Okruhy z učiva středoškolské matematiky pro přípravu ke studiu na Fakultě bezpečnostního inženýrství VŠB TU Ostrava

Transkript

1 Okruhy z učiv sředoškolské memiky pro příprvu ke sudiu Fkulě ezpečosího ižeýrsví VŠB TU Osrv I Úprvy lgerických výrzů, zlomky, rozkld kvdrického rojčleu, mociy se záporým epoeem, mociy s rcioálím epoeem, odmociy, děleí mohočleu mohočleem. II Fukce, jejich defiičí oory, vlsosi grfy: lieárí, kvdrické, lieárí lomeé, goiomerické, epoeciálí logrimické. III Rovice erovice o jedé ezámé lieárí, kvdrické, s soluí hodoou, s prmerem, ircioálí, sousvy rovic erovic. IV Logrimy, logrimické epoeciálí rovice. V Goiomerické výrzy, rovice jedoduché erovice. VI Alyická geomerie lieárích úvrů: vekory souřdice, zákldí operce, sklárí souči; přímk v roviě prmerické rovice, oecá rovice, směricový úsekový vr rovice přímky, odchylk dvou přímek; rovi v prosoru prmerické rovice, oecá rovice její úsekový vr.

2 I Úprv lgerických výrzů. Vypočěe: ) y z y 6 z 6 ) y : y [ 8. Určee ejmeší společý ásoek mohočleů: ),,6 6 ( ) [ ) ( c )( c )(, ( )(, )( [( ( ( ). Proveďe děleí: ) ( 6 ) : ( ) ( ) ) ( ) : ( ) 6 ( ) 6 ( ) : ( ) ( ). Uprve sove podmíky: ), ) [, >,

3 6 [, > ( ) ( ) ( ) ( ) : [, ± e) >,. Uprve lgerické výrzy: ) ( ) ±,, ) : ±,, [,,, ) ( [,,, e),, f) y y y y ± y,,y, y g) ( ) ±,,,

4 h) [,, i) [, 6. Zjedoduše udeje podmíky eisece výrzů: ) ( ) [,, ) ±,, 6 m m m m,m,,m m m,,, e).,,, ), /( 7. Rozlože součiy, resp. Uprve kráceím: ) ( )( ) [ ) ( ) ( ) [, 7,, 7 6,,

5 e) ( )( ),, II Fukce. Do éže sousvy souřdic črěe grfy fukcí vyzče důležié ody (průsečíky s osmi y, vrcholy pod.) ) y = y = y = ( ) y = ( ) ) y = y = y = y = y = y = y = y = y = e) y = y = y = f) = y = y log g) y = log y = log y = log( ) h) = log y = log = log y y i) y = si y = si y = si pro π, π j) y = g y = g y = g pro π, π k) y = co g y = co g y = co g pro, π l) y = cos y = cos y = cos y = cos pro, π. Určee defiičí oor fukce: ) y = [(, ) (, ) y = 9 [,

6 y ( ) [ = (, ) (, cos y = si [(, e) y = log( ) [(, f) y = log( ) [(, ) (,. Určee defiičí oor fukce: ) ) y = log l y = le y = l [(, ) [(,) (, ) [(, y = ll e) y = llsi [(, [ III Rovice erovice. Řeše rovice: 8 ) = [ ) y 7y 8 y 8 y y y = y [ emá řešeí =, je prmer, 7 =,, jsou prmery [,. Pro kerá, resp. y je splě erovice: ) ( y ) ( y 6) > 8y [(,)

7 8 ) 6 [(, ) ( 6,. Řeše erovice: ) ) < [ [(, 7) (,. Řeše erovice: ) < (, ), ) [(, ) (, y y y [(,) ( 8,. Pro kerá m má rovice ) ( ) = m koře věší ež [(, ) (, ) m m = o kořey záporé [ m > 6. Zjisěe, kerá resp. y vyhovují erovici: ) y 9 > y v ooru přiroz. čísel [,,..., ) <, y y [ kzde rle cislo > v ooru celých čísel [,,,

8 7. Vyřeše rovice erovice: ) 7 = ) y y = [(, > [(, ) y y < y [ emá řešeí e) [ kzde rele cislo f) > 6,, 8. Řeše v R, je ezámá,, m jsou prmery: ) = [pro = je rovice splě pro jkékoliv, pro má rovice jedo řešeí =- ) m m m m = [pro m=- rovice emá řešeí; m m pro m ±, eisuje jedié řešeí = m 9. V RR příp.rrr řeše sousvy rovic jiou meodou ež doszovcí: ) y y =, = ( 6,9) [ ) 7, = = y y, ( ) py =, p py = p, 6p p ( 6p),pro p,p 6 y, z = = = y z [(,, )

9 = = = [(,, ) e) y, z, y z. Řeše sousvy rovic: ) ) = 7, = (,)(, )(, )(, ) y y y y y [ [ = 7, = (, )(,) = = [(, )(, ) y y, y y. Kerá reálá čísl vyhovují rovici: 7 ) 9 = 7 ) ( ) ( ) ( ) = ( ) 8 = = [ e) 9 = [ emá řešeí f) (, >. Kerá přirozeá čísl vyhovují erovicím: ) < ( ) < [,,6 ) [. Grficky vyřeše sousvu erovic: Keré dvojice přirozeých čísel vyhovují? [(,, )(, ) ) y 6, y 6

10 ) y< 6, 6y > 7 >, Keré dvojice celých čísel vyhovují? (, )(, )(, )(, ) y y [. Řeše rovice: ) 6 =, je-li jede z kořeů číslo ) 8 =, jesliže má koře ( i),, [ i, i,, IV Logrimy. Logrimické epoeciálí rovice. Sove z k, y ) log z = ) log z = [ [ log z, =. Určee: ) log [ ) log 8 [ log log [. Co je věší ) log eo 7 ) log eo log 7 log [ 7 log [ log

11 . Zjedoduše výrz: ) log log loge log( ) e log, >, > log, >, >,c > c ) log log log( c ) log( ). Určee výrz, jehož logrimováím doseme: logc ) ( log log) log( ) ( ) ( ) c, >, >,c > logc ) log ( ) ( logc log) ( ) c c, >, >,c > 6. Určee všech řešeí rovic v ooru reálých čísel: [ 9 ) log( ) log( ) = log 8 log ) = log( ) [. log log y log log y = ; = 6 [, log( ) log( ) = [ [ e) log ( ) log( ) = log( ) f) = log log ( ) [ emá řešeí 7. Řeše rovice: ) 7 = 8 7

12 ) 9 = 6 9 = [, y =, y y =, V Goiomerické výrzy, rovice erovici. Zjisěe, kdy plí erovice: π π ) g < kπ, kπ),k celé 7π π ) siy <. y kπ, kπ,k celé 6 6 π π π π cos α < ε < k, k ),k celé 6 6 β co g < π β kπ, ( k ) π,k celé. Dokže, že pro úhel plí: cos co g ) = si co g g g ) = cos si Npiše podmíky pro. π k π k. Zjedoduše dé výrzy určee, kdy jsou reálé: ) si cos π si cos, k cos ) g co g π, k

13 cosα siα siα cosα π gα, α k siα siα cos α si, α α π kπ. Řeše rovice: π ) g = co g ± kπ π ) si = si = kπ, ± kπ si cos si = [ = k6, k6,7 k6 [ = 6 9 k8, k8 g co g = e) si si cos = [ = k8,6 k8 f) si cos = [ = k6,6 k7, k7 g) si 7si cos 6cos = ˇ [ = 8 k8, k8 VI Alyická geomerie. V rojúhelíku ABC ( A[;-, B[;6, C[-; ) jděe rovici ěžišě z odu C. [ - y =. jké úseky voří osách souřdic přímk jdoucí ody A[;,; B[-,-. [p = -, q =. Určee rovici přímky jdoucí odem A[6,; kerá osách vymezuje úseky, jejichž souče je. [ y -=, 6z Určee pro keré hodoy prmeru přímk ( ) ( 9)z 8 =

14 ) je rovoěžá s osou, ) je rovoěžá s osou y, prochází počákem. Npiše rovici ěcho přímek. [ ) - y = ) - 6 = ; 8 = - 6y = ; - 8y =. Jká je rovice přímky jdoucí odem A svírjící s osou úhel ϕ v přípdech: ) ) A [6, = [ = ϕ 6 z 6 ϕ [ y = A [, = ϕ [ y 6 = A [, = 6. Jká je rovice přímky, kerá prochází průsečíkem přímek y =, y = je rovoěžá s přímkou y =. [ 6 y = 7. Jkou vzdáleos má od M [;7 od přímky určeé ody A [-, B [, - [d=6