Obor vzdělání: 23 45 L/01 Platnost: 1.9.2010 Název ŠVP: Mechanik seřizovač Forma vzdělání: denní MATEMATIKA Ročník: 1 Počet hodin celkem: 3 hod/týden = 99 Rozpis výsledků vzdělávání a učiva Výsledky vzdělávání Rozpis učiva tematické celky Počet hodin Provádí aritmetické operace s přirozenými a celými čísly: - Rozlišuje prvočíslo a číslo složené, rozkládá prvočíslo na prvočinitele - Užívá pojem dělitelnost a znaky dělitelnosti - Určuje nejmenší společný násobek a největší společný dělitel - Užívá pojem opačné číslo - Užívá pojem dělitelnost a znaky dělitelnosti - Určuje nejmenší společný násobek a největší společný dělitel - Provádí základní aritmetické operace a rozlišuje přednosti aritmetických operací Provádí operace s reálnými čísly: - Pracuje s různými tvary zápisu racionálních čísel a provádí jejich převody - Určuje řád čísla - Provádí operace s desetinnými čísly včetně zaokrouhlování - Znázorňuje číslo na číselné ose - Zařazuje číslo do příslušného číselného oboru - Užívá pojem opačné číslo a převrácené číslo - Určuje absolutní hodnotu čísla a chápe její geometrický význam Provádí operace s výroky: - Užívá pojem výrok a určuje jeho negaci - Výroky o celých číslech znázorňuje na číselné ose (<, >,, ) včetně negací - Používá logické operátory,, negace - Určuje negace složených výroků Provádí základní množinové operace: - Určuje množinu výčtem prvků a charakteristickou vlastností - Provádí množinové operace průnik, sjednocení, doplněk - Při zápisu používá symboly,, - Množinové operace s čísly znázorňuje na číselné ose - Při řešení slovních úloh používá Vennovy diagramy Operace s čísly a výrazy 1. Číselné obory - přirozená čísla - celá čísla - reálná čísla - absolutní hodnota čísla 2. Výroky a jejich negace - výrok - negace výroku - logické operátory - složený výrok a jeho negace 3. Množiny a intervaly - sjednocení množin - průnik množin - doplněk množiny - Vennovy diagramy 1 4 5
Řeší úlohy na přímou a nepřímou úměru: - Rozumí pojmu poměr, ovládá jeho zápis - Aplikuje pojem poměr na měřítko, určuje skutečné rozměry podle měřítka - Rozlišuje přímou a nepřímou úměrnost - Při řešení úloh používá trojčlenku - Řeší úlohy na procenta Provádí operace s mocninami a odmocninami: - Provádí operace s přirozeným, celým a racionálním exponentem - Používá pravidla pro počítání s mocninami a odmocninami - Využívá částečné odmocňování a usměrňování zlomků při úpravě výrazů s odmocninami - Využívá zápisu čísla ve tvaru a.10 n Pracuje s algebraickými výrazy: - Určuje hodnotu číselného výrazů i výrazu s proměnnou - Používá pojmy člen výrazu, výraz opačný, koeficient - Provádí početní operace s mnohočleny - Používá vzorce pro druhou mocninu dvojčlenu a rozdíl druhých mocnin - Rozloží mnohočlen na součin použitím vzorců a vytýkáním - Určuje definiční obor lomeného výrazu - Provádí operace s lomenými výrazy 4. Poměr, úměrnost - poměr - přímá a nepřímá úměrnost - trojčlenka - procentový počet 5. Mocniny a odmocniny - mocniny a odmocniny s přirozeným exponentem - mocniny a odmocniny s celým a racionálním exponentem - úpravy výrazů s mocninami a odmocninami. Algebraické výrazy - početní úkony s mnohočleny - hodnota výrazu - úpravy výrazů podle vzorců - úpravy lomených výrazů 12 12 Rozlišuje jednotlivé druhy funkcí. Sestrojí graf funkce zadané tabulkou a předpisem: - Používá pojmy definiční obor, obor hodnot, hodnota funkce v bodě - Stanovuje definiční obor a obor hodnot funkce - Určuje průsečíky grafu funkce s osami soustavy souřadnic - Popisuje vlastnosti funkcí (monotónní, rostoucí, klesající, periodická, prostá, inverzní, spojitá, nespojitá, sudá, lichá, ohraničená, asymptoty, maximum, minimum, konvexnost, konkávnost) - Modeluje reálné děje pomocí grafů funkcí Rozpozná lineární funkci typu y=ax+b: - Stanoví průsečíky grafu s osami a sestrojí graf - Určuje předpis lineární funkce z daných bodů nebo grafu funkce Funkce a její průběh 1. Základní poznatky o funkcích - zadání funkce - sestrojení grafu funkce - základní pojmy vlastnosti funkcí 2. Lineární funkce - konstantní funkce - funkce lineární - funkce lineární lomená s absolutní hodnotou 2
Řeší reálné problémy pomocí lineární funkce a soustav lineárních funkcí: - Rozlišuje a používá ekvivalentní a neekvivalentní úpravy rovnic - Sestrojí graf lineární funkce a určí řešení, grafické řešení ověří analyticky - Sestrojí grafy dvou lineárních funkcí, určí průsečíky a řešení, grafická řešení ověří analyticky metodou sčítací a dosazovací Používá pojem a vlastnosti nepřímé úměrnosti - Načrtne graf nepřímé úměrnosti - Řeší reálné problémy pomocí nepřímé úměrnosti Rozpozná kvadratickou funkci a určí její vlastnosti: - Určí souřadnice vrcholu a načrtne graf funkce - Pomocí grafu určí definiční obor a obor hodnot - Pomocí grafu řeší kvadratické rovnice a nerovnice - Pomocí grafů určí průsečík paraboly a přímky a řeší tak soustavu s kvadratickou a lineární rovnicí - Řeší reálné problémy pomocí kvadratické funkce (rovnoměrný a zrychlený pohyb, volný pád, vrh šikmý) Sestrojí graf zadané funkce v tabulkovém procesoru (Excel, Calc) 3. Lineární rovnice a nerovnice a jejich soustavy - grafické a analytické řešení rovnic a nerovnic - grafické a analytické řešení soustav dvou lineárních rovnic a nerovnic - maticový zápis soustavy rovnic - Jordan-Gaussova eliminační metoda řešení soustav 4. Nepřímá úměrnost - funkce nepřímé úměrnosti - graf nepřímé úměrnosti 5. Kvadratická funkce - graf kvadratické funkce - grafické řešení kvadratické rovnice a nerovnice - analytické řešení kvadratické rovnice a nerovnice - grafické řešení soustavy lineární a kvadratické rovnice. Grafy funkcí v tabulkovém procesoru (průběžně) 12 4 4 Rozezná aritmetickou a geometrickou posloupnost: - Vypočítá diferenci a quocient ze dvou členů posloupnosti - Vypočte n-tý člen aritmetické a geometrické posloupnosti - Vypočte součet n členů aritmetické a geometrické posloupnosti Pomocí tabulek a tabulkového procesoru: - Vypočte budoucí hodnotu při spoření a splátkách - Vypočte velikost vkladu z budoucí hodnoty - Vypočte počet splátek ze spořené (splácené) částky a budoucí hodnoty - Vypočte velikost splátky z doby spoření a budoucí hodnoty Posloupnosti a základy finanční matematiky 1. Aritmetická posloupnost - diference - výpočet n-tého členu - součet n členů posloupnosti 2. Geometrická posloupnost - quocient - výpočet n-tého členu - součet n členů posloupnosti 3. Finanční matematika - úročitel, odúročitel - střadatel, zásobitel - umořovatel - výpočty v tabulkovém procesoru Excel (funkce BUDHODNOTA, SOUČHODNOTA, PLATBA) 3 10
Ročník: 2 Počet hodin celkem: 4 hod/týden = Rozpis výsledků vzdělávání a učiva Výsledky vzdělávání Používá goniometrické funkce: - Používá obloukovou i stupňovou míru úhlů - Sestrojí grafy základních goniometrických funkcí pomocí jednotkové kružnice a určí definiční obor a obor funkčních hodnot - Určí hodnoty goniometrických funkcí pomocí tabulek nebo kalkulátoru - Určí hodnoty inverzních goniometrických funkcí pomocí tabulek nebo kalkulátoru - Používá vztahy mezi goniometrickými funkcemi a součtové vzorce k úpravám výrazů - Řeší jednoduché goniometrické rovnice - Využívá goniometrické funkce při řešení pravoúhlého trojúhelníka - Pomocí goniometrických funkcí rozloží vektor na pravoúhlé složky (rychlost, síla) - Používá pojmy perioda, amplituda, kvadrant, počáteční fáze (fázový posun), frekvence, úhlová rychlost, vlnová délka - Popisuje reálné fyzikální jevy pomocí funkce sin (kruhový pohyb, kmitání, vlnění) Rozpis učiva tematické celky Funkce 1. Goniometrické funkce - definice funkcí sin, cos, tg, cotg z jednotkové kružnice - vlastnosti a grafy goniometrických funkcí - vztahy mezi goniometrickými funkcemi, základní vzorce - využití goniometrických funkcí při řešení pravoúhlého trojúhelníka - goniometrické funkce a vektory - periodické děje Počet hodin 30 Rozpozná exponenciální funkci: - Podle členů a, b, c načrtne graf funkce a určí její charakteristické vlastnosti (obor hodnot, průchozí bod, posun grafu, asymptota, rostoucí, klesající) - Vypočítá hodnotu funkce v daném bodě - Používá funkce o základu 10 a základu e Rozpozná logaritmickou funkci: - Načrtne graf funkce a určí její charakteristické vlastnosti (obor hodnot, průchozí bod, posun grafu, asymptota, rostoucí, klesající) - Graficky určí a načrtne inverzní funkci k logaritmické funkci - Vypočítá hodnotu funkce v daném bodě - Zlogaritmuje a odlogaritmuje číslo pomocí tabulek nebo kalkulátoru při základu e i 10 - Používá logaritmování při numerických výpočtech 2. Exponenciální funkce - funkce y=a x - funkce y=a (x-b) - funkce y=a (x-b) +c - funkce y=10 x - funkce y=e x - jednoduché exponenciální rovnice 3. Logaritmické funkce - funkce y=log a x+b - vlastnosti logaritmů (logaritmus součinu, podílu, mocniny a odmocniny) 10 10 4
Používá logaritmování a odlogaritmování při řešení jednoduchých exponenciálních a logaritmických rovnic 4. Exponenciální a logaritmické rovnice - převod na společný základ - logaritmování - převod na exponenciální tvar - substituce - Znázorní komplexní číslo v Gaussově rovině. - Provádí základní matematické operace s komplexními čísly v algebraickém i goniometrickém tvaru - Používá tabulkový procesor k usnadnění práce s komplexními čísly 5. Komplexní čísla - definice, reálná složka, imaginární složka, absolutní hodnota - algebraický a goniometrický tvar komplexního čísla - operace sčítání, odčítání, násobení, dělení - Moivreova věta - význam komplexních čísel v elektrotechnice - výpočty s komplexními čísly v tabulkovém procesoru (Excel) 5 Sestrojí graf zadané funkce v tabulkovém procesoru (Excel, Calc). Vytváření grafů funkcí v tabulkovém procesoru (průběžně) 3 5
Ročník: 3 Počet hodin celkem: 2 hod/týden = Rozpis výsledků vzdělávání a učiva Výsledky vzdělávání - Popíše vzájemnou polohu bodu a přímky, dvou přímek a polopřímek - Narýsuje rovnoběžky, různoběžky, kolmice, úhly - Určí kolmou vzdálenost bodu a přímky - Popíše a zakreslí vlastnosti trojúhelníka vrcholy, strany, úhly, těžnice, těžiště - Používá trojúhelníkovou nerovnost i určení vzájemné polohy bodů - Používá věty o podobnosti a shodnosti trojúhelníků, Euklidovy věty a Pythagorovu větu v početních a konstrukčních úlohách - Používá goniometrické funkce v početních úlohách při řešení pravoúhlého trojúhelníka - Používá sinovou a kosinovou větu při řešení obecného trojúhelníka - Vypočítá obsah obecného trojúhelníka pomocí Heronova vzorce - Popíše charakteristické vlastnosti kružnice a její části - Sestrojí kružnici opsanou a vepsanou trojúhelníku - Používá věty o středových úhlech a Thaletově kružnici ke konstrukčním úlohám - Vypočítá obvod kružnice, délku oblouku a tětivy - Vypočítá obsah kruhu, kruhové výseče, úseče, mezikruží a výseče mezikruží - Rozlišuje čtyřúhelníky, určí jejich strany, základny, ramena, střední příčky, příčky, úhlopříčky - Vypočítá obvod a obsah rovnoběžníků a lichoběžníků - Vypočítá obsah a obvod pravidelného mnohoúhelníku Rozpis učiva tematické celky Planimetrie 1. Základní geometrické pojmy - bod, přímka, polopřímka, úsečka, rovina, polorovina, úhel, rovnoběžky, různoběžky, kolmice, kolmá vzdálenost 2. Trojúhelník - prvky trojúhelníka (vrcholy, strany, úhly, střední příčka, těžnice, těžiště, výška, obsah, obvod) - trojúhelníková nerovnost - podobnost, shodnost - Euklidovy věty, Pythagorova věta - goniometrické funkce - řešení pravoúhlého trojúhelníka - řešení obecného trojúhelníka (věta sinová, věta kosinová, Heronův vzorec) - konstrukční úlohy 3. Kružnice a její části, kruh a jeho části - charakteristiky (poloměr, průměr, střed, tětiva, tečna, sečna, oblouk, obvod a obsah, výseč, úseč, mezikruží, výseč mezikruží) - obvodový a středový úhel, Thaletova věta - kružnice opsaná a vepsaná trojúhelníku - početní a konstrukční úlohy 4. Mnohoúhelníky obsah a obvod - čtyřúhelníky (čtverec, obdélník, kosočtverec, kosodélník, lichoběžník) - pravidelný mnohoúhelník Počet hodin 2 4
- Popíše, čím je určena přímka a rovina v prostoru Stereometrie 1. Základní stereometrické pojmy - bod, přímka, rovina, prostor - určenost přímky a roviny - kolmost, kolmice, průsečnice 2 - Určí a popíše vzájemnou polohu dvou přímek, přímky a roviny, dvou rovin a tří rovin, kolmost přímky a roviny, kolmost dvou rovin - Určí vzdálenost bodu od přímky a roviny 2. Vzájemná poloha bodů, přímek a rovin - vzájemná poloha dvou přímek (různoběžky, rovnoběžky, mimoběžky) - vzájemná poloha přímky a roviny - vzájemná poloha dvou rovin - vzájemná poloha tří rovin - Vypočítá objem a povrch geometrických těles a jejich částí - Při určování objemů a povrchů využívá znalostí trigonometrie 3. Geometrická tělesa - objem a povrch krychle, kvádru a hranolu - objem a povrch válce - objem a povrch koule a jejich částí (kulový vrchlík, kulová úseč a výseč, kulový pás a vrstva) - objem a povrch kužele a komolého kužele - objem a povrch jehlanu a komolého jehlanu - řešení úloh 10 7
- Používá základní kombinatorické pravidlo součinu - Vypočítá faktoriál čísla - Vypočítá permutace, variace a kombinace bez opakování - Provádí operace s kombinačními čísly, používá Pascalův trojúhelník - Určí n-tou mocninu mnohočlenu podle binomické věty Teorie pravděpodobnosti a matematická statistika 1. Kombinatorika - kombinatorické pravidlo součinu - permutace - variace - kombinace - kombinační čísla, faktoriál - Pascalův trojúhelník - binomická věta - Rozliší elementární jev, jistý jev, možný jev a nemožný jev - Určí pravděpodobnost elementárního možného jevu podle klasické definice pravděpodobnosti - Určí pravděpodobnost jevu z relativní četnosti jevu 2. Počet pravděpodobnosti - základní pojmy (hromadnost, náhodnost, elementární jev, jev jistý, jev možný, jev nemožný, jevy vzájemně slučitelné a neslučitelné) - klasická definice pravděpodobnosti - Užívá pojmy statistický soubor, prvek souboru, znak souboru, třída a třídní znak souboru, absolutní a relativní četnost prvku - Vypočítá aritmetický průměr souboru - Určí medián a modus souboru - Vypočítá variační rozpětí, průměrnou odchylku, relativní průměrnou odchylku, rozptyl a směrodatnou odchylku - Ke zpracování dat používá tabulkový kalkulátor (Excel) 3. Matematická statistika - základní pojmy (statistický soubor, prvky souboru, znak souboru, třídy souboru, četnost prvků) - aritmetický průměr - vážený aritmetický průměr - medián - modus - variační rozpětí - průměrná odchylka - relativní průměrná odchylka - rozptyl - směrodatná odchylka 4. Zpracování statistických dat - ručně - pomocí tabulkového kalkulátoru (Excel)
Ročník: 4 Počet hodin celkem: 3 hod/týden = 99 Rozpis výsledků vzdělávání a učiva Výsledky vzdělávání - Vypočítá vzdálenost dvou bodů v pravoúhlé soustavě souřadnic - Určí souřadnice středu úsečky - Zapíše vektor pomocí jednotkových vektorů a pomocí polárních souřadnic - Vypočítá skalární součin vektorů a určí jejich vzájemnou polohu - Používá různé druhy zápisu rovnice přímky - Výpočtem určí vzájemnou polohu dvou přímek a vzdálenost bodu od přímky - Používá obecnou rovnici roviny, upraví ji do úsekového tvaru a zakreslí v pravoúhlém souřadnicovém systému - Určí vzájemnou polohu přímky a roviny - Používá různé druhy zápisu rovnice kružnice, upraví ji na středový tvar a zakreslí v pravoúhlém souřadnicovém systému - Výpočtem určí vzájemnou polohu přímky a kružnice - Používá různé druhy zápisu rovnice elipsy, upraví ji na středový tvar, určí parametry a zakreslí v pravoúhlém souřadnicovém systému - Výpočtem určí vzájemnou polohu přímky a elipsy - Používá různé druhy zápisu rovnice paraboly, upraví ji na vrcholový tvar, určí parametry a zakreslí v pravoúhlém souřadnicovém systému - Výpočtem určí vzájemnou polohu přímky a paraboly - Používá různé druhy zápisu rovnice hyperboly, upraví ji na středový tvar, určí parametry a zakreslí v pravoúhlém souřadnicovém systému - Výpočtem určí vzájemnou polohu přímky a hyperboly Rozpis učiva tematické celky 9 Analytická geometrie v rovině, geometrie kvadratických útvarů 1. Vektory - souřadnicový systém, vzdálenost dvou bodů - operace s vektory (velikost, součet, rozdíl, odchylka, průmět, projekce, skalární součin, kolmost vektorů, význam vektorů ve fyzice) 2. Přímka - směrnicový, obecný a parametrický tvar rovnice přímky - vzájemná poloha dvou přímek - vzdálenost bodů od přímky 3. Rovina - obecná rovnice roviny v prostoru - úsekový tvar rovnice roviny - vzájemná poloha přímky a roviny 4. Kružnice - geometrická definice kružnice - středová rovnice - obecná rovnice - vyjádření v polárních souřadnicích - vzájemná poloha přímky a kružnice 5. Elipsa - geometrická definice elipsy - středová rovnice - obecná rovnice - vzájemná poloha přímky a elipsy. Parabola - geometrická definice paraboly - vrcholová rovnice - obecná rovnice - vzájemná poloha přímky a paraboly 7. Hyperbola - geometrická definice hyperboly - středová rovnice - obecná rovnice - vzájemná poloha přímky a hyperboly Počet hodin
- Určí definiční obor a obor hodnot funkce - Definuje spojitost a limitu funkce - Používá základní věty o limitách k určování limit jednoduchých funkcí a posloupností - Vypočítá součet konvergentní nekonečné řady jako limitu sumy geometrické nekonečné řady - Definuje pojem derivace funkce - Využívá derivace k výpočtům základních fyzikálních veličin - Používá věty o derivacích součtu, rozdílu, součinu a podílu funkcí - Určí derivaci složené funkce - Používá základní vzorce pro určování mocninných a goniometrických funkcí - Využívá derivace k vyšetřování průběhu funkcí, určování směrnic tečen apod. - Definuje neurčitý integrál jako množinu primitivních funkcí - Používá základní vzorce k určování neurčitého integrálu mocninných a goniometrických funkcí - Pomocí určitého integrálu vypočítá plochu jednoduchých geometrických obrazců a objem jednoduchých těles Matematická analýza 2. Určování definičního oboru a oboru funkčních hodnot funkcí - spojitost a limita funkcí (konvergence, divergence) - limita v nevlastním bodě - limita posloupnosti - součet konvergentní nekonečné řady 3. Derivace funkce - definice derivace funkce - fyzikální a geometrický význam derivace - věty o derivacích funkcí - derivace mocninných a goniometrických funkcí - vyšetřování průběhu funkcí pomocí derivací 4. Určitý a neurčitý integrál - primitivní funkce a neurčitý integrál - integrál mocninných a goniometrických funkcí - určitý integrál - význam určitého integrálu při výpočtech povrchů a objemů obrazců a těles 12 1 15 Opakování učiva 20 10