Úvod do studia matematiky I GEOMETRIE I

Úvod do studia matematiky I GEOMETRIE I Milan Hejný, Darina Jirotková, Jana Slezáková Úvod Texty, které předkládáme čtenáři, jsou určeny praktikujícím i budoucím učitelům 1. stupně ZŠ a jsou věnovány geometrii. Budou využity ve všech kurzech, které se dotýkají geometrie, tj. v úvodu o studia matematiky, v kurzu geometrie, metod řešení matematických problémů i didaktiky matematiky. Texty jsou členěny do čtyř kapitol. První kapitola je věnována objektům geometrického světa a příslušné terminologii. Již zde se veliká pozornost věnuje otázkám didaktickým. Například celá podkapitola 1.3 je zaměřena na způsob, jak hravou formou upozorňovat žáky na mnohá úskalí geometrické terminologie a jak tuto ve společné diskusi třídy postupně kultivovat. Ústředním objektem druhé kapitoly je krychlová stavba objekt, s nímž má mnohé zkušenosti již dítě předškolního věku. Právě tyto intuitivní zkušenosti je možné ve škole postupně měnit na poznání, a to propojením tří aktivit: řešením manipulativních úloh, slovním popisem uskutečňované činnosti a zavedením znakového jazyka, který jednoduše a srozumitelně popíše i složitější krychlové stavby. Jestliže ve druhé kapitole šlo o objekty složené z krychlí, ve třetí kapitole jde naopak o objekty, které jsou částmi krychle, a o jejich vzájemnou vazbu a jejich strukturu. Hlavní aktivitou zde je, metaforicky řečeno, šití obleku na pana Krychli, jinými slovy tvorba sítě krychle. Tato aktivita je motivačně směřovány na dívky, které obvykle mají menší zkušenosti než hoši se stavbami z kostek. Můžeme tedy říct, že motivace kapitoly druhé orientovaná na hochy je v kapitole třetí vystřídána orientací motivace na dívky. Čtvrtá kapitola přivádí do středu naší pozornosti další důležité objekty, a to hranoly a jehlany. Kapitola slouží i jako prostor pro aplikaci toho, co jsme se naučili v předcházejících kapitolách. Proto je soubor úloh, které jsou čtenáři předkládány, zvláště bohatý. Kostru textu tvoří úlohy. Jsme přesvědčeni, že matematiku nelze naučit jiného člověka tím, že mu vlastní poznatky odevzdáme v hotové, dobře promyšlené formě. Víme, že základem skutečného poznání (nejen matematického) je lidská zkušenost a ta je nepřenosná. Učitel - 1 -

může svému žákovi pouze ukázat cestu, která jej dovede k nabytí zkušeností, k jejich upřesňování a organizaci. Právě o to se v textech snažíme. Hlavním nedostatkem textu budou ta místa, kde dochází v náročnosti úloh ke skokům a kde tedy bude třeba doplnit další úlohy a skoky vyplnit přiměřeným zvládnutelným stoupáním. Úlohy jsou částečně řešeny. Některé podrobněji, jiné v náznacích, některé vůbec ne. I zde budeme očekávat spolupráci čtenáře, jeho kritické připomínky k rozsahu vyřešených úloh i jeho náměty na další úlohy. Praha, Únor 2007 Autoři - 2 -

1. Objekty geometrického světa První kapitola uvádí čtenáře do geometrického světa žáka prvního stupně ZŠ. Učitel, který tento svět žákovi otevírá, bude ve své práci úspěšnější, jestliže ví, jak na jeho práci bude navazovat jeho kolega na 2. stupni ZŠ, případně i ve vyšších třídách střední školy. Je tedy žádoucí, aby geometrické znalosti učitele přesahovaly znalosti učiva prvního stupně. Proto se snažíme jít za intuitivní znalosti pojmů a pojmy přesněji vymezovat. První kapitola má pět podkapitol. V první osvětlíme, že do světa geometrie vstupujeme nejprve rukama, manipulací a pak slovy. Ve druhé představujeme některé osobnosti geometrického světa, zejména mnohoúhelník. Další tři podkapitoly nabízejí učiteli různé hry, které přispívají k rozvoji žákových geometrických představ. Poslední podkapitola diskutuje didaktickou nevhodnost koncepce geometrie, která doporučuje otevírat geometrický svět pojmy bod a přímka. 1.1. Od poznávání v činnosti k poznávání ve slovech Zavázat si tkaničku jistě umíte, aniž byste o tom museli nějak přemýšlet. Pokuste se ale tuto svoji činnost i její výsledek popsat slovy. Uvidíte, že je to úkol nesmírně obtížný. Zjistíte, že se vám nedostává slov, jimiž byste mohli jasně a stručně tuto činnost i její produkt popsat. Matematik to udělat umí, ale potřebuje k tomu vysoce sofistikovanou teoretickou výbavu, která se nazývá teorie uzlů. Když byste se rozhodli s touto teorií se seznámit, museli byste proniknout hluboce do toho, jak se různé uzly zavazují. To, co jsme ilustrovali na zavazování tkaničky, má obecnou platnost. Mnoho činností umíme docela dobře udělat, ale podstatně náročnější je popsat je přesně, stručně a jasně slovy. Šestileté dítě dokáže podle obrázku postavit z krychlí stavby nakreslené například na obrázku 2.1, ale nedokáže stavby popsat slovy a nedokáže ani popsat činnost stavění. Rodič, který sleduje počínání dítěte a slovy přiměřeně jeho činnost komentuje, pomáhá dítěti zvyšovat jeho geometrické zkušenosti a znalosti. To, co dříve dítě umělo pouze v činnosti, začíná postupně znát i ve slovech. Dovídá se slova jako krychle, přesně na sobě, druhé patro, stěna, hrana, vrchol. Rodič pomáhá dítěti poznávat geometrický svět stejně, jako mu pomáhal poznávat třeba svět zvířat, když si spolu v obrázkové knížce ukazovali toto je pejsek, haf, haf; tady má ouško, tady očko, Učitel, podobně jako rodič v uvedeném příkladě, vede své žáky na cestě od poznání v činnosti k poznání ve slovech. Vede je tak v podstatě od první až do páté třídy. Přitom ale na něj číhají - 3 -

dvě nebezpečí. První, že svůj postup urychlí a žákům nabídne slova, ke kterým ještě tito nemají dostatek zkušeností. Druhé, že bude od žáků žádat verbální popisy geometrických objektů a správně odříkané vymezení (například čtverce) bude považovat za skutečnou geometrickou znalost. Obě tato nebezpečí potkáme v následující ilustraci. Ilustrace 1.1. Žáci pátého ročníku dostali za úkol nakreslit na čtverečkovaném papíře čtverec ABCD, když je dána jeho strana AB. Řešení Milady vidíme na obr. 1.1. Učitelka se zeptala Milady, zda umí říct, co je to čtverec. Dívka hbitě odříkala má všechny čtyři strany stejně dlouhé a všechny úhly pravé a obvod má čtyři a a obsah má a krát a. Učitelka se zeptala, zda čtverec ABCD na obrázku má vnitřní úhly pravé. Milada ukázala na pravé úhly čtverečkové sítě Obr. 1.1. a řekla, že to jsou tady pravé úhly. Tedy dívka měla naučenu definici čtverce (dokonce toho řekla víc, než učitelka žádala), ale tato slova nebyla postavena na zkušenosti. To, co dívka řekla, nebylo poznání ve slovech, ale slova bez poznání. Nejhorší na tom je pomýlená představa dívky o tom, co znamená umět čtverec. Dívka se domnívá, že to znamená umět odříkat definici čtverce. Uvedená ilustrace dává nám, učitelům, důležitou radu: když chceme žáka naučit nějaký geometrický pojem (například čtverec, lichoběžník, jehlan, nebo obvod) musíme žáka pomocí vhodných úloh vést k tomu, aby o objektu nejdříve nabyl dostatek zkušeností, aby objekt poznal v činnosti, pak aby o objektu diskutoval se spolužáky, pak aby se sám pokusil pojem vymezit a teprve pak aby mu učitel pomohl jeho vymezení dovést k přesné definici. Uvedený postup se nevztahuje pouze na geometrické pojmy, týká se všech matematických pojmů. Uvedená rada bude vedoucí myšlenkou i pro naši práci. Budeme se snažit nejprve získat dostatek zkušeností v činnosti (manipulací) a až pak přistoupíme k vymezování pojmů pomocí slov. Tento způsob práce žádá, aby čtenář vyřešil pokud možno všechny úlohy, které zde uvádíme. Dodejme, že na rozdíl od žáka má čtenář již mnohé zkušenosti s objekty, které zkoumáme, proto se naše úlohy zaměří na doplnění čtenářových zkušeností o ty, které mu mohou zatím scházet. Závěrem ještě jedna poznámka. Úlohy, které v dalším textu čtenáři předkládáme, jsou někdy vyřešeny úplně, jindy jen částečně. Přitom někdy řešení je a jindy není provázeno obrázkem. Ty případy, kde obrázek schází a kdy si jej čtenář musí podle našeho popisu sám sestrojit, - 4 -

jsou náročnější. I to ukazuje, že geometrie ve slovech je složitější než geometrie v činnostech a obrázcích. Dlužno ale dodat, že v mnoha případech obrázek nedokáže být dostatečně přesný, ale slova to dokáží. Například slovo trojúhelník nelze portrétovat jediným obrázkem. Portrétovat lze pojem rovnostranný trojúhelník a do jisté míry i pravoúhlý nerovnoramenný trojúhelník, ale obecnější termín trojúhelník portrétovat nelze. 1.2. Geometrický svět Geometrický svět, do něhož vstupuje žák 1. stupně ZŠ, lze rozdělit na svět dvourozměrný (2D) a trojrozměrný (3D). Světu 2D vládnou dva rody: Trojúhelníky a Čtyřúhelníky. Rod Trojúhelníků lze uspořádat dvěma způsoby: podle poměru délek stran (na trojúhelníky rovnostranné, rovnoramenné a ostatní) a podle velikostí úhlů (na trojúhelníky ostroúhlé, pravoúhlé a tupoúhlé). Rod Čtyřúhelníků má složitější organizaci. Především v něm nacházíme skupinu šibalů, kterým říkáme čtyřúhelníky nekonvexní. Dále je zde vážená třída rovnoběžníků, do které náleží obyvatelé nejváženější: čtverce a obdélníky. Trochu stranou nacházíme kosočtverce, lichoběžníky a deltoidy. Oba uvedené rody patří do rozsáhlého společenství mnohoúhelníků, kam patří všechny pětiúhelníky, šestiúhelníky,., obecně n-úhelníky. Tyto pojmy čtenář jistě zná, ale s jejich slovním vymezením bude mít asi problémy. Možná i proto, že se zde mohou vyskytnout útvary, u nichž nebude ihned jasné, zda to jsou nebo nejsou mnohoúhelníky. Úloha 1.1. Rozhodněte, které z pěti útvarů na obrázku 1.2a e jsou a které nejsou šestiúhelníky. Své rozhodní zdůvodněte. Pak se pokuste přesněji vymezit pojem šestiúhelník. - 5 -

[Řešení Ú1.1: Útvary na obrázku 1.2a a 1.2e jsou šestiúhelníky, útvary na obrázku 1.2c a 1.2d nejsou. Zdůvodnění vyplývá z vymezení 1.1. Podle tohoto vymezení ani útvar na obrázku 1.2b není šestiúhelník. K tomuto zajímavému případu se ještě v budoucnu vrátíme.] Vymezení 1.1 V rovině je dáno 6 různých bodů A, B, C, D, E a F tak, že žádné dvě z úseček AB, BC, CD, DE, EF a FA nemají kromě svých krajních bodů žádný jiný společný bod. Navíc žádné dvě sousední úsečky neleží v jedné přímce. Pak uzavřenou lomenou čáru složenou z uvedených 6 úseček i část roviny, kterou tato čára ohraničuje, nazýváme šestiúhelník ABCDEF. Lomenou čáru ABCDEFA nazveme hranicí daného šestiúhelníka, body A,, F nazveme jeho vrcholy, úsečky AB, BC, CD, DE, EF a FA nazveme jeho strany a každou úsečku, jejíž oba krajní body jsou vrcholy a ona sama není stranou, nazveme úhlopříčkou. Výzva 1.1. Napište vymezení pětiúhelníka, čtyřúhelníka, trojúhelníka, sedmiúhelníka a n-úhelníka. Výzva 1.2. Ve 2D světě žáka ZŠ existuje ještě další nevelká skupina osobností (kružnice, kruh a jejich části). Popište její členy. Každý mnohoúhelník provází další geometrické pojmy jako vrchol, strana, úhel (vnitřní i vnější) a úhlopříčka. Jsou to jevy průvodní (termín zavedl P. Vopěnka). Náš šestiúhelník má 6 vrcholů: A, B, C, D, E a F; má 6 stran: AB, BC, CD, DE, EF a FA, 6 (vnitřních) úhlů: FAB, ABC, BCD, CDE, DEF a EFA a 9 úhlopříček: AC, AD, AE, BD, BE, BF, CE, CF a DF. Úloha 1.2. Žáci šestého ročníku při hledání definice pojmu mnohoúhelník přišli nejprve s nápadem mluvit raději o n-vrcholníku nebo n-stranníku, protože vrchol a strana jsou pro mnohoúhelník důležitější než úhel. Tato terminologie přivedla žáky k myšlence, zda náhodou neexistuje útvar, který je například 5-vrcholník a 6-stranník. Tedy útvar, který má 6 stran a 5 vrcholů. Žáci takový útvar našli. Pokuste se jej najít. [Řešení Ú1.2. Obr. Ř1.1 ] Obr. Ř1.1 Světu 3D vládne jeden král je to krychle. Mnoho jiných obyvatel světa 3D je vytvořeno vhodným lepením několika krychlí; těm budeme říkat krychlová tělesa. Těmto tělesům budeme věnovat nejvíce pozornosti. Další obyvatele tohoto světa budeme potkávat méně často. Jsou to kvádr, 4-boký pravidelný hranol, koule, válec a kužel. Sporadicky potkáme i - 6 -

n-boký pravidelný hranol nebo jehlan pro jiné n než 4. Důležitost všech těchto těles se výrazně zvýší na druhém stupni ZŠ. Podobně jako útvary ve 2D mají i tělesa ve 3D své jevy průvodní. U mnohostěnů jsou to: vrcholy, hrany, stěny, úhlopříčky stěnové a úhlopříčky tělesové. Krychle, koule, kvádr i některá další tělesa mají i střed souměrnosti. Konečně jsou zde i pojmy bod, úsečka, přímka a rovina. V množinové koncepci geometrie se těmito pojmy do geometrie vstupuje, protože, jak tvrdí obhájci dané koncepce, jsou to základní stavební prvky rovinné geometrie. Podle našeho názoru ve výuce není rozhodující vědecká stavba dané disciplíny, ale životní zkušenosti dítěte. Proto do světa geometrie nutno vstupovat pomocí pojmů krychle a čtverec, neboť s těmito objekty má dítě přicházející do školy nejvíce zkušeností. S pojmy bod a přímka nemá dítě skoro žádné zkušenosti. Jeho představy v této oblasti jsou vágní. Navíc, a to je rozhodující, neexistují rozumné činnosti, vhodné pro žáka 1. stupně, jimiž by soustavně nabýval o těchto pojmech lepší představu. Nicméně máme zkušenosti, že se občas objeví již ve třetí třídě žák, který jeví značný zájem o náročné abstraktní pojmy jako nekonečno, nekonečný bod na přímce, nebo 4-dimenzní prostor. Podle našeho názoru není rozumné žáka odbýt poznámkou, že o tom se bude učit později. On již teď chce o těchto abstraktech uvažovat a učitel mu může dělat zvídavého posluchače, který se spíše ptá než vysvětluje. Učitel sám může svoje představy o těchto náročných pojmech kultivovat. Podněty k tomu najde v doplňující podkapitole 1.5. Výzva 1.3 V učebnicích pro 1. až 5. třídu najděte geometrické pojmy, které jsme zde zatím neuváděli. Udělejte si jejich seznam a občas se pokuste hlouběji si je promyslet. 1.3. Slovní přenos obrázku Dva lidé, vysílač a přijímač, na sebe vzájemně nevidí, ale mohou spolu rozmlouvat (jako při telefonování). Vysílač vidí obrázek O. Slovy instruuje přijímače. Ten podle toho kreslí reprodukci R obrázku O. Úlohou dvojice je vytvořit co nejvěrnější reprodukci R obrázku O. Přitom nejde o velikost obrázku, pouze o tvar. Podobné obrázky považujeme za stejné. Když přijímač ohlásí konec, podívá se vysílač na obrázek R. Je-li spokojen, hra končí. V opačném případě mohou oba ve hře pokračovat. Úloha 1.3. Nakreslete reprodukci R obrázku O, který je popsán takto: Dvě vzájemně kolmé úsečky mající jeden koncový bod společný; jedna úsečka je dlouhá 1 cm, druhá 3 cm. - 7 -

Úloha 1.4. Nakreslete reprodukci R obrázku O, který je popsán takto: Dvě kružnice; poloměr první je 4 cm, poloměr druhé je 5 cm; vzdálenost jejich středů je 9 cm. Úloha 1.5. Nakreslete reprodukci R obrázku O, který je popsán takto: Rovnoramenný pravoúhlý trojúhelník s opsanou i vepsanou kružnicí. [Řešení Ú1.3. Písmeno L, bez ohledu na polohu. Ú1.4. Číslice 8, bez ohledu na polohu. Ú1.5. Obr Ř1.2 ] Obr. Ř.1.2 Výzva 1.4. Pouze pomocí jazyka geometrie popište (písemně) obrázek O a dejte svůj popis kolegovi s prosbou, aby podle něj nakreslil reprodukci R daného obrázku. Obrázkem O je (a) písmeno E, (b) písmeno D, (c) písmeno P, (d) číslice 5, (e) dopravní značka hlavní silnice, (f) ikonka, (g) ikonka, h) ikonka. 1.4. Hra SOVA Dán je očíslovaný soubor objektů galerie. Jeden hráč, budeme mu říkat sova, si jeden z objektů galerie zvolí a jeho číslo napíše na lístek. Druhý hráč, nebo celá skupina hráčů, klade otázky, pomocí nichž chce zjistit, na který objekt sova myslí. Sova na tyto otázky odpovídá pouze Ano, Ne, nebo Nelze odpovědět. Úlohou tazatele je zjistit, který objekt si sova zvolila. Ilustrace 1.2. Následující hru hráli žáci 6. ročníku v hodině biologie. Galerii tvořilo 8 zvířat: žirafa, krokodýl, kuře, kůň, orel, zmije, koza, lev. Žáci, kteří měli již s hrou SOVA hodně zkušeností, se k řešení dobrali po třech odpovědích: 1. Je to savec? (Ano). 2. Má to slovo 3 písmena? (Ne). 3. Má to zvíře dlouhý krk? (Ne). Po této odpovědi žák řekl Myslíš si kozu. Uhodnul. Komentáře. Jsou tři komentáře A, B a C. A. Všimněte si, že po každé odpovědi se počet objektů, které přichází v úvahu, snížil o polovinu. Po první odpovědi zůstaly z původních 8 objektů jen 4: žirafa, kůň, koza a lev. Po druhé odpovědi se počet 4 snížil na 2 odpadly kůň a lev a zůstaly ve hře již jen žirafa a koza. Po poslední odpovědi bylo jasné, že hledaný objekt je koza. - 8 -

B. Skutečnost, že hrou Ano-Ne je možné z galerie 8 objektů trojím hádáním určit zvolený objekt, je hluboká matematická myšlenka, která zasahuje jak do teorie her, tak zejména do informatiky. C. Doporučujeme tuto hru nejprve hrát s jednoduchými číselnými galeriemi. Například s galerií čísel 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8. Zde rychle žáci odhalí, že rozumné je zeptat se je to číslo menší než 5? Po odpovědi budeme vědět, zda máme hledat mezi čísly 1 4, nebo čísly 5 8. Druhou otázkou snížíme počet podezřelých čísel na 2 a třetí otázkou číslo určíme. Vraťme se k naší galerii zvířat a pokusme se na najít seznam vhodných otázek, z nichž pomocí tří otázek jsme schopni určit každé jedno zvířat z dané galerie. Způsob kladení otázek je přehledně uveden v tabulce 1.1. Je to návod, jak se má tazatel ptát. Je to savec? A Má to slovo 3 písmena? Je to pták? A N Je to dravec? Má dlouhý krk? A N A N lev kůň žirafa koza A Je to dravec? A orel N N kuře N Má nohy? A krokodýl N zmije Tab 1.1 Tabulku, která k dané galerii dává návod jak se ptát, nazveme řešení dané galerie. Úloha 1.6. Najděte takové řešení pro galerii z ilustrace 1.2, které použije pouze otázky typu JE V SLOVĚ, NÁZVU ZVÍŘETE PÍSMENO?. [Řešení. Ú1.6. Jedno možné řešení dává následující tabulka Ř1.1. Je tam písmeno k? A N Je tam písmeno o? Je tam písmeno l? A N A N Je tam písmeno a? Je tam písmeno ů? Je tam písmeno v? Je tam písmeno f? A N A N A N A N koza krokodýl kůň kuře lev orel žirafa zmije Tab. Ř 1.1] - 9 -

Úloha 1.7. Najděte řešení pro galerii: rovnostranný Δ, obdélník, pravoúhlý Δ, rovnoramenný tupoúhlý Δ, čtverec, rovnoramenný lichoběžník, pravoúhlý lichoběžník, rovnoramenný ostroúhlý Δ. [Řešení Ú1.7. Je to trojúhelník? A N Je rovnoramenný? Je to lichoběžník? A N A N Má aspoň jeden A rovnoramenný tupoúhlý Δ vnitřní úhel tupý? N rovnoramenný ostroúhlý Δ Má aspoň jeden A pravoúhlý Δ vnitřní úhel pravý? N rovnostranný Δ Má aspoň jeden A pravoúhlý lichoběžník vnitřní úhel pravý? N rovnoramenný lichoběžník Má všechny strany shodné? A N čtverec obdélník Tab Ř 1.2.] Úloha 1.8. Najděte řešení pro galerii: (1) krychle, (2) 4-boký pravidelný jehlan, (3) kvádr ( = cihla, šestistěn, jehož všechny stěny jsou obdélníky), (4) tetraedr (= pravidelný čtyřstěn), (5) 5-boký pravidelný jehlan, (6) 3-boký pravidelný hranol, (7) 4-boký pravidelný hranol a (8) domeček ( = těleso, které vznikne přilepením podstavy pravidelného 4-bokého jehlanu na stěnu krychle. Vznikne tak mnohostěn s 5 čtvercovými a 4 trojúhelníkovými stěnami.) [Řešení Ú1.8. Tab Ř 1.3. ] Je aspoň 1 jeho stěna čtverec? A N Je aspoň 1 jeho stěna trojúhelník? Má právě 6 vrcholů? A N A N Má více než 5 vrcholů? Má všechny hrany shodné? Je aspoň 1 jeho stěna pětiúhelník? Je aspoň 1 jeho stěna trojúhelník? A (8) N (2) A (1) N (7) A (5) N (6) A (4) N (3) - 10 -

Úloha 1.9. Najděte galerii osmi mnohoúhelníků (1), (2),, (8) tak, aby odpovídala řešení, které je dáno tabulkou 1.2. A (1) Je to trojúhelník? A N Je pravoúhlý? Má aspoň 1 pravý úhel? A Má obsah 1 cm 2 N (2) A (3) N Má obsah ½ cm 2 N (4) A (5) A Má obsah 1 cm 2 N (6) A (7) N Má obsah 1 cm 2 N (8) Tab 1.2. Rada: najděte objekt (1); je to pravoúhlý trojúhelník s obsahem 1 cm 2. Pak najděte objekt (2); je to pravoúhlý trojúhelník s obsahem různým od 1 cm 2. Tak pokračujte až nakonec najdete objekt (8); je to mnohoúhelník mající více než 3 vrcholy, žádný jeho úhel není pravý a jeho obsah je různý od 1 cm 2. Vše se dobře hledá na čtverečkovaném (1) (2) (3) (4) papíře. [Řešení Ú1.9. Obr. Ř1.3 ] Komentář. U hry Sova jsou dvě záludná místa, na která jsme zatím nenarazili a o nichž se zmíníme teď. Představte si, že se hraje s galerií (5) (6) (7) (8) Obr. Ř1.3 z úlohy 1.7, vy děláte sovu a myslíte si na pravoúhlý Δ. Dostanete otázku A: Má ten útvar aspoň jeden úhel 60? Nebo dostanete otázku B: Jsou úhlopříčky toho útvaru na sebe kolmé? Nebo dostanete otázku C: Má daný útvar aspoň dvě úhlopříčky, které jsou na sebe kolmé? Jak odpovíte? Podívejme se nejprve na otázku A. Vy víte, že existuje pravoúhlý trojúhelník, který má 60 úhel. Ale existuje i takový Δ, který žádný 60 úhel nemá. Proto odpovíme NE. Odpověď ANO řekneme pouze tam, kde všechny konkrétní útvary spadající pod náš termín danou vlastnost splňují. - 11 -

Podívejme se dále na otázku B. Otázka předpokládá, že váš útvar má úhlopříčky. Ale trojúhelník žádné úhlopříčky nemá. Nemůžete odpovědět ani NE ani ANO. Odpovíte tedy NELZE ODPOVĚDĚT. Konečně se podívejme na otázku C, která se při povrchním čtení zdá být stejná jako otázka B. Pečlivé čtení ale odhalí podstatný rozdíl. Otázka C se nejprve ptá, zda útvar má aspoň dvě úhlopříčky. Trojúhelník je nemá, tedy odpovíme NE a nemusíme číst, co se otázka dále ptá. Výzva 1.5. Udělejte si seznam geometrických pojmů a situací, které vám nejsou zcela jasné. Svůj seznam si budete v dalším doplňovat o nové poznatky i nové otázky. 1.5. Hra Možné - Nemožné Známá je Švejkova úvaha o tom, že uvnitř naší Zeměkoule je jiná, mnohem větší Zeměkoule. Když takový nesmysl řeknete dítěti, některé údivem zírá, jiné pochopí, že je to hloupost a začne se smát. Ne vždy lze lehce odkrýt, že nesmysl je nesmyslem. Jako například v této debatě Honzy a Hanky. Ilustrace 1.3. Honza tvrdí, že zná muže, který je švagrem svého syna. Hanka míní, že Honza si vymýšlí. Honza vysvětluje: Pan Novák si vzal vdovu, paní Janu Modrou. Tím se stal otcem její dceři Marii Modré a synu Ludvíkovi Modrému. Po úmrtí manželky Marie si pan Novák vzal svoji dceru Marii a tím se stal švagrem Ludvíkovi. Hanka namítá: Užíváš nepřesných slov. Pan Novák se nestal otcem Marii a Ludvíkovi, ale nevlastním otcem. Pak taky není manželem své dcery (to by byl incest), ale manželem své nevlastní dcery a Ludvík není jeho švagrem, ale nevlastním švagrem. Komentář. Uvedená ilustrace ukazuje nejen to, jak se Možné Nemožné hraje, ale i to, jaký je její smysl. Hra nám pomáhá upřesňovat pojmy, které používáme, přesněji chápat jejich význam i smysl. Náš zájem bude směřovat především k pojmům geometrickým. Zde, kromě upřesňování pojmů narazíme i na další překážku hledání argumentace, že daný objekt neexistuje. Tomu je určena následující ilustrace. Ilustrace1.4. Rozhodněte, zda existuje lichoběžník, který lze jednou úsečkou rozdělit na dva trojúhelníky stejného obvodu. Řešení. Takový lichoběžník neexistuje. To dokážeme sporem. Předpokládejme, že se nám povedlo najít požadovaný lichoběžník ABCD. Existují pouze dvě úsečky, které jej dělí na dva trojúhelníky. Jsou to úhlopříčky AC a BD. Předpokládejme, že základna AB je delší než základna DC a předpokládejme dále, že úhlopříčka AC dělí lichoběžník na dva trojúhelníky - 12 -

stejného obvodu. Ukážeme, že to není možné. Ukážeme, že obvod Δ ABC je větší než obvod Δ ACD. Sestrojíme nejprve na základně AB bod E tak, aby bylo AD CE. Čtyřúhelník AECD je tedy rovnoběžník. Proto jsou trojúhelníky ACD a ACE shodné a tedy mají stejné obvody. Ale Δ ACE má obvod menší, než Δ ABC, neboť podle trojúhelníkové nerovnosti pro Δ EBC je Obr. 1.3 EC < EB + BC, tedy AE + EC < AE + EB + BC = AB + BC. Tím je dokázáno, že pro každý lichoběžník platí: úhlopříčka lichoběžníka jej dělí na dva trojúhelníky, z nichž obvod toho, který obsahuje delší základnu, je větší. Proto zadáním požadovaný lichoběžník neexistuje. Případy odpovědi neexistuje, kde důkaz považujeme za příliš náročný, označíme NN. Úloha 1.10. Rozhodněte, zda existuje trojúhelník, který lze rozdělit úsečkou na (a) 2 rovnoramenné trojúhelníky, (b) 2 rovnostranné trojúhelníky, (c) rovnoramenný a rovnostranný trojúhelník. [Řešení Ú1.10. (a) A, (b) N, (c) A.] Úloha 1.11. Rozhodněte, zda existuje trojúhelník, který lze rozdělit úsečkou na 2 trojúhelníky, které jsou (a) oba ostroúhlé, (b) oba pravoúhlé, (c) oba tupoúhlé, (d) ostroúhlý a pravoúhlý, (e) tupoúhlý a pravoúhlý, (f) ostroúhlý a tupoúhlý. [Řešení Ú1.11.(a) N, (b) A, (c) A, (d) N, (e) A, (f) A. ] Úloha 1.12. Rozhodněte, zda existuje trojúhelník, který lze rozdělit na (a) dva, (b) tři, (c) čtyři shodné trojúhelníky. [Řešení Ú1.12. (a) Ano, rovnoramenný trojúhelník je výškou na základnu dělen na dva shodné trojúhelníky. (b) Rovnostranný Δ ABC se středem S kružnice opsané je rozdělen na 3 shodné trojúhelníky AVS, BCS a CAS. (c) Každý trojúhelník je třemi středními příčkami tak dělen.] Úloha 1.13. Rozhodněte, zda existuje trojúhelník, který lze rozdělit na navzájem podobné trojúhelníky, jejichž počet je (a) dva, (b) tři, (c) čtyři, (d) pět, (e) deset, (f) sto. - 13 -

[Řešení Ú1.13. Rovnoramenný pravoúhlý trojúhelník je výškou na přeponu dělen na dva rovnoramenné pravoúhlé trojúhelníky. Z nich každý můžeme dělit stejně. V dělení lze neomezeně pokračovat. Všechny obdržené trojúhelníky budou rovnoramenné pravoúhlé, tedy navzájem podobné. Odpověď na všechny položené otázky je tedy kladná.] Úloha 1.14. Rozhodněte, zda existuje trojúhelník, který lze rozdělit na (a) 2 lichoběžníky, (b) 3 lichoběžníky, (c) 4 lichoběžníky, (d) 3 shodné lichoběžníky. [Řešení Ú1.14. (a) Ne, protože ze dvou čtyřúhelníků nelze sestavit trojúhelník. (b) Ano, každý trojúhelník ABC můžeme rozdělit na 3 lichoběžníky. V Δ ABC zvolíme vnitřní bod S a jím vedeme přímky rovnoběžné s jednotlivými stranami. Přímka vedená bodem S rovnoběžně s AB protne stranu BC v bodě D. Přímka vedená bodem S rovnoběžně s BC protne stranu AC v bodě E. Přímka vedená bodem S rovnoběžně s AC protne stranu AB v bodě F. Trojúhelník ABC je teď rozložen na lichoběžníky AFSE, BDSF a CESD. (c) Ano, stačí v předchozím řešení jeden z lichoběžníků rozdělit na dva lichoběžníky. (d) Ano, v rovnostranném trojúhelníku zvolíme S jako střed kružnice opsané a použijeme dělení popsané v případě (b).] Úloha 1.15. Rozhodněte, zda existuje lichoběžník, jehož (a) 2 sousední strany jsou na sebe kolmé, (b) ramena jsou na sebe kolmá, (c) úhlopříčky jsou na sebe kolmé, (d) jedna úhlopříčka je kolmá na jedno rameno, (e) jedna úhlopříčka je kolmá na základnu. [Řešení Ú1.15. (a) A, (b) A, (c) A, (d) A, (e) A. ] Úloha 1.16. Rozhodněte, zda existuje lichoběžník, který lze rozdělit úsečkou na 2 trojúhelníky, které jsou (a) oba pravoúhlé, (b) oba tupoúhlé, (c) ostroúhlý a pravoúhlý, (d) tupoúhlý a pravoúhlý, (e) ostroúhlý a tupoúhlý. [Řešení Ú1.16. Všech pět lichoběžníků existuje. Dva z nich popíšeme. (a) Například obdélník AECF rozdělte úsečkou BD na dva obdélníky ABDF a BECD tak, že AB < EB. Pak ABCD je hledaný lichoběžník. (c) K pravoúhlému trojúhelníku ABC o stranách AB = 5, BC = 3, AC = 4 přilepíme Δ ACD tak, aby ABCD byl lichoběžník, kde CD = 4. Tento lichoběžník je úsečkou AC rozdělen na pravoúhlý Δ ABC a ostroúhlý Δ ACD.] Úloha 1.17. Rozhodněte, zda existuje lichoběžník, který lze rozdělit úsečkou na (a) tři, (b) pět, (c) sedm, (d) patnáct shodných trojúhelníků. [Řešení Ú1.17. Z libovolného lichého počtu navzájem shodných trojúhelníků lze vždy sestavit lichoběžník. Nejprve dva takové trojúhelníky AA 1 D a D 1 DA 1 slepíme podél společné strany - 14 -

A 1 D do rovnoběžníku AA 1 D 1 D. Na polopřímce AA 1 vyznačíme body A 2, A 3, A 4, A 5, A 6, A 7 a A 8. tak, že vzdálenost každých dvou sousedních je AA 1. Podobně na polopřímce DD 1 vyznačíme body D 2, D 3, D 4, D 5, D 6, a D 7. Označme A 8 = B, D 7 = C. Pak lichoběžník ABCD = AA 8 D 7 D je lomenou čárou DA 1 D 1 A 2 D 2 A 3 D 3 A 4 D 4 A 5 D 5 A 6 D 6 A 7 D 7 A 8 dělen na 15 shodných trojúhelníků. Je jasné, že stejnou metodou jej lze rozdělit na libovolný lichý počet shodných trojúhelníků.] Úloha 1.18. Rozhodněte, zda existuje lichoběžník, který lze rozdělit na 4 shodné lichoběžníky. [Řešení Ú1.18. Existuje. Sestrojte pravidelný šestiúhelník ABCDEF se středem S. Středy úseček AS, BS, CS a DS označte v pořadí K, L, M a N. Lichoběžník ABCD je rozdělen na 4 shodné lichoběžníky ABLK, BCML, CDNM a KLMN.] Dohoda. Dále jednotku délky, nebo obsahu, nebo objemu často neuvádíme. Čtenář si může volit například cm, cm 2 nebo cm 3. Úloha 1.19. Rozhodněte, zda existuje trojúhelník, pro jehož obvod o měřený v cm a obsah S měřený v cm 2 platí: (a) o = 12, S = 6; (b) o = 3, S = 1; (c) o = 10, S < 1; (d) o > 100, S = 1. [Řešení Ú1.19. (a) A. (b) Neexistuje. Trojúhelník, jehož obvod je 3, má největší obsah, když je to trojúhelník rovnostranný, tj. každá jeho strana má délku 1. Jeho obsah je ale evidentně menší než 1, protože se celý vejde do jednotkového čtverce. (c) A. (d) Existuje. Například trojúhelník ABC o souřadnicích A(0;0), B(1;0), C(50,1).] Úloha 1.20. Rozhodněte, zda existuje kosočtverec, který lze jednou úsečkou rozdělit na dva útvary, z nichž lze slepit obdélník o rozměrech (a) 1 2, (b) 1 3, (c) 1 5, (d) 3 4. [Řešení Ú1.20. Všechny kosočtverce existují. Popíšeme je délkou strany d a výškou v. (a) d = 2, v = 1, (b) d = 3, v = 1, (c) d = 5, v = 1, (b) d = 4, v = 3.] Úloha 1.21. Rozhodněte, zda existuje lichoběžník, který lze jednou úsečkou rozdělit na (a) dva trojúhelníky stejného obsahu, (b) dva pravoúhlé trojúhelníky, z nichž obsah většího je pětinásobek obsahu menšího. [Řešení Ú1.21. (a) N, (b) Existuje. Jeho vrcholy jsou body (0;0), (1;0), (6;2); (1;2).] - 15 -

Úloha 1.22. Rozhodněte, zda existuje šestiúhelník, který nelze rozložit na dva konvexní mnohoúhelníky. Svoje rozhodnutí zdůvodněte. [Řešení Ú1.22. Existuje. Je na obrázku 1.2e. Dokážeme, že jej nelze rozdělit na dva konvexní mnohoúhelníky. K tomu si zvolíme body B*, D* a F*, které leží těsně vedle bodů B, D a F v pořadí. Když jakkoli rozdělíme šestiúhelník ABCDEF na dvě části, vždy do některé padnou dva z bodů B*, D* a F*. Když tyto dva body spojíme úsečkou, ta určitě neleží celá v daném útvaru.] Úloha 1.23. Rozhodněte, zda existují v rovině 4 různé body, které jsou vrcholy aspoň dvou různých čtyřúhelníků. [Řešení Ú1.23. Existují, viz obr. Ř 1.4. Čtyřúhelníky ABCD, ABDC a ADBC jsou navzájem různé.] Obr. Ř1.4 4 Úloha 1.24. Rozhodněte, zda existuje v rovině 20 bodů tak, že každé tři z nich tvoří vrcholy tupoúhlého trojúhelníku. [Řešení Ú1.24. Existuje. Uvnitř půlkružnicového oblouku zvolme libovolný počet bodů. Každé tři z nich tvoří vrcholy tupoúhlého trojúhelníka.] Úloha 1.25. Rozhodněte, zda existuje šestiúhelník, jehož aspoň jedna strana je částí jedné jeho úhlopříčky. [Řešení Ú1.25. Existuje, viz obr. Ř 1.5. Strana EF je částí úhlopříčky CF, strana DE je částí úhlopříčky BE a strana DC je částí úhlopříčky AC. ] Obr. Ř1.5 Úloha 1.26. Rozhodněte, zda existuje šestiúhelník, jehož jedna úhlopříčka je částí jedné jeho strany. [Řešení Ú1.26. Neexistuje. To dokážeme sporem. Předpokládejme, že by úhlopříčka KL byla částí strany AB. Pak aspoň jeden z bodů K a L nutně leží uvnitř strany AB. To ale odporuje vymezení pojmu šestiúhelník (viz Vymezení 1.1). Spor.] Úloha 1.27. Rozhodněte, zda existuje šestiúhelník, jehož jedna úhlopříčka je částí jiné jeho úhlopříčky. - 16 -

[Řešení Ú1.27. Existuje, viz obr. Ř1.5. Úhlopříčka BD je částí úhlopříčky BE, úhlopříčka CE je částí úhlopříčky CF, úhlopříčka AD je částí úhlopříčky AC.] Úloha 1.28. Rozhodněte, zda existuje mnohoúhelník, jehož každá strana je částí některé jeho úhlopříčky. [Řešení Ú1.28. Existuje, například pěticípá hvězda ABCDEFGHIJ (ACEGI i BDFHJ jsou pravidelné pětiúhelníky). Každá strana, např. AB je částí dokonce dvou úhlopříček AD a AE.] Obr. Ř1.6 Úloha 1.29. Rozhodněte, zda existuje obdélník, který lze jednou úsečkou rozdělit na dva útvary, z nichž pak lze slepit (a) čtverec, (b) kosočtverec, (c) rovnostranný trojúhelník, (d) rovnoramenný pravoúhlý trojúhelník, (e) lichoběžník, který má tři strany shodné. [Řešení Ú1.29. (a) A. Existuje, obdélník 1 4 rozdělíme na dva obdélníky 1 2, z nichž pak složíme čtverec 2 2. (b) A. Každý obdélník. Na straně CD obdélníku ABCD vyznačíme bod E tak, že AE AB. Podél úsečky AE obdélník rozdělíme a pak slepíme tak, že úsečky BC a AD splynou. Tak vznikne kosočtverec. Viz obr. Ř 1.7. (c) A. Existuje, obdélník ABCD o rozměrech 1 3 rozdělíme úhlopříčkou AC na dva trojúhelníky a ty slepíme úsečkami AD a CB. Viz obr. Ř 1.8. (d) A. Existuje, obdélník ABCD o rozměrech 1 2 rozdělíme příčkou AE (bod E je střed strany CD) a trojúhelník AED přilepíme k lichoběžníku ABCE tak, že slepíme úsečky ED a EC. (e) A. Existuje. V tomto případě postupujeme od lichoběžníku k obdélníku. Nechť ABCDEF je pravidelný šestiúhelník, pak lichoběžník ABCD má tři strany shodné. Z bodu C spustíme kolmici na stranu AD a její patu označme G. Lichoběžník rozstřihneme podél úsečky CG a trojúhelník DCG přilepíme k lichoběžníku AGCB tak, že slepíme úsečky DC a AB.] Obr. Ř1.7 Obr. Ř1.8-17 -

Úloha 1.30. Rozhodněte, zda existuje pravoúhelník s obvodem o, který lze jednou úsečkou rozdělit na dva útvary, z nichž lze slepit obdélník s obvodem (a) 5o/4, (b) 3o/2, (c) 7o/4, (d) 2o. [Řešení Ú1.30. (a) A. Existuje, je to čtverec. (b) A. Existuje, je to obdélník s rozměry 1 2. c) A. Existuje, je to obdélník s rozměry 1 6. (d) N. Neexistuje.] Úloha 1.31. Rozhodněte, zda existuje lichoběžník, který lze úsečkou rozdělit na trojúhelník a pětiúhelník, z nichž lze slepit čtverec. [Řešení Ú1.31. A. Existuje. Například nechť ABCD je pravoúhlý lichoběžník se základnami AB délky 3, CD délky 1 a ramenem BC délky 2, kolmým na základny. Střed ramene AD označme E. Rovnoběžka s BC vedená bodem E protne přímky AB a CD v bodech F a G v pořadí. Viz obr. Ř 1.9. Pak FBCG je čtverec. Teď je již řešení vidět. Tyto úlohy lze řešit úspěšně též metodou odzadu. Nakreslete si nejprve výsledný čtverec. Ten pak rozdělte na trojúhelník a pětiúhelník čarou, která spojuje středy sousedních stran. Z těchto dílů pak lze snadno slepit výchozí lichoběžník.] Obr. Ř1.9 Úloha 1.32. Rozhodněte, zda existuje rovnoběžník s obvodem 22, který lze jednou úsečkou rozdělit na dva útvary, z nichž lze slepit buď obdélník s obvodem 20, nebo pravoúhlý trojúhelník s obvodem 24. [Řešení Ú1.32. Rovnoběžník existuje. Jeho delší strana má délku 6, kratší má délku 5 a výška na delší stanu má délku 4.] Úloha 1.33. Rozhodněte, zda existuje lichoběžník, který nelze úsečkou rozdělit na pravoúhlý trojúhelník a lichoběžník. [Řešení Ú1.33. Existuje, je to například lichoběžník ABCD, který leží uvnitř obdélníku AECF tak, že ABDF i BECD jsou neshodné obdélníky.] Úloha 1.34. Rozhodněte, zda existuje trojúhelník, který nelze úsečkou rozdělit na (a) 2 rovnoramenné trojúhelníky, (b) 2 pravoúhlé trojúhelníky, (c) 2 tupoúhlé trojúhelníky, (d) tupoúhlý trojúhelník a rovnostranný trojúhelník, (e) 2 trojúhelníky stejného obsahu, (f) 2 trojúhelníky stejného obvodu. - 18 -

[Řešení Ú1.34. (a) A. Existuje, například rovnostranný trojúhelník. (b) N. Neexistuje. Každý trojúhelník je možné výškou spuštěnou na jeho nejdelší stranu rozdělit na dva pravoúhlé trojúhelníky. (c) A. Existuje, například rovnostranný trojúhelník. (d) A. Existuje, například rovnostranný trojúhelník. (e) N. Neexistuje, protože každý trojúhelník je kteroukoli svojí těžnicí rozdělen na dva trojúhelníky stejného obsahu. (f) N. Neexistuje. Každý trojúhelník ABC můžeme úsečkou rozdělit AD na dva trojúhelníky ABD a ADC stejného obvodu. Bod D na straně BC sestrojíme takto: na přímce BC sestrojíme body U a V tak, aby bylo AB = UB AC = VC. Délka úsečky UV je rovná obvodu Δ ABC. Bod D je střed úsečky UV. Za těchto okolností je obvod Δ ABD roven obvodu Δ ACD, neboť: obvod Δ ABD = AB + BD + AD = UB + BD + AD = UD + AD = VD + AD = VC + CD + AD = AC + CD + AD = obvod ACD.] Úloha 1.35. Rozhodněte, zda existuje útvar, který má aspoň dva různé středy souměrnosti. [Řešení Ú1.35. Existuje, například přímka, nebo dvojice rovnoběžných přímek, nebo rovnoběžkový pás. Jestliže čtenář tento útvar neviděl, znamená to, že uvažuje pouze v konečné části roviny to je zcela přirozené vidění geometrie 2D. Tato vlastní zkušenost pomůže učiteli porozumět didaktické náročnosti pojmu přímka. ] 1.6.Úvahy nad pojmy bod a přímka V experimentálním vyučování jsme měli možnost zaznamenat velice zajímavé debaty žáků převážně druhého stupně, které vzrušovaly náročné pojmy jako bod přímky v nekonečnu, hustota bodů na úsečce, body sousední apod. Naše zkušenosti zde prezentujeme hypotetickými rozhovory dvou, věkově nespecifikovaných žáků. Myšlenky žáků, často získané z knih nebo od sourozenců, zde prezentujeme v dospěláckém jazyce, abychom nemuseli dlouze vysvětlovat, co svými často nejasnými výroky žáci mysleli. Výzva 1.6. Dva žáci, Alenka a Boris mají různé názory na jistou geometrickou situaci. Rozhodněte, který ze žáků má pravdu, a své rozhodnutí zdůvodněte. a) Situace: Na přímce jsou dány tři různé body A, B, C tak, že B leží mezi A a C. Obr. 1.4 Alenka: Polopřímka BC je částí polopřímky AC, a je tedy kratší. Boris: Polopřímky AC a CA jsou stejně veliké; stejně i BC a CA; proto i AC a BC jsou stejně veliké. - 19 -

b) Situace: V Δ ABC je dána střední příčka DE; bod D je střed strany AC a E je střed strany BC. Alenka: Na úsečce AB je stejně bodů jako na úsečce DE. Když si totiž vezmu na úsečce AB kterýkoli bod X a spojím jej s bodem C, tak tato úsečka protne úsečku DE v jistém bodě Y. Tak body X úsečky AB páruji s body Y úsečky DE. Proto je těch bodů X stejně jako bodů Y. Boris: To je nesmysl, protože úsečka AB je dvojnásobně delší jako úsečka DE. c) Situace: Rovnoramenný pravoúhlý trojúhelník ABC s přeponou AB. Půlkružnice k s průměrem AB procházející bodem C. Na půlkružnici k máme najít takový bod X, aby obsah Δ ABX byl nejmenší možný (obr. 1.5). Alenka: To musím najít takový bod X, aby úsečka AX nebo úsečka BX byla co nejmenší. Tedy bod X bude sousední bod s bodem A nebo B. Obr. 1.5 Boris: Takový žádný bod není. Vždycky můžeš úsečku AX rozpůlit. Takže žádný bod s bodem A nesousedí. d) Situace: Kružnice se dotýká přímky p v bodě T. Středem S této kružnice vedeme přímku q rovnoběžně s přímkou p. Průsečíky kružnice s přímkou q označíme A, B. Půlkružnici, která leží v pásu mezi rovnoběžkami p a q, označme k. Alenka: Na půlkružnici k je stejně bodů jako na přímce p. Když totiž vezmu jakýkoli bod X na přímce p a spojím jej se středem S, protne tato úsečka půlkružnici k v jednom bodě Y. Každému bodu X přímky tedy odpovídá jeden bod Y půlkružnice k. Z toho plyne, že bodů na přímce je stejně jako bodů na půlkružnici. Boris: Jednak body na kružnici jsou více natěsno než na přímce, jednak by podle tvého obrázku měla přímka dva Obr. 1.6 nekonečné body, jeden co odpovídá bodu A, druhý co odpovídá bodu B a to je chybně, protože přímka má jen jeden nekonečný bod. e) Situace: Dvě rovnoběžné přímky p a q. Alenka: Ty přímky se nikdy neprotnou. Boris: Protnou se v nekonečnu. - 20 -

Alenka: Takový bod neexistuje. Boris: Vezmi si polopřímku AB a bodem B posunuj dál a dál od bodu A. Úsečka AB se bude prodlužovat, ale bod B tam stále bude. Až když se úsečka prodlouží do nekonečna, bude bod B nekonečný bod. - 21 -

2. Krychlové stavby a krychlová tělesa Hošík, který si z kostek staví věže a jiné stavby, dívenka, která obléká panenku, dítě které na pískovišti staví hrady nebo peče bábovičky, získává cenné zkušenosti o prostorových objektech. Předlohy pro svoje stavby nachází dítě v okolním světě, obrázkových knížkách, televizi, ale též ve vlastní fantazii. Tyto zkušenosti budou východiskem pro otevírání 3D světa žákům prvního stupně ZŠ. Přirozeným vstupem do 3D světa pro žáka první třídy je oblast, ve které má nejvíce zkušeností to jsou zřejmě kostky. Proto prvním před-pojmem tělesa, s nímž se žák setkává, je pojem krychlová stavba specifický objekt vytvořený ze souboru krychlí. Tento pojem zavedeme v podkapitole 2.1 společně s pěti různými reprezentacemi (zápisy) tohoto objektu. Podkapitola 2.2 nabízí různé aktivity, které dávají možnosti dalšího rozvoje prostorové představivosti žáka. Pojem krychlová stavba se opírá o pojmy svislý a vodorovný, které do čisté geometrie nepatří, ale jsou hluboce vkořeněny v naší prostorové zkušenosti. Potlačením těchto pojmů a snahou vnímat objekt 3D bez jeho polohy k okolí se začíná v podkapitole 2.3. budovat čistě geometrický pojem krychlové těleso. 2.1. Krychlové stavby Krychlovou stavbou rozumíme prostorový objekt postavený podle jistých pravidel z konečného počtu shodných krychlí. Pravidla pro stavbu krychlové stavby jsou jednoduchá: 1) začínáme položením jedné krychle na podlahu ; 2) k ní přiložíme druhou krychli přesně stěnou na stěnu krychle druhé; 3) tak pokračujeme přikládáním další a další krychle, vždy na jednu nebo více krychlí již rozestavěné stavby, až vyčerpáme všechny připravené krychle. K tomuto procesnímu popisu stavby dejme i vymezení statické. Vymezení 2.1. Prostorový útvar vytvořený z konečného počtu shodných krychlí nazveme krychlovou stavbou jestliže: 1) každé dvě krychle mají společnou buď jednu stěnu, nebo jednu hranu, nebo jeden vrchol, nebo nemají nic společného; 2) žádná krychle nevisí ve vzduchu ; 3) stavba je z jednoho kusu tj. středy libovolných dvou krychlí stavby lze spojit čárou, která celá leží uvnitř stavby. Stavbu můžeme reprezentovat mnoha různými způsoby. Zde uvedeme pět z nich: 1. Fyzický model. Stavba postavená z kostek. - 22 -

2. Portrét. Buď je kreslený rukou, nebo počítačem, nebo je to fotografie fyzického modelu. Na obrázku 2.1 jsou dvě krychlové stavby A a B. Každá je složena ze 4 krychlí. 3. Plán. Do půdorysu stavby, který se skládá z jednoho nebo více čtverců, napíšeme tečky: Počet teček ve čtverci ukazuje, jak vysoká krychlová věž na tomto čtverci stojí. Místo teček budeme používat i čísla. V první třídě je asi lepší používat tečky. To nám umožní pracovat s plánem již před nácvikem psaní číslic. A B Obr. 2.1 A 4. Tři průměty. Stavbu B zachytíme ze tří navzájem kolmých pohledů (viz obr. 2.2). Když se podíváme na stavbu B shora vidíme trimino B p, které je půdorysem stavby B; podíváme-li se zepředu vidíme trimino B n (termíny trimino a tetramino jsou vysvětleny v podkapitole 3.2), které je nárysem stavby, a podíváme-li se z boku, vidíme trimino B b, které je bokorysem stavby B. B p B b B p B b B n B n Obr. 2.2 Stejně A p, A n a A b na obr. 2.3 jsou půdorys, nárys a bokorys stavby A. A p Obr. 2.3 A n A b - 23 -

5. Popis konstrukce. Postup tvorby stavby zapisujeme krok po kroku. Například stavbu A konstruujeme v sedmi krocích: Akce Zápis konstrukce Zápis plánem 1. polož krychli 1. 2. udělej krok na východ.1 1. 3. polož krychli 4. vystup o 1 podlaží nahoru 1 2. 5. polož krychli 6. vystup o 1 podlaží nahoru 1 3. 7. polož krychli Tab. 2.1 Stavba A je tedy zapsána takto:. Stavba B je zapsána takto:.. Popis konstrukce používá šesti ikonických znaků: - polož krychli - jdi na západ - jdi o 1 podlaží nahoru - jdi na sever - jdi na východ - jdi na jih. Již v prvním ročníku mluvíme o dvou číselných údajích staveb: 1) o objemu (termín nepoužíváme, mluvíme o počtu krychlí potřebných na stavbu) a 2) o počtu podlaží. Slovo patro, které žák slyší častěji než slovo podlaží, nepoužíváme, protože skutečnost, že přízemí je nulté patro, bývá pro žáky matoucí. Například vícepatrovou budovou někteří žáci rozumí budovu mající aspoň první patro, ale jiní budovu, která má více než jedno patro. (Výrok žákyně třetí třídy: Když řeknu, že zde je více jablek, tak to je více než jedno, no ne? ) Podobně matoucí je skutečnost, že věž postavená ze 4 kostek má pouze 3 patra. Proto budeme používat méně běžnou terminologii podlaží. Stavbu nazveme: 1-podlažní, když nemá žádnou krychli ve 2. podlaží, 2-podlažní, když má aspoň jednu krychli ve 2. podlaží a žádnou krychli ve 3. podlaží, 3-podlažní, když má aspoň jednu krychli ve 3. podlaží a žádnou krychli ve 4. podlaží atd. Dodejme, že i terminologie pomocí podlaží má své slabé místo. Když výtahem jedeme do sklepa, jedeme do nultého, nebo do méně prvního podlaží? Tyto situace při práci s krychlovými stavbami však nenastanou a nemusíme se jimi znepokojovat. - 24 -

Úloha 2.1. Stavba A je nakreslena v pravém nadhledu. Nakreslete ji v levém nadhledu.. Stavba B je nakreslena v levém nadhledu. Nakreslete ji v pravém podhledu. Úloha 2.2. Stavbu C, D i E, která je popsána portrétem, reprezentujte: fyzickým modelem, plánem, třemi průměty i popisem konstrukce. C D E Obr. 2.4 [Řešení Ú2.2. Všechny tři krychlové stavby jsou plánem znázorněny na obr. Ř 2.1a a třemi průměty na obrázku Ř 2.1b. 2 2 C 1 E 1 1 2 1 1 1 D Obr. Ř2.1a C n D n D b E p = E n = E b C p = C b D p Obr. Ř2.1b Jejich popis konstrukce je například C: ; D: ; E:. ] Komentář. Půdorys a bokorys stavby C je stejný. Všechny tři průměty stavby E jsou shodné. Popis konstrukcí není dán jednoznačně. Konstrukci například stavby C lze zapsat také takto: C: ] Výzva 2.1. Připravte a realizujte experiment, jehož cílem bude dát náznak odpovědi na některou z následujících otázek: 1) Jsou žáci v prvním/druhém ročníku schopni porozumět plánu stavby? 2) Co je pro žáky snazší postavit stavbu podle plánu, nebo k dané stavbě vytvořit plán? - 25 -

3) Jsou žáci v prvním/druhém ročníku schopni porozumět zápisu stavby pomocí tří průmětů? 4) Co je pro žáky snazší postavit stavbu podle tří průmětů, nebo k dané stavbě vytvořit tři průměty? 5) Jsou žáci v prvním/druhém ročníku schopni porozumět popisu konstrukce stavby? 6) Co je pro žáky snazší postavit stavbu podle popisu konstrukce, nebo k dané stavbě vytvořit popis její konstrukce? Základem takového experimentu je přesný scénář, ve kterém jsou jasně formulovány úlohy, pomocí nichž budeme hledat odpovědi na naše otázky. Dříve než zahájíte experimenty, napište své očekávání o jeho výsledku. Úloha 2.3. Každou ze staveb F, G i H, které jsou na obrázku 2.5 popsány plánem, reprezentujte: fyzickým modelem, portrétem, pomocí tří průmětů i popisem konstrukce. 2 1 2 2 1 1 1 1 1 3 1 1 2 F G H 1 [Řešení Ú2.3. Na obrázku Ř 2.2 jsou stavby znázorněny třemi průměty. Obr. 2. 5 F b G n H n F n H b G b F p G p H p Jejich popis konstrukce je například Obr. Ř2.2 F: ; G: ; H:.] Úloha 2.4. Stavbu I i J, která je na obrázku 2.6 znázorněna třemi průměty, reprezentujte fyzickým modelem, portrétem, plánem i popisem konstrukce. - 26 -

Půdorys obou staveb je stejný, tedy I p = J p. Nárys a bokorys stavby I jsou stejné, tedy I n = I b. I n = I b I p = J p J n J b Obr. 2.6 Úloha 2.5. Jedna ze staveb F, G, H, I a J není popsána jednoznačně. Zjistěte která a najděte všechny stavby, které uvedenému popisu odpovídají. Pokuste se sami vytvořit nejednoznačný popis stavby některým z uvedených výše způsobů popisu. [Řešení Ú2.5. Je to stavba J, přesněji stavby J. Jsou dvě. Označíme je J 1 a J 2. Stavby jsou popsány plánem na následujícím obrázku: 2 2 1 2 2 2 1 1 1 1 Objem stavby J 1 je 9 (krychlí), objem stavby J 2 je 10 (krychlí). ] J 1 2 J 2 2 Obr. Ř2.3 Úloha 2.6. Stavbu K i L, která je dána popisem konstrukce, reprezentujte fyzickým modelem, portrétem, popište ji pomocí tří průmětů i plánem. K: L:. K 1 2 2 Obr. Ř2.4 1 K p K n K b L L p L n L b 1 2 2 1 Obr. Ř2.5-27 -

Úloha 2.7. Vytvořte všechny 1-podlažní stavby s objemem 4 a každou zapište plánem, popisem konstrukce i třemi průměty. [Řešení Ú2.7. Jedná se o 5 staveb. Jejich půdorysy jsou tetramina 4A, 4B, 4C, 4D a 4E (viz obr. 3.12). Příslušné popisy konstrukcí mají následující tvar. 4A: ; 4B: ; 4C: ; 4D: ; 4E: ] Úloha 2.8. Vytvořte všechny 2-podlažní stavby s objemem 4 a každou zapište plánem, popisem konstrukce i pomocí tří průmětů. [Řešení Ú2.8. Uvažujeme pouze o stavbách s objemem 4. Jediná stavba, jejíž půdorys je monomino, má 4 podlaží, a tedy do našeho seznamu nepatří. Jediná stavba, jejíž půdorys je bimino a která má jen 2 podlaží, je stavba C (obr. 2.4). Existují právě dvě různé 2-podlažní stavby, jejichž půdorys je trimino 3A (obr. 3.12), a právě dvě různé 2-podlažní stavby, jejichž půdorys je trimino 3B (obr. 3.12). Popis konstrukce první dvojice staveb je: a ; druhou dvojicí jsou stavby B (obr. 2.1) a E (obr. 2.4). Popis konstrukce těchto staveb je: a.] Úloha 2.9. (a) Vytvořte všechny 3-podlažní a 4-podlažní stavby s objemem 4 a každou zapište plánem, popisem konstrukce i pomocí tří průmětů. (b) Vytvořte všechny 9-podlažní a 10-podlažní stavby s objemem 10 a každou zapište plánem, popisem konstrukce i pomocí tří průmětů. Výzva 2.2. Připravte a realizujte experiment, jehož cílem bude zjistit, co dělá žákům druhého/třetího ročníku nejvíce potíží, když mají stavbu zapsánu jedním jazykem, napsat pomocí jiného jazyka. Konkrétně: 1) stavbu, která je zapsána plánem, zapsat trojicí průmětů, 2) stavbu, která je zapsána plánem, zapsat popisem konstrukce, 3) stavbu, která je zapsána trojicí průmětů, zapsat plánem, 4) stavbu, která je zapsána trojicí průmětů, zapsat popisem konstrukce, 5) stavbu, která je zapsána popisem konstrukce, zapsat plánem, 6) stavbu, která je zapsána popisem konstrukce, zapsat trojicí průmětů. Dříve než experiment spustíte, napište své očekávání o jeho výsledku. - 28 -

2.2. Chirurgie staveb Když k existující stavbě přilepíme další krychli, nebo dokonce jinou stavbu, nebo když z ní jednu, nebo více krychlí odebereme, případně pak tuto amputovanou část přilepíme na jiné místo stavby, děláme se stavbou chirurgickou operaci. Osvětlíme to ilustracemi. Příklad 2.1. Dána je stavba M plánem: 2 1. Přidejte ke stavbě M jednu další krychli a vytvořte novou stavbu a popište ji plánem. Najděte všechny možnosti. Kolik jich je? Řešení. Nejprve lepíme novou krychli k dané stavbě v prvním podlaží. Zde máme celkem 6 možností; označíme je M 1 M 6. Pak lepíme novou krychli ve druhém podlaží. Zde máme jedinou možnost, kterou označíme M 7. Konečně lepíme novou krychli ve třetím podlaží. I zde máme jedinou možnost, kterou označíme M 8. Viz obrázek 2.7. 1 1 2 1 2 1 2 1 1 2 1 2 1 1 2 1 1 1 2 2 3 1 M 1 M 2 M 3 M 4 M 5 M 6 M 7 M 8 Obr. 2.7 Vytvořili jsme tedy 8 staveb, ale jen 6 z nich je různých, neboť M 2 = M 6 a M 3 = M 5. Někdo může říct, že pro něj je M 3 M 5, protože když si k domu přistavím další pokoj na severní straně, je to jiné, než když jej přistavím na straně jižní. Jeho oponent bude argumentovat, že ve stavebnictví to tak může být, ale v geometrii se mezi shodnými útvary nerozlišuje. Nakonec se objeví i názor třetí, že totiž stavby M 3 a M 5 jsou shodné, ale stavby M 2 a M 6 shodné nejsou, protože ani pravá a levá bota nejsou stejné. Oděv, který ušijeme na stavbu M 2, si stavba M 6 obléct nemůže. Na druhé straně ale, podívá-li se stavba M 2 do zrcadla, vidí stavbu M 6. Dodejme, že taková dvě tělesa, která sice nejsou zcela stejná, ale jedno je zrcadlový obraz druhého, nazýváme nepřímo shodná. Podobně nepřímo shodné jsou rovinné útvary, které jsou vzájemně osově souměrné, ale které nelze přesunout jeden do druhého, aniž bychom ten útvar zvedli z roviny do prostoru. Například šlápoty pravé a levé boty jsou nepřímo shodné. Dodejme, že v diskusi popsané výše je jedna sporná myšlenka, ke které se vrátíme ve výzvě 4.3. Je možné, že diskuse o tom, zda je různých staveb 6, nebo 7, nebo 8 vznikne mezi žáky ve třídě spontánně. V tom případě učitel diskusi pouze moderuje a sám se k žádnému názoru nepřikloní. Diskusi ukončí konstatováním, že podle stavbařského názoru je hledaných staveb 8, podle geometrického názoru jich je 6 a podle přísně geometrického názoru jich je 7. Žákům - 29 -