9. Racionální lomená funkce

Transkript

1 @ 9. Rcioálí loeá fukce Defiice: Nechť P je poloická fukce -tého stupě... ) ( P kde R... A echť Q je poloická fukce -tého stupě... ) ( Q kde R... Rcioálí loeá fukce R je dá podíle ) ( ) ( ) ( Q P R pro všech pro která pltí () Q Pozák: Příý předpis pro rcioálí loeou fukci vpdá tkto: R A) Defiičí oor fukce: Je tře vloučit koře poloické rovice... Jejich kokrétí hodot elze oecě určit. Je víe že jich je ejvýše růzých (eusí ýt žádý). B) Setrie Oecě rcioálí loeá fukce eí i lichá i sudá i periodická. C) Derivce Vpočítáe derivci podle prvidel v kpitole. D) Fukčí hodot - sptot Rcioálí loeá fukce á oecě dv druh sptot. Vertikálí sptot: Všech od které usíe vloučit proto ve jeovteli el ul (tj. koře poloické rovice Q() = ) jsou průsečík sptot rovoěžých s osou. Grf fukce se k těto sptotá zlev eo zprv čí dál tí víc líží le eprote je.

2 Šiké sptot: Mohou le eusí ýt. Závisí to stupích poloických fukcí v čitteli jeovteli rcioálí loeé fukce. Viz dále. E) Průsečík se souřdýi osi s osou Pokud eí = vloučeo z defiičího ooru pk jde o od R() = / s osou z defiičího ooru. Všech koře poloické rovice P() = pokud ejsou vlouče Úkol: Lieárí loeá fukce je zvláští přípd rcioálí loeé fukce pro přípd = = = - = +

3 @57 Správě. Podík = = vede k předpisů lieárí loeou fukci Úkol: Která dlší podík stupě poloů P() Q() rcioálí loeé fukci vede k lieárí loeé fukci? pokrčováí

4 @6 Příkld: Sestrojte průěh (grf) fukce f : 3 4 Řešeí: A) Defiičí oor fukce: Ve jeovteli esí ýt ul proto se usí z defiičího ooru vloučit od ±. N zeí že jde o vloučeé od z defiičího ooru uděláe v ich v tulce dvojitou čáru. B) Setrie ( ) 3( ) f ) ( ) 4 Fukce eí i sudá i lichá i periodická. ( 3 4 f ( ) C) Derivce ' ( 3)( ( 4) 4) ( 3) 3 ( 8 4) Derivce á stejý defiičí oor jko fukce s. Derivce se rová ule právě pro koře rovice = diskriit D = = 8 < koře eeistují Derivce je pro kždé reálé záporá. Shruto: fukce eá žádý etré v kždé dílčí itervlu je klesjící. D) Fukčí hodot - sptot Máe dv vloučeé od z defiičího ooru proto áe dvě vertikálí sptot. Hodot fukce při přiližováí k odů resp. + (sptotá) se zvšují de všech eze ( ). Zéko určíe podle toho jestli fukce v dé okolí roste eo klesá. Protože = = á fukce ještě horizotálí sptotu =. Tulk vpdá í tkto D f fce D f der f () f() klesjící klesjící klesjící

5 E) Průsečík se souřdýi osi Průsečík s osi jsou od [; ] [-3; ] Úkol: Má rcioálí loeá fukce z podík < (v čitteli je polo ižšího stupě ež ve jeovteli) sptotu? eá žádou sptotu sptotou je os sptotou je přík = +

6 @63 Dosud jse zjistili že rcioálí loeá fukce á sptot rovoěžé s osou eo osu pro přípd. Prozkoueje í přípd kd v čitteli je stupeň polou o jed všší ež ve jeovteli tj = +. Vět: Grf rcioálí loeé fukce kde pltí = + tj. stupeň polou v čitteli je právě o jedičku větší ež stupeň polou ve jeovteli á sptotu o rovici = k + q kde k q Příkld: Grf fukce á šikou sptotu 5 ).(. q k jejíž rovice je = + 5 důkz vět důkz přeskočit pokrčovt

7 @66 Sestrojte grf fukce Řešeí: Protože pro stupě poloů pltí podík = + á fukce šikou sptotu o rovici = +. Uveďe ještě pro kotrolu derivci ( )( ) ( ) 4 ( 3)( 3) ' ( ) ( ) ( ) pokrčováí

8 @69 Správě Protože pltí: 3 3 Je prvd že grf fukce G : odpověď ( )( ( )( 3 : ) ) 3 F je stejý jko grf fukce který jse již vtvořili

9 @55 Bohužel Podíku = - splňuje příkld fukce fukcí. 3 která eí lieárí loeou ávrt

10 @58 Která dlší podík stupě poloů P() Q() rcioálí loeé fukci vede k lieárí loeé fukci? Řešeí: K lieárí loeé fukci vede tké podík = = Úkol: Uvžuje přípd =. Předpis rcioálí loeé fukce vpdá tkto: Proveďte podoou úvhu pro rostoucí de všech eze ( ) jko jse udělli v kpitole 8 u lieárí loeé fukce určete příku která je sptotou z zdých podíek. pokrčováí

11 @6 Úkol: Má rcioálí loeá fukce z podík < (v čitteli je polo ižšího stupě ež ve jeovteli) sptotu? Řešeí: Vtkěe v čiteteli ve jeovteli. Dostee. ) ( ) ( Vzpoeňe si že pltí p k p k Ted levý zloek se líží ule ( >) prvý zloek se líží k podílu koeficietů ejvšších oci poloů čittele jeovtele / celý výrz se líží... Z toho ple že pro velké hodot v kldé i záporé sěru se grf rcioálí fukce z podík < stále více líží tj. ose. Os je pro teto přípd sptotou. Úkol: Sestrojte grf fukce g : výsledek

12 @64 Vět: Grf rcioálí loeé fukce kde pltí = + tj. stupeň polou v čitteli je právě o jedičku větší ež stupeň polou ve jeovteli á sptotu o rovici = k + q kde k q Důkz: Předpokládeje že tková přík eistuje. Její rovici hledáe ve tvru = k + q. Má-li tto přík ýt sptotou zeá to že se pro vsoké hodot + grf fukce čí dál tí více přiká k příce. Ted rozdíl hodot fukce hodot přík pro dé se líží ule. Musíe ted určit podík kd se ude rozdíl q k lížit ule pro + Prvou stru uprvíe převedee společého jeovtele v čitteli seřdíe podle oci. Po troše trápeí dostee ) ( ) ( c c c q k k (koeficiet ci jsou ějké výpočt z původích koeficietů čittele jeovtele le ás ezjíjí protože jsou u oci eších ež ). Víe z předchozí úvh že tkovýto zloek se líží ule pro velká kdž polo v čitteli á ižší stupeň ež je stupeň polou ve jeovteli. A to pltilo pro áš zloek usí pltit q k k Z prví rovosti vpočítáe sěrici přík k Z k dosdíe do druhé rovosti vpočítáe q

13 Tí je důkz provede. q.e.d. pokrčováí

14 @67 Shrutí: 7 rcioálí loeá fukce ázev: rcioálí loeá fukce stupě / předpis: R zřzeí: ptří do skupi rcioálích loeých fukcí defiičí oor: oži reálých čísel R kroě reálých kořeů rovice... oor hodot: elze oecě říci grf: příliš idividuálí křivk: hperol dlší eí pojeováo sptot: á rovoěžé sptot s osou v kořeech rovice... Je-li < pk jedou sptotou je os. Jsou-li = pk á jedu sptotu rovoěžou s osou protíjící osu v odě. Pltí-li =+ pk á jedu šikou sptotu V přípdě >+ eeistuje šiká sptot. fukce iverzí: rcioálí loeá fukce eí oecě prostá fukce iverzí oecě eeistuje derivce: uto použít prvidel pro derivováí kokrétí přípd užití: pozák: zvláští přípd: ěkteré stupě jí zvláští pojeováí: = = lieárí loeá Úkol: Je dá rcioálí loeá fukce šikou sptotu. Je jí přík o rovici: F 3 : 3. Grf této fukce á

15 = = + = + /3

16 @ Grf fukce G : 3 : 3 F je skoro stejý jko grf fukce. Nejde o idetické fukce liší se totiž defiičí oore: D F = R \ {; } D G = R \ {} proto i grf je jiý v odě =. Úkol: Nčrtěte průěh fukce výsledek h :

17 @56 Bohužel Podíku = + splňuje příkld fukce fukcí. 3 která eí lieárí ávrt

18 @59 Příkld: Uvžuje přípd =. Předpis rcioálí loeé fukce vpdá tkto: Určee dlší sptotu této fukce. Řešeí: Provede se stejá úvh jko u lieárí loeé fukce. Acho se eopkovli řekee si úvhu trochu jiýi slov. Proveďe úprvu předpisu tí že vtkee jk v čitteli tk ve jeovteli títo člee zloek vkrátíe. Dostee ) ( ) ( O čleech tpu p k víe (k p > ) že pro velká (ilio ilird ilio ) je hodot výrzu tí líže ule ( ted zedtelá) čí větší číslo v solutí hodotě je. Solick píšee p k p k tkže Přík o rovici = / která je rovoěžá s osou je sptotou grfu rcioálí loeé fukce pro = v evlstích odech tj pro ->. Příkld: Sestrojte průěh (grf) fukce 4 3 pokrčováí

19 @6 Sestrojte grf fukce 4 g : Řešeí: 4 ( ) ( (3 3) 4) g => D g = (- ; ) (; 4/3) (4/3; + ) A dále z toho ple že grf fukce protíá osu v odě = 5 (g(5)=) á dvě sptot rovoěžé s osou to = = 4/3. Protože stupeň polou v čitteli je eší ež stupeň polou ve jeovteli á grf fukce g ještě z sptotu osu. Jeější lýzu dostee poocí derivce: etré ootoost. g '( ) 4(3 4) (4 (3 4) 6)3. ( )( (3 4) ) g () = = eo = -> to jsou od ožého lokálího etréu (i ) podle zék derivce určíe kd je fukce rostoucí kd klesjící D g = D g - 4/3 4/3 + g () + + g() klesjící klesjící rostoucí rostoucí klesjící + + / / - - g() = g() = /

20 pokrčováí

21 @65 Úkol: Sestrojte grf fukce výsledek

22 @68 Bohužel. Zov!

23 @ Nčrtěte průěh fukce h : Řešeí: D h = R \ {-} průsečík s osou [; h()] = [; ] průsečík s osou [; h()=] = [; ] => grf fukce protíá oě souřdé os v počátku sptot vertikálí (rovoěžá s osou ) á rovici = - šiká k = / q = - 4 ( 4) h '( ) => ožá etré v odech = -> h() = ( ) ( ) = -4 -> h(-4) = -8 D h h () + + h() rostoucí klesjící klesjící rostoucí

24 KONEC LEKCE