Úlohy - predikátová logika (přepis)

Podobné dokumenty
Výroková a predikátová logika - IX

Predik atov a logika - pˇredn aˇska () Predik atov a logika - pˇredn aˇska / 16

Výroková a predikátová logika - X

Matematická logika. Rostislav Horčík. horcik

teorie logických spojek chápaných jako pravdivostní funkce

Výroková a predikátová logika - IX

Řešení: Ano. Řešení: Ne.

Formální systém výrokové logiky

Výroková a predikátová logika - VII

Hilbertovský axiomatický systém

Predikátová logika. Teoretická informatika Tomáš Foltýnek

Systém přirozené dedukce výrokové logiky

Predikátová logika. Z minula: 1. jazyk logiky 1. řádu. 2. term a formule. 3. interpretace jazyka (relační struktura) 4. Tarského definice pravdy

Úvod do výrokové a predikátové logiky

Výroková a predikátová logika - VI

Výroková a predikátová logika - VIII

Výroková a predikátová logika - VIII

Základy logiky a teorie množin

Výroková a predikátová logika - IX

Převyprávění Gödelova důkazu nutné existence Boha

Logické programy Deklarativní interpretace

Základy matematické logiky

Výroková a predikátová logika - IV

Výroková a predikátová logika - VII

Výroková logika. Teoretická informatika Tomáš Foltýnek

Predikátová logika. prvního řádu

platné nejsou Sokrates je smrtelný. (r) 1/??

Výroková logika dokazatelnost

1 Výroková logika 1. 2 Predikátová logika 3. 3 Důkazy matematických vět 4. 4 Doporučená literatura 7

Unární je také spojka negace. pro je operace binární - příkladem může být funkce se signaturou. Binární je velká většina logických spojek

Matematická logika. Miroslav Kolařík

Výroková a predikátová logika - III

Výroková a predikátová logika - III

Výroková a predikátová logika - V

postaveny výhradně na syntaktické bázi: jazyk logiky neinterpretujeme, provádíme s ním pouze syntaktické manipulace důkazy

Výroková a predikátová logika - XII

Úvod do matematiky. Mgr. Radek Horenský, Ph.D. Důkazy

Logika. 6. Axiomatický systém výrokové logiky

Logika a logické programování

Výroková a predikátová logika - II

Výroková a predikátová logika - XI

1. Predikátová logika jako prostedek reprezentace znalostí

Modely Herbrandovské interpretace

Výroková a predikátová logika - II

Výroková a predikátová logika - II

Obsah Předmluva Rekapitulace základních pojmů logiky a výrokové logiky Uvedení do predikátové logiky...17

verze 29/9/09 textu o logice, aritmetice a M. Bizzarrimu.

Každé formuli výrokového počtu přiřadíme hodnotu 0, půjde-li o formuli nepravdivou, a hodnotu 1, půjde-li. α neplatí. β je nutná podmínka pro α

1 Pravdivost formulí v interpretaci a daném ohodnocení

Výroková a predikátová logika - X

ZÁKLADY LOGIKY A METODOLOGIE

LOGIKA VÝROKOVÁ LOGIKA

Logika. 5. Rezoluční princip. RNDr. Luděk Cienciala, Ph. D.

Výroková a predikátová logika Výpisky z cvičení Martina Piláta

1. Matematická logika

Základní pojmy matematické logiky

Částečná korektnost. Petr Štěpánek. S využitím materialu Krysztofa R. Apta

Sémantika predikátové logiky

4.2 Syntaxe predikátové logiky

Výroková logika - opakování

2.5 Rezoluční metoda v predikátové logice

Klasická predikátová logika

Výroková logika syntaxe a sémantika

Matematická logika. Miroslav Kolařík

1 Úvod do matematické logiky

Matematická logika. Rostislav Horčík. horcik

2.2 Sémantika predikátové logiky

Místo pojmu výroková formule budeme používat zkráceně jen formule. Při jejich zápisu

Rezoluční kalkulus pro výrokovou logiku

Výroková a predikátová logika - XIII

Okruh č.3: Sémantický výklad predikátové logiky

6. Logika a logické systémy. Základy logiky. Lucie Koloušková, Václav Matoušek / KIV. Umělá inteligence a rozpoznávání, LS

Negativní informace. Petr Štěpánek. S použitím materiálu M.Gelfonda a V. Lifschitze. Logické programování 15 1

Stefan Ratschan. Fakulta informačních technologíı. Evropský sociální fond Praha & EU: Investujeme do vaší budoucnosti

Úvod do TI - logika Predikátová logika 1.řádu (4.přednáška) Marie Duží marie.duzi@vsb.cz

Která tvrzení jsou pravdivá nezávisle na tom, který den v týdnu byla vyslovena? Tvrzení trosečníka Dana.

Cvičení ke kursu Klasická logika II

Cvičení Aktivita 1. část 2. část 3. část Ústní Celkem Známka

Logika II. RNDr. Kateřina Trlifajová PhD. Katedra teoretické informatiky Fakulta informačních technologíı BI-MLO, ZS 2011/12

1. Matematická logika

Matematická logika. Rostislav Horčík. horcik

Logika Libor Barto. Výroková logika

Predikátová logika [Predicate logic]

Logika XI. RNDr. Kateřina Trlifajová PhD. Katedra teoretické informatiky Fakulta informačních technologíı BI-MLO, ZS 2011/12

Matematická indukce, sumy a produkty, matematická logika

Predikátová logika dokončení

Abstrakt Text je určen jako doplňkový k přednášce Matematická logika a Paradigmata programování 4.

1 Predikátová logika. 1.1 Syntax. jaký mohou mít formule význam (sémantiku). 1. Logických symbolů: 2. Speciálních (mimologických) symbolů:

Klasická výroková logika - tabulková metoda

Organizace. Zápočet: test týden semestru (pátek) bodů souhrnný test (1 pokus) Zkouška: písemná část ( 50 bodů), ústní část

Další (neklasické) logiky. Jiří Velebil: AD0B01LGR 2015 Predikátová logika 1/20

Základy logiky Logika a logické systémy. Umělá inteligence a rozpoznávání, LS

1. MATEMATICKÁ LOGIKA A MNOŽINY

Úvod do informatiky. Miroslav Kolařík

Aplikace: Znalostní báze

Matematická logika. Miroslav Kolařík

Základy teorie množin

Cvičení ke kursu Logika II, část III

prof. RNDr. Čestmír Burdík DrCs. prof. Ing. Edita Pelantová CSc. BI-ZMA ZS 2009/2010

Kapitola 1. Úvod. 1.1 Značení. 1.2 Výroky - opakování. N... přirozená čísla (1, 2, 3,...). Q... racionální čísla ( p, kde p Z a q N) R...

Transkript:

Úlohy - predikátová logika (přepis) Martin Všetička 7. ledna 2009, 17:12 Zásadní informace pro následné čtení příkladů Tvrzení: Pravidlo tautologie (PTT) Pravidlo o rozboru případů (PR) Pravidlo konjunkce (PK) Pravidlo tranzitivity implikace (PTI) Důkaz. Každá tautologie je dokazatelná v predikátové logice. T $ pa _ Bq Ñ C ô pt $ A Ñ Cq a pt $ B Ñ Cq T $ A a T $ B ô T $ A & B T $ A Ñ B a T $ B Ñ C ñ T $ A Ñ C 1. PTT plyne z toho, že predikátová logika 1. řádu v sobě přirozeně obsahuje výrokovou logiku (tj. každá formule je výrok nad prvovýroky, které představují atomické formule a formule začínající kvantifikátorem). 2. PR plyne z PTT a z faktu, že pa _ Bq Ñ C Ø ppa Ñ Bq & pb Ñ Cqq je tautologie. 3. PK plyne z toho, že A Ñ pb Ñ pa & Bqq je tautologie, z PTT a z definice symbolu $. 4. PTI plyne z toho, že pa Ñ Bq Ñ ppb Ñ Cq Ñ pa Ñ Cqq je tautologie. Další základní poučky, pravidla, věty a axiomy a jejich symbolické označení Poučka, pravidlo, axiom Symbol Formulace Pravidlo Modus Ponens MP Odvod B z A a A Ñ B Pravidlo Generalizace PG Odvod p@xqa z A Axiom Specifikace AxS p@xqa Ñ A x rts; A x rts Ñ pdxqa ( duální verze ) Axiom Přeskoku AxP p@xqpa Ñ Bq Ñ pa Ñ p@xqbq, není-li x volná v A. Pravidlo Zavedení @ PZ@ T $ A Ñ B ñ T $ A Ñ p@xqb, není-li x volná v A. Pravidlo Zavedení D PZD T $ A Ñ B ñ T $ pdxqa Ñ B, není-li x volná v B. Věta o uzávěru VU T $ A ô T $ A 1, je-li A 1 uzávěr A. Věta o Instanci VI T $ A ñ T $ A 1, je-li A 1 instance A. Věta o Substituci VS a) $ p@x 1,..., x n qa Ñ A x1,...,x n rt 1,..., t n s b) $ A x1,...,x n rt 1,..., t n s Ñ pdx 1,..., x n qa Věta o Konstantách VK T $ A ô T 1 $ A x1,...,x n rc 1,..., c n s, je-li T 1 rozšíření o nové konstantní symboly c i, 1 i n. Věta o Dedukci VD Je-li A sentence, tak T, A $ B ô T $ A Ñ B. Důkaz sporem DS Je-li A sentence, tak T, A je sporná ô T $ A. Pravidlo Distribuce Q PDQ T $ A Ñ B ñ T $ pqxqa Ñ pqxqb. Věta o Ekvivalenci VE Necht formule A 1 vznikne z formule A nahrazením některých výskytů podformulí A 1, A 2,..., A n po řadě formulemi A 1 1, A 1 2,..., A 1 n, kde pro @i P t1,..., nu je $ A i Ø A 1 i. Potom: $ A Ø A1. Věta o Variantách VV $ A Ø A 1, je-li A 1 varianta A. 1

Další běžně užívaná symbolická označení: Q... označení pro kvantifikátor (@, D) ñ... značí české implikuje. ô... značí české je ekvivalentní. Ñ... symbol pro implikaci ve formálním jazyce Ø... symbol pro ekvivalenci ve formálním jazyce Pro formule A, B symbol A B značí formule A je B ; obdobně o termech t, s můžeme prohlásit t s Je-li A formule resp. t je term, symbol Apxq resp. tpxq značí, že x je nějaká n-tice x 1,..., x n navzájem různých proměnných, mezi kterými jsou všechny volné proměnné A resp. všechny proměnné termu t. F.1.0 Substituce, instance F.1.0.1 Vlastnosti substitucí a instancí 1. Dokažte: $ p@xqa Ø p@yqa x rys, pokud y není volná v A a je substituovatelná za x do A. Speciálně tedy platí: p@xqa Ø p@yqa x rys, nemá-li y výskyt v A. Označme A x rys jako A 1. Oba předpoklady o x, y v A zaručují, že volný výskyt y v A 1 je právě tam, kde je volný výskyt x v A. Tedy x je substituovatelné za y do A 1 a A 1 yrxs je A. (6) $p@yqa 1 Ñ A y rxs $p@yqa 1 Ñ A (přepis) $p@xqa Ñ A 1 $p@yqa 1 Ñ p@xqa (PZ@ na ) $p@xqa Ñ p@yqa 1 (PZ@ na ) $p@xqa Ø p@yqa x rys (PK na a ) Přípisek: Ukažme si ty substituce na příkladu, mějme formuli: A x 0 Ñ pdyqpy 0q Máme splněné oba předpoklady (y není volná v A a y je substituovatelná za x). A 1 je tedy tvaru: A 1 y 0 Ñ pdyqpy 0q Proměnná x je zřejmě substituovatelná za y, čímž dostaneme: A x 0 Ñ pdyqpy 0q 2. Dokažte: $ p@x 1,..., x n qa Ñ A x1,...,x n rt 1,..., t n s Pro každé i 1, 2,..., n platí (*) $ p@x i, x i 1,..., x n qa Ñ A 2

Toto tvrzení dokážeme pomocí indukce: (7) (8) (9) $ p@x i, x i 1,..., x n qa Ñ p@x i 1,..., x n qa $ p@x i 1,..., x n qa Ñ A (indukční předpoklad) $ p@x i, x i 1,..., x n qa Ñ A (PTI na a ) Dokazované tvrzení plyne z (*) pomocí věty o instancích: $(p@x 1,..., x n qa Ñ A) x1,...,x n rt 1,..., t n s (VI na (*)) $p@x 1,..., x n qa Ñ A x1,...,x n rt 1,..., t n s (viz vysvětlení níže) Přechod od k je možný proto, že premisa implikace v neobsahuje žádnou z proměnných x 1,..., x n volně - vycházíme tedy z definice substituovatelnosti termu do formule. Přípisek: Zadání je věta o substituci, jak je uvedeno v úvodní tabulce. 3. Dokažte: kde e 1 px 1 {t 1 res,..., x n {t n resq. M ( A x1,...,x n rt 1,..., t n sres ô M ( Are 1 s, Indukcí podle složitosti A. Pro A atomickou a spojky krok pro A tvaru p@xqb: a Ñ to je jasné. Indukční M ( A x1,...,x n rt 1,..., t n sres ô M ( B x1,...,x n rt 1,..., t n srepx{aqs pro každé a P M (definice splňování) ô M ( Brepx{aq 1 s pro každé a P M (indukční předpoklad) ô M ( Bre 1 px{aqs pro každé a P M (viz vysvětlení níže) ô M ( p@xqbre 1 s (definice splňování) ô M ( Are 1 s (přepis) Třetí ekvivalence plyne z e 1 px{aq epx{aq 1, což platí v důsledku toho, že x není v t i díky substituovatelnosti 1 t i za x i do A. Přípisek: Kompletní důkaz je možno najít ve skriptech Jana Pelce, str. 28, lemma 8.12 F.1.0.2 Vlastnosti instancí - protipříklady 1. & p@xqa Ñ A t x, je-li A t x výsledek nahrazení každého volného výskytu x v A termem t. Podle věty o úplnosti predikátové logiky stačí: xm, P M y * p@xqa Ñ A t x, kde: A je pdyqp px, yq M ta, bu P M txa, by, xb, ayu volíme t y Přípisek: A t x není to samé, co substituovatelnost termu t za proměnnou x do formule A. 1 Protože A je tvaru p@xqb. 3

2. M ( A t xres ø M ( Are 1 s, kde e 1 epx{tresq a A t x je výsledek nahrazení každého volného výskytu x v A termem t. Protipříklad je následující: A bud pdyqp px, yq t bud y; tedy A t x je pdyqp py, yq M ta, bu P M txa, by, xb, ayu Mějme epxq a, epyq b a e 1 pxq b e 1 pyq. Pak xm, P M y ( Are 1 s, ale xm, P M y * A y xres. 3. T $ A x rts T $ A, kde T je jistá teorie v jazyce xm, P, cy - P je unární predikát, c konstanta. Protipříklad je následující: Bud T tp pcqu Bud M xm, P M, c M y ( T, kde P M tc M u Bud A P pxq Bud t c Pak M ( P pcq, ale M * P pxq F.1.1 Varianta F.1.1.1 Definice: Říkáme, že formule A 1 je variantou formule A, jestliže A 1 vznikne z A postupným nahrazením podformulí tvaru pqxqb formulemi pqyqb x rys, kde y není volná proměnná ve formuli pqxqb. Bud te x, y, z, u různé proměnné, Q kvantifikátor. Odpovězte a uved te důvod, zda platí: B je varianta A. 1. A pqxqpx y _ pdzqpz y & z xqq, B pqzqpz y _ pdzqpz y & z zqq Ne. z není substitovatelné za x do A. Přípisek: Protože existuje podformule A ve tvaru pdzqc taková, že x má v C volný výskyt. 2. A pqxqpx y _ p@zqpz y & z xqq, B pqyqpy y _ p@zqpz y & z yqq Ne. y je volná v A. 3. A pqxqpx y _ pdzqpz y & z xqq, B pquqpu y _ pdzqpz y & z uqq Ano. u není volná v A a je substituovatelná za x do A. 4

F.1.2 Dokazatelné, vyvratitelné a nezávislé formule F.1.2.1 Dokazatelnost jednoduchých formulí Bud te P, R různé unární predikátové symboly. Odpovězte, zda uvedená formule je: a uved te důvod. 1. P dokazatelná (D) / vyvratitelná (V) / nezávislá (NZ) NZ. x1, 0y ( P, x1, 1y ( P Přípisek: x1, 0y zde značí model jehož interpretace (realizace) je: 2. P Ñ R M 1 t0u... jednoprvková množina, že je jejím prvkem zrovna nula není příliš podstatné P M H NZ. x2, 0, 2y ( P Ñ R... Premisa (P) je vždy nesplněná. x2, 2, 0y ( pp Ñ Rq... Premisa (P) je vždy splněná, závěr (R) je však vždy nesplňen. Přípisek: x2, 0, 2y zde značí model jehož interpretace (realizace) je: M 2 t0, 1u P M H R M tt0u, t1uu 3. P Ñ pr Ñ P q D. Je to tautologie (instance axiomu A1). 4. pdxqp pxq NZ. x1, 0y ( pdxqp x1, 1y ( pdxqp 5. P pxq _ pdxq P pxq D. Formule je logicky ekvivalentní s p@xqp Ñ P, což je axiom substituce. Přípisek: P pxq _ pdxq P pxq ô P pxq Ñ pdxq P pxq (zkratky) Formule není nic jiného než instance duální verze axiomu specifikace (viz tabulka v první kapitole). 5

F.1.2.2 Nezávislé formule v modelu 1. Bud A formule P Ñ p@xqp, kde P je unární relační symbol. V právě kterých modelech 2 xm, P M y, neplatí A ani A? Právě, když 0 P M M. Přípisek: Pokud bude splněno 0 P M M, pak pro danou realizaci jazyka (pojem model mi zde obsahově nesedí) budou vždy existovat ohodnocení e a e 1 taková, že xm, P M y ( Ares ale xm, P M y * Are 1 s. 2. Bud A formule x c, kde c je konstantní symbol. V právě kterých modelech xm, c M y, neplatí A ani A? Právě když M 1. Přípisek: Pokud bude M 1, pak bude existovat právě jedno ohodnocení e, pro které bude platit epxq c M, pro jedno ohodnocení bude tedy formule splněna pro zbývající ne, tedy formule je nezávislá. 3. Bud A formule P Ñ p@xqr, kde P, R jsou různé unární predikátové symboly. V právě kterých modelech M xm, P M, R M y, neplatí A ani A? Právě, když 0 P M M R M. Přípisek: Zřejmě platí: looomooon #1 loooomoooon loooomoooon #2 M * A ô P M 0 a R M M, M * A ô P M M nebo R M M. #3 loooomoooon #4 Aby byla formule A nezávislá, musíme spojit podmínky #1, #2 a #3 (viz 3 ). F.1.3 Protipříklady F.1.3.1 K větě o dedukci a o důkazu sporem 1. T, A $ B T $ A Ñ B, kde T tpdxqp u je teorie v jazyce xp y s unárním predikátem P, A je P pxq a B vhodné. Bud B formule p@xqp pxq. Je dokazatelné T, A $ B: T, P pxq $ P pxq T, P pxq $ p@xqp pxq (PG) Platí však T & A Ñ B, nebot xm, P M y * P pxq Ñ p@xqp pxq, když 0 P M M. 2 Použil bych raději pojem interpretace jazyka, jelikož model je definován jako interpretace jazyka L, při které je formule pravdivá. 3 Podmínky #1, #2 a #4 se vylučují, pro jich nelze použít. 6

2. Přípisek: V dokumentu [1], 3.44 je uvedeno které jiné formule lze použít pro dokázání našeho tvrzení. Jsou to formule, jejichž důkaz závisí na použítí pravidla generalizace (což se dále např. využije pro použití pravidla zavedení @). T, A je sporná teorie T $ A, kde T tpdxqp u je teorie v jazyce xp y s unárním predikátem P a A je vhodné. Bud A rovno P. T, A je sporná, nebot dokazuje pdxqp & pdxqp : T, P $ P (předpoklad) T, P $ p@xq P (PG) T, P $ pdxqp (předpoklad) T, P $ pdxqp & p@xq P (Pravidlo konjunkce na a ) T, P $ pdxqp & pdxqp (Prenex (i) + VE) Díky tautologii pb & Bq Ñ C dostáváme T, A $ C. Na druhé straně T & A, nebot pdxqp & P, o čemž svědčí model x2, 1y * P. F.1.4 Tvrzení o kvantifikátorech F.1.4.1 Vytýkání kvantifikátorů Necht Q značí kvantifikátor, Q 1 kvantifikátor duální ke Q. 1. p@xqpa Ñ Bq Ø pa Ñ p@xqbq, nemá-li x volný výskyt v A. Ñ Instance axiomu přeskoku. Ð Dokazujeme takto: $pa Ñ p@xqbq Ñ ppp@xqb Ñ Bq Ñ pa Ñ Bqq (tautologie PTI) $pp@xqb Ñ Bq Ñ ppa Ñ p@xqbq Ñ pa Ñ Bqq (věta o záměně předpokladů 3 ) $p@xqb Ñ Bq $pa Ñ p@xqbq Ñ pa Ñ Bq $pa Ñ p@xqbq Ñ p@xqpa Ñ Bq 2. pdxqpa Ñ Bq Ñ pa Ñ pdxqbq, nemá-li x volný výskyt v A. Ñ Dokazujeme: (, MP) (PZ@) $pa Ñ Bq Ñ ppb Ñ pdxqbq Ñ pa Ñ pdxqbqq (tautologie PTI) $pb Ñ pdxqbq Ñ ppa Ñ Bq Ñ pa Ñ pdxqbqq (věta o záměně předpokladů 3 ) $B Ñ pdxqb ( duální verze AxS) $pa Ñ Bq Ñ pa Ñ pdxqbq (, MP) $pdxqpa Ñ Bq Ñ pa Ñ pdxqbq (PZD) 3 viz skripta Jana Pelce, věta 3.14 7

3. pa Ñ pdxqbq Ñ pdxqpa Ñ Bq Ñ Dokazujeme: (6) (7) (8) $pa Ñ Bq Ñ pdxqppa Ñ Bq ( duální verze AxS) $ A Ñ pa Ñ Bq (V2) $ A Ñ pdxqpa Ñ Bq (, PTI) $B Ñ pa Ñ Bq (A1) $pdxqb Ñ pdxqpa Ñ Bq (DK 4 ) $p A _ pdxqbq Ñ pdxqpa Ñ Bq (, PR) $p A _ pdxqbq Ø pa Ñ pdxqbq (zkratky) $pa Ñ pdxqbq Ñ pdxqpa Ñ Bq (VE na (6) se (7)) 4. pqxqpa Ñ Bq Ø ppq 1 xqa Ñ Bq, nemá-li x volný výskyt v B. Návod: Užijte tvrzení o vytýkání kvantifikátorů z konsekventu implikace. $ pqxqpa Ñ Bq Ø pqxqp B Ñ Aq (V5) Ø p B Ñ pqxq Aq (Prenex (ii)) Ø p pqxq A Ñ Bq (V5 a V3,V4) Ø ppq 1 xqa Ñ Bq (vztah mezi @ a D) 5. pqxqpa Bq Ø pa pqxqbq, nemá-li x volný výskyt v A, je _ nebo &. Návod: Užijte tvrzení o vytýkání kvantifikátorů z konsekventu implikace. (a) Q je @, je _. Jsou dokazatelné ekvivalence: $ p@xqpa _ Bq Ø p@xqp A Ñ Bq (zkratky) Ø p A Ñ p@xqbq (Prenex (ii)) Ø pa _ p@xqbq (zkratky) C, demor- (b) Ostatní vztahy plynou z (a) užitím $ pdxqc Ø p@xq C, $ C Ø ganových pravidel a věty o ekvivalenci. F.1.4.2 Vytýkání kvantifikátorů - protipříklady Necht Q značí kvantifikátor, Q 1 kvantifikátor duální ke Q. 1. & p@xqpa Ñ Bq Ñ pa Ñ p@xqbq. Bud M xm, P M, R M y, kde P, R jsou unární predikátové symboly. Bud a P P. 4 Distribuce Kvantifikátorů, Jan Pelc, lemma 9.9; důsledek PZD 8

Necht platí 0 P M R M M. Pak M ( p@xqpp Ñ Rq, M * pp Ñ p@xqrqras. Tedy M * p@xqpp Ñ Rq Ñ pp Ñ p@xqrq. 2. & pa Ñ p@xqbq Ñ p@xqpa Ñ Bq. Pak Bud M xm, P M, R M y, kde P, R jsou unární predikátové symboly. Bud a P MzP M. Necht platí 0 P M R M. M ( pp Ñ p@xqrqras... jelikož není splněna premisa M * p@xqpp Ñ Rq Tedy M * pp Ñ p@xqrq Ñ p@xqpp Ñ Rq. 3. & pdxqpa Ñ Bq Ñ pa Ñ pdxqbq. Pak Bud M xm, P M, R M y, kde P, R jsou unární predikátové symboly. Bud a P P M. Necht platí 0 P M ˆ M, R 0. M ( pdxqpp Ñ Rq... protože existuje a P MzP M M * pp Ñ pdxqrqras... protože je a P P M Tedy M * pdxqpp Ñ Rq Ñ pp Ñ pdxqrq. F.1.4.3 Vlastnosti kvantifikátorů 1. Dokažte syntakticky, přičemž Q značí kvantifikátor: $ pqxqpa & Bq Ñ pqxqa & pqxqb Necht všechny volné proměnné formulí A, B kromě x jsou mezi x 1,..., x n, necht c 1,..., c n jsou nové konstantní symboly, A 1 je A x1,...,x n rc 1,..., c n s, B 1 je B x1,...,x n rc 1,..., c n s. (6) (7) (8) (9) $pa 1 & B 1 q Ñ A 1 (PK (tautologie)) $pa 1 & B 1 q Ñ B 1 (PK (tautologie)) $pqxqpa 1 & B 1 q Ñ pqxqa 1 (PDQ na ) $pqxqpa 1 & B 1 q Ñ pqxqb 1 (PDQ na ) pqxqpa 1 & B 1 q $pqxqa 1 ( VD) pqxqpa 1 & B 1 q $pqxqb 1 ( VD) pqxqpa 1 & B 1 q $pqxqa 1 & pqxqb 1 (PK na, (6)) $pqxqpa 1 & B 1 q Ñ pqxqa 1 & pqxqb 1 ((7) VD) $pqxqpa & Bq Ñ pqxqa & pqxqb ((8) VK) 2. Dokažte syntakticky, přičemž Q značí kvantifikátor: $ p@xqa & p@xqb Ñ p@xqpa & Bq 9

Necht všechny volné proměnné formulí A, B kromě x jsou mezi x 1,..., x n, necht c 1,..., c n jsou nové konstantní symboly, A 1 je A x1,...,x n rc 1,..., c n s, B 1 je B x1,...,x n rc 1,..., c n s. (6) p@xqa 1 & p@xqb 1 $A 1 (AxS + MP) p@xqa 1 & p@xqb 1 $B 1 (AxS + MP) p@xqa 1 & p@xqb 1 $A 1 & B 1 (PK na a ) p@xqa 1 & p@xqb 1 $p@xqpa 1 & B 1 q (PG) $p@xqa 1 & p@xqb 1 Ñ p@xqpa 1 & B 1 q (VD) $p@xqa & p@xqb Ñ p@xqpa & Bq (VK) 3. Dokažte syntakticky: $ p@xqpa & Bq Ø p@xqa & p@xqb, $ pdxqpa _ Bq Ø pdxqa _ pdxqb Návod: i) $ pqxqpa & Bq Ñ pqxqa & pqxqb, ii) $ p@xqa & p@xqb Ñ p@xqpa & Bq (a) První formule: $p@xqpa & Bq Ñ p@xqa & p@xqb (příklad 1., tj. hint i) ) $p@xqa & p@xqb Ñ p@xqpa & Bq (příklad 2., tj. hint ii) ) $p@xqpa & Bq Ø p@xqa & p@xqb (PK a ) (b) Druhá formule plyne z první užitím (Negace Implikace (NI)): T $ C Ñ C 1 ô T $ C 1 Ñ C (což plyne z PTT) a VE. (6) $ p@xqpa & Bq Ø pp@xqa & p@xqbq (NI) $ p@xqpa & Bq Ø p@xq p A _ Bq (demorgan) Ø pdxqp A _ Bq (zkratky) $ pp@xqa & p@xqbq Ø p@xqa _ p@xqb (demorgan) Ø pdxq A _ pdxq B (zkratky) $ pdxqp A _ Bq Ø pdxq A _ pdxq B Formule (6) plyne z toho, že jsme dokázali ekvivalentními úpravami obě strany formule (6) z již dokázaného tvrzení. Formuli (6) si navíc můžeme pozměnit 5, tak že podformule tvaru B zaměníme za B, čímž dostaneme žádáné. 4. Dokažte syntakticky: $ pdxqpa & Bq Ñ pdxqa & pdxqb, $ p@xqa _ p@xqb Ñ p@xqpa _ Bq Návod: i) $ pqxqpa & Bq Ñ pqxqa & pqxqb, ii) $ p@xqa & p@xqb Ñ p@xqpa & Bq (a) První formule: Přímo plyne z hintu i) (b) Druhá formule plyne z první užitím (Negace Implikace (NI)): T $ C Ñ C 1 ô T $ C 1 Ñ C (což plyne z PTT) a VE. 5. Dokažte syntakticky: $ p@xqp@yqa Ø p@yqp@xqa, $ pdxqpdyqa Ø pdyqpdxqa 5 Tím vlastně vytváříme instanci dané tautologie. 10

(a) První formule: $p@xqp@yqa Ñ p@yqa $p@yqa Ñ A $p@xqp@yqa Ñ A (PTI na a ) $p@xqp@yqa Ñ p@xqa (PZ@) $p@xqp@yqa Ñ p@yqp@xqa (PZ@) Ze symetrie plyne druhá implikace. Pomocí PK pak plyne tvrzení. (b) Druhá formule plyne z první formule užitím NI a VE: $ p@xqp@yqa Ø p@yqp@xqa ô $ p@xqp@yqa Ø p@yqp@xqa (NI) ô $ pdxq p@yqa Ø pdyq p@xqa (Prenex (i)) ô $ pdxqpdyq A Ø pdyqpdxq A (Prenex (i)) ô $ pdxqpdyqa Ø pdyqpdxqa V kroku jsme provedli stejnou úvahu jako v příkladu 3. 6. Dokažte syntakticky, přičemž Q značí kvantifikátor: $ pdxqp@yqa Ñ p@yqpdxqa, $ pqxqa Ø A, není-li x volná v A. (a) První formule: $A Ñ pdxqa (VS) $p@yqa Ñ p@yqpdxqa (PD@) $pdxqp@yqa Ñ p@yqpdxqa (PZD) (b) Druhá formule. Q bud @. $p@xqa Ñ A $A Ñ p@xqa (PZ@) $p@xqa Ø A (PK na a ) Pro Q rovno D plyne tvrzení z dokázaného užitím NI a VE. 7. Dokažte: není-li x obsaženo v termu t. A x rts Ø p@xqpx t Ñ Aq, Ñ $p@xqpx t Ñ Aq Ñ pt t Ñ A x rtsq (AxS 6 ) $t t Ñ pp@xqpx t Ñ Aq Ñ A x rtsq (Záměna předpokladů) $t t (Axiom identity) $p@xqpx t Ñ Aq Ñ A x rts (MP) 6 Předpokládá se substituovatelnost t za x do A 11

Ð $t 1 s 1 Ñ t 2 s 2 Ñ Ñ t n s n Ñ part 1,..., t n s Ø Ars 1,..., s n sq (VR 7 ) $x t Ñ pa Ø A x rtsq (z ) $A x rts Ñ px t Ñ Aq (ZP) $A x rts Ñ p@xqpx t Ñ Aq (PZ@) V kroku jsme využili předpokladu, ze kterého plyne, že x není volná v A x rts. 8. Dokažte: není-li x obsaženo v termu t. A x rts Ø pdxqpx t & Aq, Ñ PT bude značit předpoklad tvrzení. $pt t & A x rtsq Ñ pdxqpx t & Aq (AxS a PT) $t t (Axiom identity) $A x rts Ñ pdxqpx t & Aq (z PT a ) Ð $t 1 s 1 Ñ t 2 s 2 Ñ Ñ t n s n Ñ part 1,..., t n s Ø Ars 1,..., s n sq (VR) $x t Ñ pa Ø A x rtsq (z ) $px t & Aq Ñ A x rts (z ) $pdxqpx t & Aq Ñ A x rts (PZD) V kroku jsme využili předpokladu, ze kterého plyne, že x není volná v A x rts. Příklady odjinud 1. Dokažte syntakticky v predikátové logice: pdxqpdyqpp pxq _ P pyqq (6) (7) (8) (9) $p@xqp pxq Ñ P pxq x rys p@xqp pxq $P pxq x rys (VD) $P pxq x rys Ñ pdxqp pxq (PS) $p@xqp pxq Ñ pdxqp pxq (, MP, VD) $pdxqp pxq Ñ pdyqp pxq x rys (VV) $p@xqp pxq Ñ pdyqp pyq ( VD + MP, VD) $pdxq(p pxq Ñ pdyqp pyq) (Prenex (iii)) $pdxqpdyq(p pxq Ñ P pyq) (Prenex (ii)) $pdxqpdyq( P pxq _ P pyq) (zkratky) Reference [1] DrSc. prof. RNDr. Petr (AIL023). Praha, 2000. Štěpánek. Skripta pro přednášku Výroková a predikátová logika 7 Věta o rovnosti 12