Úvod do analýzy časových řad

Transkript

1 VŠB TU OSTRAVA, FEI, KATEDRA APLIKOVANÉ MATEMATIKY Úvod do lýz čsových řd [Zdeje podiul dokueu.] Mri Lischová

2 Popis čsových řd Čsová řd je uerická proěá, jejíž hodo podsě závisí čse, v ěž bl získá (posloupos chroologick uspořádých pozorováí). Čsové okžik, kd bl d získá, jsou od sebe věšiou sejě vzdále. Jde příkld o poč vrobeých předěů v jedolivých ěsících, poč uoobilových ehod Brdovské osě v jedolivých ěsících, deí produkce lék Veselé kráv. Popis poocí popisých sisik (krbicové grf, se & lef) poskuje dobrou předsvu o vlsosech čsové řd jko jedoho celku d, le eposkuje iforce o její čsové vývoji (dojivos kráv Milk). Zákldí poj Čsové řd lze klsifikov podle růzých hledisek, př.: podle chrkeru d, jejichž hodo voří čsovou řdu čsové řd iervlové - d závisí délce iervlu, kerý je sledová (př. ěsíčí výrob ceeu v ČR) čsové řd okžikové - d se vzhují k určiéu okžiku (poče zěs.v podiku v r (viz. Př..3)) podle periodici, s jkou jsou d sledová čsové řd údjů ročích čsové řd krákodobé podle druhu sledových d čsové řd bsoluích ukzelů ěsíčí výrob ceeu čsové řd odvozeých chrkerisik př. čsová řd kuuliví (kuálí sv výrob ceeu) Mri Lischová Sr

3 Očišěí čsové řd o důsledk kledářích vricí Chcee-li porováv jedolivé hodo u iervlových krákodobých čsových řd, usí se o hodo vzhov ke sejě dlouhý čsový iervlů. Očišěí ěsíce sdrdí ěsíc o délce 3 dů údj z kždý ěsíc se vdělí poče dů v ěsíci vásobí se 3, souče ěsíčích údjů z rok poo odpovídá roku o délce 36 dí sdrdí ěsíc o délce 365/ dů souče ěsíčích údjů z rok odpovídá délce roku 365 dí očišěí prcoví d provádí se obdobě jko očišěí ěsíce Shrováí údjů čsových řd iervlové řd shrováí se provádí poocí prosých součů ebo rie. prů. okžikové řd shrováí se provádí v přípdě sejých vzdáleosi ezi jedolivýi okžik poocí prosého chroologického průěru, v přípdě esejých vzdáleosi poocí vážeého chroologického průěru Nechť čsový okžiků,,, odpovídjí hodo čsové řd,, : Prosý chroologický průěr:... Vážeý chroologický průěr: Mri Lischová Sr 3

4 Zákldí chrkerisik čsových řd Chrkerisik, keré si dále uvedee vždují sejou délku čsových iervlů v iervlových čsových řdách ebo sejé vzdáleosi ezi okžik zjišťováí v okžikových čsových řdách. Absoluí přírůsk =, =,3,, =, = 3,4,,, d. Průěrý bsoluí přírůsek = = = Reliví přírůsk δ = =, =,3,, Koeficie růsu k,3,..., Průěrý koeficie růsu k k k k 3... Př. : Měsíčí výrob ceeu v ČR běhe roku 99 voří čsovou řdu 536, 384, 77, 789, 87, 798, 87, 86, 87, 765, 675, 358 (v is. u). Pro účel srováí ěsíčí produkce ceeu sesve čsovou řdu produkcí pro sdrdí ěsíc o délce 3 dů 365/ dů. Řešeí: Pro očišěou výrobu v ledu plí (výchozí i očišěé údje jsou uvede v ásledující bulce): ) sdrdí ěsíc o délce 3 dů ,7 3 Mri Lischová Sr 4

5 b) sdrdí ěsíc o délce 365/ dů , 3 Pro dlší ěsíce provedee očišěí podobě. Měsíc Výrob Poče dí v ěsíci Výrob z 3 dů Výrob z 365/ dů Lede Úor Březe Dube Kvěe Červe Červeec Srpe Září Říje Lisopd Prosiec Př. : N zákldě údjů ásledující bulk určee průěrou ročí výrobu s v ČR v leech : Rok Výrob s (is. u) Řešeí: Jedá se o iervlovou čsovou řdu. Pro výpoče průěré výrob s použijee prosý rieický průěr: is.u živé hoosi 5 V leech se v ČR vrobilo průěrě 54 is. u s ročě. Mri Lischová Sr 5

6 Př. 3: V ásledující bulce jsou uvede údje o poču zěsců určiého podiku. Určee průěrý poče zěsců v podiku v roce 99. Du Poče zěsců Řešeí: Jedá se o čsovou řdu okžikovou. Proože ezi jedolivýi okžik jsou sejě dlouhé čs. iervl, použijee pro výpoče prosý chroologický průěr Průěrý poče zěsců v r. 99 bl 4,5. 4,5 Př. 4: Určee průěrý poče obvel ČR v leech 98 99, áe-li k dispozici ásledující údje: Rok Poče obv. (is.) Řešeí: Jedá se o čsovou řdu okžikovou. Proože ezi okžik zjišťováí jsou iervl esejé délk, použijee pro výpoče průěrého poču obvel vážeý chroologický průěr = 337,7 Průěrý poče obvel ČR v leech bl cc.,3 ilióů. Př. 5: Pro čsovou řdu hodo průěré ěsíčí zd prcovíků sáího družsevího sekoru árodího hospodářsví v ČR v leech (69, 757, 88, 858, 9, 944, 35, 338, 347) vpočěe: Mri Lischová Sr 6

7 ) bsoluí přírůsk průěrý bsoluí přírůsek, b) koeficie růsu průěrý koeficie růsu, c) druhé diferece. Řešeí: k , , , , , , , , ,35 4 d) Absoluí přírůsk jsou uvede ve řeí sloupci bulk (př ) Průěrý bsoluí přírůsek: 6, 67 Průěrá ěsíčí zd soupl v leech prů. o 6,-Kč z rok. db) Koeficie růsu jsou vpoče ve čvré sloupci bulk 757 (př. k 98, 4 ) Průěrý koeficie růsu: k 9, 69 Průěrá ěsíčí zd soupl v leech v průěru o,%. dc) Druhé diferece (bsoluí přírůsk. řádu) jsou vpoče v páé sloupci (př. 983 = 5 65 = 4) Mri Lischová Sr 7

8 Rozkld čsových řd V éo čási bude ší shou rozloži čsovou řdu souče (ebo souči) ěkolik složek, z ichž kždá bude podsě jedodušší bude í jsou ierpreci. Těio složki budou: Tred D Sezóí složk S Cklická složk C Náhodá složk E Budee-li se sži rozloži čsovou řdu {X } souče složek, budee předpoklád, že ho lze zps ve vru: X = D + S + C + E Touo způsobu rozkldu čsové řd říkáe diiví rozkld. Tred Odráží dlouhodobý vývoj (obvkle růs ebo pokles, le obecě eusí bý o složk ooóí) dého procesu. Co je dlouhodobé? (růs eplo běhe de z pohledu lžře, zeědělce, eeorolog). Sezóí složk Odráží periodické zě, keré se ohou v dé řdě projevov, jejich period je svázá s kledáře (jí periodu jedu hodiu, jede de, ýde, ěsíc, rok, soleí ). Velký výz v ekooii, eeorologii Cklická složk Odráží periodické zě, keré se ohou v dé řdě projevov, jejichž period eodpovídá délce ějké kledáří jedok. V echických vědách se sezóí složk obvkle euvžuje všech periodické jev se zhrují do cklické složk. Náhodá (reziduálí) složk Zbývá v čsové řdě po odsrěí redu, sezóích cklických složek. Mri Lischová Sr 8

9 Je voře áhodýi flukucei, keré ejí žádý sseický chrker. Ndále budee prcov vžd s áhodý procese s ěkerou jeho relizcí. Pro odlišeí budee čsové řd ozčov velkýi píse (př. X ) jejich kokréí relizce lýi píse (př. x ). Zlos kždé jedolivé složk á uoží příkld lepší odhd vývoje dého procesu do budouc (predikci). Hledáí redu Všech eod hledáí redu vcházejí z podobé předsv. Uvžuje čsovou řdu X jko souče ějkého redu zbkového (reziduálího) procesu. Ted X = D + E. Tredovou složku se budee sži vjádři poocí ějké křivk závislé ěkolik álo prerech. Chcee-li odhdou hodou redu v ějké čsové okžiku, usíe eliiov vliv šuu. Přehled ejběžějších redových křivek Lieárí red D,,..., Odhd prerů, získáe eodou eješích čverců (viz. lieárí regrese). Kvdrický red D,,..., Odhd prerů,, získáe eodou eješích čverců plikovou rovici rsforovou prosředicví subsiuce i = i. Mri Lischová Sr 9

10 Mri Lischová Sr Expoeciálí red,,...,. D Odhd prerů, získáe eodou eješích čverců plikovou rovici lierizovou prosředicví logriu. Modifikový expoeciálí red D,..,, Odhd prerů provádíe eodou čásečých součů. Soubor pozorováí rozdělíe 3 sejé velké čási o délce (eplí-li = 3, vecháe ebo pozorováí zčáku) sečee pozorováí v jedolivých čásech. Odhd k, i b prerů (D = k + ) odifikového expoeciálího redu dosee řešeí ří elieárích rovic: Kždá relizce usí vhovov rovici: = k + k k k 3 3 To rovice uprvíe vr: k k k 3 odud:

11 = =+ = k Logisický red D,,...,, Proože rsforcí logisického redu vr: D získáe odifikový expoeciálí red s prer,, lze při odhdu preru plikov výše popsou eodu čásečých součů. Volb vhodého odelu redu Při hledáí ejvhodějšího pu redu vcházíe předevší z předpokládých vlsosí redové fukce, vplývjících z eoreického rozboru. Výběr usdí grfické zázorěí čsové řd. Kroě oho lze vuží esů zložeých jedoduchých chrkerisikách čs. řd (viz. íže uvedeá bulk). Tred Tes Lieárí Prví diferece přibližě kosí Kvdrický Druhé diferece přibližě kosí Expoeciálí Koeficie růsu přibližě kosí Logisický Křivk prvích diferecí se podobá křivce huso orálího rozděleí Při rozhodováí ezi ěkolik p redových fukcí je vhodé porov hodo ěkerých ásledujících chrkerisik. Mri Lischová Sr

12 Sředí chb odhdu eboli průěr hodo reziduí M. E. = = Y Sředí kvdrická chb odhdu eboli průěr čverců reziduí M. S. E. = = Y Sředí bsoluí chb odhdu eboli průěr bsoluích hodo reziduí M. A. E. = = Y Sředí chb proceuálí eboli průěr hodo reziduí děleých odpovídjící hodoou čsové řd (v proceech) M. P. E. = Y = Sředí bsoluí chb proceuálí eboli průěr bsoluích hodo reziduí děleých odpovídjící hodoou čsové řd (v proceech) M. P. E. = Y = Z uvedeých kriérií se ejčsěji používá průěr čverců reziduí M.S.E. Obecě dáváe předos odelu, u ěhož je hodo M.S.E. ejižší. Př. 6: Pro čsovou řdu hodo spořeb s (v kg) obvele v ČR v leech 98 ž 989 (viz. b.) vpočěe průěrý ročí přírůsek spořeb s ) poocí krjích hodo čsové řd, b) poocí vrováí regresí příkou. c) Odhděe velikos spořeb s v r. 99 z předpokldu, že se dosvdí chrker čsové řd ezěil. Mri Lischová Sr

13 Řešeí: Rok 98 83,9 83, ,8 4 75,6 3, ,7 9 66,, , ,, , ,, , ,, , 49 67,7, , ,,3 souče 36 78, ,7 x 97,4 83,9 ), 93 7 Velikos spořeb s v r. 99 lze odhdou 99,33 (97,4+,93) kg/obvel. b) Vzhlede k ou, že hodo prvích diferecí lze povžov z sálé (evkzují i rosoucí, i klesjící edeci), ůžee použií lieárího odelu povžov z opodsěé. Aplikujee eodu eješích čverců:. Souče čverců reziduí Souče čverců reziduí iilizujee: = = Dou sousvu uprvíe vr: = = Řešeí lezee ve vru: = = Mri Lischová Sr 3

14 Po doszeí: , , ,3 36, ,86,8 D 8,86, 8 [kg] Spořeb s Yˆ 9 D9 8,86,8.9 99, Velikos spořeb s v roce 99 lze odhdou 99, kg/obvele. Mri Lischová Sr 4

15 Př. 7: Uvžuje čsovou řdu (viz. b.) udávjící spořebu ásl (v kg) obvele ČSFR v leech Vroveje dou řdu prosředicví kvdrického redu. Odhděe spořebu ásl v roce 99. Řešeí: Použijee eodu eješích čverců plikovou rsforový odel víceásobé regrese. Rok = = = = 3 = 4 = = 98 8,3 8,3 8,3 98 8, ,8 33, , ,7 79, , ,4 37, , ,, , ,8 36, , ,9 46, , ,6 556, , ,4 696, ,5 85, 85, 99 8, ,7 5,7 souče 66 94, ,6 4377,9 Původí rovice: Subsiuce: =, = Souče čverců reziduí: Miilizce: Po úprvě: = = = = Mri Lischová Sr 5

16 = = V řešeí éo sousv (ři rovice o řech ezáých) spočívá práce sisických progrů určeých k zprcováí čsových řd (přesěji, k hledáí kvdrických redů). [kg] 9 8,9 8,8 8,7 8,6 8,5 8,4 8,3 8, Spořeb ásl D 8,3,6, Spořebu ásl v roce 99 odhdee prosředicví redu jko D. D = 8,3 +,6. --,. = 8,4 kg / obvele. V roce 99 odhdujee spořebu ásl 8,4kg/obvele. Př. 8: Pro čsovou řdu růsu zisku (v is. dol.) důlí společosi (viz. b.) v prvích šesi leech, určee průěrý koeficie růsu: ) poocí krjích hodo čsové řd, b) poocí vrováí expoeciálí rede. c) Odhděe zisk společosi v ásledujících dvou leech. Mri Lischová Sr 6

17 k l( ).l( ) 4,7 4,7 49,33 4 5,, 3 38, ,47 6, , ,87 3, , ,36 3, , ,77 4,6 souče 3 x 9 34,9 7,3 Řešeí: 867 ) Průěrý koeficie růsu: k 5, 56, o zeá že zisk společosi se kždý rok zvýšil průěrě o 5,6%. Předpověď pro 7.rok: Y 7 = 867.,56 = 35,7 Předpověď pro 8.rok: Y 8 = 867. (,56) = 966,387 b) Vrováí čsové řd expoeciálí fukcí: Koeficie růsu evkzují i rosoucí i klesjící edeci, ůžee je ed povžov z kosí, j. ůžee použí expoeciálí odel redu. D Pro lezeí koeficieů rsforujee dý odel prosředicví logriu použijee eodu eješích čverců. l = l + l b = l b = l Souče čverců reziduí: l b b Miilizce: l b b = l b b = Mri Lischová Sr 7

18 Po úprvě: l b b = l b b = Řešeí sousv: b = b = l b l l = e b = e b Řešeí pro kokréí přípd: b b 6.7,3.34, ,9,4. 6 4,3,4 4,3 e,4 e 68,7,5 D 68,7., 5 [is. $] Zisk důlí společosi Rok Odhd zisku společosi v roce: D 68,7.,5 7 88, 7 8 D8 68,7.,5 958,9 Mri Lischová Sr 8

19 Př. 9: Obje dovozu ze zeí bývlého Sověského svzu je dá čsovou řdou (viz. b.) udou v ilirdách Kč. Předpokládeje, že se jedá o odifikový expoeciálí red. Odhděe jeho prer velikos dovozu v roce 999. Rok 99 57, 99 6, , , , , , , ,6 Řešeí: Odhd prerů eodou čásečých součů (odvozeí viz. Modifikový expoeciálí red): D k = =+ = k , 6,8 7, 9, Mri Lischová Sr 9

20 ,5 9,6 97, 7, 99,9,4,6 3,9 3,9 7, 7, 9, 3 =,733,733,733 3,733 7, 9, = 77,3 3,733 9, 77,3.,733,733 k 3 6,94 [ilird Kč] Obje dovozu Rok D 6,94 77,3., 733 D 6,94 77,3.,733 3,5 Odhd dovozu ze zeí bývlého Sověského svzu v roce 999 je 3,5 ilird Kč. Mri Lischová Sr

21 Klouzvé průěr Jiou eodou hledáí redu je vhlzeí původí čsové řd, j. odsrěí šuu. Jedou z ěcho eod je eod klouzvých průěrů, kd se řd původích pozorováí hrdí řdou vpočeých klouzvých průěrů. To eod je dpiví, z. dokáže prcov s rede, kerý v čse ěí svůj chrker kerý ed elze pops jediou křivkou. Klouzvý průěr je určiou lieárí kobicí p+ čleů původí řd. Čí věší je délk klouzvého průěru, í věší je vhlzeí čsové řd. V přípdě, že zvoleá délk klouzvého průěru je lichá, získáe jejich hodo jko občejé rieické průěr dé délk (prosé klouzvé průěr). Prosé klouzvé průěr Úsek čsové řd o délce p+ vrováe k, že je hrdíe prosý rieický průěre. p p p... p p i p, p,..., p p p i p p hodo zčáku p hodo koci čsové řd zůsává evrováo. Sudá délk klouzvých průěrů se volí je veli zřídk. V přípdě, že délku klouzvých průěrů zvolíe rovu p, používáe zv. cerových klouzvých průěrů. Cerové klouzvé průěr = 4p p + p p + +p = p +,, p Mšlek ohoo vrováí je prosá. K ou, b vrová hodo odpovídl déu období, pořebujee lichý poče čleů v klouzvé průěru. Te získáe ejlépe k, že íso prvího čleu v klouzvé průěru vezee průěr prví posledí hodo dé period.ted klouzvé průěr jí vr = p + +p + p p+ p = 4p p + p p + +p Mri Lischová Sr

22 Př. : Čsová řd (viz. b.) udává ročí obje vývozu piv (v il. l.) z ČSFR v leech 98 ž 99. Vroveje čsovou řdu 3-čleýi 5-čleýi klouzvýi průěr. Řešeí: Rok 3-čleé klouzvé průěr 5-čleé klouzvé průěr , ,333 8, , ,667, , ,333 94, ,333 88, ,333 87, ,333 4, čleý klouzvý průěr v roce 98 = 8, čleý klouzvý průěr v roce 98 = 5, čleý klouzvý průěr v roce 98 = 8, 6 5 d. Volb délk klouzvých průěrů U eperiodických čsových řd se ejčsěji používjí průěr délk 3, 5, 7. Pokud chcee z ší čsové řd odsri sezóí vliv (př. kolísáí hodo běhe ýde, ěsíce ), vužíváe klouzvých průěrů s délkou rovou délce sezóího období. Mri Lischová Sr

23 Čsová řd vrová 3-čleýi klouzvýi průěr Př. : Čsová řd 485, 477, 455, 47, 453, 45, 46, 436, 454, 485, 493, 454, 443, 48, 44, 449, 45, 393, 377, 369, 388, 36 předsvuje ýdeí údje popávk po určié výrobku. Zázorěe grfick vrováí 3-čleýi 5-čleýi klouzvýi průěr. Řešeí: D Kl. průěr délk3 Kl. průěr délk Př. : V ásledující bulce jsou ěsíčí údje ákupu lék v ČR (v il. l) v leech Vroveje čsovou řdu klouzvýi průěr. Mri Lischová Sr 3

24 I II III IV V VI VII VIII IX X XI XII Řešeí: D Kl. průěr délk i čleé klouzvé průěr Jelikož se zřejě jedá o čsovou řdu se sezóí složkou s periodou, zvolíe k vrováí -i čleé klouzvé průěr. (p = 6) Npř. hodou 7 určíe jko Prvích 6 posledích 6 hodo zůse evrových. = 36,5 d. Mri Lischová Sr 4

25 Poče bsolveů oboru zeědělsví D Klouzvé ediá délk ÚVOD DO ANALÝZY ČASOVÝCH ŘAD Meod Kočák (vrováváí koců čs. řd) Jk jse se již dříve dozvěděli, vrováe-li čsovou řdu klouzvýi průěr (ediá) o délce p+, prvích posledích p hodo zůsává evrových. Jedou z ožosí jk koce čsových řd vrov je zkopírováí posledích vrových hodo. Poče bsolveů oboru zeědělsví D Klouzvé ediá délk 5 Z uvedeého grfu je zřejé, že eo způsob vrováváí koců eí ejvhodější. Rozuější způsobe se ukzuje posup KONČÁK. Vrová hodo v posledí čsové okžiku ( ) b ěl odráže chováí čsové řd v iulosi i příoosi předvíd její chováí v budoucosi. Reprezee příoosi je hodo ěřeá v čse ( ), reprezee iulosi je posledí vrová hodo (v čse - ). Jko repreze budoucosi se bere hodo odhdující chováí v čse +. To je příkld hodo prožeé úsečk spojující vrové hodo v čsech - -. Hodo éo úsečk se bere v čse +. Jko vrovou hodou v čse pk beree průěr (edi) z reprezeů iulosi, příoosi budoucosi. Vrováváí počáku čsových řd se provádí obdobě. (Ukže!) Př. 3: Vroveje koce čsové řd z příkldu. eodou Kočák. Použije klouzvé ediá délk 5. Mri Lischová Sr 5

26 Řešeí: Rok 5-čleé klouzvé edi ) Vrováí koce: Repreze 99 =35 příoosi: +*7=45 Repreze, 989= iulosi: 94-94=7 Repreze budoucosi: Repreze 99 =7 příoosi: 35+*4=83 Repreze, 99=35 iulosi: =4 Repreze budoucosi: Mri Lischová Sr 6

27 b) Vrováí počáku: Repreze 98 =4 Repreze, 98=8 příoosi: iulosi: 8+*= 8 8-6= 6 Repreze budoucosi: Repreze příoosi: 98 =5 Repreze iulosi:, 98=8 8 Repreze budoucosi: * Vrováí koců čsových řd D Kopírováí koců Posup Kočák Mri Lischová Sr 7

28 * Lierur:. J. Aděl: Sisická lýz čsových řd, SNTL, Prh, 976. Výukové eriál SPSS: Alýz predikce čsových řd, 3. V. Roglewicz: Sochsické proces, ČVUT, Prh, E. Jrošová: Sisik B, VŠE, Prh, J. Housek, P. Chrz: Moderí eod zprcováí d,grada, Prh, 99 Mri Lischová Sr 8