Matematcká logka cvčení Vlém Vychodl Abstrakt Následující dokument obsahuje řešené příklady a cvčení k předmětu Matematcká logka. Pro zvládnutí cvčení je nutné mít zažté základní pojmy, které můžete nalézt v doporučených studjních materálech. Některé parte, které nejsou studjním materály dostatečně pokryty, jsou dále rozebrány v tomto textu. Komentáře zasílejte elektroncou poštou na adresu <vlem.vychodl@upol.cz>. Stav ke dn 17. 2. 2005. Obsah Formule výrokového počtu Alternatvní defnce formulí I Alternatvní defnce formulí II Prncp strukturální ndukce Sémantka formulí výrokového počtu Adekvátní systémy spojek a funkční úplnost Úplné normální formy formulí Dokazatelnost ve VP Ekvvalence deduktvních systémů Sémantcké vyplývání ve VP Jazyk, termy a formule v predkátové logce Výskyty proměnných a substtuovatelnost Slovní pops a formule Jazyky s rovností Kvantfkace
Matematcká logka cvčení 1 Formule výrokového počtu Příklady v následující sekc slouží k procvčení práce s formulem a podformulem. Př prác s formulem budeme vycházet z následující nduktvní defnce: (1) Každý výrokový symbol p je formule. (2) Nechť ϕ, ψ jsou formule. Pak nϕ, (ϕ ψ) jsou formule. (3) Všechny formule vznkají aplkací předchozích dvou bodů. Analogcky lze defnovat podformule: (1) Je-l ϕ formule, pak ϕ je podformule ϕ. (2) Je-l ϕ formule tvaru nψ a ϑ je podformule ψ, pak ϑ je podformule ϕ. (3) Je-l ϕ formule tvaru (ψ χ) a ϑ je podformule ψ nebo χ, pak ϑ je podformule ϕ. Cvčení. 1. Rozhodněte, které z následujících slov (ne)jsou formule a zdůvodněte proč. p, np, (np), nnp, nnnp, n(nnp), nq np, (nq q), nq q), q, (q q), (p n), (p (p nq)), ((p p) nq), n(q np). 2. Z důvodů přehlednost zápsu formulí obvykle přpouštíme vynechání vnějších závorek ve formulích. V předchozím příkladu najděte slova, která jsou formulem až na absenc vnějších závorek. 3. Formule VP mohou být uvažovány také v postfxovém bezzávorkovém tvaru. V tomto případě můžeme formule defnovat opět nduktvně: každý výrokový symbol p je formule a jsou-l ϕ, ψ formule, potom jsou ϕ n, ϕ ψ formule. (a) Následující formule vyjádřete v postfxovém tvaru. (p (q r)), ((p q) r), (np n(q r)), n(n(np q) nr). (b) Následující postfxové formule vyjádřete v klasckém (nfxovém závorkovaném) tvaru. q p n, q n p, p n q z n, p q p q n n. Nápověda: uvědomte s, jak lze konkrétní formule sestrojt užtím dvou předchozích defnčních pravdel a tato pravdla aplkujte, pouze s druhým stylem zápsu formulí. 4. Zdůvodněte následující jednoduchá tvrzení. (a) Každý výrokový symbol p má pouze jednou podformul. (b) Každá podformule je formule. (c) Je-l ψ podformule ϕ a ϑ je podformule ψ, pak je ϑ podformule ϕ. (d) Je-l ψ podformule ϕ, pak má ψ nejvýš takový počet podformulí jako ϕ. 5. Dokažte následující tvrzení. Relace být podformulí, to jest relace R = { ϕ, ψ ; ϕ je podformule ψ} je relace uspořádání na množně všech formulí VP.
Matematcká logka cvčení 2 Alternatvní defnce formulí I V některých případech je vhodné formul defnovat pomocí generující posloupnost. Posloupnost slov γ 1,..., γ n se nazývá generující, pokud pro každé 1 n platí, že γ je buďto výrokový symbol, nebo je v jednom z tvarů nγ j, (γ k γ l ), kde j, k, l <. Nyní lze defnovat: Slovo ϕ je formule, pokud exstuje generující posloupnost ϕ 1,..., ϕ n, kde ϕ n = ϕ. Slovo ψ je podformule ϕ, pokud se vyskytuje v každé generující posloupnost formule ϕ. Zavedení formulí a podformulí pomocí generující posloupnost je praktcké, pokud chceme dokazovat tvrzení o formulích pomocí matematcké ndukce přes délku jejch generující posloupnost. Vz následující řešený příklad. Příklad. 6. Pro alternatvní defnc (pod)formule dokažte následující tvrzení. Cvčení. Nahradíme-l lbovolnou podformul formule jnou formulí, získáme opět formul. Mějme formul ϕ a její podformul ψ. Pro každou generující posloupnost ϕ 1,..., ϕ n = ϕ, máme ψ = ϕ pro některé 1 n. Nechť ϑ je formule, kterou nahradíme podformul ψ, a nechť ϑ 1,..., ϑ m = ϑ je její generující posloupnost. Nyní můžeme zkonstruovat posloupnost ϕ 1,..., ϕ 1, ϑ 1,..., ϑ m 1, ϕ,..., ϕ n, pro jejíž členy platí následující, ϕ j pro j <, ϕ ϑ pro j =, j = nϕ k je-l j > a formule ϕ j je tvaru nϕ k, (ϕ k ϕ l ) je-l j > a formule ϕ j je tvaru (ϕ k ϕ l ). Nyní lze jednoduše ověřt, že posloupnost ϕ 1,..., ϕ 1, ϑ 1,..., ϑ m 1, ϕ,..., ϕ n je generující, to jest ϕ n je formule vznklá náhrazením podformule ψ ve ϕ formulí ϑ. 7. K následujícím formulím najděte generující posloupnost. (p (nq n(p p))), n(nq p), (n(p p) p), ((p nnq) (q np)). 8. Pro alternatvní defnc (pod)formule dokažte následující tvrzení. (a) Každá podformule je formule. (b) Pro každou formul ϕ je ϕ její podformule. (c) V každé podformul ψ formule ϕ se vyskytuje nejvýš tolk logckých spojek, jako ve formul ϕ. (d) Nechť ψ je podformulí formule ϕ. Pak platí, že počet logckých spojek obsažených v ψ je roven počtu logckých spojek obsažených ve ϕ, právě když ϕ = ψ. 9. Ukažte, že alternatvní defnce (pod)formule jsou ekvvalentní původním defncím těchto pojmů. To jest ukažte, že ke každé formul dle původní defnce exstuje generující posloupnost a naopak, že každá formule dle alternatvní defnce je formulí podle výchozí defnce.
Matematcká logka cvčení 3 Alternatvní defnce formulí II Pojem formule lze alternatvně defnovat pomocí stromů. Tento přístup je spíš názorný a v matematcké logce je používán jen zřídka. Na druhou stranu, jsou-l formule representovány stromy, je na nch zřetelně vdět jejch struktura. Tato representace je také hojně používána př algortmckém řešení úloh symbolcké manpulace s výrazy. Formule defnujeme opět nduktvně: (1) Každý výrokový symbol p je formule (strom, který má pouze kořen). n (2) Nechť jsou ϕ, ψ formule. Pak ϕ ψ a ϕ jsou formule. (3) Všechny formule vznkají aplkací předchozích dvou bodů. Jednoduše lze defnovat pojem podformule jsou to právě všechny podstromy dané formule. Příklad. 10. Mez formulem v klasckém smyslu a formulem defnovaným pomocí stromů je opět vzájemně jednoznačná korespondence, například formule Cvčení. (p nq), ((q p) p), ((np q) n(r (p r))), lze vyjádřt následujícím stromy (v tomtéž pořadí): p n q q p p Analogcky pro každý strom dle výše uvedené defnce lze sestavt formul v klasckém smyslu. 11. Pro následující formule v klasckém smyslu najděte odpovídající stromy. ((p q) (nq np)), (p (np q)), (p (q n(p nq))), (p nnnq), (nnp (p nq)), nn(np q). 12. Které z následujících stromů representují formule? Ke stromům representujícím formule najděte příslušné formule v klasckém smyslu. n n n n n p p q p q q p q q r p r n p q r n p r n n p q p n r q r p n q n n n q p q p q p
Matematcká logka cvčení 4 Prncp strukturální ndukce Prncp strukturální ndukce je obecný dokazovací prncp, který lze aplkovat například na formule výrokového počtu. K úplnému zavedení a prokázání prncpu se obvykle používá aparát unversální algebry. Pro naše konkrétní účely to však zatím není nutné. Prncp strukturální ndukce pro formule VP K tomu, abychom prokázal, že všechny formule VP splňují vlastnost V, stačí ukázat, že (1) každý výrokový symbol p splňuje vlastnost V, (2) jsou-l ϕ, ψ formule splňující vlastnost V, pak nϕ a (ϕ ψ) splňují vlastnost V. Důkaz správnost prncpu. Mějme vlastnost V, pro kterou jsou splněny body (1), (2). Vezměme lbovolnou formul ϕ a některou její generující posloupnost ϕ 1,..., ϕ n = ϕ. Nyní dokážeme, že každý prvek této posloupnost splňuje vlastnost V, tedy že j splňuje formule ϕ. Tvrzení dokážeme ndukcí přes délku posloupnost. První prvek ϕ 1 musí být výrokový symbol p, pro výrokové symboly tvrzení platí dle bodu (1). Nyní předpokládejme, že tvrzení platí pro formule ϕ 1,..., ϕ l 1 uvědomte s, že všechny prvky generující posloupnost jsou formule. Pokud je ϕ l opět výrokový symbol, použjeme předchozí úvahu, to jest ϕ l splňuje V. Pokud ϕ l není výrokový symbol, pak je buďto ve tvaru nϕ nebo ve tvaru (ϕ j ϕ k ), kde, j, k < l. Jelkož předpokládáme, že platí bod (2) a dle ndukčního předpokladu formule ϕ, ϕ j, ϕ k splňují vlastnost V, potom formule ϕ l splňuje vlastnost V. V důsledku tedy každý člen generující posloupnost ϕ 1,..., ϕ n = ϕ splňuje V. Jelkož byla úvaha vedena pro lbovolnou formul ϕ, každá formule VP splňuje vlastnost V. Příklad. 13. Dokažte následující tvrzení. Všechny formule obsahují stejný počet levých pravých závorek. V tomto případě uvažujeme vlastnost formulí: Mít stejný počet levých prvých závorek. Výrokové symboly nemají žádné závorky, tedy tvrzení je pro ně splněno trválně. Předpokládejme, že vlastnost platí pro formule ϕ a ψ, to jest ϕ má n levých a n pravých závorek a ψ má m levých a m pravých závorek. Pak formule nϕ má stejný počet závorek jako ϕ, protože negací jsme žádnou závorku nepřdal an neubral. Formule (ϕ ψ) má n + m + 1 levých závorek a n + m + 1 pravých závorek, to jest (ϕ ψ) splňuje deklarovanou vlastnost. Užtím prncpu strukturální ndukce dostáváme požadované tvrzení. Poznámka. Pomocí strukturální ndukce je možné nejen dokazovat tvrzení o všech formulích, ale je rovněž možné prokazovat správnost defnovaných pojmů č vlastností formulí. Příklad. 14. Pro lbovolnou formul ϕ můžeme defnovat nezáporné celé číslo d(ϕ), které nazveme hloubka formule ϕ a to tak, že položíme, pro každý výrokový symbol p je d(p) = 0, jsou-l ϕ, ψ formule, pak d(nϕ) = d(ϕ) + 1 a d(ϕ ψ) = max(d(ϕ), d(ψ)) + 1. Strukturální ndukcí můžeme nyní dokázat, že pro všechny formule platí vlastnost
Matematcká logka cvčení 5 Cvčení. Každá formule má jednoznačně defnovánu svou hloubku. Pro výrokové symboly je tvrzení zřejmé. Nechť ϕ, ψ jsou formule, které mají jednoznačně dány své hloubky d(ϕ), d(ψ). Pak jsou zřejmě d(nϕ) = d(ϕ)+1 a d(ϕ ψ) = max(d(ϕ), d(ψ))+1 jednoznačně dány. Tvrzení platí. 15. Pro každou formul ϕ lze zavést množnu At(ϕ) všech výrokových symbolů vyskytujících se ve formul ϕ následovně, pro každý výrokový symbol p je At(p) = {p}, jsou-l ϕ, ψ formule, pak At(nϕ) = At(ϕ) a At(ϕ ψ) = At(ϕ) At(ψ). Dokažte, že množna At(ϕ) je dobře defnovaná a že lze psát At(ϕ) = {p; p je podformule ϕ}. 16. Analogcky jako v předchozím příkladě defnujte pro každou formul ϕ a pro každý výrokový symbol p nezáporné celé číslo ϕ p jako četnost výskytu výrokového symbolu p ve formul ϕ. Pomocí strukturální ndukce dokažte, že ϕ p je dobře defnovaná, je-l ψ podformule ϕ, pak je ψ p ϕ p. 17. Pomocí strukturální ndukce dokažte, že každá formule obsahuje závorky, které jsou dobře strukturované. Tím máme na mysl, že formule například nemůže obsahovat závorky ve tvaru ()) atd. Uvědomte s, že tvrzení nelze dokázat pouze na základě kontroly stejného počtu levých a pravých závorek, protože například )()( nemá dobře strukturované závorky. 18. Uvažujme, že jsme pro každou formul ϕ defnoval nezáporné celé číslo g(ϕ) předpsem, pro každý výrokový symbol p je g(p) = 1, jsou-l ϕ, ψ formule, pak g(nϕ) = g(ϕ) a g(ϕ ψ) = g(ϕ) + g(ψ). Najděte a slovně popšte ntutvní význam čísla g(ϕ).
Matematcká logka cvčení 6 Sémantka formulí výrokového počtu Formule je čstě syntaktcký pojem, to jest bez dodatečné nformace nemá smysl uvažovat, zda-l je formule pravdvá č nkolv. Sémantku formulí defnujeme pomocí pravdvostního ohodnocení, což je zobrazení e: V {0, 1}, kde V je množna všech výrokových symbolů. Pravdvost formule př daném ohodnocení značíme ϕ e a defnujeme j následovně: (1) Je-l formule ϕ výrokovým symbolem p, pak klademe ϕ e = e(p). (2) Nechť ϕ, ψ jsou formule. Pak nϕ e = 1, právě když ϕ e = 0; ϕ ψ e = 1, právě když ϕ e = 0 nebo ψ e = 1. Pro řešení dalších příkladů je rovněž nutné znát pojmy tautologe (formule pravdvá v každém ohodnocení), splntelná formule (formule pravdvá v některém ohodnocení), kontradkce (formule nepravdvá ve všech ohodnoceních) a formule logcky ekvvalentní (formule ϕ, ψ mají ve všech ohodnoceních stejnou pravdvost). Cvčení. 19. Dokažte následující tvrzení. U některých příkladů vhodně využjte strukturání ndukc. (a) Formule ϕ je tautologe, právě když je nϕ kontradkce. (b) Je-l formule ϕ tautologe a ψ vznkla nahrazením lbovolného výrokového symbolu p At(ϕ) formulí ϑ, pak je ψ tautologe. (c) Je-l formule ϕ tautologe a ϑ je lbovolná formule, pak je formule ϑ ϕ tautologe. (d) Nechť ϕ je tautologe a ψ je kontradkce, pak ψ ϕ je tautologe a ϕ ψ je kontradkce. (e) Nechť ϕ ψ a nψ jsou tautologe. Pak nϕ je rovněž tautologe. (f) Formule ϕ, ψ jsou logcky ekvvalentní, právě když jsou ϕ ψ a ψ ϕ tautologem. Tautologčnost formule VP lze rozhodnout mechancky pomocí tabulkové metody. K jejímu použtí nás opravňuje důkaz z následujícího řešeného příkladu. Příklad. 20. Dokažte tvrzení: Pravdvost formule ϕ př daném pravdvostním ohodnocení závsí pouze na ohodnocení výrokových symbolů vyskytujících se ve formul ϕ. Mějme formul ϕ. Označme At(ϕ) množnu všech výrokových symbolů vyskytujících se ve ϕ. Pro množnu At(ϕ) platí At(ϕ) = {p; p je podformule ϕ}. Nyní stačí ukázat, že pro dvě lbovolná pravdvostní ohodnocení e, f, pro která je e(p) = f(p) pro lbovolný p At(ϕ), máme ϕ e = ϕ f. Tvrzení prokážeme strukturální ndukcí přes složtost formule ϕ. Je-l ϕ výrokovým symbolem p, pak zřejmě p At(p) a dle ndukčního předpokladu máme p e = e(p) = f(p) = p f. Je-l ϕ ve tvaru nψ, pak za předpokladu, že platí ψ e = ψ f je z defnce ϕ e = 1, právě když ψ e = 0, což je právě když ψ f = 0, to jest právě když ϕ f = 1. Uvažujme ϕ ve tvaru (ψ ϑ) a nechť předpoklad platí pro formule ψ a ϑ. Pak platí ψ ϑ e = 1, právě když ψ e = 0 nebo ϑ e = 1, což je dle ndukčního předpokladu právě když ψ f = 0 nebo ϑ f = 1, to jest právě když ψ ϑ f = 1. Dohromady dostáváme, že ϕ e = ϕ f. Což bylo dokázat.
Matematcká logka cvčení 7 Úvaha. Nyní je jasné, že k tomu, abychom vyšetřl tautologčnost lbovolné formule se lze omezt pouze na zkoumání její pravdvost v konečně mnoha ohodnoceních. Množna At(ϕ) lbovolné formule ϕ je totž konečná, množna pravdvostních hodnot taktéž (je dvouprvková). To jest exstuje pouze 2 At(ϕ) způsobů (varací s opakováním), jak lze symbolům z množny At(ϕ) přřadt pravdvostní hodnoty z množny {0, 1}. Chceme-l tedy ověřt tautologčnost, stačí ověřt pouze 2 At(ϕ) přřazení pravdvostních hodnot. Příklad. 21. Zjstěte, zda-l je následující formule ϕ tautologe, n((p r) n(r q)) ((np q) r). p q r p r r q n(r q) np np q ϕ 1 ϕ 2 ϕ 3 ϕ 0 0 0 1 1 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 1 0 1 1 0 1 0 1 1 0 1 0 1 1 0 1 1 0 1 0 0 0 1 1 1 1 0 1 1 0 1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 1 1 0 1 0 1 1 0 1 1 1 1 0 0 1 0 0 1 1 0 0 1 1 1 1 1 1 0 0 1 0 1 1 1 Přtom ϕ 1, ϕ 1 a ϕ 3 označují tř podformule (p r) n(r q), n((p r) n(r q)) a (np q) r, v tomto pořadí. Formule ϕ není tautologe, protože v každém ohodnocení e, ve kterém je e(p) = 0, e(q) = 1 a e(r) = 0 je ϕ e = 0. Formule je ale splntelná, to jest není kontradkce. V tomto případě měla tabulka osm řádku, pozorný čtenář s jstě všml, že pravdvostní ohodnocení výrokových symbolů odpovídají bnárním rozvojům čísel 0 až 7 = 2 3 1. Poznámka. V klasckém výrokovém kalkulu hlbertovského typu je obvyklé uvažovat dvě základní spojky, bnární mplkac a unární negac n, jejch význam je čten jako když,..., pak,... a neplatí, že.... Kromě těchto dvou základních spojek zpravdla pracujeme s dalším spojkam, jako jsou dsjunkce d, konjunkce c, ekvvalence e a podobně. Omezená množna spojek zeštíhluje množnu axomových schémat, navíc výrazně zkracuje důkazy dalších tvrzení. Na druhou stranu je potřeba umět ostatní spojky vyjadřovat pomocí základních a formule tvarů ϕ d ψ, ϕ c ψ, ϕ e ψ etc., chápat jako zkratky za formule složtější. Logcké spojky n,, d, c a e jsou nterpretovány logckým operacem,,, a, které jsou zapsány v následujících tabulkách (čt v pořadí řádek sloupec). 0 1 1 0 0 1 0 1 1 1 0 1 0 1 0 0 1 1 1 1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 Srovnej defnc pravdvost formulí np, p q př daném ohodnocení e s defncí logckých operací a uvedených v předcházející tabulce. Evdentně platí p q e = e(p) e(q) a np e = p e. Pomocí prncpu strukturální ndukce pak lehce dostaneme nϕ e = ϕ e, ϕ ψ e = ϕ e ψ e.
Matematcká logka cvčení 8 V dalším textu se budeme věnovat vlastnostem systémů spojek a logckých operací. Zejména se budeme zabývat možností vyjadřování odvozených spojek pomocí pevně zvolených spojek základních. Příklad. 22. Ukažte, že logcké spojky d, c a e lze chápat jako zkratky za formule (v tomto pořadí), Cvčení. (np q), n(p nq), n((p q) n(q p)). Ukážeme pro první formul, zbytek nechť s čtenář provede sám. Stačí ukázat, že pro lbovolné přřazení pravdvostních hodnot e výrokovým symbolům p a q platí p d q e = np q e. Potom jž stačí strukturální ndukcí ověřt, že ϕ d ψ e = nϕ ψ e. Logckou ekvvalenc obou výrazů můžeme ověřt následující tabulkou. p q np np q p d q 0 0 1 0 0 0 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 0 1 1 To jest np q odpovídá dsjunkc. Analogcky lze ověřt pro ostatní spojky. 23. Ukažte, že následující formule lze chápat jako zkratky za spojku ekvvalenc, Příklad. (p q) c (q p), (p c q) d (np c nq), (np d q) c (p d nq). 24. Zjstěte, zda-l je následující formule ϕ tautologe. (np (q c nr)) e (n(q r) d p) p q r np nr q c nr np (q c nr) n(q r) n(q r) d p ϕ 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0 0 1 1 0 0 0 0 0 1 0 1 0 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 1 0 1 0 1 1 1 0 1 0 0 0 1 0 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 1 0 1 1 Formule ϕ je tautologe. Poznámka. Každá formule ϕ, kde At(ϕ) = {p 1,..., p n }, je z pohledu tabelace předpsem pro n-ární booleovskou funkc, to jest pro n-ární zobrazení f ϕ (x 1,..., x n ): {0, 1} n {0, 1}, přtom f ϕ (p 1,..., p n ) = 1, právě když pro ohodnocení e: {p 1,..., p n } {0, 1}, kde e(p 1 ) = p 1,..., e(p n ) = p n, je ϕ e = 1.
Matematcká logka cvčení 9 Cvčení. 25. Vyšetřete, které z následujících formulí jsou tautologe, splntelné nebo kontradkce. p (np q), p (nq n(q np)), p d (nq c nr), p np, (q c np) e n(nq d p), r (n(p p) q), nq c ((p q) c p), p e nnp. 26. Určete pravdvost následujících formulí ve všech ohodnoceních e: V {0, 1}, ve kterých je formule p nq pravdvá. p (nq (q c p)), (p d q) (nq np), n(p q) d np. 27. Dokažte následující tvrzení. Relace E = { ϕ, ψ ; ϕ je logcky ekvvalentní ψ} na množně všech formulí VP je relace ekvvalence. 28. Nechť ϕ d ϑ, ψ d nϑ jsou splntelné formule. Dokažte, že pak je ϕ d ψ splntelná. 29. Dokažte, že formule obsahující pouze spojky d a c nemůže být an tautologe, an kontradkce. 30. Dokažte, že formule ϕ, ve které se vyskytuje pouze spojka e je tautologe, právě když má každý p At(ϕ) ve formul ϕ sudý počet výskytů.
Matematcká logka cvčení 10 Adekvátní systémy spojek a funkční úplnost Některé systémy logckých spojek jsou významné z toho pohledu, že je pomocí nch možné vyjádřt lbovolnou další spojku říkáme jm adekvátní systémy spojek. Na úrovn sémantky spojek to znamená, že lbovolnou logckou operac lze zkonstruovat pouze ze základních logckých operací této vlastnost se říká funkční úplnost. Mez adekvátní systémy logckých spojek patří například systémy {, n}, {, 0} (0 je nulární spojka, která je nterpretována pravdvostní hodnotou 0), {c, n}, {d, e, 0}, {c, d,, e, n} atd. Čím větší je systém základních spojek, tím jednodušší je vyjadřování ostatních spojek, naopak, pokud je systém spojek malý, vyjadřování ostatních formulí může být komplkované a formule jsou obvykle dlouhé. Specální význam mají Perceova spojka a Shefferova spojka, které samy o sobě tvoří adekvátní systém spojek. Obě dvě spojky jsou nterpretovány následujícím logckým operacem, 0 1 0 1 0 1 0 0 0 1 0 1 1 1 1 0 V následující tabulce je uveden souhrn všech bnárních logckých operací, které jsou vyjádřeny pomocí čtyř různých systémů spojek, v prvním sloupc se jedná o systém {c, d,, e, n}, v druhém sloupc { n}, dále {0, d, e} a { }., n 0, d, e n(p p) n(p p) 0 (p (p p)) (p (p p)) p c q n(p nq) (p e q) e (p d q) (p q) (p q) n(p q) n(p q) q e (0 e (p d q)) (p (p p)) (p (p q)) p p p p n(q p) n(q p) p e (0 e (p d q)) (p (p p)) (q (p p)) q q q q n(p e q) (p q) n(q p) 0 e (p e q) (p (p q)) (q (p p)) p d q np q p d q (p p) (q q) n(p d q) n(np q) 0 e (p d q) (p (p p)) ((p p) (q q)) p e q n((p q) n(q p)) p e q (p q) ((p p) (q q)) nq nq q e 0 q q q p q p p e (p d q) q (p p) np np p e 0 p p p q p q q e (p d q) p (p q) n(p c q) p nq 0 e ((p e q) e (p d q)) p q p p p p 0 e 0 p (p p) Cvčení. 31. Pouze pomocí základních spojek, n najděte vyjádření pro logcké spojky, jejchž sémantku defnují následující čtyř tabulky. 0 1 0 0 1 1 0 1 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 1 0 1 0 1 1 1 32. Určete kolk je navzájem různých n-árních logckých operací. Vypšte s všechny unární logcké operace a zkuste s pro ně vymyslet přrozené názvy.
Matematcká logka cvčení 11 33. Logckou nonekvvalenc (vylučovací nebo) lze chápat jako zkratku za formul n(p e q). Ověřte, že formule (p q) q je ekvvalentní p a formule (p q) p je ekvvalentní q. Pokuste se zdůvodnt, jaký mohou mít tyto dvě ekvvalence praktcký význam. 34. Uvažujme jako základní spojky mplkac a nonekvvalenc. Určete, které spojky jsou určeny následujícím formulem. p (p q), q (p p), (p p) (p q), p ((p p) (p q)) p (p p), q ((p p) p), (p q) (q p), (p q) q. 35. Jako základní spojky uvažujte c, e, 0. Pokuste se pomocí nch vyjádřt všechny ostatní bnární a unární spojky.
Matematcká logka cvčení 12 Úplné normální formy formulí V předchozí sekc jsme ke každé formul ϕ sestrojoval tabulku, kterou jsme vyšetřoval pravdvost formule v závslost na ohodnocení výrokových symbolů. Nabízí se přrozená otázka, zda-l není možné provést opačný proces. To jest k lbovolné tabulce representující n-ární booleovskou funkc najít formul ϕ tak, že její tabelací získáme výchozí tabulku pravdvostních hodnot. Vzhledem k funkční úplnost logckých operací nterpretujících spojky n, je to možné a lze jednoduše popsat algortmus, kterým lze k zadané tabulce najít příslušnou formul. Formule je navíc ve specálním tvaru v konjunktvní nebo dsjunktvní normální formě, zkráceně KNF a DNF. Defnce. Každý výrokový symbol p a jeho negac np nazveme lterál. Formul ve tvaru (l 1 d d l k ), kde l je lterál pro každé 1 k nazveme elementární dsjunkce lterálů, nebol klausule. Formul ve tvaru (l 1 c c l k ) kde l je lterál pro každé 1 k nazveme elementární konjunkce lterálů. Formule ϕ je v dsjunktvní normální formě, pokud je ve tvaru ϑ 1 d d ϑ n, kde ϑ 1,..., ϑ n jsou elementární konjunkce lterálů, konjunktvní normální formě, pokud je ve tvaru ϑ 1 c c ϑ n, kde ϑ 1,..., ϑ n jsou klausule. Poznámka. Jednotlvé normální formy, an elementární dsjunkce a konjunkce jsme nezávorkoval an jsme neuváděl pořadí jednotlvých formulí, můžeme s to dovolt vhledem k dokazatelnost asocatvty a komutatvty spojek d a c. Vz učební materály. Algortmus (Nalezení DNF). Vstup: booleovská funkce s: {0, 1} n {0, 1}, kde s(p 1,..., p n ) = 1 pro některá p 1,..., p n {0, 1}, Výstup: formule ϕ v DNF Předpokládejme, že máme dáno n-ární zobrazení s: {0, 1} n {0, 1}. Nyní můžeme pro každou n-tc p 1,..., p n {0, 1} n, uvažovat elementární konjunkc p 1 c c p n, kde p je buďto lterál p, pokud je p = 1, nebo lterál np v opačném případě. Sestrojíme formul ϕ = ϑ 1 d d ϑ k, kde ϑ jsou právě všechny formule ve tvaru p 1 c c p n, pro které je s(p 1,..., p n ) = 1. Výsledná formule ϕ je v DNF. Algortmus (Nalezení KNF). Vstup: booleovská funkce s: {0, 1} n {0, 1} kde s(p 1,..., p n ) = 0 pro některá p 1,..., p n {0, 1}, Výstup: formule ϕ v KNF Předpokládejme, že máme dáno n-ární zobrazení s: {0, 1} n {0, 1}. Nyní můžeme pro každou n-tc p 1,..., p n {0, 1} n, uvažovat klausul p 1 d d p n, kde p je buďto lterál p, pokud je p = 0, nebo lterál np v opačném případě. Sestrojíme formul ϕ = ϑ 1 c c ϑ k, kde ϑ jsou právě všechny klausule p 1 d d p n, pro které je s(p 1,..., p n ) = 0. Výsledná formule ϕ je v KNF. Úvaha. Uvažujme booleovskou funkc s: {0, 1} n {0, 1}, kde s(p 1,..., p n ) = 0 pro lbovolné hodnoty p. Dle předchozího algortmu nalezení DNF neexstuje an jedna elementární konjunkce p 1 c c p n, kde s(p 1,..., p n ) = 1, to jest příslušnou formul ϕ v DNF nelze tímto algortmem sestrojt, stejně tak pro booleovskou funkc t: {0, 1} n {0, 1}, kde t(p 1,..., p n ) = 1 nelze sestrojt KNF. Na druhou stranu ale exstují formule, které jsou předpsem těchto booleovských funkcí a jsou v DNF a KNF. Uvažujme formule p c np, p d np, pak zřejmě máme s = f pcnp, t = f pdnp.
Matematcká logka cvčení 13 Poznámka. Za pozornost rovněž stojí, že formule vytvořené předcházejícím algortmy obsahují v každé elementární konjunkc č v každé klausul lbovolný výrokový symbol z množny {p 1,..., p n } jako lterál právě jednou. Takovým formulím říkáme, že jsou v úplné DNF, případně úplné KNF. Na druhou stranu p c np a p d np obsahují jeden výrokový symbol jako lterál dvakrát. Příklady. 36. K následující tabulkou zadané booleovské funkc s: {0, 1} 3 {0, 1} nalezněte DNF a KNF. Tabulka je z úsporných důvodů rozdělena na dvě část. p q r s(p, q, r) 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 1 0 1 1 1 p q r s(p, q, r) 1 0 0 0 1 0 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 Máme s(0, 0, 0) = s(0, 1, 0) = s(0, 1, 1) = s(1, 0, 1) = s(1, 1, 1) = 1, to jest úplná DNF má tvar (np c nq c nr) d (np c q c nr) d (np c q c r) d (p c nq c r) d (p c q c r), dále máme s(0, 0, 1) = s(1, 0, 0) = s(1, 1, 0) = 0, to jest úplná KNF má tvar (p d q d nr) c (np d q d r) c (np d nq d r). Intutvně lze říct, že DNF byla zkonstruována podle těch ohodnocení, ve kterých byla výchozí booleovská funkce pravdvá. Naopak KNF je sestavena tak, aby vyloučla platnost v ohodnoceních, ve kterých nebyla původní booleovská funkce pravdvá. Čtenář se může tabulkovou metodou přesvědčt, že obě zkonstruované formy jsou skutečně předpsem výchozí funkce s. 37. Dokažte správnost algortmu stanovení DNF. Mějme dánu booleovskou funkc s: {0, 1} n {0, 1}. V případě, že je s(p 1,..., p n ) = 0 pro lbovolné hodnoty p, pak snadno nahlédneme, že f pcnp (p, p 1..., p n 1 ) = s(p, p 1..., p n 1 ) = 0. V opačném případě předpokládejme, že ϕ je DNF zkonstruovaná dle s výše uvedeným algortmem. Dokážeme, že f ϕ (p 1..., p n ) = s(p 1..., p n ) pro lbovolné p 1,..., p n {0, 1}. Jednoduchým ale důležtým pozorováním lehce dojdeme k tomu, že f ϕ (p 1..., p n ) = 1 právě když je p 1 c c p n elementární konjunkce obsažená ve ϕ (nebo některá elementární konjunkce s ní ekvvalentní opět aplkujeme asocatvtu a komutatvtu), ale to je právě když je s(p 1..., p n ) = 1. Což bylo dokázat. 38. K lbovolné formul ϕ exstují formule ϑ, χ takové, že ϑ je v DNF a ϕ a ϑ jsou logcky ekvvalentní a χ je v KNF a ϕ a χ jsou logcky ekvvalentní. Uvažujme výchozí formul ϕ a příslušnou booleovskou funkc f ϕ. Nechť ϑ je DNF booleovské funkce f ϕ. Pak jsou zřejmě ϑ ϕ logcky ekvvalentní. Důkaz pro KNF je analogcký. Poslední tvrzení nás opravňuje mluvt o normální dsjunktvní a normální konjunktvní formě dané formule ϕ, která je dle předchozího s výchozí formulí logcky ekvvalentní. Do DNF č KNF lze formul ϕ převést tak, že j nejprve tabelujeme a poté aplkujeme předchozí dva algortmy.
Matematcká logka cvčení 14 Cvčení. 39. Dokažte správnost algortmu stanovení KNF. 40. K následujícím formulím nalezněte jejch DNF a KNF. p n(nr (p q)), np c (q np), p (q (nr c q)), (p q) d n(np (p nr)), n(r c (p q)), (p d nq) c (p d nr).
Matematcká logka cvčení 15 Dokazatelnost ve VP Dokazatelnost (syntaktcké vyplývání) formalzuje ntutvní pojetí důkazu. Př úvahách o dokazatelnost formulí z nějakého systému formulí nebo př prác s konkrétním důkazy, což pro nás budou specální posloupnost formulí, se však nkterak neopíráme o pojem pravdvost. Klascký výrokový kalkul Hlbertova typu má tř axomová schémata, H1) ϕ (ψ ϕ), H2) (ϕ (ψ ϑ)) ((ϕ ψ) (ϕ ϑ)), H3) (nψ nϕ) (ϕ ψ). Podotkněme že se skutečně jedná o schémata. Axom je každá formule, která je ve tvaru H1 H3. Například tedy p ((nnp r) p) a (nr nnp) (np r) jsou axomy, ale například p nq a p (q r) nkolv. Axomů je evdentně nekonečně mnoho. Dále používáme odvozovací pravdlo modus ponens, pomocí nějž z formulí ϕ a ϕ ψ odvozujeme formul ψ. Schématcky MP: ϕ, ϕ ψ. ψ Posloupnost δ 1,..., δ n se nazývá důkaz ze systému formulí T, pokud je každá δ nstancí některého axomového schématu H1 H3, nebo je δ T, nebo δ vznkla použtím modus ponens z formulí δ j a δ k, kde δ k je ve tvaru δ j δ a platí j, k <. Formule ϕ je dokazatelná z T (symbolcky T ϕ), pokud exstuje důkaz δ 1,..., δ n = ϕ z T. Pokud T =, pak píšeme zkráceně ϕ místo ϕ. Záps T, ϕ ψ chápeme jako zkratku za T {ϕ} ψ. Dále budeme využívat následujících faktů: ϕ ϕ, nϕ (ϕ ψ) tzv. zákon Dunse Scotta, aneb z nemožného plyne cokolv, nnϕ ϕ, ϕ nnϕ s předchozím vztahem vyjadřuje zákon dvojí negace, (ϕ ψ) (nψ nϕ) duální forma schématu H3, ϕ (nψ n(ϕ ψ)) z platnost ϕ a nψ plyne ϕ c ψ. Rovněž budeme používat známé dokazovací prncpy, jako je věta o dedukc, důkaz sporem, důkaz rozborem případů, věta o neutrální formul, věta o nahrazení, věta o ekvvalenc a další. Vz další učební materály. Uveďme s příklady jednoduchých, ale často používaných dokazovacích prncpů. Příklady. 41. Dokažte že pokud T ϕ a pro každou ψ T máme S ψ, pak také S ϕ. Předpokládejme že platí T ϕ. To jest exstuje důkaz δ 1,..., δ n = ϕ z T. Uvažujme posloupnost γ 1,..., γ m, kterou vytvoříme z posloupnost δ 1,..., δ n tak, že každý člen δ T nahradíme některým jeho důkazem ze systému S (důkaz vždy exstuje jelkož S δ ). Posloupnost γ 1,..., γ m je evdentně důkazem ze S a γ m = ϕ. Dostáváme tedy S ϕ. Důkaz γ 1,..., γ m zkonstruovaný výše uvedeným postupem není nkdy kratší než výchozí důkaz δ 1,..., δ n. 42. Dokažte platnost dvou často používaných dokazovacích prncpů. (a) důkaz obměnou: T ϕ ψ, právě když T nψ nϕ,
Matematcká logka cvčení 16 Cvčení. (b) důkaz ekvvalence tvrzení: Platí T ϕ ϕ j pro každé, j {1,..., n}, právě když T ϕ ϕ +1 pro všechna = 1,..., n 1 a T ϕ n ϕ 1. Tvrzení (a) plyne z axomu H3 a prncpu modus ponens a z faktu, že (ϕ ψ) (nψ nϕ) je dokazatelná z prázdného systému formulí. Všmněte s že (b) formalzuje klascký prncp, kterým se na ntutvní úrovn dokazuje ekvvalence několka tvrzení formul ϕ e ψ přtom chápeme jako zkratku za (ϕ ψ) c (ψ ϕ). Dále je dobré uvědomt s, že tvrzení (b) platí trválně. Ukážeme tedy obrácenou mplkac. Předpokládejme že platí T ϕ ϕ +1 pro všechna = 1,..., n 1 a T ϕ n ϕ 1. Vezměme lbovolná, j {1,..., n}. Rozlšíme tř případy: () Pokud je = j, tvrzení plyne přímo ze známého faktu ϕ ϕ. () Je-l < j, pak T ϕ ϕ j dostaneme násobným použtím transtvty mplkace (z platnost T ϕ ψ a T ψ ϑ plyne T ϕ ϑ), což je důsledek věty o dedukc. () Pokud > j, pak aplkací transtvty mplkace dostáváme T ϕ ϕ n ( n) a z předpokladu T ϕ n ϕ 1 a transtvty mplkace máme T ϕ ϕ 1. Jelkož T ϕ 1 ϕ j platí podle bodu () nebo (), užtím transtvty mplkace na T ϕ ϕ 1 a T ϕ 1 ϕ j dostáváme T ϕ ϕ j. Tím je důkaz hotov. 43. Dokažte následující tvrzení. (a) T je sporný systém, právě když T ϕ a zároveň T nϕ, (b) T je bezesporný systém, právě když n(ϑ ϑ) není dokazatelná z T. (c) Položme T S, právě když platí, že z T ϕ plyne S ϕ. Dokažte, že je transtvní. (d) Pokud T ϕ, pak exstuje nekonečně mnoho vzájemně různých důkazů ϕ z T. (e) Pokud T ϕ ψ a S ψ ϑ, pak T S ϕ ϑ. (f) T ϕ (ψ ϑ), právě když T ψ (ϕ ϑ). (g) Pokud T ϕ, pak exstuje konečná T T tak, že T ϕ. (h) Pokud T ϕ, pak S ϕ pro každou S, kde T S. () T je bezesporný, právě když je každý konečný T T bezesporný. 44. Pro každý systém formulí T defnujme systém formulí T = {ϕ; T ϕ}. Dokažte následující tvrzení. Příklady. (a) T = (T ), (b) Je-l T bezesporný, pak je T bezesporný systém obsahující T. (c) Mějme bezesporný systém T, kde pro každou formul ϕ máme buď ϕ T, nebo nϕ T. Pak platí, že T = T a T je maxmální bezesporný systém. 45. Bez použtí věty o úplnost VP dokažte následující tvrzení. (a) ϕ c ψ ϕ, (b) ϕ c ψ ψ, (c) (ϕ c ψ) ϑ, právě když ϕ (ψ ϑ),
Matematcká logka cvčení 17 Cvčení. (d) T ϕ a zároveň T ψ, právě když T ϕ c ψ. (e) T ϕ ψ a zároveň T ψ ϕ, právě když T ϕ e ψ. (a) Přpomeňme, že ϕ c ψ chápeme jako zkratku za formul n(ϕ nψ). Platí nϕ (ϕ nψ) zákon Dunse Scotta, (nϕ (ϕ nψ)) (n(ϕ nψ) nnϕ) duální forma H3, n(ϕ nψ) nnϕ n(ϕ nψ) ϕ (ϕ c ψ) ϕ modus ponens, věta o ekvvalenc, zkratka za formul. Tvrzení (b) se dokazuje analogcky jako (a), využjte přtom axom H1. Nyní ukážeme (c). Nechť (ϕ c ψ) ϑ. Z věty o dedukc máme ϕ c ψ ϑ. Navíc platí ϕ nψ, ϕ nψ ϕ (ϕ nψ) nψ ϕ ((ϕ nψ) nψ) (nnψ n(ϕ nψ)) ϕ nnψ n(ϕ nψ) ϕ ψ n(ϕ nψ) ϕ ψ (ϕ c ψ) prncp modus ponens, věta o dedukc, duální forma H3, monotone, prncp modus ponens, věta o ekvvalenc, zkratka za formul, ϕ, ψ ϕ c ψ věta o dedukc. Nyní z ϕ, ψ ϕ c ψ a ϕ c ψ ϑ dostáváme ϕ, ψ ϑ (zdůvodněte proč). Dále dvojnásobným užtím věty o dedukc dostáváme ϕ (ψ ϑ), což bylo dokázat. Předpokládejme ϕ (ψ ϑ). Z věty o dedukc ϕ, ψ ϑ. Aplkací bodů (a), (b) dostáváme ϕ c ψ ϕ a ϕ c ψ ψ. To jest v důsledku ϕ c ψ ϑ. Užtím věty o dedukc (ϕ c ψ) ϑ, což je požadované tvrzení. Dohromady jsme prokázal platnost bodu (c). Tvrzení (d) plyne z bodů (a), (b), věty o dedukc a užtím ϕ (ψ (ϕ c ψ)). Bod (e) je bezprostředním důsledkem (d) a opravňuje nás příjmout platnost T ϕ e ψ pokud prokážeme obě mplkace, to jest T ϕ ψ a T ψ ϕ, což je opět dokazovací prncp často používaný př dokazování na úrovn ntuce. 46. Bez použtí věty o úpnost VP dokažte následující tvrzení. (a) (nϕ ψ) (nψ ϕ), (b) (ϕ c ψ) (ϕ d ψ). (c) n(ϕ ϕ) (ϕ e ϕ), (d) ψ d nϕ ϕ ψ. (e) nϕ d ϕ, (f) ϕ ϕ c ϕ, (g) ϕ ψ d ϕ, (h) ϕ, nnψ ϕ c ψ, () ψ (ϕ (ψ ϑ)) (ϕ ϑ). (j) ((ϕ ψ) c (ψ ϑ)) (ϕ ϑ), (k) (ϕ ϕ) (ϕ ϕ), (l) n(ψ ψ) ϕ, (m) n(ϕ c nϕ), (n) ϕ d (ϕ ψ).
Matematcká logka cvčení 18 Ekvvalence deduktvních systémů Výroková dokazatelnost formule ϕ ze systému T je defnovaná pomocí pojmu důkaz. Přtom s důkazem pracujeme jako se specální konečnou posloupností formulí, která musí splňovat jsté podmínky. Z hledska důkazu jsou podstatná axomová schémata a odvozovací pravdla. V klasckém výrokovém kalkulu (Hlbertova typu) se používají tradčně axomová schémata H1 H3 a odvozovací pravdlo modus ponens. Můžeme však uvažovat jná schémata, případně jná odvozovací pravdla a lze zkoumat jejch vztah k H1 H3 a pravdlu modus ponens. Množnu uvažovaných axomových schémat a odvozovacích pravdel budeme stručně nazývat deduktvní systém. Označme L deduktvní systém a nechť T je systém formulí. Posloupnost δ 1,..., δ n je L-důkazem ze systému formulí T, pokud je každá δ nstancí některého axomového schématu z L, nebo je δ T, nebo δ vznkla z nějakých n formulí δ 1,..., δ n ( 1,..., n < ) užtím jstého n-árního odvozovacího pravdla z L. Formule ϕ je L-dokazatelná z T (symbolcky T L ϕ), pokud exstuje L- důkaz δ 1,..., δ n = ϕ z T. Předchozí pojmy evdentně zobecňují dokazatelnost z T pro deduktvní systém L. Pokud je L systém skládající se z axomových schémat H1 H3 a pravdla modus ponens, dostáváme trválně T L ϕ, právě když T ϕ pro každou T a ϕ. Deduktvní systémy L 1 a L 2 nazýváme ekvvalentní, pokud platí T L1 ϕ, právě když T L2 ϕ pro každý systém formulí T a lbovolnou formul ϕ. Nyní s ukážeme typckou metodu jak prokázat ekvvalenc deduktvních systémů. Příklad. 47. Mějme deduktvní systém L, který vznkne z deduktvního systému klasckého výrokového kalkulu Hlbertova typu nahrazením axomového schématu H3 schématem H3 ) (nψ nϕ) ((nψ ϕ) ψ). Dokažte, že L je ekvvalentní ded. systému klasckého výrokového kalkulu Hlbertova typu. Pro lbovolný systém formulí T a lbovolnou formul ϕ stačí dokázat, že T ϕ, právě když T L ϕ. Jelkož první dvě axomová schémata nebyla změněna a odvozovací pravdlo modus ponens zůstalo opět jako jedné dokazovací pravdlo, můžeme v deduktvním systému L bez újmy používat větu o dedukc (T L ϕ ψ, právě když T, ϕ L ψ). V důkazu věty o dedukc se totž využívají pouze schémata H1 a H2, to jest změna třetího schématu nemůže způsobt její neplatnost (podrobně s ověřte sam). Vezměme lbovolný systém formulí T a formul ϕ. Směr T L ϕ T ϕ je jednodušší a podrobně s jej rozebereme. Předpokládejme platnost T L ϕ. Budeme postupovat tak, že vyjdeme z L-důkazu formule ϕ z T a transformujeme jej na posloupnost formulí, která bude důkazem ϕ z T. Z předpokladu T L ϕ plyne exstence posloupnost δ 1,..., δ n = ϕ, která je L-důkazem. To jest pro každé = 1,..., n je δ buďto nstancí H1, H2 a H3, předpokladem z množny T, nebo vznkla použtím pravdla modus ponens z δ j, δ k pro j, k <. Dále platí nψ nϕ, nψ ϕ, nψ nϕ nψ nϕ, nψ ϕ, nψ ϕ nψ nϕ, nψ ϕ ψ (nψ nϕ) ((nψ ϕ) ψ) prncp MP na nψ nϕ a nψ, prncp MP na nψ ϕ a nψ, prncp důkazu sporem, dvakrát věta o dedukc. To jest (nψ nϕ) ((nψ ϕ) ψ) pro lbovolné formule ψ, ϕ. Což znamená že pro každou nstanc ϑ schématu H3 platí ϑ, nebol exstuje důkaz ϑ 1,..., ϑ n = ϑ z prázdného
Matematcká logka cvčení 19 systému předpokladů. Nyní můžeme uvažovat posloupnost formulí γ 1,..., γ m = ϕ vznknuvší z δ 1,..., δ n nahrazením každé nstance ϑ schématu H3 jejím důkazem ϑ 1,..., ϑ n = ϑ z axomů H1, H2 a H3. Posloupnost γ 1,..., γ m je evdentně důkazem, ve kterém jsou využta pouze schémata H1 H3, předpoklady z T a odvozovací pravdlo modus ponens. Platí tedy T ϕ. Směr T ϕ T L ϕ, nyní jž stručněj. Stačí ukázat L (nψ nϕ) (ϕ ψ). Zbývající úvaha je vedena jako v předchozím případě. L (nψ nϕ) ((nψ ϕ) ψ) nstance schématu H3, nψ nϕ L (nψ ϕ) ψ věta o dedukc, L ϕ (nψ ϕ) nstance schématu H1, nψ nϕ L ϕ (nψ ϕ) monotone, nψ nϕ L ϕ ψ transtvta mplkace, L (nψ nϕ) (ϕ ψ) věta o dedukc. Použtí prncpu transtvty mplkace bylo v pořádku, protože plyne přímo z věty o dedukc. Poznámka. Uveďme že z předchozího příkladu plyne T L ϕ, právě když T ϕ, což je právě když platí T ϕ (vz další paragraf). Pro deduktvní systém L jsme tedy automatcky získal větu o úplnost. Pochoptelně exstují deduktvní systémy, které nejsou ekvvalentní se systémem klascké výrokové logky Hlbertova typu. Stačlo by například uvažovat systém, který vznkne z klasckého výrokového systému Hlbertova typu odejmutím některého ze schémat H1 H3. Zkuste zdůvodnt proč. Cvčení. 48. Uvažujme deduktvní systém L, který vznkne z deduktvního systému klascké výrokové logky Hlbertova typu (dále jen KH) přdáním odvozovacího pravdla nahrazení (z formule ϕ odvoď ψ, kde ψ vznkla z ϕ nahrazením všech výskytů výrokového symbolu p ve ϕ formulí ϑ). Dokažte že L je ekvvalentní deduktvnímu systému HK. 49. Mějme deduktvní systém L, který neobsahuje žádná axomová schémata, ale obsahuje odvozovací pravdla modus ponens a pravdlo nahrazení z předchozího příkladu. L evdentně není ekvvalentní deduktvnímu systému HK. Ukažte ale, že T ϕ platí, právě když T S L ϕ, kde S = {p (q p), (p (q r)) ((p q) (p r)), (nq np) (p q)}. 50. Hlbertův-Ackermannův deduktvní systém (dále značený A) má čtyř axomová schémata: A1) (ϕ d ϕ) ϕ, A2) ϕ (ϕ d ψ), A3) (ϕ d ψ) (ψ d ϕ), A4) (ϕ ψ) ((ϑ d ϕ) (ϑ d ψ)), a odvozovací pravdlo modus ponens. Dokažte že A je ekvvalentní deduktvnímu systému HK. Uvědomte s, že pracujeme s deduktvním systémem neobsahujícím schémata H1, H2. To znamená, že nemůžeme automatcky v A přjmout platnost věty o dedukc. Všechny používané dokazovací prncpy v A musíme nejprve explctně prokázat analogcky jako jsme to dělal u deduktvního systému HK.
Matematcká logka cvčení 20 Sémantcké vyplývání ve VP Mějme pravdvostní ohodnocení e: V {0, 1}. Pro lbovolný systém formulí T píšeme e T, pokud je každá formule ψ T pravdvá v ohodnocení e, to jest ψ e = 1 pro každou formul ψ T. Ohodnocení e, pro které e T, se někdy nazývá model T. Formule ϕ sémantcky vyplývá z množny formulí T, pokud je ϕ pravdvá v každém ohodnocení e, kde e T. Zkoumání vztahů mez syntaktckým vyplýváním, je test dokazatelností, a sémantckém vyplýváním, to jest pravdvostí ve všech modelech, je jedním z ústředních bodů matematcké logky. Je dobré s uvědomt, že pokud například prokážeme, že T ϕ platí právě když T ϕ (věta o úplnost), pak můžeme dokazovací prncpy uvedené v předchozím paragrafu, třeba větu o dedukc, automatcky přenést na sémantckou úroveň. Například sémantcká verze věty o dedukc má tvar: T ϕ ψ, právě když T, ϕ ψ. Všechny tyto běžné prncpy lze však na sémantcké úrovn prokázat bez použté věty o úplnost VP. Příklad. 51. Bez použtí věty o úplnost VP dokažte T ϕ ψ, právě když T, ϕ ψ. Cvčení. Nejprve ukážeme stranu. Tedy předpokládáme T ϕ ψ a dokazujeme T, ϕ ψ. Stačí ověřt, že pro každé ohodnocení e, kde e T, ϕ, máme ψ e = 1. Pokud ale e T, ϕ, pak e T a zároveň ϕ e = 1. Jelkož T ϕ ψ platí dle předpokladu, hned dostáváme ϕ ψ e = 1. Nyní jž z ϕ e = 1 a z ϕ ψ e = ϕ e ψ e = 1 plyne ψ e = 1. To jest T, ϕ ψ. Ukážeme opačnou mplkac. Předpokládejme T, ϕ ψ, stačí ověřt, že pro každé ohodnocení e, kde e T máme ϕ ψ e = 1. Nechť tedy e T. Pokud ϕ e = 0, pak ϕ ψ e = 1 plyne přímo ze sémantky mplkace. Pokud ϕ e = 1, pak e T, ϕ a z předpokladu T, ϕ ψ dostáváme ψ e = 1. Tedy ϕ ψ e = ϕ e ψ e = 1 1 = 1, to jest T ϕ ψ. 52. Bez použtí věty o úplnost VP dokažte následující tvrzení. (a) T ϕ a pro každou ψ T platí S ψ, pak S ϕ, (b) T ϕ a T S, pak S ϕ, (c) systém formulí T, nϕ není splntelný, právě když T ϕ, (d) T, ϕ ψ a T, nϕ ψ, právě když T ψ, (e) T není splntelný, právě když T ϕ pro lbovolnou formul ϕ, (f) T n(ϕ nψ), právě když T ϕ a zároveň T ψ, (g) pokud T ϕ a T ϕ ψ, pak T ψ, (h) každý splntelný systém formulí je bezesporný, () T, nϕ ϕ ψ, (j) ϕ a ψ jsou logcky ekvvalentní, právě když ϕ ψ a ψ ϕ. 53. Pro každý systém formulí T defnujme systém formulí T = {ϕ; T ϕ}. Dokažte následující tvrzení. (a) T = (T ), (b) T je vždy nekonečný systém formulí, (c) ϕ T, právě když T, nϕ není splntelný, (d) je-l T splntelný systém, pak je T splntelný systém obsahující T.
Matematcká logka cvčení 21 Příklad. 54. Rozhodněte, které z následujících formulí sémantcky plynou z T = {p n(nr q), nr}: q np, n(p q) r, s (q p), s ((p nq) s). Označme ϕ = p n(nr q), ψ = nr. Provedeme tabelac: p q r ϕ ψ e 1 : 0 0 0 1 1 0 0 1 1 0 e 2 : 0 1 0 1 1 0 1 1 1 0 p q r ϕ ψ e 3 : 1 0 0 1 1 1 0 1 0 0 1 1 0 0 1 1 1 1 0 0 Příklad. Z předchozí tabulky je vdět, že stačí vyšetřovat pravdvost formulí v ohodnoceních, která jsou v tabulce representována řádky označeným e 1, e 2, e 3. Nyní zřejmě T q np, protože formule q np je pravdvá v každém z ohodnocení e 1, e 2, e 3. Dále n(p q) r e3 = 0, to jest formule n(p q) r sémantcky neplyne z T ohodnocení e 3 nám slouží jako protpříklad. Stejně tak třetí formule s (q p) neplyne z T, uvažujeme-l například ohodnocení e, kde e(p) = e 2 (p), e(q) = e 2 (q), e(r) = e 2 (r) a e(s) = 1, pak e T, ale s (q p) e = 0. Konečně formule s ((p nq) s) je tautologe, to jest plyne z lbovolného systému formulí, tedy ze zkoumaného systému T. 55. Dokažte, že formule q p není dokazatelná ze systému T = {(p nq) nr, p r}. Cvčení. Využjeme věty o korektnost VP: pokud T ϕ, pak T ϕ. Reformulací dostáváme, že pokud ϕ sémantcky neplyne z T, pak ϕ není dokazatelná z T. V našem případě to tedy znamená najít ohodnocení e takové, že e T, ale q p e = 0. Takovým ohodnocením je například e, kde e(p) = 0, e(q) = 1 a e(r) = 0. Přesvědčte se tabelací. 56. Rozhodněte, které z formulí r (nr (q r)), p n(q nr), p (q n(p q)), (p q) nr, (r p) (nq nr), n((np q) r), sémantcky plynou ze systému T = {p nq, r (np r), r n(p q)}. 57. S využtím věty o korektnost VP vyvraťte následující tvrzení. (a) p p q, (b) pro každé ϕ, ψ, ϑ platí: pokud ϕ, ψ ϑ, pak ϕ ϑ, (c) pro každé ϕ, ψ, ϑ platí: pokud ϕ ϑ a ψ ϕ, pak ϑ ϕ ψ, (d) p, nq r p (q r).
Matematcká logka cvčení 22 Jazyk, termy a formule v predkátové logce Formule výrokové logky formalzují vztahy mez výroky. Naprot tomu formule predkátové logky formalzují vztahy mez ndvdu nebol objekty (jejch funkční závslost, vlastnost a vzájemné vztahy). Formule predkátové logky musí tento rozdíl zohledňovat. Například tvrzení pokud je x sudé číslo, pak je x + 1 lché je z pohledu výrokové logky ve tvaru mplkace dvou výroků a je tudíž formalzovatelné výrokovou formulí p q. Z pohledu predkátové logky se ale ve tvrzení vyskytují ndvdua (čísla), jejch vlastnost (být sudé, být lché) a funkční závslost (x + 1 je následníkem x, podrobněj 1 označuje ndvduum a + označuje funkční závslost dvou ndvduí, v našem případě ndvdua označeného proměnnou x a konstantou 1). Zdůrazněme že stejně jako ve výrokové logce se soustředíme na formu (tvar) formulí a abstrahujeme od jejch obsahu. Př popsu jednotlvých problémových domén (vlastností čísel, popsu struktury počítačové sítě, etc.) je obecně potřeba pracovat s různým vlastnostm a vztahy, například být sudý, být menší než, nebo být propojen s daným uzlem, mít záložní zdroj a tak dále. Formule predkátové logky proto vždy vztahujeme ke konkrétnímu jazyku, který nám určuje, jaké funkční závslost, vlastnost a vztahy mohou formule popsovat. Předmětem matematcké logky není nezkoumání problém návrhu jazyka a konstrukce formulí ze slovního popsu. Na druhou stranu je ale nutné mít v těchto postupech jstý cvk, je to například potřeba př programování v logckých programovacích jazycích. Formulím a slovnímu popsu se věnuje jedna z dalších částí cvčení. Každý uvažovaný jazyk je určen svým typem. Typ jazyka predkátové logky je trojce R, F, σ, kde R je množna relačních symbolů (jména pro vlastnost a vztahy), F je množna funkčních symbolů (jména pro funkční závslost). Dále předpokládáme R F = a σ je zobrazení σ : R F N 0, které každému relačnímu a funkčnímu symbolu přděluje jeho artu (neformálně řečeno počet argumentů ). Je-l σ(f) = 0, pak se symbol f nazývá nulární, pro σ(f) = 1 se f nazývá unární, pro σ(f) = 2 se f nazývá bnární, pro σ(f) = 3 se f nazývá ternární, pro σ(f) = 4 se f nazývá kvaternární a tak dále. Nulární relační symboly nazýváme výroky. Nulární funkční symboly nazýváme konstanty. Specálním způsobem chápeme jazyky s rovností. Za jazyk s rovností považujeme jazyk, který obsahuje bnární relační symbol označující rovnost. Důvod explctního rozlšení jazyků s rovností bude patrný dále. Příklad. 58. Navrhněte jazyky pro formalzac následujících tvrzení. (a) Pokud je x sudé číslo, pak je x + 1 lché. (b) Některé dopravní prostředky mají dvě kola. (c) Každý uzel v počítačové sít má aspoň jednoho souseda. (a) Můžeme uvažovat například F = {plus, 1}, kde σ(plus) = 2, σ(1) = 0 a R = {sudé, lché}, kde shodně σ(sudé) = σ(lché) = 1. Upozorněme na fakt, že funkční symbol 1 je pro nás konstanta, kterou v žádném případě nelze ztotožňovat s přrozeným číslem 1. Defncí jazyka pouze vymezujeme formule (vz dále), se kterým vedeme další úvahy. Jazyk (coby součást syntaxe predkátové logky) nemá sám o sobě žádnou sémantckou nterpretac. (b) Uvažujme jazyk s rovností, kde F = {dvě, pkol}, σ(dvě ) = 0, σ(pkol) = 1 a dále mějme R = {prostředek}, kde σ(prostředek) = 1. Relační symbol prostředek reprezentuje vlastnost být dopravním prostředkem, konstanta dvě reprezentuje počet a pkol můžeme
Matematcká logka cvčení 23 chápat jako funkční závslost mez ndvduem (třeba dopravním prostředkem) a jeho počtem kol. Navržený jazyk není jedný přípustný. Pokuste se pro tento příklad navrhnout vhodný jazyk bez rovnost, ve kterém bude F =. (c) Nyní jž stručně, F =, R = {uzel, sousedí}, kde σ(uzel) = 1, σ(sousedí) = 2. Unární relační symbol uzel reprezentuje vlastnost být uzlem v sítí, bnární relační symbol sousedí představuje sousedský vztah mez dvěma uzly. Pokuste se zdůvodnt proč není vhodné ( když ne nemožné) chápat sousedství uzlů jako funkční závslost mez uzly? Pro každý jazyk daného typu R, F, σ defnujeme množnu termů: (1) Každá proměnná x je term (proměnné označujeme písmeny x, y, z,... ). (2) Nechť f F, σ(f) = k a t 1,..., t k jsou lbovolné termy. Pak f(t 1,..., t k ) je term. (3) Všechny termy vznkají aplkací předchozích dvou bodů. Dále defnujeme množnu formulí: (1) Je-l r R, σ(r) = n a t 1,..., t n jsou lbovolné termy. Pak r(t 1,..., t n ) je (atomcká) formule. (2) Nechť ϕ, ψ jsou formule a nechť x je lbovolná proměnná. Pak nϕ, (ϕ ψ), ( x)ϕ jsou formule. (3) Všechny formule vznkají aplkací předchozích dvou bodů. Dále budeme používat běžné konvence o vynechávání vnějších závorek. Stejně jako ve výrokové logce chápeme výrazy ϕ c ψ, ϕ d ψ, ϕ e ψ jako zkratky za formule obsahující pouze spojky n a. V některých případech nemáme dán jazyk explctně, ale chápeme jej jako mnmální množnu funkčních a relačních symbolů, ve kterých daný řetězec symbolů, případně množna řetězců symbolů, splňuje defnc formule. Například řetězec ( x)r(x, c) je formule za předpokladu, že pracujeme s jazykem, kde r je bnární relační symbol, x je proměnná a c je proměnná nebo konstanta. Ve výrazu ( x)r(x, c) by symbol c mohl označovat konstantu proměnnou, na druhou stranu x musí být v tomto případě pouze proměnná (rozmyslete s proč). Cvčení. 59. Uvažujme jazyk, kde F = {f, g, h}, R = {r, s} a σ(f) = σ(h) = σ(r) = 1, σ(s) = 2, σ(g) = 3. Rozhodněte, které z následujících slov (ne)jsou formule tohoto jazyka a zdůvodněte proč. f(x), r(f(x)), ( x)r(x) s(x, h(x)), ( x)(r(x) nr(x)), ( x)nh(x), s(g(x, x, h(x))), s(h(x), h(f(x))), s(x, x) ( y)s(x, x), ( x)( y)nr(g(x, y, z)), r(nr(x)), r(y) ( s)s(x, y), n( x)(k(x) r(x)). 60. Mějme jazyk s rovností, kde F = {c, f}, R = {r} a σ(c) = 0, σ(f) = 1, σ(r) = 2. Pojmy podterm a podformule se v predkátové logce zavádí analogckým způsobem jako se zaváděl pojem podformule ve výrokové logce, nebudeme je tedy uvádět. Rozhodněte, které z následujících výrazů jsou termy a které jsou formule výše uvedeného jazyka a vypšte všechny jejch podtermy, případně podformule. c, r(c, x) nr(c, f(c)), f(f(c)), r(x, y) ( x)nr(x, c), c c, (c f(c)) ( y)r(f(y), y), nf(f(x)) f(c), ( x)x c ( y)r(f(y), c). 61. Napšte typ mnmálního jazyka, ve kterém lze uvažovat následující výrazy jako formule. r(x) y f(x), p np, x x, ( x)(x f(x) q(x, g(x, 0))), f(g(h(c))), f(x, y) (f(y, z) f(x, z)), r(x, x), c d ( x)x c.
Matematcká logka cvčení 24 Výskyty proměnných a substtuovatelnost Formule v predkátové logce můžeme samozřejmě defnovat jným způsoby než jak tomu bylo v předchozí sekc. V logckém programování se formule často uvažují jako uzlově ohodnocené stromy. Tuto názornou defnc lze přrozeně rozšířt pro formule predkátové logky. Všechny termy vznkají aplkací následujících dvou bodů. (1) Každá proměnná x je term. (2) Nechť f F, σ(f) = k a t 1,..., t k jsou lbovolné termy. Pak t 1 t 2 je term. t k Všechny formule vznkají aplkací následujících dvou bodů. r (1) Je-l r R, σ(r) = n a t 1,..., t n jsou lbovolné termy. Pak je formule. t 1 t 2 t n n x (2) Nechť ϕ, ψ jsou formule. Pak ϕ ψ, ϕ a ϕ jsou formule. Příklad. 62. Následující formule vyjádřete pomocí stromů. f n( y)nr(y, p(y)), ( x)y k(x, x) nx 1, ( x)( y)(r(x, y) nr(y, x)), ( x)(r(x, y, z) ( z)k(x, z) y). Formule přepíšeme podle defnce: n x x y y n x n r z r r n x y z y p x y r y k x 1 k y y y x x x x z Za pozornost stojí, že všechny lstové uzly stromů reprezentujících formule jsou označeny buďto proměnnou, konstantou, nebo výrokem (nulárním relačním symbolem). Pomocí strukturální ndukce se přesvědčte, že ke každé formul predkátového počtu exstuje jednoznačně defnovaný strom dle předchozí defnce a obráceně. Formule jsou ve vzájemně jednoznačné korespondenc se specálním uzlově ohodnoceným stromy. Pro formul ϕ budeme označovat ϕ příslušný strom. Pro každou formul ϕ a proměnnou zavádíme následující pojmy. Každý lst ϕ označený proměnnou x se nazývá výskyt proměnné x ve ϕ. Proměnná x se vyskytuje ve ϕ, pokud má ve ϕ aspoň jeden výskyt. Výskyt proměnné x ve ϕ se nazývá vázaný, pokud se na cestě od tohoto výskytu směrem ke kořenu stromu ϕ nachází uzel označený x. Pokud není výskyt proměnné x ve ϕ vázaný, pak jej nazýváme volný výskyt. Výrazem ϕ(x 1,..., x k ) označujeme fakt, že ϕ je formule a všechny proměnné vyskytující se volně ve ϕ jsou mez x 1,..., x k.