MASARYOVA UNIVERZITA EONOMICO-SPRÁVNÍ FAULTA Fčí ek Dsčí sudjí opor Per Čerek, Fršek Čáský Bro 9
Lekorol: Ig. Bors Šurc Per Čerek, Fršek Čáský, 9
Předlu Dsčí sudjí opor (DSO) je urče předeší sudeů koboé fory sud, keří bsolují předě Fčí ek Ekoocko-spráí fkulě Msrykoy uerzy. DSO ohou yuží sude prezečího sud. DSO obshuje shruí zákldích zlosí, keré by ěl sude í po bsoloáí předěu Fčí ek. Dále obshuje ázky uplěí ěcho zlosí sucích, keré ejsou přío řešey rác DSO rác dosupé (doporučeé) lerury přeso je ožo koéo suce řeš z použí získých zlosí (prosého) logckého užoáí. DSO ychází ze sudjí opory, kerá byl psá RNDr. Frške Čáský ydá roce 5 (z. použá doporučeá lerur). V předkládé DSO jsou zhruy pozky uor ohledě pro sudey problečějších čásí probíré láky. Tyo pozky uor zohledl př ýkldu jedolých probléoých é. Auor doufá, že se u podřlo zíěé problecké čás ylož srozuelě pochopelě. Předě Fčí ek se zbýá zákldy rozsáhlého oboru. Probírá je předeší problek jedoduchého, složeého koboého úročeí, spořeí krákodobého dlouhodobého, důchodů dočsých ěčých úěrů. Důrz je klde předeší prcp fugoáí jedolých zhů ez růzý elč (počáečí kpál ersus kocoý kpál, spořeá čásk ersus spořeá čásk d.). Tyo obecé prcpy jsou yužy kokréích sucích (u kokréích produků fčího rhu). N zákldě zlosí obecých prcpů pochopeí ukázkoé plkce, by ěl sude bý schope yřeš obdobý problé (př. zákldě obecých prcpů spořeí po pochopeí obyčejého spořeí bkoí úče by ěl sude bý schope řeš probleku sebího spořeí). Neí ué uč se šechy zorce uedeé DSO. Přesože je ohe důležější pochopeí prcpů získáí schopos přčý zorec odod, zpoáí s ěkerých hodě ybrých zorců ůže ěkeré suce urychl, í usd. Přeso ohou s suce, kdy je uo zpoý zorec odfko, by jse dospěl ke spráéu ýsledku. Proo ěje pě, z jkých předpokldů jse se dý zorec učl zd jej ůžee yuží suc, kerou budee práě řeš. Nebuďe jko ěš srojů, keré pro dý problé jí zpoý (progroý) jede posup ejsou schopy bez záshu obsluhy řeš lehce odfkoou úlohu. Žo dokáže přchys šrokou pleu úloh, keré jsou prcpu sejé, le je uo řeš odlšos. Přesože uor předpokládá, že sude jí dosečé zlos sředoškolské eky, jsou důležá é sředoškolské eky shru předkládé DSO. DSO obshuje eje řešeé příkldy, le eřešeé příkldy s ýsledky. Ozčeí * u příkldu zeá, že dý příkld je ěžší jeho řešeí eí příočré jko u ukázkoých příkldu kpoly; je oše ožé dý příkld yřeš z použí logky kosrukce zorečků dé kpoly resp. šech předchozích kpol z použí logckého užoáí.
Čsoá áročos prosudoáí DSO zásí od schopos sude propočí šechy příkldy. Teo poždek je zásdí, proože jedě propočíáí uedeých příkldů sude zjsí, zd prosudoou láku oprdu pochopl. Celkoá sudjí záěž pro bsoloáí předěu by ěl bý 5 hod (čeě přípry zprcoáí Práce oproé uore přípry průběžé esy zkoušku). Auoř
Obsh Pořebé zákldy z eky... 7. Proceoý poče... 7. Fukce... 8.. Poje fukce... 8.. Leárí fukce... 9..3 Epoecálí fukce.....4 Logrcká fukce....3 Průěry....3. Arecký průěr....3. Geoercký průěr... 3.3.3 Hrocký průěr... 3.4 Posloupos řdy... 4.4. Arecká posloupos... 4.4. Geoercká posloupos... 6 Jedoduché úročeí... 8. Úodí pozáky... 8. Zákldí pojy... 8.3 Typy úročeí... 9.3. Jedoduché úročeí polhůí... 9.3. Zákldí roce pro jedoduché úročeí....3.3 Dsko dskooáí... 3.4 Příkldy k procčeí... 6 3 Složeé úročeí koboé úročeí... 8 3. Zákldí zhy pro složeé úročeí... 8 3. obce jedoduchého složeého úročeí... 3 3.3 Výpoče doby splos... 34 3.4 Výpoče součsé hodoy... 38 3.5 Výpoče úrokoé szby... 4 3.6 Sroáí jedoduchého složeého úročeí... 45 3.7 Příkldy k procčeí... 46 4 Noálí reálá úrokoá szb... 48 4. Efekí úrokoá szb... 48 4. Úrokoá ez... 49 4.3 Noálí reálá úrokoá szb... 5 4.4 Příkldy k procčeí... 5 5 Spořeí... 53 5. Spořeí krákodobé... 53 5.. Spořeí krákodobé předlhůí... 53 5.. Spořeí krákodobé polhůí... 55 5. Spořeí dlouhodobé... 58 5.. Spořeí dlouhodobé předlhůí... 59 5.. Spořeí dlouhodobé polhůí... 6 5.3 obce krákodobého dlouhodobého spořeí... 63 5.3. oboé spořeí předlhůí... 63 5.3. oboé spořeí polhůí... 65 5.4 Příkldy k procčeí... 68 6 Důchody... 7 6. Problek důchodů... 7 6. Důchod bezprosředí... 7 6.. Důchod bezprosředí předlhůí... 7 6.. Důchod bezprosředí polhůí... 73 6..3 Důchody ypláceé -krá ročě... 74 6.3 Důchod odložeý... 76
6.3. Důchod odložeý předlhůí... 76 6.3. Důchod odložeý polhůí... 78 6.4 Důchod ěčý... 78 6.4. Důchod ěčý předlhůí... 78 6.4. Důchod ěčý polhůí... 8 6.5 Příkldy k procčeí... 8 7 Uořoáí dluhů... 84 7. Uořoáí dluhu esejý splák... 85 7. Uořoáí dluhu sejý u... 86 7.3 Určoáí poču u... 88 7.4 Příkldy k procčeí... 9
Pořebé zákldy z eky. Proceoý poče Proceo - yjdřuje jedu seu celku Pro jedo proceo plí: % = =, ze zákldu % = jede celek = celý zákld V jedoduchých úlohách s procey se sekááe s ěo elč. ) zákld - ozčujee jej z b) poče proce - ozčujee jej p c) proceoá čás - ozčujee j Obecě př řešeí jedoduchých úloh ěšou záe dě hodoy chcee ypočí řeí, kerou ezáe podle oho rozlšujee ř zákldí ypy úloh: ) ýpoče proceoé čás : z.p b) ýpoče zákldu :. z p c) ýpoče poču proce :. p z ýpočů bez použí uedeých zorců ůžee použí úěru ebo rojčleku. Příkld. Prodej ěl sjedý podíl zsku e ýš % z prodejí cey ýrobku. olk je o proce z ýrobí cey ýrobku, jeslže prodejí ce byl 5 % ýrobí cey? Řešeí: Máe edy zjs, jk elkou čás čí zsk e ýš % z prodejí cey zhlede k ýrobí ceě. z = 5 z. p 5. p = %,5 % =? Zsk čl,5 % z ýrobí cey. 7
Příkld. Dň z příju čl př dňoé szbě 5,5 % čásku 5 č. Jk ysoký byl příje? Řešeí: = 5 č p = 5,5 % z =?. 5. z 4 9,968 p 5,5 č Tuo úlohu ůžee ypočí ké poocí úěry: 5,5 %... odpoídá... 5 č %... odpoídá... z č Zpíšee: z: 5 = : 5,5 ebo z 5 5,5 Hrubý příje čl 4.9,968 č.. Fukce Pro pochopeí záslosí e fčí ece s zopkujee ěkeré fukce, keré se budee př ysěloáí fčí eky odolá... Poje fukce Fukcí rozuíe předps, kerý kždéu číslu z určé ožy D přřzujee práě jedo číslo y z ožy M. Velču zýáe ezásle proěou. Velču y zýáe zásle proěou (zásí olbě hodoy ). Možu D šech čísel, pro ěž je fukce defoá, zýáe defčí obore fukce f. Možu M šech čísel y, kerých dá fukce býá pro D, zýáe obore hodo (obore fukčích hodo ebo záslý obore) fukce f. Zpsujee: y f Pozák: Říkáe, že dě elčy jsou přío úěré, jeslže podíl kždých dou odpoídjících s hodo, y je roe kosě. Tedy: y y y k 8
4 8 6 4 - -, 8 -, 6 -, 4 -,,, 4, 6, 8 - - 4-6 Příkld.3 Ce z kg poerčů je 3 č. Jká bude ce z 3 kg poerčů? Řešeí: Ce z 3 kg poerčů je zásle proěá, poče klogrů zásí ší olbě - hodo ezásle proěá. Poo zpíšee: y 3 33 69 č V ece zákldí sředí škole jse jsě probírl řdu fukcí. Pro š pořebu e fčí ece s ysělíe pouze y fukce, keré budee pořebo pro ysěleí ěkerých fukčích záslosí yořl s pořebé předpokldy jejch pochopeí... Leárí fukce V ekoockých úhách se čso sekáe se záslosí, kerou zýáe příá úěros. To příá úěros je dá leárí fukcí. Leárí fukc zpsujee zhe: y k q R kde k, q jsou kosy - k udáá sěrc příky ůžee jí yjádř jko k g, kde je úhel, kerý sírá přík s osou ; q je úroňoá kos udáá hodou průsečíku s osou y. Grfe leárí fukce je přík roě. Grf. Leárí fukce y y k q 9
..3 Epoecálí fukce Pod poje epoecálí fukce rozuíe koou fukc, kerá á ezásle proěou epoeu. Epoecálí fukc zpsujee zhe: y, ; Defčí obor: D f ; Obor hodo: H f ; Pro > je fukce rosoucí pro < < je fukce klesjící. Pro je y pro kždou epoecálí fukc ť je (zákld) jkékol reálé číslo. Fukčí hodoy epoecálí fukce jsou pro lboolé hodoy ezásle proěé ždy kldé. Specálí přípde epoecálí fukce je číslo (,788884595 y e, jejíž záklde je Euleroo ;. e ) kerá je rosoucí pro šech Epoecálí fukcí ůžee yjádř složeé úročeí, jeslže ezásle proěou je čs zásle proěou je elkos zúročeého kpálu, př zoleé úrokoé szbě. Grf. Epoecálí fukce y y e y
..4 Logrcká fukce Ze sředí školy je záo, že logrcká fukce je erzí fukcí k fukc epoecálí. Defčí obor epoecálí fukce je obore fukčích hodo fukce logrcké obor fukčích hodo epoecálí fukce je defčí obore fukce logrcké. Pro logrckou fukc edy plí: D f ;, H f ; Logrckou fukc zpsujee zhe: y log, kde ; Plí: y log y Číslo určíe, jeslže uocíe zákld logru logrus čísl. V pr se použíjí předeší d specálí logry. Jede á zákld ( ) roe, pk luíe o (dekdcké) logru píšee y log. Druhý á zákld roe Eulerou číslu, pk luíe o přrozeé logru píšee y l. Grf.3 Logrcká fukce y y log Příkld.4 Určee číslo jeslže plí: log 3 Řešeí: 3 8 8 Tedy log 8 3 Pro počeí úkoy s logry plí o prdl: Jeslže y jsou lboolá čísl pk plí (př splěí určých podíek, keré yplýjí z jedolých zhů):. log y log log y. log log log y y
3. log log 4. log log log 5. log y log y Příkld.5 log log 34,678 8,984 log34,678 log 8, 984 log,9967,46583 3,59455 393,573 Příkld.6 34,678 log log log34,678 log 8,984 8,984 log,9967,46583,667384 4,646633 Příkld.7 log log, 5,5log,5 log,,5893 Příkld.8 log log,4 3, 4 45 3,4,4 log 3,45,6333646, log 45 4,66667,6535 3,45 3.3 Průěry.3. Arecký průěr Arecký průěr je pro čísel čísel děleý jejch poče.,,, 3, defoá jko souče ěcho Tedy: Jeslže jsou ez dý čísly ěkerá čísl sejá, poo ůžee ýpoče reckého průěru zjedoduš. Měje poče čísel, čísel,, r čísel poo r, přčež r r
V oo přípdě luíe o ážeé recké průěru, kde čísl,,, r jsou áhy čísel,,, r. S recký průěre se sekááe př ýpoču příkld sředí doby splos íce pohledáek, očekáé ýosos ceých ppírů d..3. Geoercký průěr Druhý druhe průěru je geoercký průěr g. Měje pro kldých čísel,, 3,,, poo je geoercký průěr defoá jko -á odoc souču čísel.. g 3 Jsou-l ez dý čísly ěkerá čísl sejá, ůžee sejě jko u reckého průěru defo ážeý geoercký průěr 3 r r 3 r g.3.3 Hrocký průěr Třeí druhe průěru je hrocký průěr ýrze: h, kerý je pro čísel dá h Sejě jko předchozích přípdech, jsou-l ez dý čísly ěkerá čísl sejá ůžee defo ážeý hrocký průěr zhe: h r r r Vzh ez recký,geoercký hrocký průěre Mez recký, geoercký hrocký průěre esuje zájeý zh Pro šech, kde, j,,, ždy plí: j > g > h 3
.4 Posloupos řdy Ve fčí ece se el čso sekááe s plkce poslouposí řd. Zákldí pojy: Jeslže přřdíe kždéu přrozeéu číslu, určé číslo, poo čísl,, 3,, k, zýáe posloupos. Výrz (souče čleů posloupos) 3 k zýáe řdou čísl,, 3,, k, čley řdy. Jeslže á řd koečý poče čleů, zýá se koečou řdou. Jeslže á řd ekoečý poče čleů, zýá se ekoečou řdou..4. Arecká posloupos Posloupos, u keré rozdíl (dferece) dou po sobě jdoucích čleů je kosí, se zýá recká posloupos. k k k d, kde k je kos Odozeí: d 3 d d d. d d Tkže -ý čle recké posloupos ypočíáe podle zhu: d - je prí čle řdy - je posledí čle řdy - je poče čleů d - je dferece recké řdy Pro reckou řdu plí, že kždý její čle je recký průěre sých sousedích čleů. k k k Pro souče čleů ( -ý čásečý souče) recké řdy plí: S Dosdíe-l do šeho ýrzu z d ůžee souče čleů yjádř: S d 4
Ze zorce yplýá, že ůžee spáro ždy d čley řdy - prí posledí, druhý předposledí d., přčež součy ěcho dojc jsou kosí.tkoých dojc ůžee ses polou z celkoého poču čleů řdy -. Příkld.9 Arecká posloupos á dferec d -ý čle 5. olk prích čleů posloupos á souče S 456? eréu číslu se roá prí čle? Řešeí: Vycházíe ze souču recké řdy ýrzu pro ýpoče -ého čleu: 456 5 Po úprě budee řeš jko sousu dou roc o dou ezáých. 9 5 - Dosdíe do roce 9 z hodou 3 dosááe jedu roc o jedé ezáé 9 3 4 6 8 8 8 9 3 5 Což je kdrcká roce, kerou yřešíe př. poocí dskru dosee d ýsledky: 8 38 8 Proože poče čleů eůže bý záporé číslo ecelé číslo, je spráé prí řešeí, j. poče čleů zdé recké posloupos, jejchž souče je 456 je 8. Nyí dosdíe do ýrzu: 3 8 3 99. Prí čle recké řdy se roá číslu 99. 3 5
Příkld. Máe ypočí -ý čásečý souče, jeslže je 3, d. Řešeí: Použjee ýrz pro ýpoče souču řdy: S d S S 7 7 3 6.4. Geoercká posloupos Posloupos, u íž podíl kerýchkol dou po sobě jdoucích čleů je kosí, se zýá geoercká posloupos. Podíl ěcho dou čleů zýáe kocee zčíe jej písee q. Odozeí: q 3 q q q q q Tkže -ý čle ypočíáe: q Je-l q je řd rosoucí Je-l q ; je řd klesjící Je-l q je řd lerující (sřídá) Je-l q řd kosí (obshuje sejé čley) Pro souče -čleů geoercké řdy pro q plí: q q S. pro q S. pro q (, ) q q Můžee prokáz, že uedeé ýrzy jsou ekleí je edy jedo, kerý použjee. 6
S q q q q q q ; pro q ždý čle geoercké řdy je geoercký průěre z jeho dou sousedích čleů: k k. k Příkld. V geoercké posloupos je souče prích dou čleů roe 4 souče jejch druhých oc je roe. Máe urč uo posloupos. Řešeí: Zdáí ůžee přeps ásledoě: Z prí roce s yjádříe. 4 4 Teo ýrz dosdíe z do druhé roce ypočíáe prí čle. 4 6 8 8 6 4 3 Řešeí éo roce jsou d kořey prí je roe 3 druhý je roe. Úloh á edy dě řešeí. Prí řešeí je klesjící posloupos s prery 3, q. 3 Druhý řešeí je rosoucí posloupos s prery, 3 q 3. Příkld. Máe ypočí souče geoercké řdy kde 5, q 4. Řešeí: 5 5 q 4 4 3 S.... 34 q 4 3 3 5 68 7
Jedoduché úročeí. Úodí pozáky To kpol společě s ásledující kpolou je záklde pro šechy ásledující kpoly. Proo je uo probírou láku zcel pochop. Propočíeje s ukázkoé příkldy příkldy koc kpoly. Pokud ebudee ěco cháp, je pořeb se zdrže u éo ásledující kpoly do doby, ež oprdu pochopíe zákldí prcp úročeí, respeke odúročeí. Abyse pochopl probleku koboého úročeí, je ué zá el dobře probleku jedoduchého složeého úročeí. To kpol se ěuje prí probléoé obls jedoduchéu úročeí. V celé DSO budee yuží ěkerých předpokldů (posupě s je budee uádě), keré á uoží zkou jedolé probléoé obls. Pokud bycho se chěl přblíž íce relě, sčí dé předpokldy přzpůsob ebo zcel opus. Dá problek se poo ěšou zkoplkuje, le e ěšě přípdů je ožo dojí zžý posupy ke spráý záěrů. Jedoduché úročeí je sou podsou jedoduchá problek. Přeso je řeb s dá pozor ěkeré e zcel edeí chyáky, keré hodě ldí přehlíží doěí, že př řešeí rálích probléů eůže bý c koplkoého.. Zákldí pojy Úrok je odě z dočsé užíáí peěžé čásky (kpálu). Z pohledu kldele (ěřele) je úrok oděou, kerou dosáá z o, že poskyl sůj kpál dočsě ěkou jéu. Nopk z pohledu dlužík je úrok ce, kerou plí dlužík z získáí kpálu (úěru). Úrok se řídí proceí poěre k užíé čásce dobou užíáí éo čásky. Vyjádříe-l úrok proceech z hodoy kpálu, obdržíe úrokoou szbu (úrokoou íru). Úrokoé období je dob, z kerou se úroky prdelě přpsují. Úrokoé období býá zprdl: ročí zčí se p.. (per u) pololeí zčí se p. s. (per seesre) črleí zčí se p. q. (per qurle) ěsíčí zčí se p.. (per ese) ýdeí zčí se p. sep. (per sep) deí zčí se p. d. (per de) Předpokld V dlší eu budee předpoklád, že ebude-l uedeo, o jké úrokoé období se jedá, bude se jed o ročí úrokoé období, j. úroky se budou přpso jedou z rok. 8
Pro yjádřeí délky úrokoého období se ychází z růzých zyklosí, z chž se ejčsěj užíá: Aglcká eod: Frcouzská eod: Něecká eod: je zlože skuečé poču dů úrokoého období délce roku 365 dí, přesupé roce pk 366 dí. je zlože skuečé poču dů úrokocího období délce roku 36 dí, (ezárodí). je zlože kobc zpočíááí celých ěsíců jko 3 dí délky roku pk 36 dí, (obchodí). V běžé pr se ůžee sek se še eod. Předpokld V šch úhách řešeých příkldech budee pro jedoduchos použí ěeckou eodu, pokud ebude uedeo jk..3 Typy úročeí Rozlšujee d zákldí ypy úročeí: Jedoduché úročeí: úroky se počíjí sále z půodího kpálu Složeé úročeí: úroky se přpsují k půodíu kpálu (peěží čásce) spolu s í se dále úročí Úročeí dělíe ké podle oho, kdy dochází k plceí úroku: Jeslže se úroky plí koc úrokoého období, luíe o úrokoáí polhůí (dekurzí). Jeslže dochází k plceí úroků zčáku úrokocího období, luíe o úrokoáí předlhůí (cpí)..3. Jedoduché úročeí polhůí U jedoduchého úročeí se úročí sále pouze zákldí kpál (peěží čásk). Vypláceé úroky se k í epřčíjí, ezká edy úrok z úroků. Proože užujee o úrokoáí polhůí, úroky budou yplácey ždy po uplyuí úrokoého období, ke keréu se zhují. Ozče s: u p d úrok č kpál (peěží čásk) č úrokoá szb úrokoého období proceech dob splos kpálu e dech 9
Poo úrok ypočíáe ze zhu : p d u 36 Jeslže yjádříe: p d 36 poo obdržíe úrokoou szbu jko deseé číslo splos leech, poo úrok ypočíáe: u kde: = úrokoá szb yjádřeá seách. Je o úrok z č z rok. = dob splos yjádřeá leech Grf. Záslos ýše kpálu čse ýšce úrokoé szby kpál úrok u = % počáečí kpál úrok u = % Z grfu je dě, že koečý kpál př sálé úrokoé szbě je leárí fukcí čsu (leárí fukce). Jeslže se bude ě ýše ukládého kpálu př sejé úrokoé szbě běhe úrokocího období, poo pro ýpoče úroků použíáe z. úrokoých čísel úrokoých dělelů. d Úrokoé číslo UC: UC, kde d splos e dech kpál Předpokládáe, že se jedá o ročí úrokoou szbu ročí úrokocí období. Pokud bycho chěl spočí úrok z př. ěsíčí úrokocí období ěl bycho ěsíčí úrokoou szbu zorec ypdl ásledoě: u p d 3 p, pk by
Úrokoý dělel UD: UD 36 p Úrokoý dělel á yjdřuje poče dí, z keré získáe úrok č ze č, kde p je úrokoá szb %. Poo úrok ypočíáe: UC u UD Jeslže čásk je ulože edy úroče d dí, čásk je ulože úroče d dí,, čásk je ulože edy úroče úrokoé szbě p, poo úrokoá čísl budou: d dí přo šechy př sejé UC d, UC d,..., UC r d Proože se eěí úrokoý dělel, ůžee jej ykou před záorku úrok ypočí: ebo: u UC UC... UD u j UC UD j UC Tohoo způsobu se ejíce yužíá př ýpoču úroků běžých účech. Příkld. Podkel s posupě ypůjčl: 6.. čásku 6 č.. čásku 4 č 8.3. čásku 3 č Ročí úrokoá szb u šech půjček je %. Chcee zjs, kolk zplí koce roku úrocích. Řešeí: 6 č, d 3.. 6.. d 3 3 6 344 dí 4 č, d 3.... d 3 3 39 dí 3 č, d 3.. 8.3. 3 3 3 8 9 dí 3 3 d 3
3 UC j j p d u UC UC UC3 UD UD 36 6 344 4 39 3 9 36 6 4 3 6 87 6 3 9 č 3 d 3 d 3 Podkel koce roku zplí úrocích 3 9 č..3. Zákldí roce pro jedoduché úročeí V předcházející kpole jse s řekl, jký způsobe ypočíáe ýš úroku z určé období. V pr ás šk zjíá ýše zúročeého kpálu (čeě úroků) po určé období. oečou ýš kpálu ( ) z období obdržíe jko souče počáečího kpálu úroků z oo období. Tedy: u dosdíe-l do ohoo ýrzu z u obdržíe počáečí hodo kpálu (zákldí peěží čásk, zákldí kpál) koečý kpál z dobu (s kpálu po zúročeí z dobu ) ročí úrokoá szb seách dob splos kpálu leech Jeslže yjádříe še ýrzu splos e dech úrokoou szbu proceech obdržíe: p d 36
Jeslže zolíe č bude. Výrz se zýá úrokocí fkor (úročel). Udáá, kolk zrose č z rok př úrokoé szbě. Ze zákldí roce ůžee ypočí dlší důležé hodoy:,, Výpoče počáečí hodoy : u Odozeí: íe, že. Teo ýrz rozásobíe dosee: u Poo: u Výpoče doby splos (doby úročeí) : u Výpoče úrokoé szby : u.3.3 Dsko dskooáí Čso se e fčí ekoocké pr sekááe s í, že pořebujee poro hodoy kpálu čse. pál čse á růzou hodou. Čí dříe kpál budee í, í dříe jej ůžee eso z dobu se á zúročí poese á úrok. Abycho ohl poroá kpál čse, pořebujee zá poje součsá hodo. Součsou hodoou kpálu rozuíe kpál, kerý po zúročeí čsoé období dosáhe budoucí hodoy. Jeslže ozčíe součsou hodou budoucí hodou hodou ypočíáe:, poo součsou Výpoče součsé hodoy se zýá éž dskooáí. Jeslže je č úrokoá szb seách, poo udáá součsou hodou č splé z rok př úrokoé szbě. 3
Poo ýrz: zýáe dskoí fkore. Dskoí fkor udáá součsou hodou č splé z rok př úrokoé szbě. Příkld. Co je ýhodější př koup dru? Zpl z ěj yí hooos 8 č ebo s ěj ypůjč zpl z rok s úroke 8 3 č, když bk bízí úrokoou szbu 7 % p..? Řešeí: Nejdříe s spočíáe, jká je součsá hodo budoucích 8 3 č. Obecě: Nuercky: 8 3 8 3 7 757,9 7 757 č,7,7 Pokud bycho edy do bky uložl 7 757 č 7 % p.., po roce bycho obdržel 8 3 č (přesěj 8 99,99 č), což odpoídá čásce, kerou bycho usel po roce spl, pokud bycho s ypůjčl 8 č. Poroáí obou způsobů: ) plb hooos 8 č b) plb půjčku 7 757 č V oo přípdě je ýhodější zžád o půjčku, eboť součsá hodo 8 3 č, keré áe zpl z rok, je práě des 7 757 č. Tedy, zplíel z rok 8 3 č, je o, jko bycho des zpll 7 757 č. Hooosí způsob plceí je éě ýhodý. Dsko je úrok ode de ýply do de splos. Dskoe rozuíe čásku, o kerou je zákld půjčky eší, ež splá čásk. Dsko ůžee počí z budoucí hodoy podle oho rozezááe: ebo ze součsé hodoy Dsko obchodí Dsko ecký D ob ýpoče dskou z budoucí hodoy D ýpoče dskou ze součsé hodoy 4
Dsko obchodí Obchodí dsko ypočíáe jko úrok z budoucí hodoy. Tedy: D ob D kde D je dskoí szb seách. Ozče ob obchodí kpál (j. čásk, kerou bk yplí), poo: ob D ob D D Př zplceí pohledáky bk eyplí ěřel (kleo) celou oálí hodou (budoucí hodou), le hodou kpálu sížeou o obchodí dsko D. Příkld.3 Máe ypočí, kolk dose yplceo kle, jeuž bk eskouje (zplí dříe) sěku o oálí hodoě č 35 dí před dobou splos př dskoí szbě,9 p.. Předpokládáe, že bk eúčuje dlší proze. ob Řešeí:? ; ob č ; D,9 ; 35 dí,97 roků Tedy : ob,9,97,995 9 85 č D le dose peíze od bky o 35 dí dříe, le íso č pouze 9 85 č, eboť bk s zpočíl obchodí dsko. Dsko ecký Mecký dsko ypočíáe jko úrok ze součsé hodoy. Tedy: Jeslže do dého ýrzu dosdíe z D D D obdržíe: D D D Z obchodího dskou íe, že Dob D. Dosdíe-l eo zh do čele z předcházejícího ýrzu, obdržíe zh ez ecký obchodí dskoe. 5
D D ob D D ob D.4 Příkldy k procčeí. le ěl od 8.3. do 5.5. uložeo e spořelě 5 č 8 % úrokoou szbu p.. olk č čl úrok z uo dobu? [9 č]. Vypočíeje úrokoý ýos koečou hodou př kldu = 3 č př 4% p.. z roky. [4 č] 3. N jkou dobu usíe eso 8 č př př úrokoé szbě 5% p.., bycho získl úrocích č? [3 roky] 4. Jká byl ročí úrokoá ír př kldu 7 č, bycho úroku získl 4 č z 3 roky? [ % p..] 5. Vypočíeje součsou hodou, jeslže z roky př 6% p.. byl hodo kldu 784 č [7 č] 6. le s ypůjčl 7 5 č př úrokoé szbě 7% p.. de. dub.. kě spll polou dluhu celou čásku úroku dlužou k. kěu. olk celke zpll bce? [3 793,75 č] 7. Vypočíeje úrok poocí UC, UD, jeslže kle uložl do bky 4.. čásku 8 č, de 8.. čásku 4 5 č 4.4. čásku 4 č. Úrokoá szb byl 6% p.. olk č získl kle z uo dobu úrocích? [8,7 č] 8. N jkou hodou se zúročl kld č z roky, 8 ěsíců dí, je-l úroče bce př úrokoé szbě 6% p.. [39 6 č] 9. Podkel prodá bce sěku oálí hodoě č, kerá je splá z roky. Podle su bídky popáky po ceých ppírech burze jí bk kupuje s dskoí szbou 5 % p.. olk č obdrží podkel z sěku? [4 č]. Dlužík ysl dluží úps č, splých s úroke z 8 ěsíců př 8% p.. Z ěsíc po yseí dlužího úpsu jej ěřel prodl jé osobě, kerá dskouje dluží úpsy 9% p.. olk dose ěřel z dluží úps? Jk dlouho 6
usí proí ěřel ček od yseí úpsu, by př prodej obdržel lespoň půjčeou čásku? [9 96,67 č; 38 dů] 7
3 Složeé úročeí koboé úročeí Doposud jse ycházel z oho, že se úroky počíjí sále ze sejého zákldu úroky rosly leárě. Složeé úročeí ychází z oho, že se úroky přpočíájí k půodíu kpálu ásledující období se eo zúročeý kpál bere jko zákld pro dlší úročeí. Úročí se edy zúročeý kpál. Složeé úročeí je ožo rozděl úročeí předlhůí polhůí. 3. Zákldí zhy pro složeé úročeí Ozče: půodí (počáečí) kpál úrokoá szb seách dob splos kpálu leech ýše kpálu době,,3, Tbulk 3. Odozeí zákldí roce složeého úročeí Rok S kpálu koc roku 3 3 3 Přrozeé ocy úrokocího fkoru zýáe úročelé udájí, jk zrose kld č z dobu př úrokoé szbě z předpokldu, že č. Celkoý úrokoý ýos erose jko u jedoduchého úročeí leárě, le epoecálě. Zákldí roce pro složeé úročeí: To roce plí z předpokldu, že je celé kldé číslo úročeí probíhá koce kždého roku. 8
Grf 3. Záslos úroku ýše kpálu době splos kpál,,5 čs Příkld 3. Uložl jse čásku č. Jká bude ýše kpálu z 3 roky př složeé úročeí, jeslže úrokoá szb bude 5 % p.. Řešeí: Obecě: Nuercky: 3,5,5765 389, č 5 oečá hodo kpálu bude 3 89,5 č. Předpokládeje, že je celé kldé číslo, le úrokocí období je krší ež jede rok. Úrokoáí probíhá (=přpsoáí úroků) -krá z rok. Ozče: půodí (počáečí) kpál ročí úrokoá szb seách úrokoá szb z jedu -u roku s kpálu koc -é čás roku 9
Tbulk 3. Odozeí zákldí roce složeého úročeí př úročeí -krá do rok Čás () S kpálu koc roku roku 3 3 3 S kpálu úročeého -krá z rok bude koc roku: z le bude: Příkld 3. Jko předcházející příkldu jse s uložl č. Jká bude ýše kpálu z 3 roky př složeé úročeí polhůí, jeslže úrokocí období bude črleí úrokoá szb čí 5 % p.. Řešeí: Obecě: Nuercky: 43,5,5,67545 399, 54 č 4 oečá hodo kpálu př soeých podíkách bude 3 99,54 č. 3
3. obce jedoduchého složeého úročeí e kobc jedoduchého složeého úročeí dochází ehdy, jeslže jsou úroky přpsoáy po určou dobu k počáečíu kldu s í dále úročey (složeé úročeí), le koc je uo ypočí úrok z dobu krší ež je úrokocí období (jedoduché úročeí). Nechť plí podík: eí kldé celé číslo, ůžee psá R kde je číslo, keré udáá poče celých ukočeých le R je číslo, keré udáá eukočeé úrokocí období (př. čás roku). Počáečí kpál ejpre úročíe složeý úročeí po celou dobu úrokocích období (př. le) Teo kpál pk úročíe jedoduchý úročeí po dobu R, edy po dobu posledího eukočeého úrokocího období (po zbyek splos, čás roku). R Dosdíe-l z R, obdržíe hodou kpálu koc úrokocího období R Jeslže se úroky přpsují -krá do rok dob eí celé číslo, poo ůžee opě zps: R oečou hodou kpálu z dobu pk určíe podobý způsobe jko předcházející zhu. kde je poče celých ukočeých - z dobu oečou hodou kpálu ýše kpálu pk ypočíáe jedoduchý úročeí zúročeé R 3
Jeslže dosdíe z, dosee koečý zh pro ýpoče kpálu. R Všěe s, že se předchozí ýrzu yskyuje já úrokoá szb pro čás složeého úročeí já pro čás jedoduchého úročeí, když obě ycházejí ze sejé ročí úrokoé szby. Vysájí edy oázky jko, jk je o ožé, je dý ýrz spráý pokud o, co edy yjdřuje R. Podíeje se edy dý problé z. selský rozue. Pokud budee úroč kždé pololeí, usíe použí pro složeé úročeí pololeí úrokoou szbu. Tu obdržíe yděleí ročí úrokoé szby poče přpsáí úroků z rok, což je pro pololeí úročeí číslo. Budee-l úroč počáečí čásku po dobu 3 roků 5 ěsíců, přpíšee úroky celke 6 krá (3roky po pololeích). Zbýá á edy 5 ěsíců, keré eoří celý půlrok. Jkou čás půlroku oří 5 ěsíců? Odpoěď je 5 jedoduchá:. Čásku 6, kerou obdržíe, pokud počáečí kpál zúročíe 6 6 krá složeý úročeí př půlročí úrokoé szbě e ýš (pokud je ročí úrokoá szb), á zbýá zúroč jedoduchý úročeí př sejé půlročí úrokoé szbě po dobu 6 5 úrokoého období (j. 5 ěsíců). Vzorec by poo ypdl ásledoě: 6 5 5 6 6 Logcky edy předpokládáe, že úrokoé szby pro čás složeého úročeí čás jedoduchého úročeí budou sejé. Poo poždujee, by R yjdřolo poěrou čás úrokocího období. Pokud bycho sejý přípd rozedly pro črleí úročeí, dosl bycho ásledující zorec: 43 3 3 4 4 3 4 4 3 4 Pokud bycho sejý přípd rozedly pro douěsíčí úročeí, dosl bycho ásledující zorec: 63 6 6 6 6 6 Všěe s, že souč čísel e jeoelích pro jedoduché úročeí dáá ždy číslo. Můžee edy čás pro jedoduché úročeí použí ročí úrokoou szbu 3
bez ohledu délku úrokocího období. V koé přípdě le bude R yjdřo poěrou čás celého roku, kol úrokocího období. Příkld 3.3 N kolk zrose kld 5 č uložeý 3 roky 5 ěsíců př úrokoé szbě 5 % p.. Řešeí: 3 roky 5 ěsíců = 3,46667 roku 5? 5,5 3,46667 3 R,46667 Obecě: R Nuercky: 5 5 3 3,5,5 5,5765,83333 7 76, č Pozák: Pokud bycho řešl eo příkld podle ýrzu 3,46667 by ýsledek ásledující: 5,5 7 7, 99 č Příkld 3.4 Řeše předchozí příkld pro přípd pololeího úročeí črleího úročeí. Řešeí: 3 roky 5 ěsíců = 3,46667 roku? 5,5 pro pololeí úročeí plí 5 6 R,83333 6 6, byl,5 5 5,5 5,596934,83333 7757,8 č pro črleí úročeí plí 4 3 3 R,66667 3 3,5 5,5 5,7564,83333 7775,87 č 4 33
3.3 Výpoče doby splos Výpoče doby splos počíáe ře (podobý) způsoby podle oho, zd:. je celé kldé číslo, úročeí ročí p... eí celé kldé číslo, úročeí ročí p.. 3. eí celé kldé číslo, úročeí je jé, ež ročí Ad. je celé kldé číslo, úročeí ročí p.. Př éo úloze ycházíe ze zákldího zorce pro složeé úročeí Jelkož chcee ypočí, celou roc zlogrujee ososíe ezáou. l l l l l l l l l l l l l Posledí dě roce jsou ekleí, záleží kždé, zd chce počí d logry poé odečís dě čísl, ebo rděj ydělí dě čísl poé epre logruje. Ad. eí celé kldé číslo, úročeí ročí p.. Jeslže eí celý kldý čísle, posupujee sejý způsobe jko předešlé přípdě. Poé, co řešeí předešlé roce je, keré eí celý kldý čísle, rozdělíe celou čás ecelou čás k,by pllo R. Dále použjee roc pro koboé úročeí R. Jedou ezáou zůsáá R, keré yjádříe z uedeé roce pro koboé úročeí. R R ebo R R R 34
Proože úrokocí období bylo ročí, sčí pro přeod dy R yásob poče dů roce, což podle ší doluy je 36 dů. Ad 3. eí celé kldé číslo, úročeí je jé, ež ročí Jeslže je úrokocí období jé ež ročí (ěšou krší), ycházíe pro ýpoče doby z ýrzu Roc upríe logroáí r: l l l l l l l l l l l Jelkož eí celé kldé číslo, rozložíe jej opě k, by pllo Zbyek doby splos R zpřesíe podle zhu: R R R R ebo R R 35
Příkld 3.5 Jk dlouho byl ulože kpál 3 č, jeslže zrosl př 9 % úroku p.. př složeé úrokoáí hodou 4 995 354 č? Řešeí: Obecě: l l R Nuercky: 4995354 l 3 l,9,775599,8678 8,999965 Z ýsledku je pré, že se bude jed o 9 le, proože zbyek z deseou čárkou uo skuečos zčuje. Abycho ěl jsou, že se eýlíe, upřesíe zbýjící dobu. R 4995354 3,9,9 8 4995354 458894,7588744,89999885776,999998,9,9 R,999998,999998 36 dí 359,9998 dí Výsledek se od 36 dů lší je álo. Můžee edy oo zpřesěí zokrouhl 36 dů. Celkoá dob úročeí edy byl 8 le 36 dů, což je 9 le. Příkld 3.6 Máe zjs, jk dlouho byl ulože kpál e ýš 5 č, jeslže př složeé úročeí úrokoé szbě 4 % p.. zrosl č. Řešeí: R 8 l 5 l,4 l,4 l,4,33647,39 8,579 5,4 R,4 8 58,53575679,96687777,5745775,4,4 R,5745775,5745775 36 dí 6,696583 dí 36
Z dých podíek byl kpál ulože 8 le 7 dů, což je 6 ěsíců 7 dí. Příkld 3.7 Máe urč dobu splos kpálu, kerý př složeé pololeí úročeí zrosl ze 5 č př úrokoé szbě 4 % p.. 8 č. Řešeí: Obecě: l l R Nuercky: 8 l 5,4 l l, l,,835568 4,63468874 roků,98673 4,63468874 roků 4,63468874 55,466488ěsíců Proože úrokocí období je pololeí, j. rá 6 ěsíců, budee edy úroč 55,466488: 6 9,6937748 úrokocích období. Jedá se edy o koboé úročeí, př keré budee složeý úročeí úroč po dobu 9 celých úrokocích období zbýjící dobu usíe dopočí použí jedoduchého úročeí. 8,4 5 R,4 9 8 7963,88593347,4,46394797,4,658 Proože použíáe zorec, kerý z R doszuje 36 dí, je ýsledý poče dí, kdy použjee jedoduché úročeí (jedá se o ecelé úrokocí období), roe R,658 36 36,95688 dů, což po zokrouhleí celé dy dáá 37 dů. Celkoá dob edy je 9 pololeí, j. 4 roky 6 ěsíců, 37 dí, j. ěsíc 7 dí. Aby z dých podíek zrosl počáečí kpál 8 č, usel by bý ulože po dobu 4 le 7 ěsíců 7 dí. 37
e sejéu ýsledku se dosee, když s úlohu přeforulujee z ročího pohledu úrokocího období -krá z rok pohled úrokocích období použjee zorec R, kde eokrá bude předso,4 úrokoou szbu úrokocího období, z.,, bude předso poče celých ukočeých úrokocích období, z. 9, R bude předso zbyek rác úrokocího období, z. zbyek rác 8 dí. Použjee edy ásledující zorce: l l R Po doszeí obdržíe: l l 8 l 5 l, l, l,,83556793955,986796797 9,693774957465 pololeí Výsledke je poče úrokocích období, še přípdě pololeí. Nyí pokrčujee zpřesěí ecelého úrokocího období. 8 5, R, 9 8 7963,88593347,,5359535958 pololeí R,5359535958 pololeí,5359535958 8 dí 36,95687 dí Dosl jse ke sejéu ýsledku 9 pololeí 37 dí. V předchozí příkldě jse s ukázl, že ke spráéu ýsledku přípdě, že úročíe ícekrá z rok, se ůžee dos dojí způsobe. Je oše důležé eproích yo d způsoby dohrody. Bylo by špě še přípdě prco báz úrokocího období, le upřesěou čás doby úročeí yásob 36 dy! 3.4 Výpoče součsé hodoy Zčý ýz pro ás á součsá hodo, eboť á uožňuje poro hodou kpálu čse. V běžé pr sojíe před úkole zjs, jkou ýš kpálu usíe ulož, bycho dosáhl určé čse budoucí hodou kpálu. Čí dříe áe pořebý kpál, í dříe jej ůžee ulož ebo eso přáší á úroky. Př ýpoču součsé hodoy kpálu ycházíe ze zákldích ýrzů pro koboé (složeé) úročeí. 38
Pokud je celé kldé číslo úročeí je ročí, pk yjdee ze zorce pro složeé úročeí Z éo roce ypočíáe. Jeslže č, poo ýrz zýáe odúročel zčí součsou hodou č splé z le př úrokoé szbě. Pokud bycho úročl -krá do rok, ycházel bycho ze zorce po yjádřeí bycho obdržel roc Pokud eí celé kldé číslo úročeí je ročí, pk yjdee ze zorce pro koboé úročeí R Jeslže chcee ypočí součsou hodou př zlos budoucí hodoy eí-l dob splos yjádře celý kldý čísle, yjádříe z předešlé roce. Výsledke je roce R kde je ejblžší přrozeé číslo k číslu R. 39
Pokud bycho úročl -krá do rok, ýsledá roce by byl R kde je ejblžší přrozeé číslo k číslu R. Příkld 3.8 olk usíe ulož, bycho z 5 le př úrokoé szbě 5 % p.. získl kpál e ýš č. Úročeí je složeé. Řešeí: Obecě: Nuercky: 7835, 6 č 5 5,5,5 Abycho z 5 le ěl kpál č, usíe des ulož 78 35,6 č. Příkld 3.9 Máe ožos koup osobí uoobl. Je pro ás ýhodější zpl hooě 4 č ebo dá předos splákoéu způsobu plby zpl zálohu hooě e ýš č z 3 roky dopl zbyek e ýš 6 č př úrokoé szbě 8 % p.. př složeé pololeí úročeí? Řešeí: Nší úkole je poro ob způsoby: zplceí hooos 4 č ebo záloh č splák 6 č, jejíž součsá hodo je: Obecě: 4
Nuercky: 6 6 6 45, 33 č 3,8,6539 Splákoý způsob plby = záloh + 6 45,33 46 45, 33 č 4 < 46 45,33 Z uerckého hledsk je ýhodější zpl hed 4 č ež splákoý způsob. Teo způsob plby je šk ýhodější pro kupujícího, eboť zhlede k ceě uooblu je ce yšší o 6 45,33 č, což jsou pouze,68764 % z pořzocí cey uooblu. Příkld 3. olk koru usíe des ulož, bycho z 5 le 3 ěsíce 4 dí ěl koě čásku e ýš 5 č, jeslže bk bídl 5 % p.. složeé úročeí. Řešeí: 33 4 5; R,36667 36 Obecě: R Nuercky: 5 5 385656,84 č,768565,583335 5,5,5,36667 Př dých podíkách usíe des ulož 385 656,84 č. Příkld 3. Použje přecházejícího příkldu, le se črleí úročeí. (Výsledek by ěl bý eší, ež předcházející příkldu zyslee se proč?) Řešeí: 3 4 5,6667 črleí 3 3 33 R,6667 4
Obecě: R Nuercky: 5 5 38399, č,,,9863 3333375, 6 5 5., 6667 4 4 Abycho ěl př dých podíkách z 5 le 3 ěsíce 4 dí 5 č, usíe des ulož 383 99,6 č. 3.5 Výpoče úrokoé szby Jeslže chcee zjs, jká je úrokoá szb, ycházíe z podíek, z kerých jse ukládl ebo s ypůjčol kpál. Př řešeí ěcho úloh použjee jž dříe odozeé zhy. Pokud je celé kldé číslo úročeí je ročí, pk yjdee ze zorce pro složeé úročeí, ze kerého yjádříe úrokoou szbu Tedy: Pokud bycho úročl -krá do rok, ycházel bycho ze zorce 4
Z oho úrokoá szb bude: Pokud eí celé kldé číslo úročeí je -krá do rok, pk úrokoou szbu yjádříe obdobě, jko předchozí zorc de R je zžeo k úrokocíu období. R Příkld 3. Jká byl úrokoá szb, jeslže kpál č zrosl př složeé úročeí z 4 roky 7 4 č. Řešeí: Obecě: Nuercky: 7 4 4 4,37,89,89 p 8,9 % pál byl úroče úrokoou szbou 8,9 % p.. 43
Příkld 3.3 olk procey byl úroče kld č, jeslže zrosl 3 č př pololeí složeé úročeí. Řešeí: Obecě: Nuercky:,5,599, 398 3 4 8 p 8,9 % Vkld byl z dých podíek úroče szbou,398 % p.. Příkld 3.4 Jká je úrokoá szb, jeslže kpál č zrosl z 4 roky ěsíce dí 3 č. Úročeo črleí složeý úročeí. Řešeí: 3 č ; č ; 4 4 3 / 9 6,9 6, 9 Obecě: Nuercky: črleí R 3 4 4 4, 9 4,48,978 Vkld byl z dých podíek úroče szbou 9,78 % p.. 44
3.6 Sroáí jedoduchého složeého úročeí Jedoduché úročeí je dáo zhe: ( ) Po rozásobeí záorky obdržíe: Jedá se o leárí fukc, jejíž grfe je přík. Složeé úročeí je dáo zhe: Jedá se o epoecálí fukc, jejíž grfe je epoecálí křk. Grf 3. Sroáí jedoduchého složeého úročeí př ročí úročeí epoecálí fukce leárí fukce rok čs Z grfů obou fukcí díe, že pro ; jsou fukčí hodoy epoecálí fukce eší ež hodoy leárí fukce. Pro je ou opk. Pro jsou obě fukčí hodoy sejé. Z grfu je zřejé, že pro ; je ýhodější pro kle jedoduché úročeí pro dobu budou úroky př složeé úročeí yšší ež př úročeí jedoduché. 45
Teo záěr je plý ejeo pro ročí úrokocí období, le ké pro jkékol jé úrokocí období. Plí edy, že rác jedoho úrokocího období je ýhodější pro kle jedoduché úrokocí období, pro íce ež jedo úrokocí období je ýhodější pro kle složeé úročeí. Z ohoo yplýá dlší předpokld, kerý budee dodržo ásledující eu. Předpokld 3 Pokud ebude řečeo jk, použíáe pro ýpočy koboé úročeí, přčež pro celé úrokocí období použíáe složeé úročeí pro zbýjící (ecelou) čás úrokocího období použíáe jedoduché úročeí. 3.7 Příkldy k procčeí. Určee ýš zúročeého kpálu č, je-l úrokoá szb,5% p.. př složeé úročeí, jeslže úročeí je pololeí o čásk je uložeá 3 roky. [7 64,53 č]. Jk dlouho byl uložeý kpál 3 č jeslže př složeé úročeí zrosl hodou 4 995 347 č př úrokoé szbě 9% p..? [9 le] 3. olk usíe des ulož, bycho z 5 le, 3 ěsíce 4 dí ěl koě l. č? Úrokocí období je ročí úrokoá szb je 4% p.. [8 646,5 č] 4. Jk dlouho bylo uložeo 5 č, jeslže eo kld zrosl č př 4% úrokoé szbě p..? [8 le 6 ěsíců 7 dů] 5. Určee úrokoou íru p.., př keré se zýší:. 4 4 č 8 5 č z 6 le př črleí složeé úročeí; b. 4 č 5 č z le př pololeí složeé úročeí; c. počáečí hodo kpálu sůj dojásobek z 6 le, př ěsíčí složeé úročeí [. 4,4 % p.., b. 6,7 % p.., c. 4,34 % p..] 6. Určee poče celých úrokocích období, z kerý se zýší:. č 5 č př črleí složeé úročeí úrokoé szbě 4% p..; b. č 4 č př složeé ěsíčí úročeí ročí úrokoé szbě 5%; c. počáečí hodo kpálu sůj rojásobek př ročí složeé úročeí s úrokoou szbou 4% p.. [. le 3 ěsíce, b. 3 le ěsíců, c. 9 le] 46
7. Oec uložl do bky pro sy hooos 3,5 % p.. př črleí složeé úročeí. Jeslže sy po os leech ybrl 8 9, č jko koečou hodou čeě úrokoého ýosu, jká byl počáečí hodo? [6 46 č] 8. dyž kle uložl.. bce č, ěl bk,75 % p.. úrokoou szbu složeé pololeí úročeí...5 bk ozál, že počíje ío de bude úrokoá szb 3 % p.. př složeé črleí úročeí. Jkou hodou bude í uložeý kpál k.., pokud se už úrokoá szb ebude ě? [3 3,97 č] 9. Jeslže s ypůjčí kle 8 9 č př 5,5 % p.. úrokoé szbě př složeé ročí úročeí jeslže splí koc prího roku č koc druhého roku 3 č, kolk čí zůsek dluhu splého z dlší 3 roky? [5 54,79 č]. D kpály, jejchž souče je p.j., jsou uložeé z ěcho podíek:. prí jedoduchý úrok př % ročí úrokoé szbě b. druhý složeý úrok př 8% ročí úrokoé szbě Po dese leech budou í sejou hodou. Vypočíeje jejch elkos. [prí 5 943,46 p.j., druhý 6 56,54 p.j.]. le ložl do bky 3 č, po dou leech ložl dlších 5 č. Po dlších dou leech ěl koě 88,5 č. Jká byl ročí úrokoá szb př pololeí složeé úročeí? [5,9 % p..] *. le uložl zčáku roku kpál 5 č 3 roky s úrokoou szbou 5% p.. Bk bízí kleo, že z čásky 5 č ebude pl dň z úroků.. olk koru by ěl kle koc řeího roku pokud by kle přsoupl bídku bky? b. Předse s, že se edí úroky z kldu do álí ýše. le zčáku roku uloží kpál le. Úrokoá ír je, úrokocí období je rok, zdňocí koefce je k. Dokže, že ýsledá čásk koc -ého roku je ro ( k. ). ( ).( k. ) k [. 7,8 č] 47
4 Noálí reálá úrokoá szb 4. Efekí úrokoá szb V předcházejících úlohách př složeé úročeí jse děl, že př sejé ročí oálí úrokoé szbě je pro kldele ýhodější, jeslže se úroky přpsují ícekrá ročě ež jedou z rok, eboť se eo jž zúročeý kpál opě úročí. Přpsují-l se úroky koc kždé roku, bude celkoý úrok př sejé úrokoé szbě (z předpokldu dlšího úročeí ěcho úroků) yšší ež přípdě, že se úroky přpsují pouze jedou koc roku. Jeslže á bý dosžeo př obou způsobech přpsoáí úroků sejého fčího efeku, usí bý oálí úrokoá szb př ročí úrokocí období yšší ež př úrokocí období krší ež jede rok. Tkoou ročí úrokoou szbu budee zý efekí úrokoou szbou. Jeslže á bý ýše kpálu koc roku sejá př obou způsobech úročeí, usí pro efekí úrokoou szbu pl zh: ef kde ef je efekí úrokoá szb, je ročí oálí úrokoá szb. Poo: ef Příkld 4. Máe jí efekí úrokoou szbu, kerá odpoídá % ročí oálí úrokoé szbě, jeslže jsou úroky přpsoáy: ) pololeě; b) črleě; c) ěsíčě Řešeí: ) pololeí přpsoáí zeá, že. Poo ef,,5,5 Efekí úrokoá szb odpoídjící ročí oálí úrokoé szbě % p.. pololeíu přpsoáí úroků je edy,5 % p.. b) črleí přpsoáí zeá, že 4. Poo ef 4, 4,5 4,388965 48
Efekí úrokoá szb odpoídjící ročí oálí úrokoé szbě % p.. črleíu přpsoáí úroků je edy,38 % p.. c) ěsíčí přpsoáí zeá, že. Poo ef,,83,4736744974595763597 Efekí úrokoá szb odpoídjící ročí oálí úrokoé szbě % p.. ěsíčíu přpsoáí úroků je edy,47 % p.. Z uedeého příkldu je dě, že čí čsěj se běhe roku úročí, í je pro kle oo úročeí ýhodější, eboť efekí úrokoá szb s poče úrokocích období rose. 4. Úrokoá ez Doposud jse čsoé erly užol odděleě (dskréě). Předpokládeje, že poče úrokocích období, kerých se přpsují úroky, porose ž do ekoeč jejch délk se zkrcuje eorecky klesá k ule. V koé přípdě luíe o spojé úročeí. Úrokoá szb, kerá odpoídá ouo přípdu, se zýá úrokoá ez. Pro úrokocí ezu zřejě plí: ef l Z eky íe, že l e, 788 je z. Euleroo číslo. Z ohoo ýrzu je dě, že hodo č zrose př % úrokoé szbě z rok př spojé úročeí,788 č. Použjee eo zh pro ýpoče ly: l l e respeke f e, kde f je úrokoá ez. 49
Vzh ez efekí úrokoou írou ezou je edy ásledující: Př spojé úročeí poo plí: f ef e f l ef f e e f Příkld 4. Jká je úrokoá ez př efekí úrokoé szbě %? Řešeí: f l l,,95379843486439538765 ef Úrokoá ez bude 9,53%. Příkld 4.3 N kolk č zrose kpál č z 5 le př spojé úročeí úrokoé ezě 5 %? Řešeí: f 5,5 e e 84,54668774484 č pál př spojé úročeí zrose 84,5 č. Příkld 4.4 Jká je součsá hodo kpálu, kerý z 3 roky zrose 5 č př,5 % úrokoé ezě? Řešeí: f e 5 3,5 e 78,39697743 č Des usíe ulož 7 8,3 č. 5
4.3 Noálí reálá úrokoá szb Doposud jse lul o oálí úrokoé szbě, o zeá koé, u keré jse eužol flc. ždá flce zehodocuje eje kpál, le ké úroky. Jeslže budee do hodoy úrokoé szby zhro flc, budee hooř o reálé úrokoé íře (reálé úroku). Ozče: kpál počáku úrokocího období r reálá ýše kpálu koc úrokocího období oálí úrokoá szb seách r reálá úrokoá szb seách ír flce f Pro jedoduchos budee předpoklád, že úrokocí období je ročí, počáečí kpál budee úroč koc úrokocího období oálí úrokoou szbou pk dskoo írou flce. r f N zákldě reálého kpálu s ypočíáe reálou úrokoou szbu r jko poěr ýše úroku počáečího kpálu. r r r r r r Dosdíe-l eo zh do přecházejícího ýrzu z r obdržíe: r r r f r f f f r f r f Teo zh se zýá Fschero roce. Pozák: Př ízké íře flce ízké reálé úrokoé íře zedbááe ěkdy souč zh ez reálou oálí úrokoou írou olíe. r f r f Příkld 4.5 Jeslže způjčíe kpál s í, že á bude ráce z rok předpokládáe-l ročí oálí úrokoou íru % íru flce uloou, získáe z rok reálě o % íce. Jeslže bude ír flce 5 %, áe z rok reálě o 5 % éě. Získl jse sce kpál zýšeý o %, le z zboží služby ydáe o 5 % íce ež dříe. 5
4.4 Příkldy k procčeí. le, kerý chce ulož č dobu jedoho roku, se ůže rozhodou ez klde kldí kížku, kerá yáší,45 % p.. př složeé ěsíčí úročeí klde spořící úče, kerý je úroče,5 % p.. př pololeí úročeí. erá z ěcho ler bízí yšší ýos? [spořící úče]. Jká ročí efekí úrokoá ír je ekleí 8% p.. př ěsíčí frekec? [,89995] 3. Bez použí efekí úrokoé íry spočíeje kolk se zúročí počáečí kld č, č, č, č, č, č př oálí úrokoé szbě 3 % p.. př ěsíčí úročeí z dobu pě le. Dou úlohu řeše poé z použí efekí úrokoé íry ýsledky poroeje. Pokud se ýsledky lší, zdůoděe proč. [9,89 č; 98,86 č; 9 88,57 č; 9 885,65 č; 98 856,54 č; 9 885 653,5 č] 4. dspozc áe l. č. Uložl jse uo suu úče, kerý je úroče 3 % p.. př ročí přpsoáí úroků.. olk č áe k dspozc po dou leech? b. olk s ůžee koup kusů ýrobku, jehož jedokoá ce je 5 č, pokud o ce zůse zchoá po dou leech? c. olk byse s ohl koup kusů dého ýrobku po dou leech, pokud by flce prí druhý rok byl sejá e ýš,5 % z rok? d. olk kusů ýrobku byse s ohl koup po dou leech, pokud byse usel pl dě z úroků ebyl by flce? e. olk kusů ýrobku byse s ohl koup po dou leech, pokud byse usel pl dě flce by byl e ýš,5 % ročě? f. olk kusů ýrobku byse s ohl koup po dou leech, pokud byse usel pl dě flce by byl e ýš,5 % prí rok 3 % druhý rok? [. 6 9 č; b. ; c. ; d. ; e. ; f. 99] 5
5 Spořeí V přecházející čás jse s ukázl, jk zjs koečou ebo počáečí hodou kpálu, přčež se jeho hodo průběhu čsu eyšol esžol. Př spořeí budee předpoklád, že ukládáe kpál (peěží čásku) prdelých erlech, ší úkole bude zjs, kolk uspoříe s úroky z určou dobu. Spořeí rozdělíe : spořeí krákodobé rác jedoho úrokocího období (roku) spořeí dlouhodobé spoříe ěkolk úrokocích období po sobě 5. Spořeí krákodobé Předpokládeje, že úrokocí období je jede rok úroky jsou přpsoáy jedou ždy koc roku prdelé čásky budee uklád -krá z rok ( ; 4 ; ) Podle oho, zd budee kpál uklád počáku kždé -y roku ebo koc kždé -y roku, budee rozlšo: spořeí předlhůí spořeí polhůí 5.. Spořeí krákodobé předlhůí Předpokldy: počáku kždé -y roku budee uklád č př úrokoé szbě celkoá ročí spořeá čásk se bude edy ro č + úrok Proože se pohybujee rác jedoho úrokocího období, použjee pro zjšěí ýše úroku jedoduché úročeí. 53
54 Tbulk 5. Úroky z jedolých kldů Pořdí kldu Poče do koce roku Úrok z kldu do koce roku 3 Celkoý úrok ypočíáe jko souče úroků z jedolých kldů. Tedy: u kde ýrz je recká posloupos její souče bude: S eboť ; ; Celkoá uspořeá čásk S z rok, jeslže kždou roku spoříe z č, bude: S Jeslže spoříe č kždou roku, poo ůžee celkoou čásku spořeou z jede rok yjádř: S Víe-l, kolk bude č celkoá uspořeá čásk z č, poo z čásky bude celkoá spořeá čásk -krá ěší.
Příkld 5. olk uspoříe čeě úroků do koce roku, jeslže ukládáe počáke kždého ěsíce č př úrokoé szbě 5 % p..? Řešeí: Obecě: Nuercky: S S,5 44,783 479 č Do koce roku uspoříe 4 79 č. 5.. Spořeí krákodobé polhůí Předpokldy: koc kždé -y roku budee uklád č př úrokoé szbě celkoá ročí spořeá čásk se bude edy ro č + úrok Proože se pohybujee rác jedoho úrokocího období, použjee pro zjšěí ýše úroku jedoduché úročeí. Tbulk 5. Úroky z jedolých kldů Pořdí kldu Poče do koce roku Úrok z kldu do koce roku Celkoý úrok ypočíáe jko souče úroků z jedolých kldů. 55
56 Tí, že čásky jsou ukládáy ždy koc příslušého období (čás roku), je opro předlhůíu spořeí poče ěcho období (po keré je kld úroče) o jedo období žší. Z posledí úložky jž ebudee í žádý úrok, eboť bude ulože koc roku. Celkoý úrok ypočíáe obdobě jko u předlhůího spořeí. Tedy: u kde ýrz je recká posloupos její souče bude: S eboť ; ; Celkoá uspořeá čásk ' S z rok, jeslže kždou roku spoříe z č, bude: S ' Jeslže spoříe č kždou roku, poo ůžee celkoou čásku spořeou z jede rok yjádř: S ' Víe-l, kolk bude č celkoá uspořeá čásk z č, poo z čásky bude celkoá spořeá čásk -krá ěší. Příkld 5. olk uspoříe do koce roku, jeslže ukládáe koce kždého ěsíce č př 5 % p..? Řešeí: Obecě: S '
57 Nuercky: č S 73 4,96 44,5 ' Do koce roku př polhůí spořeí uspoříe 4 73 č. Ze zákldích zorců ůžee odod dlší ýrzy, keré použíáe podle pořeby pro ýpoče ýše kldu dosžeí spořeé čásky koc roku ebo pro ýpoče úrokoé szby. Výpoče ýšky kldu předlhůí: S polhůí: S ' Výpoče úrokoé szby předlhůí: S polhůí: ' S Příkld 5.3 olk usíe spoř počáku kždého ěsíce, bycho z rok spořl č př 5 % p..? Řešeí: Obecě: S
Nuercky: 8, 36 č,35,5 Abycho z rok uspořl č, usíe uklád zčáke kždého ěsíce 8,36 č. Příkld 5.4 Jká je proceí ročí úrokoá szb, jeslže z jede rok uspoříe č ukládáe koce kždého črleí 4 č? Řešeí: Obecě: Nuercky: ' S 4,46,6, 4 4 4 Poždoou čásku uspoříe z rok př úrokoé szbě, % p.. 5. Spořeí dlouhodobé O dlouhodobé spořeí hooříe ehdy, jeslže rá déle ež jedo úrokocí období (př. jede rok). Budee předpoklád, že rác úrokocího období ukládáe peěží čásku ždy zčáku ebo koc úrokocího období. Dá peěží čásk bude ždy sejá. Použjee složeé úročeí. Vzorce budee odozo pro úrokocí období jede rok. Pokud bycho chěl odod zorec pro jé (př. ěsíčí) úrokocí období, posup by byl zcel sejý, je bycho zěl še, co se ýká ročího úrokocího období (ročí úrokoá ír, poče celých le spořeí, ukládáí zčáku resp. koc roku), z pojy ( čísl) zhující se k oéu úrokocíu období (ěsíčí úrokoá ír, poče celých ěsíců spořeí, ukládáí zčáku resp. koc ěsíce). Př koéo odozoáí je ué dodrže logku, kerá bude uede íže příkldu ročího úrokocího období. 58
5.. Spořeí dlouhodobé předlhůí N počáku kždého úrokocího období ( še přípdě počáku kždého roku) ukládeje čásku. Nší úkole bude zjs, kolk budou č úspory koc -ého období př úrokoé szbě. Pro určeí celkoé uspořeé čásky čeě úroků koc -ého období ypočíáe ýš kldů z kždý rok ž do koce -ého roku, yo uspořeé čásky sečee. Páe se edy, kolk á přese kždá úložk ž do koce spořeí. Tbulk 5.3 Hodo jedolých kldů ž do koce spořeí Pořdí úložky Poče období uložeí peěží čásky do koce spořeí Celkoá hodo koc posledího období oečý s úspor S ypočíáe jko souče hodo jedolých úložek koc -ého období. S Výrz hré záorce je geoercká řd, kde čleů je. Proože íe, že pro souče geoercké řdy plí, koce q poče S q q ůžee pro souče S psá S. S Jeslže č, poo ýrz: s 59
6 zýáe sřdele předlhůí udáá á, kolk ušeříe z období př úrokoé szbě, jeslže počáku kždého období uložíe č. Poo pro ýš koečé hodoy ůžee yuží zkráceého zorce: s S Výpoče elkos kldu (spláky, úložky) s S S Výpoče doby spořeí S S S S l l S l l S l l Příkld 5.5 olk uspoříe z 8 le, jeslže budee uklád počáku kždého roku 5 č př eěé úrokoé szbě 5 % p..? Řešeí: Obecě: S Nuercky: 53,8 9,5498875785 55,5,5,5 5 8 S Z 8 le uspoříe 5 3,8 č.
5.. Spořeí dlouhodobé polhůí Jeslže ukládáe peěží čásky koc úrokocího období ( še přípdě koc roku), hooříe o spořeí polhůí. Chcee ypočí, kolk uspoříe z období, jeslže ukládáe koc kždého období peěží čásku. Tbulk 5.4 Hodo jedolých kldů ž do koce spořeí Pořdí Poče období uložeí peěží úložky čásky do koce spořeí Celkoá hodo koc posledího období oečý s kldů S koc -ého období je opě dá souče geoercké řdy (hrá záork) S Přo q ; Poo souče geoercké řdy bude Jeslže č poo ýrz S S s zýáe sřdele polhůí udáá á, kolk ušeříe z období př úrokoé szbě, jeslže koc kždého období uložíe č. Poo pro ýš koečé hodoy ůžee yuží zkráceého zorce: S s 6
Výpoče ýše kldu (spláky, úložky) S S s Výpoče doby spořeí S S S S l l S l l S l l Příkld 5.6 Z jk dlouho uspoříe 5 č, jeslže koce kždého roku ukládáe 7 č př eěé úrokoé szbě 5 % p..? Řešeí: Obecě: Nuercky: S l l 5,5 l 7 l,5,35386496 6,59,487964 Abycho uspořl 5 č př dých podíkách, usíe spoř íce ež 6 roků. Je edeí, že spoř ecelé úrokoé období elze (přesěj řečeo lze, le porušl bycho celou logku spořeí), proože ukládáe prdelě koc (přípdě zčáku) období eůžee dá posledí kld uprosřed úrokocího období (z uedeých předpokldů). 6
U ýše uedeého příkldu budee í po 6 leech spořeo 47 63,39 č. Zbýjící suu do poždoé čásky obdržíe poocí jedoduchého (jse rác jedoho úrokocího období) úročeí (pokud bycho přesáhl celé úrokocí období, použjee koboé úročeí). Pokud bycho edy yšl z spořeé čásky zdé úrokoé szby pokud bycho uo suu úročl celý rok, obdržel bycho koc roku 49 994,6 č. Pokud bycho k éo čásce přdl dlších 7 č, přesáhl bycho zčě poždoou čásku (kokréě bycho ěl 56 994,6 č, což odpoídá spořeí z dých podíek po dobu 7 le). Je edy oázkou, co chcee přesě spočí. Pokud chcee lzo kldy, budee spoř 6 le dlších 36 dí (j. rok de) echáe čásku spořeou z 6 le úroč. V še přípdě budee í po 6 leech spořeí roku úročeí k dspozc čásku 49 994,6 č, kerá se z dlší jede de zúročí čásku 5,3694 č. Poždoou čásku z šeho příkldu ío způsobe přesáhee o zhrub č. Přčež jse uložl celke 4 č. Pokud echcee lzo kldy, le chcee spoř álě zdou čásku, zokrouhlíe ýsledek ýpoču (6,59) celé číslo horu, j. še kokréí přípdě 7 le. Nspoříe k čásku 56 994,6 č, přčež jse uložl celke 49 č. 5.3 obce krákodobého dlouhodobého spořeí V pr ěšou spoříe íce roků peěží čásky ěšou ukládáe prdelě kždý ěsíc (přípdě jých prdelých erlech) edy -krá z rok. Sejě jko u předcházejících úloh rozdělíe oo spořeí spořeí předlhůí polhůí podle oho, kdy budee peěží čásky uklád. 5.3. oboé spořeí předlhůí Chcee zjs, kolk uspoříe do koce -ého roku, jeslže budee uklád peěží čásku počáku kždé -y roku. Nejdříe ypočíáe, kolk uspoříe čeě úroků koc prího roku, což zjsíe ze zhu pro krákodobé předlhůí spořeí. Tuo čásku budee í k dspozc ždy koc roku. Tí jse přeedl úlohu přípd, kdy koce kždého roku uložíe čásku, kerou jse užol u dlouhodobého spořeí. Tuo čásku hrdíe uspořeou čáskou S. S S 63
64 Tedy: S Z dého ýrzu díe, že jse pro ýpoče celkoé uspořeé čásky použl dlouhodobého polhůího spořeí, když jse jedolé čásky ukládl počáku kždé -y roku. Je o dáo í, že spořeá čásk S je lsě ukládá (spoře) ždy koc kždého roku. Výpoče ýše kldu S Výpoče doby spořeí Použjee zorec pro polhůí dlouhodobé úročeí odozeý dříe S l l z dosdíe ýsledý zorec edy bude ( S hrdíe S pro předlhůí spořeí) S l l Příkld 5.7 olk uspoříe z le, jeslže spoříe zčáke kždého črleí 5 č př eěé úrokoé szbě 5 % p..? Řešeí: Obecě: S
Nuercky: S 4 4 5,5 4,5,5,35,577895 979,5 Př soeých podíkách uspoříe z le 9 79,5 č. Příkld 5.8 olk usíe spoř počáke kždého ěsíce, bycho z le uspořl l. č př eěé úrokoé szbě 5 % p..? Řešeí: Obecě: S Nuercky:,5,5,5,35,577895 Př soeých podíkách usíe ěsíčě spoř 6 45,68 č. 645,68 5.3. oboé spořeí polhůí Př řešeí éo úlohy budee posupo obdobý způsobe jko př spořeí předlhůí. Opě hrdíe čásku spořeí krákodobý polhůí S. ' ' S S Tedy: S 65