Název: Osová souměrnost

Transkript

1 Název: Osová souměrnost Autor: Mgr. Lukáš Saulich Název školy: Gymnázium Jana Nerudy, škola hl. města Prahy Předmět, mezipředmětové vztahy: matematika a její aplikace Ročník: 3. (1. ročník vyššího gymnázia) Tématický celek: shodná zobrazení Stručná anotace: Na modelových úlohách si žák osvojí dovednosti, zaměřené na využití shodného zobrazení osová souměrnost. Časová dotace: 1 x 45 min. Tento výukový materiál byl vytvořen v rámci projektu Přírodní vědy prakticky a v souvislostech inovace výuky přírodovědných předmětů na Gymnáziu Jana Nerudy (číslo projektu CZ.2.17/3.1.00/36047) financovaného z Operačního programu Praha - Adaptabilita.

2 Pomůcky (seznam potřebného materiálu) Rýsovací potřeby (pravítko, kružítko, tužka) Teorie O(o) - Osová souměrnost s osou o je shodné zobrazení, které každému vzoru X o přiřadí obraz X tak, že přímka XX je kolmá k přímce o a střed úsečky XX leží na přímce o. Bod Y ležící na ose o je samodružný, tedy pro Y o platí, že Y=Y. (Vzor i obraz leží na přímce kolmé na osu souměrnosti o a zároveň jsou od osy souměrnosti stejně vzdálené). Postup práce Student obdrží pracovní list s narýsovaným zadáním. Na základě vědomostí, nabytých během hodin teorie shodných zobrazení se student pokusí zkonstruovat požadované objekty. V každé úloze je prostor na rozbor úlohy, popis konstrukce, samotnou konstrukci a diskusi počtu řešení. Práci začíná student rozborem, na jehož základě sepíše popis konstrukce. Samotnou konstrukci následně vytvoří do zadání. Počet řešení rozebere v diskusi počtu řešení. Pracovní list pro učitele obsahuje výsledné řešení úlohy. V pracovním listu každého studenta by se mělo, vzhledem ke stejným vstupním objektům, objevit totožné řešení doprovozené diskuzí řešitelnosti. Výsledky 1) Jsou dány kružnice k1(o1, r1) a k2(o2, r2). Leží v opačných polorovinách s hraniční přímkou p. Sestrojte kosočtverec ABCD tak, aby jeho vrcholy A, C ležely na kružnicích k1 a k2 (po řadě) a úhlopříčka BD ( BD = 5cm) na přímce p.

3 2) Je dána přímka p a body A, B ležící v opačných polorovinách s hraniční přímkou p (AB není kolmá na p). Sestrojte na přímce p bod V tak, aby osa úhlu AVB ležela na p. 3) Do čtverce ABCD vepište rovnostranný trojúhelník AYZ tak, aby Y BC, Z CD. 4) Je dána kružnice k(s; r) a bod M vně kružnice k. Sestrojte všechny rovnostranné trojúhelníky, pro něž je k kružnice vepsaná a bod M leží na přímce obsahující jednu stranu trojúhelníka.

4 5) Pokuste se najít dráhu světlé koule tak, aby se odrazila od jedné stěny kulečníkového stolu a následně trefila černou kouli. Diskuze Tento pracovní list je základem pro práci s pracovním listem Osová souměrnost 2, ve kterém student využije především prostředí programu dynamické geometrie GeoGebra.

5 Pracovní list pro žáka Osová souměrnost 1 Pomůcky (seznam potřebného materiálu) Rýsovací potřeby (pravítko, kružítko, tužka) Teorie O(o) - Osová souměrnost s osou o je shodné zobrazení, které každému vzoru X o přiřadí obraz X tak, že přímka XX je kolmá k přímce o a střed úsečky XX leží na přímce o. Bod Y ležící na ose o je samodružný, tedy pro Y o platí, že Y=Y. (Vzor i obraz leží na přímce kolmé na osu souměrnosti o a zároveň jsou od osy souměrnosti stejně vzdálené). Postup práce: Pokuste se najít zadané objekty s využitím osové souměrnosti. V každé úloze nejprve zapište rozbor, následně popište konstrukci a samotnou konstrukci proveďte do předkresleného obrázku. Nakonec v diskusi rozeberte počet řešení úlohy. Úlohy: V některých úlohách se dá najít řešení bez využití osových souměrností. Takové řešení není chybné, snažte se však konstrukce provádět s co nejmenším počtem konstrukčních kroků, v čemž vám osová souměrnost pomůže. 1) Jsou dány kružnice k1(o1, r1) a k2(o2, r2). Leží v opačných polorovinách s hraniční přímkou p. Sestrojte kosočtverec ABCD tak, aby jeho vrcholy A, C ležely na kružnicích k1 a k2 (po řadě) a úhlopříčka BD ( BD = 5cm) na přímce p.

6 2) Je dána přímka p a body A, B ležící v opačných polorovinách s hraniční přímkou p (AB není kolmá na p). Sestrojte na přímce p bod V tak, aby osa úhlu AVB ležela na p. 3) Do čtverce ABCD vepište rovnostranný trojúhelník AYZ tak, aby Y BC, Z CD.

7 4) Je dána kružnice k(s; r) a bod M vně kružnice k. Sestrojte všechny rovnostranné trojúhelníky, pro něž je k kružnice vepsaná a bod M leží na přímce obsahující jednu stranu trojúhelníka. 5) Pokuste se najít dráhu světlé koule tak, aby se odrazila od jedné stěny kulečníkového stolu a následně trefila černou kouli. Diskuze: U kterých úloh je podle vašeho názoru použití osové souměrnosti nezbytné, u kterých se dá nahradit jinými konstrukčními kroky a kterými?