-1- Finanční matematika. Složené úrokování

Transkript

1 -- Fiačí ateatika Složeé úrokováí Při složeé úročeí se úroky přičítají k počátečíu kapitálu ( k poskytutí úvěru, k uložeéu vkladu ) a společě s í se úročí. Vzorec pro kapitál K po letech při složeé úročeí o ( + k i) K K. k zdaňovací koeficiet i. úroková íra vyjádřeá desetiý čísle K o počátečí kapitál (vklad, úvěry ).počet let, po který se kapitál úročí ( úročí se jedou ročě) Příklad ) Sleča A. si uložila a teríovaý vklad a tři roky Kč s ročí úrokovou írou 4,8 %. Jde o složeé úročeí, baka připisuje úroky jedou ročě, daň z úroku je %. Kolik koru baka slečě A. po třech letech vyplatí? Řešeí: 3, K Kč, i 0,048, k 0,8 K ( + 0,87.0,048 ) ,0 Kč. Příklad 2) Podikatel si chce půjčit od baky a začátku a 2 roky 3 ilioy Kč. Předpokládá, že po dvou letech bude ít a splaceí úvěru 3, iliou Kč. Baka abízí úvěr s úrokovou írou 4,6%, úročí se jedou ročě, vždy a koci roku ( jde o složeé úročeí). a) Bude částka 3, iliou Kč a splaceí úvěru stačit? b) Kolik koru axiálě si ůže podikatel půjčit? Baka poskytuje úvěry c celých tisícikoruách. Řešeí : a) 2, K Kč, i 0,46, k K ( +0,46) Kč.částka 3, ilioů koru stačit ebude K b) ze základího vzorce vyjádříe K 0 ( + k. i) a za K dosadíe Kč K Kč Příklad 3) Má 000 Kč. Na kolik let usí uložit tuto částku do baky, aby vzrostla a 6000 Kč? Úroková íra po celou dobu bude 4,4 %, daň z úroku %, jedá se o složeé úročeí, baka úročí jedou ročě. Řešeí : K Kč, K 6000 Kč, i0,044, k 0,8,? Dosazeí do výše uvedeého vzorce dostaee : ( + 0,8.0,044),2,0374 a logaritováí dostaee. log,0374 log,2 log,2 4,97 let log,0374

2 - 2 Příklad 4) Má 000 Kč. Chci tuto částku uložit a začátku roku do baky. Jak vysoká by usela být úroková íra, aby se vklad za let zdvojásobil? Předpokládá, že baka úročí jedou ročě vždy a koci roku, že jde o složeé úročeí a daň z úroku je %. K 0 000Kč,, K 0000, k 0,8, i? Řešeí: Dosadí do výše uvedeého vzorce ,8. i i 7,% 2 ( +0,8.i ) 0,8 Cvičeí : l) Pa Urba si uložil a začátku roku a vkladí kížku s výpovědí lhůtou Kč. Úroková íra je 4,%, daň z úroku čií %, jde o složeé úročeí, baka vklady úročí jedou za rok vždy a koci každého roku. Pa Urba si z vkladí kížky žádé peíze (ai úroky) evybírá. Kolik koru bude ít pa Urba a vkladí kížce a koci třetího roku? ( 8 2 Kč ) 2) Pa Řeřicha uložil a teríovaý vklad a pět let s úrokovou írou, % částku Kč. Baka úročí vklad jedou za rok, jde o složeé úročeí, daň z úroku je %. Kolik koru baka pau Řeřichovi za pět let vyplatí? ( 928 Kč ) 3) Paí V. á Kč, které chce uložit a začátku příštího roku do baky a tři roky. Rozhoduje se ezi dvěa bakai. Obě baky abízejí stejou úrokovou íru,2%, obě úročí jedou za rok, vždy a koci roku, daň z úroku je v obou případech %. Jediý rozdíl je v to, že v prví bace jde o jedoduché úročeí, ve druhé o složeé úročeí. a) Ve které bace by získala paí V. celkově vyšší úrok? b) Vypočítejte úrok za tři roky v prví bace a ve druhé bace. Kolik koru je rozdíl v úrocích? (.baka úrok Kč, 2.baka , Kč, rozdíl89,0 Kč Jedoduché úročeí - úroky se počítají vždy z počátečího vkladu. Úrok U k.i..k 0 k.zdaňovací koeficiet. počet let, po které se vklad úročí i.. úroková íra vyjádřeá desetiý čísle K 0 počátečí kapitál, vklad, úvěr 4) Jaa M. uložila a začátku roku a vkladí kížku s ročí úrokovou írou 4,2 % částku Kč. Za jak dlouho bude ít a kížce aspoň Kč? Baka úročí jedou ročě, vždy a koci roku. Jde o složeé úročeí, daň z úroku je %. ( 3 roky ) ) Paí Holubičková požádala paa Krahujce o půjčku ve výši Kč a šest let. Pa Krahujec chce staovit úrokovou íru tak, aby při složeé úročeí, které bude provádět jedou ročě, dostal po šesti letech zpět trojásobek půjčeé částky. Kolik procet by byla úroková íra? ( 20%) Úrokovací období - 3

3 Časový úsek, a jehož koci vzroste kapitál o úrok, se azývá úrokovací období. Vzorec pro kapitál K a koci -tého úrokovacího období při složeé úrokováí je K t K i. k 360 Cvičeí: )Jiří M. uložil a začátku roku do baky a vkladí kížku s úrokovou írou 3,7% částku 6000 Kč. Úrokovací období je čtvrt roku, úročí se vždy a koci kaledářího čtvrtletí. Daň z úroku je %. Kolik koru bude ít Jiří M. a kížce a koci roku po připsáí úroku po zdaěí? (6 9,-Kč) 2)Alea C. si uložila a počátku roku a teríovaý vklad a 2 roky s úrokovou írou 4,% částku Kč. Úrokovací období je ěsíc, daň z úroku je %. a) Kolik koru obdržela v de splatosti vkladu? b) Kolik koru čiil úrok po zdaěí? ( a) Kč, b) Kč) 3) Sleča Hlučá si uložila a teríovaý vklad a ěsíc s revolvige částku Kč. Vklad byl čtyřikrát obove a a koci pátého ěsíčího období byl slečě Hlučé a základě její žádosti vyplace. Sleča Hlučá úroky evybírala, ty byly připisováy k vkladu a spolu s í úročey.po celé úrokovací období byla úroková íra 4,7%, úrokovací období je ěsíc, poprvé se úročí za ěsíc po uložeí vkladu. Daň z úroku je %. Vypočítejte, kolik koru bylo slečě Hlučé vyplaceo. ( 8 340,0Kč ) Spořeí Vzorec pro kapitál S dosažeý při pravidelé spořeí stejých částek a koci -tého úrokovacího období q S K. q - počet úrokovacích období K částka aspořeá v jedo úrokovací období a a koci tohoto období zúročeá t q +. k. i, t..počet dí tvořících úrokovací období 360 k.zdaňovací koeficiet i..úroková íra vyjádřeá desetiý čísle Příklad : Kolik Kč astřádáe za 0 let, jestliže a počátku každého roku vložíe 3000 Kč, baka úročí 2,6% a koci každého roku a daň z úroku je %? Řešeí : 0,022 q +0,8.0,026,022, K 3000., Kč,022-4 Příklad 2: Kolik Kč astřádáe za let, když

4 a) počátke každého roku vložíe 6000 Kč při 3% zhodoceí ( baka úročí jedekrát ročě), daň z úroku se pro teto druh spořeí ( pezijí připojištěí) eplatí b) kolik koru astřádáe, budee-li ěsíčě ukládat 00Kč, ostatí podíky jsou eěé,03 Řešeí : a) q +0,03,03, K 6000.,03., ,0Kč b)ejprve usíe spočítat výši částky,kterou dosáhee do koce roku : Částka vložeá Úroková doba Částka a koci roku a začátku ěsíce: v počtu ěsíců: ( po odečtu daě z úroků): leda 2 2 K 0. +.k. i 2 úora K 0. +.k. i 2 březa 0 K k. i 2 listopadu 2 K k. i 2 prosice K 0. +.k. i Celková částka a koci roku je součte částek v pravé sloupci. Čísla,,,..., prvích dvaáct čleů aritetické poslouposti, jejíž prví čle je 2 2 2, 2 tvoří 2 a diferece se rová 2. Součet těchto čleů vypočítáe podle vzorce s.( a + ) 2 a,tj. s Celková částka a koci roku je K K k. i, kde K 0 je částka ukládaá pravidelě a 2 počátku každého ěsíce Pro áš příklad K 3 3, , 03 a K , Kč 2 2,03 Cvičeí : ) Kolik koru astřádáe za let, jestliže a počátku každého roku vložíe Kč, baka úročí jedou ročě, eěá úroková íra po celé období je 3 %, daň z úroku je % ( Kč) -

5 2) Kolik Kč astřádáe za 8 let, budee li a začátku každého ěsíce ukládat 800 Kč, eěá úroková íra je 2,2 %, daň z úroku %, baka úročí jedekrát za rok. ( 8280 Kč) 3) Kolik koru astřádáe za 3 roky, jestliže od počátku roku budee ukládat počátke každého ěsíce 000 Kč, baka úročí vklady jedou ročě, úroková íra je 3,9% a daň z úroku je %. ( ,7 Kč)) 4) Paí T. spoří od začátku roku a začátku každého ěsíce 600 Kč. Baka poskytuje úrokovou íru 4,2%, úrokovací období je jede rok, úročeí se provádí a koci každého kaledářího roku. Daň z úroku je %. a) Kolik koru uloží paí T. do koce roku celke? b) Kolik koru bude ít paí T.a koci roku a vkladí kížce po připsáí zdaěého úroku? c) Kolik koru by ěla paí T. a vkladí kížce a koci čtvrtého roku za ezěěých podíek? ( a) Kč, b) 7 34 Kč, c) ,0 Kč ) ) Sleča Malá spoří od začátku roku a počátku každého ěsíce 200 Kč. Baka úročí a koci každého kaledářího čtvrtletí, úroková íra je stále 4,4 %, daň z úroku je %. a) Kolik koru bude ít sleča Malá a koci druhého roku? b) Kolik koru z toho čií úrok? ( a) 4 99 Kč, b) 9 Kč ) Spláceí dluhu Vzorec pro splátku s při pravidelé spláceí dluhu stejýi splátkai: ( q ) Dq s q Předpokládá se, že splátky se platí od koce prvího úrokovacího období, jedou za úrokovací období, vždy a jeho koci. D.. počátečí výše dluhu.. počet úrokovacích období čili počet splátek t q + i, kde t je počet dí tvořících úrokovací období a i je úroková íra 360 vyjádřeá desetiý čísle Příklad: ) Podikatel získal začátke roku od baky úvěr ve výši 2 ilioy Kč a dobu tří let s úrokovou írou, %. Úrokovací období je rok. Podikatel splatí úvěr ve třech stejých ročích splátkách, prvího jedo roce od poskytutí úvěru. a) Kolik koru bude čiit jeda splátka? b) Kolik koru zaplatí podikatel celke? Řešeí : D Kč, 3, t360, i0,, q + 0,, 3 s ,.0, Kč,, 3 celke zaplatí.s ,- Kč

6 - 6 - Příklad : 2) Pa Šafář získal de.4. od baky úvěr ve výši Kč a dobu 2 let s úrokovou írou 4%. Úrokovací období je ěsíc, poprvé de Baka staovuje splátky se zaokrouhleí a koruy. a) Vypočítejte výši jedé splátky b) Kolik koru zaplatí pa Šafář bace celke? Řešeí : D Kč, i 0,4, ,4..0, a) s 288, Kč q +.0, ,4 2 b) Celke ,-Kč Cvičeí : ) Paí Kárá získala od baky de.9. úvěr ve výši Kč s úrokovou írou 3%. Měsíčě bude splácet 2 00 Kč., vždy a koci ěsíce, poprvé Úrokovací období je ěsíc. a) Jaký bude stav dluhu paí Káré de před prví splátkou a po připsáí úroku bakou? b) Jaký bude stav jejího dluhu de 3.0. po připsáí úroku a po druhé splátce? ( a) Kč, b) Kč ) 2) Baka poskytla podikateli počátke roku úvěr ve výši Kč a dobu pěti let s úrokovou írou 4,8 %. Úrokovací období je rok. Podikatel bude úvěr splácet pravidelě stejýi ročíi splátkai, prví zaplatí po jedo roce od poskytutí úvěru. a) Vypočítejte výši jedé splátka se zaokrouhleí a koruy b) Kolik koru zaplatí podikatel bace celke? ( a) Kč, b) Kč) 3) Pa Mařík uvažuje o to, že si začátke příštího ěsíce veze od baky spotřebitelský úvěr ve výši Kč Baka abízí teto typ úvěru a 2 ěsíců, 8 ěsíců a 24 ěsíců, ve všech případech s úrokovou írou 4 %. Úrokovací období je ěsíc. Splácí se pravidelě jedou ěsíčě, stejýi splátkai, poprvé a koci ěsíce, ve které byl poskytut spotřebitelský úvěr. a) Vypočítejte výši ěsíčích splátek pro všechy tři případy a dobu splatosti úvěru. Vypočítaé částky zaokrouhlete a koruy. ( Kč, Kč, 3 60 Kč ) b) Vypočítejte pro všechy případy, kolik koru by pa Mařík zaplatil bace celke ( Kč, 8392 Kč, Kč) 4) Maželé Berkovi získali od baky hypotéčí úvěr a ový dů ve výši Kč a dobu 20 let. Úvěr se splácí forou stejých splátek jedou ěsíčě, úrokovací období je ěsíc. a) Vypočítejte výši ěsíčí splátky ( zaokrouhleou a koruy) za předpokladu, že úroková íra bude po celou dobu spláceí úvěru 8, %. b) Vypočítejte, kolik koru aželé Berkovi zaplatí ve splátkách za 20 let bace celke? ( a) Kč, b) Kč ) - 7 -

7 ) Podikatel chce získat od příštího roku úvěr ilioů Kč a dobu šesti let. Prví baka abízí úrokovou íru 4,3%, druhá baka 4,2%. Úrokové íry se liší je o 0,%. V obou bakách je úrokovací období rok, spláceí by probíhalo forou šesti stejých ročích splátek, prví z ich by ěla být splacea a koci roku, ve které byl poskytut úvěr. a) Odhaděte, zda rozdíl jedé splátky v prví bace a v druhé bace je ižší ebo vyšší ež 000 Kč b) Vypočítejte výši jedé splátky v prví a v druhé bace. Vypočítaé částky zaokrouhlete a koruy. c) Vypočítejte rozdíl částek,které by usel podikatel celke splatit prví a druhé bace. ( b) v l.bace: Kč, v 2.bace Kč,c) 330Kč) 6) Jak velké splátky budee platit vždy a koci každého roku, jestliže si a let vypůjčíe Kč při 4% úroku? ( ,0 Kč) 7) Jak velké splátky budee platit vždy ěsíčě, vypůjčíe-li si Kč při 6% úroku a a) pět let, b) a deset let? ( a) 933,0 Kč, b) 0,-Kč) Kolik zaplatíe celke v případě a), b) ( a) 600 Kč, b) Kč ) 8) Družstvo si vypůjčilo Kč a á je splatit v sedi stejých ročích splátkách. Prví splátka bude za tři roky. Jak velké budou splátky, je-li úroková íra 8%? ( Návod : ejprve uto vypočítat, jak aroste dluh za prví dva roky,ve který družstvo esplácí,třetí rok je už zahrut ve vzorci. Dluh za prví dva roky aroste a částku D vypůjčeá částka. q 2, t.j , Kč Výsledek : celke zaplatí 2323 Kč) 9) Jak velké budou splátky úvěru Kč, které budee splácet pravidelě ěsíčě po dobu dvou let při úrokové íře 2%, začee li splácet až za rok od získáí úvěru a vždy a koci ěsíce? ( výše splátky 272 Kč, celke Kč)