ŘEŠENÉ ZÁPOČTOVÉ TESTY Z VÝROKOVÉ A PREDIKÁTOVÉ LOGIKY

Poznámka: Tento materiál je souborem řešených zápočtových testů ze zimního semestru 2012/2013 k přednášce Výroková a predikátová logika na MFF UK v Praze. Nejedná se o oficiální materiál k přednášce, nebyl korigován, je proto možné, že obsahuje chyby. U některých úloh není uvedena odpověď a/nebo řešení; je to dáno snahou o co možná nejrychlejší poskytnutí materiálu studentům a tento nedostatek bude časem napraven. ŘEŠENÉ ZÁPOČTOVÉ TESTY Z VÝROKOVÉ A PREDIKÁTOVÉ LOGIKY PetrGlivický 1

Cvičení středa od 9:00 TEST VPL, cvičení 10.10.12 Jméno: ÚLOHA1 [Znění.] Definujte,pojemstrukturaprojazyk L= R,F,kde RjeunárnírelačnísymbolaF unární funkční symbol. Nekomentujte Jetokaždátrojice A= A,R A,F A,kde R A AaF A : A A. ÚLOHA2 [Příklad.] VBooleověalgebředefinujemebinárníoperace a takto: x y=x ( y)ax y= (x y) (y x).dokažte,ževbooleověalgebřeplatíidentita a b=(a b) (a b). Je a b=(a b) (b a)=(a b) (a a) ( b b) ( b a)=(a b) 1 1 ( b a)=(a b) (a b). První rovnost plyne užitím definic, druhá z distributivního zákona. Třetí je zdůvodněna užitím axiomu komplementace aposledníplynezneutrality1aaplikacíde-morganovapravidlana( b a).

ÚLOHA 3 [Příklad.] Navrhněte jazyk L a L-formuli ϕ vyjadřující každý člověk zná sám sebe a existují dva různí lidé,kteříseneznají(tj.anijedenznichneznádruhého). Nezdůvodňujte. L= Z srovností,kde Zjebinárnírelačnísymbol, ϕ:( x)(z(x,x))&( y,z)( (y= z)& Z(y,z)& Z(z,y))

TEST VPL, cvičení 17.10.12 Jméno: ÚLOHA 1 [Znění.] Definujte pojem model teorie T. Nekomentujte Modelteorie Tvjazyce Lje L-struktura A,vekteréplatíkaždýaxiomteorie T. ÚLOHA2 [Příklad.] Buď L= +,,c,d jazyk,kde+jebinárnífunkčnísymbol, unárnífunkčnísymbolac,d jsoukonstantnísymboly.dálebuď tterm(x+c)+( d)jazyka L.Vypočtětehodnotu t A [e]termu tvestruktuře Apři ohodnocení proměnných e, když a) A= R,+,,0,1,kde+, značíobvyklésčítáníaopačnouhodnotuvoborureálnýchčísel,ae(x)=2, b) A= Z,,,1, 2,kde, značíobvyklénásobeníaabsolutníhodnotuvoborucelýchčísel,ae(x)= 1. a)1 b) 2 a)je t A [e]=(2+0)+( 1)=1. b)je t A [e]=( 1 1) 2 = 2.

ÚLOHA3 [Příklad.] Nechť L= + jejazyksrovností,kde+jebinárnífunkčnísymbol.platívkaždé L-struktuře formule x+y= y+x? Ne. Vestruktuře {0,1},f,kde f(a,b)=bprokaždé a,b {0,1},zřejměuvažovanáformuleneplatípřiohodnoceníproměnných ese(x)=0, e(y)=1.

TEST VPL, cvičení 24.10.12 Jméno: ÚLOHA 1 [Znění.] Definujte pojem kompletní teorie. Komentujte další pojmy, které uvedete. Teorie je kompletní, je-li bezesporná a každá její sentence je v ní dokazatelná nebo vyvratitelná. Uveďte komentář. Sentence je formule neobsahující žádný volný výskyt proměnné. Formule ϕ je dokazatelná v T, existuje-li její důkaz v T, je vyvratitelná, je-li dokazatelná ϕ. ÚLOHA 2 [Příklad.] Rozhodněte, zda je v následujících případech term t substituovatelný za proměnnou x do formule x=y&( y)(x=z)&( z)( x)(x=y): a) tje x, b) tje y, c) tje z. a) Ano. b)ne. c) Ano. a) V prvním a druhém konjunktu není výskyt x v podformuli tvaru(qx)ψ, třetí konjunkt neobsahuje volný výskyt x. b)vedruhémkonjunktumá xvolnývýskytvpodformulitvaru( y)ψ. c) V prvním a druhém konjunktu není výskyt x v podformuli tvaru(qz)ψ, třetí konjunkt neobsahuje volný výskyt x.

ÚLOHA 3 [Příklad.] Rozhodněte, zda jsou izomorfní a)každédvě(nenutněstejněvelké)strukturyjazyka Lbezmimologickýchsymbolů(tj. L= ), b)každédvěspočetnéstrukturyjazyka L= U,kde Ujeunárnírelačnísymbol, c) každédvěspočetnéstrukturyjazyka L= c,kde cjekonstantnísymbol, d)spočetnéstuktury A= A,U A, B= B,U B projazyk L= U sunárnímrelačnímsymbolem U,pokud všechnymnožiny U A, A U A, U B i B U B jsounekonečné. Velikostí struktury rozumíme velikost jejího univerza. Všechny uváděné jazyky jsou s rovností. a)ne. b)ne. c) Ano. d) Ano. a) Konečná a nekonečná L-struktura nejsou izomorfní, protože izomorfismus je bijekce. b)struktury N, a N,N nejsouizomorfní. c) Izomorfismemstruktur A, Bjejakákolibijekce h:a Bs h(c A )=h(c B );tazřejměexistujekdykolijsou AaBstejněvelké. d)izomorfizmus h:a Bsesestrojíjako h=f g,kde f: U A U B a g: A U A B U B jsoubijekce.

TEST VPL, cvičení 31.10.12 Jméno: ÚLOHA 1 [Znění.] Definujte pojem ω-kategorická teorie. Nekomentujte Teorie je ω-kategorická, má-li právě jeden spočetný model až na izomorfismus. ÚLOHA2 [Příklad.] Rozhodněte,zdajevnásledujícíchpřípadechformule ϕ variantouformule ϕ,kde ϕje( x)( y)(x=y&y z) ( x)(x=y)a a) ϕ je( z)( y)(z= y&y z) ( x)(x=y), b) ϕ je( u)( v)(u=v&v z) ( w)(w=y). a)ne. b) Ano. a) zmávolnývýskytv( y)(x=y&y z). b) Obě podmínky jsou ve všech případech splněny.

ÚLOHA3 [Příklad.] Buď L = U,c,kde U jeunárnírelačnísymbolacjekonstantnísymbol.buď ϕformule U(x) U(c). a)najdětevšechny L-struktury A= A,U A,c A takové,že A = ϕ. b)určetemnožinu D Zdefinovanouformulí ϕvestruktuře Z,S,1,kde Sjemnožinavšechsudýchcelých čísel(tj. Sjerelace býtsudéceléčíslo ). a)jsoutoprávěstrukturysplňující c A U A nebo U A =. b)jetomnožina L=Z Slichýchcelýchčísel. a) ϕ U(x) U(c). b) ϕ U(x) U(c),přitom S(1)neplatí.

TEST VPL, cvičení 14.11.12 Jméno: ÚLOHA1 [Znění.] Definujte,kdyjeprodvěstruktury A, B(vtémžejazyce L) Aelementárnípodstruktura B,tj. A B? Nekomentujte Právěkdyž A Baprokaždou L-formuli ϕ(x)al(x)-tici a Aje A = ϕ[a] B = ϕ[a]. ÚLOHA2 [Příklad.] Buď L= U jazyksunárnímrelačnímsymbolem U abuď A= Q,P,kde P jemnožina kladných racionálních čísel, L-struktura. Je každá podstruktura B A s nekonečným univerzem B a)izomorfnísa? b) elementárně ekvivalentní s A? a)ne. b)ne. a)struktura B= P,P neníelementárněekvivalentnísaatedyaniizomorfnísa. b)struktura B= P,P neníelementárněekvivalentnísa.

ÚLOHA3 [Příklad.] Buď L=,c,d,kde jebinárnírelačnísymbolac,djsoukonstantnísymboly.prokaždá m,n Zbuďte Z m,n = Z,,m,n aq m,n = Q,,m,n L-struktury,kde značíobvykléuspořádánína Zresp.na Q. Charakterizujte,právěprojaká m,nam,n platí a) Z m,n = Zm,n, b) Q m,n = Qm,n. a)právěkdyž m n=m n. b)právěkdyž m nam n jsouoběkladná,oběnulováčiobězáporná. a)proizomorfizmus hmusíbýt h(m)=m, h(n)=n apro i Ztaké h(n+i)=n + i.odtud m n = h(m) n = h(n+(m n)) n = m n.naopak,je-li m n=m n,tak h(x)=x+n njeizomorfismus. b)proizomorfizmus hmusíbýt h(m)=m, h(n)=n a m < n h(m) < h(n).naopak,je-likdykolinapř. m < nam < n,existujíbijekce h 1 :(,m] (,m ], h 2 :[m,n] [m,n ]ah 3 :[n, ) [n, )a h=h 1 h 2 h 3 jeizomorfizmus.zbylépřípadysezdůvodnípodobně.

TEST VPL, cvičení 21.11.12 Jméno: ÚLOHA1 [Znění.] Definujte,kdyjeprodvěstruktury A, B(vtémžejazyce L) AelementárněekvivalentnísB,tj. A B? Nekomentujte PrávěkdyžvAaBplatítytéžsentence. ÚLOHA 2 [Znění.] Definujte pojem modelově kompletní teorie. Nekomentujte Tjemodelověkompletní,pokudprokaždédvajejímodely A,Bje A B A B.

ÚLOHA3 [Příklad.] Buď L= U,c jazyksrovností,kde Ujeunárnírelačnísymbolacjekonstantnísymbol.Buď dále T teoriesaxiomyvyjadřujícímischémata existujenekonečněmnoho xsu(x) a existujenekonečněmnoho xs U(x). a) Kolik existuje až na izomorfismus spočetných modelů T? b) Uveďte alespoň tři vzájemně neizomorfní modely T s univerzem R. a)2 b) R,Z,0, R,Z, 1 2, R,R Z,0, R,R Z,1 2, R,[0, ),0, R,[0, ), 1 a)jsoutomodely Asplňující c A U A a c A / U A. b) Zjevně nejsou žádné dva z uvedených modelů izomorfní. ÚLOHA 4 [Příklad.] Uveďte počet různých podstruktur struktury A pro a) A= Z,0,+,,kde+a jsouobvykléoperacesčítáníaopačnéhoprvkuvoborucelýchčísel, b) A= Z,0,1,+,,kde+a jsouobvykléoperacesčítáníaopačnéhoprvkuvoborucelýchčísel. Všechny nalezené podstruktury uveďte ve zdůvodnění. a) ω b)1 a)jsoutoprávěpodstrukturysuniverzy kzsk N. b)jetojen A.

ÚLOHA5 [Příklad.] NechťTjeteorievjazyce L= S sjedinýmunárnímfunkčnímsymbolemsasaxiomy S 2 (x)=x a existujenekonečněmnohoprvků.rozhodněte,zdaplatí: a) T je kompletní teorie. b) Tmáprávě ωspočetnýchmodelůažnaizomorfismus. a)ne. b) Ano. a)( x)(sx=x)jesentencenezávislávt. b)jdeomodely A m,n s m,n ω, m+n=ω,kde A m,n sestávázms-cyklůdélky1ans-cyklůdélky2. ÚLOHA6 [Příklad.] Buď A= Z,S struktura,kdeunárnífunkce Sjedánavztahem S(z)=z+1pro z Z,abuď X= {0}.Je XdefinovatelnávAbezparametrů? Ne. Zobrazení h : z z+1jeautomorfizmus Aah[X] X.Tedy X nenídefinovatelnábezparametrůdlekritéria nedefinovatelnosti.

TEST VPL, cvičení 5.12.12 Jméno: ÚLOHA1 [Znění.] Buď Tteorievjazyce L.Uvěďtejakézevztahů, (případnětéžžádnýčioba)lzevnásledujících případech dosadit na místo tak, abychom získali platné tvrzení: a) T má eliminaci kvantifikátorů T je modelově kompletní. b) Tjekompletní Tmájedinýspočetnýmodelažnaizomorfismus. c) Tje1-koexistenční Tjef-homogenní. d) Neexistuje sentence nezávislá v T každé dva modely T jsou elementárně ekvivalentní. Nekomentujte a), b) žádný, c), d) oba. ÚLOHA 2 [Znění.] Buď P = {p, q, r, s} množina všech prvovýroků. Pomocí ekvivalentních úprav nalezněte k výroku ϕ: (p q)&(r s)výroksnímekvivalentníanavícvdisjunktivněnormálnímtvaru(dnf). Nekomentujte

ÚLOHA3 [Příklad.] Buď L= U,kde U jeunárnírelačnísymbol.buďdále T L-teoriesaxiomyvyjadřujícími existujenekonečněmnoho xs U(x). a) Kolik má T spočetných modelů až na izomorfizmus? b) Je T kompletní teorie? a) ω b)ne.

TEST VPL, cvičení 12.12.12 Jméno: ÚLOHA1 [Znění.] Buď Pneprázdnákonečnámnožinaprvovýroků, ϕvýroknad PaM P (ϕ)množinamodelů ϕ.uveďte výrok v DNF ekvivalentní ϕ. Nekomentujte ÚLOHA2 [Příklad.] Nechť P={p,q,r}jemnožinavšechprvovýrokůaT= { p}je P-teorie.Zjistětepočetneekvivalentníchvýroků ϕnad Ptakových,že T ϕ q. 2 6 =64 Je T ϕ q M P (T) M P (ϕ q)=m P (ϕ) M P (q).tonastává,právěkdyžm P (ϕ) M P (T) M P (q),tedyhledaný početjepočetnadmnožinmnožinym P (T) M P (q)=m P (T, q)v P 2,cožje2 23 M P (T, q) =2 6 =64.

ÚLOHA3 [Příklad.] Nechť Pjekonečnámnožinavšechprvovýrokůs P =laϕnějakývýroknad P.Zjistětepočet neekvivalentních P-teorií T takových, že T ϕ. Výsledekvyjádřetepomocí M P (ϕ) al. 2 2l M P (ϕ) Je T ϕ M P (T) M P ( ϕ)= P 2 M P (ϕ).tedytakovýchteorií T jetolik,kolikjepodmnožin P 2 M P (ϕ),cožje právě2 2l M P (ϕ).

TEST VPL, cvičení 9.1.13 Jméno: ÚLOHA1 [Znění.] a) Formulujte tvrzení o vztahu mezi eliminací kvantifikátorů a modelovou kompletností. b) Definujte, kdy je L(T)-struktura A algebraickým prvomodelem teorie T. Komentujte další pojmy, které uvedete. a) Má-li teorie T eliminaci kvantifikátorů, je modelově kompletní. b) Ajealgebraickýprvomodel T,lze-li Avnořitdokaždéhomodeluteorie T. Uveďte komentář. a) T má eliminaci kvantifikátorů, je-li v T každá formule ϕ(x) s l(x) > 0 ekvivalentní nějaké otevřené formuli ψ(x). T je modelově kompletní, když každé vnoření mezi dvěma jejími modely je elementátní vnoření. b) ÚLOHA 2 [Příklad.] Buď ϕ formule( x)u(x) ( x)v(x), kde U, V jsou unární relační symboly. Pomocí prenexních operací najděte formuli ψ v prenexním tvaru a ekvivalentní s ϕ. ( x)( y)(u(x) V(y)) Vytknutím x získáme( x)(u(x) ( x)v(x)). Nahrazením( x)v(x) variantou( y)v(y) a vytknutím y dostaneme ( x)( y)(u(x) V(y)),cožjezjevněvprenexnímtvaru.

ÚLOHA3 [Příklad.] Nechť L= c,d jejazyksrovností,kde c,djsoukonstantnísymboly.buďdále S L-teorie saxiomyvyjadřujícími existujenekonečněmnohoprvků.kolikmá Sjednoduchýchkompletníchextenzí(JKE)ažna ekvivalenci teorií? Řádně zdůvodněte kompletnost uvedených JKE. 2 Jdeprávěoextenze Soaxiom c=dresp. c d.obějsoukompletnídlekategorickéhokritériakompletnosti.nemají totiž zjevně konečné modely a jsou κ-kategorické pro každé nekonečné κ.

Cvičení středa od 10:40 TEST VPL, cvičení 10.10.12 Jméno: ÚLOHA1 [Znění.] Nechť A= A,R A,F A ab= B,R B,F B jsoustrukturyprojazyk L= R,F,kde Rjeunární relačnísymbolafjeunárnífunkčnísymbol.definujte,kdyje h:a Bizomorfizmusstruktur AaB. Nekomentujte. Právěkdyž hjeprostéana Baprokaždé a Aplatí: R A (a) R B (ha), h(f A (a))=f B (ha). ÚLOHA2 [Příklad.] VBooleověalgebředefinujemebinárníoperace a takto: x y=x ( y)ax y= (x y) (y x).dokažte,ževbooleověalgebřeplatíidentita a b=(a b) (a b). Je a b=(a b) (b a)=(a b) (a a) ( b b) ( b a)=(a b) 1 1 ( b a)=(a b) (a b). První rovnost plyne užitím definic, druhá z distributivního zákona. Třetí je zdůvodněna užitím axiomu komplementace aposledníplynezneutrality1aaplikacíde-morganovapravidlana( b a).

ÚLOHA 3 [Příklad.] Navrhněte jazyk L a L-formuli ϕ vyjadřující žádný člověk nemá rád sám sebe a existuje člověk, kteréhomárádkaždýjinýčlověk. Nezdůvodňujte. L= R srovností,kde Rjebinárnírelačnísymbol, ϕ:( x)( R(x,x))&( y)( z)(z y R(z,y))

TEST VPL, cvičení 17.10.12 Jméno: ÚLOHA 1 [Znění.] Definujte pojem formule ϕ platí(je pravdivá) v teorii T. Nekomentujte Formule ϕjazyka LplatívL-teorii T,pokudplatívkaždémmodelu T. ÚLOHA2 [Příklad.] Buď L=,,c,d jazyk,kde jebinárnífunkčnísymbol, unárnífunkčnísymbolac,djsou konstantnísymboly.dálebuď tterm(x c) ( d)jazyka L.Vypočtětehodnotu t A [e]termu tvestruktuře Apřiohodnocení proměnných e, když a) A= R,,, 2,1,kde, značíobvyklénásobeníaopačnouhodnotuvoborureálnýchčísel,ae(x)=2, b) A= Z,+,() 2,0, 2,kde+,() 2 značíobvyklésčítáníadruhoumocninuvoborucelýchčísel,ae(x)=1. a)4 b)5 a)je t A [e]=( 2 2) ( 1)=4. b)je t A [e]=(1+0)+( 2) 2 =5.

ÚLOHA3 [Příklad.] Nechť L= jejazyksrovností,kde jebinárnírelačnísymbol.platívkaždé L-struktuře formule x x? Ne. Ve struktuře {0}, zřejmě uvažovaná formule neplatí při žádném ohodnocení proměnných.

TEST VPL, cvičení 24.10.12 Jméno: ÚLOHA 1 [Znění.] Definujte pojem bezesporná teorie. Komentujte další pojmy, které uvedete. Teorie je bezesporná, není-li v ní dokazatelná každá její formule. Uveďte komentář. Formulejedokazatelnávteorii T,existuje-lijejídůkazvT. ÚLOHA 2 [Příklad.] Rozhodněte, zda je v následujících případech term t substituovatelný za proměnnou x do formule x=y&( y)(x=z)&( z)( x)(x=y): a) tje z, b) tje y, c) tje x. a) Ano. b)ne. c) Ano. a) V prvním a druhém konjunktu není výskyt x v podformuli tvaru(qz)ψ, třetí konjunkt neobsahuje volný výskyt x. b)vedruhémkonjunktumá xvolnývýskytvpodformulitvaru( y)ψ. c) V prvním a druhém konjunktu není výskyt x v podformuli tvaru(qx)ψ, třetí konjunkt neobsahuje volný výskyt x.

ÚLOHA 3 [Příklad.] Rozhodněte, zda jsou izomorfní a)každédvěspočetnéstrukturyjazyka Lbezmimologickýchsymbolů(tj. L= ) b)každédvěspočetnéstrukturyjazyka L= c,d,kde c,djsoukonstantnísymboly, c) každédvě(nenutněstejněvelké)strukturyjazyka L= c,kde cjekonstantnísymbol, d)spočetnéstuktury A= A,U A, B= B,U B projazyk L= U sunárnímrelačnímsymbolem U,pokud všechnymnožiny U A, A U A, U B i B U B jsounekonečné. Velikostí struktury rozumíme velikost jejího univerza. Všechny uváděné jazyky jsou s rovností. a) Ano. b)ne. c) Ne. d) Ano. a) Jakákoli bijekce mezi univerzy L-struktur je jejich izomorfismem. b)struktury N,0,1 a N,0,0 nejsouizomorfní. c) Konečná a nekonečná L-struktura nemohou být izomorfní. d)izomorfizmus h:a Bsesestrojíjako h=f g,kde f: U A U B a g: A U A B U B jsoubijekce.

TEST VPL, cvičení 31.10.12 Jméno: ÚLOHA 1 [Znění.] Definujte pojem ω-kategorická teorie. Nekomentujte Teorie je ω-kategorická, má-li právě jeden spočetný model až na izomorfismus. ÚLOHA2 [Příklad.] Rozhodněte,zdajevnásledujícíchpřípadechformule ϕ variantouformule ϕ,kde ϕje( z)( y)(x=y&y z) ( x)(x=y)a a) ϕ je( x)( y)(x=y&y x) ( x)(x=y), b) ϕ je( u)( v)(x=v&v u) ( w)(w=y). a)ne. b) Ano. a) xmávolnývýskytv( y)(x=y&y z). b) Obě podmínky jsou ve všech případech splněny.

ÚLOHA3 [Příklad.] Buď L = U,c,kde U jeunárnírelačnísymbolacjekonstantnísymbol.buď ϕformule U(c) U(x). a)najdětevšechny L-struktury A= A,U A,c A takové,že A = ϕ. b)určetemnožinu D Zdefinovanouformulí ϕvestruktuře Z,S,0,kde Sjemnožinavšechsudýchcelých čísel(tj. Sjerelace býtsudéceléčíslo ). a)jsoutoprávěstrukturysplňující c A / U A nebo U A = A. b)jetomnožina Ssudýchcelýchčísel. a) ϕ U(c) U(x). b) ϕ U(c) U(x),přitom S(0)platí.

TEST VPL, cvičení 14.11.12 Jméno: ÚLOHA1 [Znění.] Definujte,kdyjeprodvěstruktury A, B(vtémžejazyce L) Aelementárnípodstruktura B,tj. A B? Nekomentujte Právěkdyž A Baprokaždou L-formuli ϕ(x)al(x)-tici a Aje A = ϕ[a] B = ϕ[a]. ÚLOHA2 [Příklad.] Buď L= U jazyksunárnímrelačnímsymbolem U abuď A= Q,P,kde P jemnožina kladných racionálních čísel, L-struktura. Je každá podstruktura B A s nekonečným univerzem B a)izomorfnísa? b) elementárně ekvivalentní s A? a)ne. b)ne. a)struktura B= P,P neníelementárněekvivalentnísaatedyaniizomorfnísa. b)struktura B= P,P neníelementárněekvivalentnísa.

ÚLOHA3 [Příklad.] Buď L=,c,d,kde jebinárnírelačnísymbolac,djsoukonstantnísymboly.prokaždá m,n Zbuďte Z m,n = Z,,m,n aq m,n = Q,,m,n L-struktury,kde značíobvykléuspořádánína Zresp.na Q. Charakterizujte,právěprojaká m,nam,n platí a) Z m,n = Zm,n, b) Q m,n = Qm,n. a)právěkdyž m n=m n. b)právěkdyž m nam n jsouoběkladná,oběnulováčiobězáporná. a)proizomorfizmus hmusíbýt h(m)=m, h(n)=n apro i Ztaké h(n+i)=n + i.odtud m n = h(m) n = h(n+(m n)) n = m n.naopak,je-li m n=m n,tak h(x)=x+n njeizomorfismus. b)proizomorfizmus hmusíbýt h(m)=m, h(n)=n a m < n h(m) < h(n).naopak,je-likdykolinapř. m < nam < n,existujíbijekce h 1 :(,m] (,m ], h 2 :[m,n] [m,n ]ah 3 :[n, ) [n, )a h=h 1 h 2 h 3 jeizomorfizmus.zbylépřípadysezdůvodnípodobně.

TEST VPL, cvičení 21.11.12 Jméno: ÚLOHA1 [Znění.] Definujte,kdyjeprodvěstruktury A, B(vtémžejazyce L) AelementárněekvivalentnísB,tj. A B? Nekomentujte PrávěkdyžvAaBplatítytéžsentence. ÚLOHA 2 [Znění.] Definujte pojem modelově kompletní teorie. Nekomentujte Tjemodelověkompletní,pokudprokaždédvajejímodely A,Bje A B A B.

ÚLOHA3 [Příklad.] Buď L= U,c jazyksrovností,kde Ujeunárnírelačnísymbolacjekonstantnísymbol.Buď dále T teoriesaxiomyvyjadřujícímischémata existujenekonečněmnoho xsu(x) a existujenekonečněmnoho xs U(x). a) Kolik existuje až na izomorfismus spočetných modelů T? b) Uveďte tři vzájemně neizomorfní modely T s univerzem R. ÚLOHA 4 [Příklad.] Uveďte počet různých podstruktur struktury A pro a) A= Z,0,+,,kde+a jsouobvykléoperacesčítáníaopačnéhoprvkuvoborucelýchčísel, b) A= Z,0,1,+,,kde+a jsouobvykléoperacesčítáníaopačnéhoprvkuvoborucelýchčísel. Všechny nalezené podstruktury uveďte ve zdůvodnění.

ÚLOHA5 [Příklad.] NechťTjeteorievjazyce L= S sjedinýmunárnímfunkčnímsymbolemsasaxiomy S 2 (x)=x a existujenekonečněmnohoprvků.rozhodněte,zdaplatí: a) T je kompletní teorie. b) Tmáprávě ωspočetnýchmodelůažnaizomorfismus. a)ne. b) Ano. a)( x)(sx=x)jesentencenezávislávt. b)jdeomodely A m,n s m,n ω, m+n=ω,kde A m,n sestávázms-cyklůdélky1ans-cyklůdélky2. ÚLOHA6 [Příklad.] Buď A= Z,S struktura,kdeunárnífunkce Sjedánavztahem S(z)=z+1pro z Z,abuď X= {0}.Je XdefinovatelnávAbezparametrů? Ne. Zobrazení h : z z+1jeautomorfizmus Aah[X] X.Tedy X nenídefinovatelnábezparametrůdlekritéria nedefinovatelnosti.

TEST VPL, cvičení 5.12.12 Jméno: ÚLOHA1 [Znění.] Buď Tteorievjazyce L.Uvěďtejakézevztahů, (případnětéžžádnýčioba)lzevnásledujících případech dosadit na místo tak, abychom získali platné tvrzení: a) T má eliminaci kvantifikátorů T je 1-koexistenční. b) Tjekompletní Tje κ-kategorickáprokaždé κ ω. c) Tjef-homogenní Tjemodelověkompletní. d) Tmáprvomodel Tjekompletní. Nekomentujte a) oba, b) žádný, c), d). ÚLOHA 2 [Znění.] Buď P = {p, q, r, s} množina všech prvovýroků. Pomocí ekvivalentních úprav nalezněte k výroku ϕ:(p q)& ( r&s)výroksnímekvivalentníanavícvkonjunktivněnormálnímtvaru(cnf). Nekomentujte

ÚLOHA3 [Příklad.] Buď L= U,kde U jeunárnírelačnísymbol.buďdále T L-teoriesaxiomyvyjadřujícími existujenekonečněmnoho xsu(x). a) Jsou každé dvě podstruktury L-struktury N, N elementárně ekvivalentní? b) Je T otevřeně axiomatizovatelná teorie? a)ne. b)ne.

TEST VPL, cvičení 12.12.12 Jméno: ÚLOHA1 [Znění.] Buď Pneprázdnákonečnámnožinaprvovýroků, ϕvýroknad PaM P (ϕ)množinamodelů ϕ.uveďte výrok v CNF ekvivalentní ϕ. Nekomentujte ÚLOHA2 [Příklad.] Nechť P={p,q,r}jemnožinavšechprvovýrokůaϕje P-formule p q.zjistětepočet neekvivalentních P-teorií T takových, že T, ϕ je sporná teorie. Vyjádřete numericky. 2 2 =4 Platí: T,ϕjesporná T ϕdletvrzeníodůkazusporem.tedypočethledaných Tje2 MP ( ϕ) =2 2 =4.

ÚLOHA3 [Příklad.] Nechť Pjekonečnámnožinavšechprvovýrokůs P =latnějakáteorienad P.Zjistětepočet neekvivalentních P-výroků ϕ takových, že T ϕ. Výsledekvyjádřetepomocí M P (T) al.

TEST VPL, cvičení 9.1.13 Jméno: ÚLOHA1 [Znění.] a) Formulujte tvrzení o vztahu mezi eliminací kvantifikátorů a f-homogenitou. b)definujte,kdyje L(T)-struktura Aprvomodelemteorie T. Komentujte další pojmy, které uvedete. a) Je-li T f-homogenní, má eliminaci kvantifikátorů. b) Ajeprvomodel T,lze-li Aelementárněvnořitdokaždéhomodeluteorie T. Uveďte komentář. ÚLOHA2 [Příklad.] Nechť Tjevýrokováteorie {p q,q r}. a)najdětemnožinovoureprezentaci Tteorie T. b)určeterezolučníuzávěrrcl( T)množiny T. a) T= {{p, q},{q, r}} b)rcl( T)= T {{p, r}} b)zřejmějer({p, q},{q, r}, q)={p, r}arezolučnípodmínkajesplněna.žádnádalšídvojicemnožinovýchreprezentací klauzulí rezoluční podmínku nesplňuje.

ÚLOHA3 [Příklad.] Nechť L= U,c jejazyksrovností,kde Ujeunárnírelačnísymbolacjekonstantnísymbol. Buď dále S L-teorie s axiomy vyjadřujícími existuje nekonečně mnoho prvků x, takových že U(x), a nekonečně mnoho y,takovýchže U(y).Kolikmá Sjednoduchýchkompletníchextenzí(JKE)ažnaekvivalenciteorií? Řádně zdůvodněte kompletnost uvedených JKE. 2 Jde právě o extenze S o axiom U(c) resp. U(c). Obě jsou kompletní dle kategorického kritéria kompletnosti. Nemají totiž zjevně konečné modely a jsou ω-kategorické.

Náhradní a bonusové testy TEST VPL, cvičení 14.1.13 náhradní test bonusový Jméno: ÚLOHA 1 [Znění.] Formulujte větu o kompaktnosti predikátové logiky. Nekomentujte Teorie má model, právě když každá její konečná podteorie má model. ÚLOHA2 [Příklad.] Buď Pnekonečnámnožinaprvovýroků, v P 2modelnad PaK= {v}. a) Je K axiomatizovatelná? b) Je K konečně axiomatizovatelná? a) Ano. b)ne. a)teorie T= {p v(p) ;p P}axiomatizuje K.Přitom p 1 značí pap 0 značí p. b)předpokládejme,že Kjekonečněaxiomatizovatelná,tj.že K=M P (ϕ)pronějakouformuli ϕ.díkynekonečnosti Pexistuje p Pnevyskytujícíseve ϕ.buď w P 2model,kterýseshodujesvvšudekromě p a w(p) v(p).protožeplatnostformule ϕvmodelu v zjevnězávisíjennahodnotách v (q)prvovýroků q vyskytujícíchseve ϕ,je w = ϕ.tedy w K= {v}aw v spor.

ÚLOHA3 [Příklad.] SC 0 jeteorievjazyce L S,0 = S,0,kde Sjeunárnífunkčnísymbol,0jekonstantnísymbol, saxiomy(q1)0 Sx,(Q2) Sx=Sy x=y,(q7) x 0 ( y)(sy= x)a(sc-schema) x S n xpro0 < n N.Je SC 0 otevřeněaxiomatizovatelnáteorie? Ne. Promodel A=J 1 (0) =SC 0 ajehoprvek a= 1,m pronějaké m Zvolme Bpodstrukturu Agenerovanouprvkem a. Pak B A,ale B =SC 0 (neboť a BjevBnenulovýprvek,kterýnemábezprostředníhopředchůdce,tj. B =(Q7)). TedySC 0 neníotevřeněaxiomatizovatelnápodlekritériaotevřenéaxiomatizovatelnosti.

TEST VPL, cvičení 14.1.13 náhradní test 1 Jméno: ÚLOHA 1 [Znění.] Formulujte kategorické kritérium kompletnosti. Komentujte další pojmy, které uvedete. Nechťteorie Tnemákonečnémodelyaje κ-kategorickápronějaké κ L(T).Pak Tjekompletní. Uveďte komentář. T je kompletní, je-li bezesporná a každá její sentence je v ní dokazatelná nebo vyvratitelná. T je κ-kategorická, má-li až na izomorfizmus jediný model velikosti κ. ÚLOHA2 [Příklad.] Buďte p,q,r,sprvovýrokyaϕvýrok((p q) r)&s.převeďte ϕdokonjunktivněnormálního tvaru(cnf). ( p r)&( q r)&s Mámepostupně ϕ ( (p q) r)&s (( p& q) r)&s ( p r)&( q r)&s.

ÚLOHA3 [Příklad.] Buď A= R,,kde jeobvykléuspořádáníreálnýchčísel,ax=[1,3]uzavřenýinterval reálných čísel. Rozhodněte, zda je množina X definovatelná v A a) bez parametrů, b) s parametry. a)ne. b) Ano. a)zobrazení h:r r+1jeautomorfizmus Aah[X] X.Tedy Xnenídefinovatelnábezparametrůpodle kritéria nedefinovatelnosti. b) Xjedefinovánaformulí ϕ(x,y 0,y 1 ) (y 0 x&x y 1 )zparametrů1,3.

TEST VPL, cvičení 14.1.13 náhradní test 2 Jméno: ÚLOHA1 [Znění.] Nechť T jeteorieaχ(x,y)jejíformuletaková,ževt jedokazatelné( x)( y)χ(x,y)ataké (χ(x,y)&χ(x,y )) y= y.dálenechť Fje l(x)-árnífunkčnísymbolnevyskytujícísevl(t).definujteextenziteorie T oformulí χdefinovanýfunkčnísymbol F. Nekomentujte Jeto L(T) F -teorie T {F(x)=y χ(x,y)}. ÚLOHA2 [Příklad.] Buď Pkonečnámnožinavšechprvovýroků, P =l.nechťdále Sje P-teorie.Právěkolikje neekvivalentních teorií T takových, že T S je sporná teorie. Vyjádřetepomocí la M P (S). 2 2l M P (S) Je T Ssporná M P (T S)=.UžitímM P (T S)=M P (T) M P (S)jeposlednívztahdáleekvivalentnísM P (T) P 2 M P (S).Tedypočethledaných Tjerovenpočtupodmnožinmnožiny P 2 M P (S),cožjeprávě2 2l M P (S).

ÚLOHA3 [Příklad.] Buď A= [1, ), ab= [0, ),,kde[0, )resp.[1, )jsoupolouzavřenéintervaly reálnýchčísela značíobvykléuspořádánína[0, )resp.[1, ). a) Je A elementární podstruktura B? b)platí A = B? a)ne. b) Ano. a)buď ϕ(x)formule xjenejmenšíprvek.pak A = ϕ[1],avšak B = ϕ[1]. b)zobrazení x x 1jeizomorfizmus AaB.

TEST VPL, cvičení 14.1.13 náhradní test 3 Jméno: ÚLOHA 1 [Znění.] Formulujte větu o kompletnosti predikátové logiky. Komentujte další pojmy, které uvedete. Proteorii Tajejíformuli ϕplatí T = ϕ T ϕ. Uveďte komentář. T = ϕ,pokud A = ϕprokaždýmodel Ateorie T. T ϕ,existuje-lidůkaz ϕvt,tj.posloupnost ϕ 0,...,ϕ n L(T)-formulí taková,že ϕ ϕ i pronějaké iakaždá ϕ i jebuďtologickýaxiom,mimologickýaxiomteorie Tnebojeodvozenopomocí odvozovacíhopravidlamodusponensresp.generalizaceznějakých ϕ j,ϕ k resp. ϕ j s j,k < i. ÚLOHA2 [Příklad.] Nechť T= {p r, p q,r}jeteorievjazyceobsahujícímprvovýroky p,q,r.najděte: a)množinovoureprezentaci Tteorie T, b)rezolučníuzávěrrcl( T)množiny T. Zdůvodněte jen b). a) T= {{p, r},{ p,q},{r}} b)rcl( T)= T {{p},{q},{q, r}} Zřejmějekaždázmnožin {p},{q, r}výsledkemaplikacerezolučníoperacer(k,k,λ)nanějaké K,K T aliterál λ.dále {q}vzikneopětrezolučníoperacízk= {p}, K = { p,q}aλ p.žádnéjinékorektníužitírezolučníoperace nedávávýsledeknepatřícído T {{p},{q},{q, r}}.

ÚLOHA3 [Příklad.] Buď A= N,S,kde Sznačíobvyklouoperacinásledníkavpřirozenýchčíslech,tj. S(n)=n+1 pro n N. a) Kolik existuje různých podstruktur A? b) Kolik existuje vzájemně neizomorfních podstruktur A? a) ω b)1 a)podstruktury Ajsouprávětvaru A N npro n N,tedyjichje ω. b)jsou-li A N naa N mdvěpodstruktury Aan m,jezobrazení f: N n N mdanévztahem f: x x+(m n)izomorfizmem A N naa N m.