23301 Kč 23211 Kč 600000 Kč 28 458 Kč 28 125 Kč 27961 Kč 27853 Kč 700 000 Kč 33201 Kč 32 812 Kč 32 621 Kč 32 495 Kč 800000 Kč 37944 Kč 37500 Kč 37281 Kč 37137 Kč 900000 Kč 42 687 Kč 42 187 Kč 41 941 Kč 41 779 Kč 1000 000 Kč 47 430 Kč 46 875 Kč 46 602 Kč 46 421 Kč Jak je z tabulky patré, se zvyšující frekvecí výplaty klesá objem vyplaceých prostředků. To je způsobeo tím, že peze je vyplácea polhůtě, tedy a koci období. Porováme-li počet živých a začátku a koci roku, dochází vždy k poklesu počtu osob, to pro pojišťovu zameá, že při polhůtím vypláceí
38 Aplikace pojisté matematiky musí vyplatit meší počet pezí ež u předlhůtího vyplaceí a to přesě o počet osob, které zemřou během výplatího období. Pro porovaí s ostatími fody ještě uvedu měsíčí pezi. Tab. 14 Výše doživotí měsíčí peze u ING PF Výše aspořeých Kliet A Kliet B prostředků 100000 Kč 467 Kč 387 Kč 200000 Kč 934 Kč 774 Kč 300000 Kč 1401 Kč 1161 Kč 400 000 Kč 1868 Kč 1547 Kč 500000 Kč 2 335 Kč 1934 Kč 600000 Kč 2 802 Kč 2 321 Kč 700 000 Kč 3270 Kč 2 708 Kč 800000 Kč 3737 Kč 3095 Kč 900000 Kč 4204 Kč 3482 Kč 1000 000 Kč 4671 Kč 3868 Kč 5.2.6 Geerali pezijí fod Fod byl založe 25. září 1995. Je součástí skupiy Geerali group založeé v Itálii již v roce 1831 a působící ve více ež 60 zemích světa. Dle přílohy k pezijímu pláu č. 3 lze výši splátky doživotí peze S získat z ásledujícího vzorce, kde Kk je součet prostředků evidovaých ve prospěch účastíka, ä je počátečí hodota jedotkového doživotího důchodu vypočí- z 1,2,4,12 : taého dle vzorce (10), z je počet výplat pezí v kaledářím roce { } K k S = z 1 z a&& 2z (36) Při výpočtu byly použity upraveé úmrtostí tabulky zveřejěé a strákách Pezijího fodu Geerali a techická úroková míra 2%. Výpočet výše ročí, pololetí, čtvrtletí a měsíčí peze zaokrouhleé a celé koruy pro klieta A zachycuje pro jedotlivé součty aspořeých prostředků ásledující tabulka:
Aplikace pojisté matematiky 39 Tab. 15 Výše aspořeých prostředků Výše doživotí peze u Geerali PF pro klieta A Ročí peze Pololetí peze Čtvrtletí peze Měsíčí peze 100000 Kč 6 433 Kč 3269 Kč 1648 Kč 552 Kč 200000 Kč 12 865 Kč 6 538 Kč 3296 Kč 1105 Kč 300000 Kč 19 298 Kč 9 807 Kč 4944 Kč 1657 Kč 400 000 Kč 25 731 Kč 13076 Kč 6 592 Kč 2 209 Kč 500000 Kč 32 164 Kč 16 345 Kč 8 240 Kč 2 762 Kč 600000 Kč 38 596 Kč 19 614 Kč 9 888 Kč 3314 Kč 700 000 Kč 45 029 Kč 22 883 Kč 11536 Kč 3866 Kč 800000 Kč 51462 Kč 26 151 Kč 13183 Kč 4419 Kč 900000 Kč 57895 Kč 29 420 Kč 14831 Kč 4971 Kč 1000 000 Kč 64327 Kč 32 689 Kč 16 479 Kč 5 523 Kč Jak je z tabulky patré, pezijí fod zohledňuje področí výplatu peze, přihlíží totiž k úmrtím, které proběhou během roku. Proto je při aspořeé částce 100 000 Kč součet výplat měsíčích pezí 6 612 Kč, což je o 221 Kč víc ež u peze vypláceé ročě. Porováí vyplaceých prostředků ročí peze a jedorázového vyrováí je a Obr. 6. V grafu je vidět, že součet vyplaceých prostředků v podobě peze převýší jedorázové vyrováí za 16 let. Porováí jedorázového vyrováí a doživotí peze 3 000 000 Kč Objem vyplaceých prostředků 2 500 000 Kč 2 000 000 Kč 1 500 000 Kč 1 000 000 Kč 500 000 Kč Jedorázové vyrováí Součet výplat doživotí rety 0 Kč 61 66 71 76 81 86 91 96 Věk účastíka Obr. 6 Graf doživotí rety a jedorázového vyrováí klieta A u Geerali pezijího fodu Stejý postup zvolím i pro výpočet pezí pro rozdílé frekvece výplat klieta B.
40 Aplikace pojisté matematiky Tab. 16 Výše aspořeých prostředků Výše doživotí peze u Geerali PF pro klieta B Ročí peze Pololetí peze Čtvrtletí peze Měsíčí peze 100000 Kč 5 426 Kč 2 750 Kč 1385 Kč 464 Kč 200000 Kč 10852 Kč 5 500 Kč 2 769 Kč 927 Kč 300000 Kč 16 277 Kč 8 251 Kč 4154 Kč 1391 Kč 400 000 Kč 21703 Kč 11001 Kč 5 538 Kč 1855 Kč 500000 Kč 27129 Kč 13751 Kč 6 923 Kč 2 318 Kč 600000 Kč 32 555 Kč 16 501 Kč 8 308 Kč 2 782 Kč 700 000 Kč 37980 Kč 19 251 Kč 9 692 Kč 3246 Kč 800000 Kč 43 406 Kč 22 002 Kč 11077 Kč 3709 Kč 900000 Kč 48 832 Kč 24752 Kč 12 462 Kč 4173 Kč 1000 000 Kč 54258 Kč 27502 Kč 13846 Kč 4637 Kč Na Obr. 7. je porováí jedorázového vyrováí, ročí a měsíčí výplaty peze při aspořeé částce v 60 letech 1 000 000 Kč. 1200000 Porováí jedorázového vyrováí a doživotí peze Výše vyplaceých prostředků 1000000 800000 600000 400000 200000 Ročí výplata peze Měsíčí výplata peze Jedorázové vyrováí 0 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 Doba výplaty doživotí peze Obr. 7 Graf jedorázového vyrováí, doživotí rety vypláceé ročě a měsíčě klieta B u Geerali pezijího fodu Z grafu je vidět, že u měsíčí výplaty rety dojde k vyrováí s jedorázovou výplatou dříve, ež v případě ročí výplaty peze.
Aplikace pojisté matematiky 41 5.2.7 AEGON pezijí fod Společost AEGON vzikla v roce 1983 splyutím dvou společostí v Nizozemí a des působí ve 20 zemích. V České republice působí společost eje v oblasti pezijího připojištěí, ale i v oblasti ivestic a pojištěí. AEGON pojišťova u ás zahájila čiost v dubu 2005 a o dva roky později vziká i pezijí fod. Dle Pezijího pláu č.2 vyplácí doživotí pezi, doživotí pezi se zaručeou dobu výplaty s let ( s=10), doživotí peze s prodloužeou dobou výplaty o let (=3), dočasě vypláceá peze (pozůstalostí peze vypláceá podobu let). Pro výpočet ročí peze P z aspořeé částky K fod používá vzorec: K P = (37) && Področí peze se vypočítá jako podíl ročí peze a počtu výplat peze během jedoho roku (vzorec (30)). Vypočteé peze jsou v Tab.17. Tab. 17 Výše doživotí peze u AEGON PF pro klieta B Výše Kliet A Kliet B aspořeých prostředků Ročí peze Měsíčí peze Ročí peze Měsíčí peze 100000 Kč 6 364 Kč 530 Kč 5 404 Kč 450 Kč 200000 Kč 12 729 Kč 1061 Kč 10808 Kč 901 Kč 300000 Kč 19 093 Kč 1591 Kč 16 212 Kč 1351 Kč 400 000 Kč 25 458 Kč 2 121 Kč 21616 Kč 1801 Kč 500000 Kč 31 822 Kč 2 652 Kč 27020 Kč 2 252 Kč 600000 Kč 38 187 Kč 3182 Kč 32 424 Kč 2 702 Kč 700 000 Kč 44551 Kč 3713 Kč 37828 Kč 3152 Kč 800000 Kč 50916 Kč 4243 Kč 43 232 Kč 3603 Kč 900000 Kč 57280 Kč 4773 Kč 48 636 Kč 4053 Kč 1000 000 Kč 63645 Kč 5 304 Kč 54041 Kč 4503 Kč 5.2.8 AXA pezijí fod AXA pezijí fod působí v ČR od roku 1994, do březa 2007 a českém trhu působila ještě pod ázvem Witerthur pezijí fod. Výše ročí předlhůtí peze β se vypočítá dle vztahu: a VZ β = (38) a&& Výpočet příslušého důchodu ä pro doživotí pezi pro účastíka ve věku se řídí vztahem pro počátečí hodotu jedotkové předlhůtě doživotě vypláceé