Prof. Zw. Dr. Hab. Adam Plocki Nowy Sacz, 8. dubna 2014 Instytut Pedagogiczny Panstwowej Wyzszej Szkoly Zawodowej W Nowym Saczu 33-300 Nowy Sacz Rzeczpospolita Polska Recenze habilitační práce Metodologie matematiky jako předmět antropomatematických zkoumání a hodnocení vědeckých a pedagogických výsledků Dr. Anny K. Zeromské 1. Recenze habilitační práce 1.1 Připomínky k obsahu práce Práce popisuje syntézu teoretických úvah a výsledků didaktických výzkumů provedených autorkou a odkazujících se na důležitý element znalostí a matematických dovedností studentů, souvisejících s metodologií matematiky - vysvětlením, argumentací a důkazem. Je prezentována idea specifického přístupu zkoumání v didaktice, nazvaného antropomatematickým přístupem. Práce, sepsaná na 124 stranách, se skládá z úvodu, pěti hlavních kapitol, popisu směrů dalších zkoumání a seznamu použité literatury, obsahujícího celkem 72 titulů včetně bibliografie cizojazyčné. V první části práce nacházíme četné reference vztahující se k matematice jako vědnímu oboru, zejména k její metodologii. Autorka se zamýšlí nad pojmem tvrzení a dokazování odvolávajíc se na definice a názory matematiků, metodologů matematiky a logiků. Bere v potaz různé označení termínu usuzování". Kromě deduktivního usuzování, charakteristického pro dokazování, existují jiné, například induktivní usuzování nebo usuzování pomocí analogie. V práci představuje také výsledky rozsáhlé literární diskuze probíhané v literatuře (matematické a didaktické) na téma role důkazů v matematice. Autorka zdůrazňuje, že kromě poznávací role plní matematický důkaz také roli společenskou; a sice je nástrojem a prostředkem stvrzení faktu společenského uznání pravdivosti daného tvrzení (s. 21). O aspektu matematického dokazování uvažují i didaktici a matematici, jmenovitě: Balacheff, 1987; Davis & Hersh, 1994; Thurston, 1994; Hanna, 2000). V práci je
prezentováno osm funkcí, jaké může matematický důkaz plnit (s. 22-23 práce). Jedná se o funkci: ověřovací, vyjasňovací (vysvětlující), přesvědčovací, systematizující, komunikační estetickou, satisfakční a transferovou Autorka každou funkci charakterizuje a ilustruje vhodně zvolenými příklady (z oblasti elementární a vyšší matematiky). Je zdůrazňována vyjasňovací funkce matematického důkazu, která podtrhuje, že se jedná o logický postup odpovídající na otázku proč. To vysvětluje vytváření nových důkazů pro tvrzení, která byla dokázána již dříve. Práce obsahuje rovněž zajímavé rozsáhlé teoretické studium věnované úloze reality v matematickém výzkumu. Cílem tohoto studia je hlubší porozumění a vyjasnění důvodů, díky kterým je vytváření obecných závěrů studenty z pozorování konkrétních příkladů velmi často používaným způsobem usuzování i přesto, že jsou na hodinách seznámeni s důkazy obecných tvrzení. Autorka poukazuje na příčiny tohoto stavu věci. Potenciálního čtenáře upozorňuje (na základě literatury týkající se evoluce matematiky a jejího učení, např. Duda, 1989,1995) na to, že v počátcích dějin rozvoje matematiky byla matematická věda ve velké míře výsledkem používání přírodních metod jako pozorování, experiment, indukce či analogie. Příklady, které Anna K. Žeromská dobře vybrala, korespondují s úvahami G. Polyi. Ukazují na fakt, že v pozdějších etapách rozvoje matematiky nebyla opomenuta role empirie, ačkoli nebyla tolik exponovaná. Potvrzuje to citované myšlenkové schéma, které Polya nazývá induktivním základním schématem, reprezentujícím věrohodné usuzování (vzhledem ke zkoumání Eulerovy hypotézy). Závěr této části práce je následující: přirozeným elementem úvahy logického postupu v matematickém zkoumání (jak z počátků dějin rozvoje matematiky, stejně jako těch pozdějších, jakož i částečně těch současných) je empirie. Autorka však zjevně upozorňuje na nutnost uvědomění studentů, že ověření příkladem nemůže stačit k ověření pravdivosti tvrzení v matematice. Bere v úvahu potřebu analyzovat se studenty situace, ve kterých závěr na základě empirie selže. Naznačuje také použití propagované metody Z. Krzygowske změny konstanty, která umožňuje objevit obecný argument v důsledku usuzování nad konkrétním příkladem. V další části práce autorka charakterizuje význam termínu antropomatematika, který vystupuje v titulu práce. Zdůrazňuje především, že v souladu s tímto významem náleží pohlížet na matematiku ne jako na hotovou vědu, nýbrž jako na intelektuální činnost člověka. Dalším předpokladem tohoto teoreticko-badatelského přístupu k procesu vyučování-učení se matematiky je to, že proces probíhá v sociálním kontextu. Tento sociální aspekt je třeba vnímat v souladu s důležitou a často rozhodující rolí učitele, jehož znalosti, názory a stanoviska v matematice a jeho výuka silně ovlivňují proces vzdělávání. Nadto přístup k bádání, který autorka doporučuje, bere v úvahu vzájemné vztahy běžných znalostí účastníků zaangažovaných do procesu vzdělávání. Následně autorka představuje, jaké konsekvence mají tyto předpoklady ve vztahu k bádání v oboru didaktiky matematiky.
Další části práce uzavírají výsledky didaktických bádání provedených autorkou z perspektivy antropomatematického přístupu - v rozsahu otázky argumentace, vyjasnění a dokazování ve školské matematice. Dále potvrzují onu oprávněnost dříve vyjádřeného názoru autorky, který stvrzuje tendence dokazování obecných tvrzení empirickým způsobem, jež se objevují jak u studujících různého stupně vzdělání tak i u studentů matematiky. V práci (postulované A. K. Žeromskou) představené výsledky bádání odůvodňují potřebu provádění komplexních bádání v didaktice matematiky, což přímo vyjadřuje jeden ze závěrečných doporučení práce: Antropomatematický přístup dává perspektivu nového pohledu na vzájemné souvislosti mající místo v procesu vyučování - učení se v přirozených podmínkách ve třídě (s. 114). 1.2. Úvahy recenzenta nad dalšími směry výzkumu Uvažování autorky na téma role konkretu v matematickém usuzování považuji za velmi důležité. V této souvislosti by stálo za to zmínit se o zásadě prefigurace formulované J. Brunerem, v jejímž smyslu začíná každé matematické poznání od enaktivních forem (od reality a konkrétních činností) přes ikonické prezentace (včetně náčrtku) přenáší do světa matematické abstrakce. Předchůdcem této zásady byl ve skutečnosti Jan Amos Komenský, který ve svém díle Zásady velké didaktiky napsal: nic není v rozumu, co by dříve neprošlo smysly O tom, jak málo bývá přesvědčivá síla matematického dokazování a obecně dedukce a výpočtů svědčí tzv. Paradox společných narozenin. Z výpočtů v odpovídajícím pravděpodobnostním prostoru (čili z výsledků dedukce a výpočtů) vyplývá, že s pravděpodobností blízké 1 (a tedy prakticky jistě) jsou ve skupině 50 náhodně potkaných osob aspoň dvě osoby slavící narozeniny ve stejný den. Tomu se výrazně příčí intuice (tomuto matematickému faktu lidé nevěří). Intuice napovídá, že tato pravděpodobnost je blízká 0. Zatímco to, co se zdá prakticky nemožné, je prakticky jisté. Více přesvědčivé než výsledky dedukcí a výpočtů jsou empirické údaje. Ve výzkumech autorky je možné ještě vzít v potaz stochastický aspekt matematického vzdělávání. Ve stochastických závěrech hrají zvláštní roli statistické údaje, jakožto výsledky konkrétních činností, především losování. Tyto údaje se stávají základem věrohodných odhadů a také ověřování některých hypotéz. Jedná se o závěry zahrnující specifické argumentace, nezvyklé odůvodnění faktů, týkajících se pravděpodobnostního prostoru, jako matematického modelu některé nematematické (reálné) situace. Výše uvedené úvahy k obsahu výzkumu jsou propozicí, aby do dalšího výzkumu nad formami odůvodnění, argumentování, dokazování, ověřování v matematice i její výuce, byly začleněny také počet pravděpodobnosti a matematická statistika.
2. Hodnocení vědeckého a pedagogického přínosu dr. Anny K. Žeromské Úplnost hodnocené vědecké práce úzce souvisí s oborem didaktiky matematiky. Zahrnuje výsledky vlastních základních výzkumů z tohoto oboru, orientovaných na porozumění procesu vyučování-učení se matematiky, a to na různých úrovních odbornosti. Ty byly prezentovány na 54 vědeckých konferencích, včetně 24 zahraničních. Dr. Anna K. Žeromská pracuje jako vysokoškolská učitelka po dobu 25let. Za tuto dobu vedla různé didaktické činnosti: přednášky, cvičení, bakalářské i magisterské semináře, konversatoria pro doktorandy a praxe v různých typech škol. Navíc aktivně spolupracovala s polským vzdělávacím střediskem (jednalo se např. o školeních pro učitele, matematické soutěže pro studenty). 3. Závěr Po seznámení se s habilitační prací dr. Anny Žeromské potvrzuji, že představuje onu originální koncepci (dokumentovanou příklady a tedy její exemplifikace) komplexních bádání, týkajících se otázky metodologie matematiky ve výuce tohoto předmětu. Problematika má zvláštní význam z hlediska didaktiky matematiky a recenzovaná práce je zajímavým vědeckým přínosem v tomto oboru. Celkový výsledek potvrzuje vysoká vědecká i pedagogická kvalifikace dr. Anny Žeromské. Navrhuji proto udělení titulu docent ve studijním oboru 9.1.8 Teorie vyučování matematiky.