Úvod Mince zajímají nejen numismatiky (Coins are of interest not only for numismatists) L'ubomíra Dvoøáková, Marie Dohnalová, Praha Abstrakt V èlánku zmíníme pojmy týkající se platby mincemi, které souvisejí s optimalitou poètu pou¾itých mincí. V pøípadì problému platby (øíká se také rozmìòování { anglicky change making problem), tj. skládání èástky z mincí bez mo¾nosti vracení, jsou úlohy spojené s optimalitou dobøe prozkoumané. Analogické úlohy zformulujeme pro smìnu, tj. skládání èástky z mincí s mo¾ností vracení. Zde zùstává naopak øada problémù otevøená. U¾ jste nìkdy pøemý¹leli o výhodách a nevýhodách hodnot èeských mincí? Platíme ka¾dou èástku relativnì nízkým poètem mincí? Lze takové výhodné platby provádìt hladovým algoritmem? Nevyplatilo by se do èeského systému nìjakou minci pøidat? A bylo výhodné ukonèit v roce 2008 platnost padesátníku? A co kdy¾ porovnáme èeské koruny s americkými centy, eury nebo nìkterými exotickými mìnami? Budou v nìjakých ohledech èeské koruny výhodnìj¹í? Tyto a podobné otázky si klade J. Shallit a kol. v èlánku [4], který nás inspiroval ke studiu této problematiky, a také první z autorek v èlánku [1]. My se nyní ov¹em témìø odpoutáme od reálných systémù mincí a budeme studovat problematiku obecnìji. V první èásti denujeme a prozkoumáme reprezentaci èástek pøi platbì a speciálnì optimální reprezentaci a s ní související optimální systémy mincí. Dále se budeme zabývat hladovou reprezentací a s ní spjatými optimálními hladovými systémy. Vy¹etøíme, jaký vztah mezi optimálními a hladovými reprezentacemi splòují obvykle reálné systémy mincí. Dále uvedeme známé výsledky týkající se slo¾itosti nejznámìj¹ích platebních problémù. Ve druhé èásti denujeme smìnu a zformulujeme pro ni analogické pojmy jako pro platbu. Uvedeme, které problémy zùstávají v pøípadì smìny otevøené, a zmíníme, jaké výsledky z teorie numeraèních systémù by mohly pøi jejich øe¹ení pomoci. 1 Platba Platbou rozumíme, vágnì øeèeno, skládání èástky pomocí daných mincí. Denice 1. Mìjme D N, e 1, e 2,..., e D N (mince), kde 1 = e 1 < e 2 <... < e D, dále N N 1 a n {1, 2,..., N} (èástka). Pokud n = D i=1 a ie i, kde a i N {0}, pak (a D,..., a 2, a 1 ) nazveme reprezentací n (pøi platbì). 2 1 V reálných systémech mincí obvykle klademe N rovné hodnotì nejni¾¹í bankovky. Pro èeské mince je tedy N = 100, pro americké centy takté¾ N = 100 (kovový dolar je spí¹e raritou). 2 Èasto budeme pro jednoduchost nazývat reprezentací pøímo zápis ve tvaru D i=1 a ie i. 1
Øíkáme, ¾e tato reprezentace je optimální (nebo minimální), pokud D i=1 a i je minimální mezi v¹emi reprezentacemi èástky n. Pøíklad 1. Uva¾ujeme-li èeské koruny e 1 = 1, e 2 = 2, e 3 = 5, e 4 = 10, e 5 = 20, e 6 = 50, pak 30 = 1 20 + 1 10 = 30 1, tedy (0, 1, 1, 0, 0, 0) a (0, 0, 0, 0, 0, 30) jsou pøíklady reprezentací èástky 30Kè, pøièem¾ první z nich je optimální. Jak uvidíme za chvíli, v pøípadì èeských korun má ka¾dá èástka jedinou optimální reprezentaci. Nemusí tomu tak ov¹em být v¾dy. Mìjme mince v hodnotách e 1 = 1, e 2 = 2, e 3 = 3, e 4 = 4, potom 5 = 1 4 + 1 1 = 1 3 + 1 2, tedy optimální reprezentace 5 jsou (1, 0, 0, 1) i (0, 1, 1, 0). Poznámka 1. Pro zaji¹tìní jednoznaènosti optimální reprezentace se obvykle denice doplòuje tak, ¾e optimání reprezentací rozumíme lexikogracky nejvìt¹í 3 z reprezentací, které obsahují minimální poèet mincí. V pøedchozím pøíkladì je tedy optimální reprezentací 5 pøi takto roz¹íøené denici reprezentace (1, 0, 0, 1). Pøirozenou úlohou je hledání systémù mincí, kde prùmìrný poèet mincí pou- ¾itých v optimálních reprezentacích je minimální. Zavedeme takové systémy formálnì. Denice 2. Mìjme D, N N. Pak systém e 1, e 2,..., e D N, kde 1 = e 1 < e 2 <... < e D, nazveme optimální (pro platbu), jestli¾e nabývá minimální hodnoty výraz (v tabulkách ho oznaèíme P (D, N)) 4 : 1 N N (poèet mincí v optimální reprezentaci n pro mince e 1, e 2,..., e D ). n=1 Poznámka 2. Právì fakt, ¾e pro ètyøi mince a èástky 1 100 obsahuje optimální systém mince v hodnotách 1, 5, 18, 25 (viz tabulka 1), vysvìtluje název èlánku J. Shallita a kol.: What this country needs is an 18c piece [4]. V americkém systému centù v hodnotách 1, 5, 10, 25 by staèilo pro zaji¹tìní optimality nahradit desetník hodnotou 18c. Dá se ale oèekávat, ¾e k tomu nikdo jiný ne¾ matematici nebude svolný. Hledat optimální reprezentace èástek není obvykle jednoduchá úloha. K její slo¾itosti se zanedlouho dostaneme. Pøedstavme nyní typ reprezentací, které se hledají snadno. 3 Øíkáme, ¾e posloupnost (ad,..., a 2, a 1 ) je lexikogracky vìt¹í ne¾ (b D,..., b 2, b 1 ), pokud jsou rùzné a nejvy¹¹í index j, kde se li¹í, splòuje a j > b j. 4 Ètenáøi se mù¾e zdát nelogické, proè reprezentujeme èástky a¾ do hodnoty N, tedy do hodnoty nejni¾¹í bankovky vèetnì, místo aby poslední èástka byla N 1. Vysvìtlení je jednoduché: pøi poèítání prùmìrù je hezèí dìlit hodnotou 100 ne¾ hodnotou 99. 2
poèet mincí D hodnoty P (D, 100) 3 1,12,19 5,21 4 1,5,18,25 3,93 5 1,5,16,23,33 3,33 6 1,2,7,19,29,33 3,01 Tabulka 1: Optimální systémy pro platbu èástek 1 100 (N = 100) pro poèet mincí D {3, 4, 5, 6} získané programem v Javì. Denice 3. Mìjme D, N N, e 1, e 2,..., e D N, kde 1 = e 1 < e 2 <... < e D a n {1, 2,..., N}. Reprezentaci (a D,..., a 2, a 1 ) nazveme hladovou reprezentací n (pøi platbì), pokud je získaná hladovým algoritmem. Tedy v prvním kroku klademe a D := k, kde k N {0}, n ke D 0 a n ke D je minimální. Pokud n = a D e D, pak jsme nalezli hladovou reprezentaci. Jinak podobnì pokraèujeme pro kladnou èástku n a D e D. Tedy ve druhém kroku klademe a D 1 := j, kde j N {0}, n a D e D je D 1 0 a n a D e D je D 1 je minimální. Analogicky postupujeme dále. Poznámka 3. Hladová reprezentace je v¾dy jediná. Z hladového algoritmu je vidìt, ¾e hladová reprezentace je lexikogracky nejvìt¹í ze v¹ech reprezentací. Pøíklad 2. Uva¾ujeme-li èeské koruny, pak hladovým algoritmem dostaneme 30 = 1 20 + 1 10, tj. hladová reprezentace je rovna (0, 1, 1, 0, 0, 0) a splývá s optimální reprezentací. Tato situace nastává pro v¹echny èástky. V jiných systémech mincí ale nemusí být optimální a hladová reprezentace ka¾dé èástky stejná. Napøíklad pro optimální systém ètyø mincí e 1 = 1, e 2 = 5, e 3 = 18, e 4 = 25 máme 36 = 2 18 = 1 25 + 2 5 + 1 1, pøièem¾ první reprezentace (0, 2, 0, 0) je optimální a druhá (1, 0, 2, 1) je hladová. Opìt se nabízí úloha hledat systémy mincí, kde prùmìrný poèet mincí pou- ¾itých v hladových reprezentacích je minimální. Denujme takové systémy formálnì. Denice 4. Mìjme D, N N. Pak systém e 1, e 2,..., e D N, kde 1 = e 1 < e 2 <... < e D, nazveme optimální hladový (pro platbu), jestli¾e nabývá minimální hodnoty výraz: 1 N N (poèet mincí v hladové reprezentaci n pro mince e 1, e 2,..., e D ). n=1 Zajímavou úlohou je zkoumat systémy mincí, v nich¾ splývá optimální a hladová reprezentace ka¾dé èástky. V pøíkladu 2 jsme zmiòovaly, ¾e pro èeské koruny tomu tak je, ale uvádìly jsme zároveò pøíklad systému, kde tomu tak není. V dal¹ím textu pøedstavíme Pearsonùv algoritmus, který umo¾òuje tuto úlohu pro daný systém efektivnì øe¹it. Právì tento algoritmus nám umo¾nil prozkoumat chování reálných systémù mincí. Vy¹etøovaly jsme systémy mincí celkem 3
poèet mincí D hodnoty P (D, 100) 3 1,5,22 5,34 3 1,5,23 5,34 4 1,3,11,37 4,16 4 1,3,11,38 4,16 5 1,3,7,18,45 3,50 6 1,2,5,11,25,62 3,17 6 1,2,5,11,25,63 3,17 6 1,2,5,11,25,64 3,17 6 1,2,5,13,29,64 3,17 6 1,2,5,13,29,65 3,17 6 1,2,5,13,29,66 3,17 Tabulka 2: Optimální hladové systémy pro platbu èástek 1 100 (N = 100) pro poèet mincí D {3, 4, 5, 6} získané programem v Javì. ádný ze systémù není zároveò optimální. 195 státù (tìch, které USA uznávají za nezávislé státy) a zdá se, ¾e podmínka, aby optimální reprezentace ¹lo poèítat hladovým algoritmem, tj. aby optimální a hladové reprezentace v¹ech èástek splývaly, hraje dùle¾itou roli pøi volbì systémù mincí. K neshodì optimálních a hladových reprezentací dochází pouze pro: západoafrický frank (Benin, Burkina Faso, Pobøe¾í slonoviny), jamajský dolar, malga¹ský ariar (Madagaskar), somoni (Tád¾ikistán). Neshodu zpùsobuje navíc v¾dy fakt, ¾e nejmen¹í mince mají hodnoty 1, 10, 25, proto¾e pak platí napø.: 30 = 3 10 = 1 25 + 5 1, pøièem¾ první reprezentace je optimální a druhá je hladová. 1.1 Slo¾itost nìkterých platebních problémù Hledat optimální reprezentace a optimální systémy mincí je èasovì nároèná úloha. O slo¾itosti je známo následující (detaily jsou k nalezení v [4]): Otázka: Mìjme D, N N, e 1, e 2,..., e D N, kde 1 = e 1 < e 2 <... < e D a n {1, 2,..., N}. Jak tì¾ké je najít optimální reprezentaci n? Odpovìï: Není znám algoritmus, který by provádìl polynomiálnì mnoho aritmetických operací v D s èísly velikosti O(e D ). 4
Otázka: Mìjme D, N N, e 1, e 2,..., e D N, kde 1 = e 1 < e 2 <... < e D a n {1, 2,..., N}. Jak tì¾ké je rozhodnout, zda je stejná optimální a hladová reprezentace n? Odpovìï: Není znám algoritmus, který by provádìl polynomiálnì mnoho aritmetických operací v D s èísly velikosti O(e D ). Otázka: Mìjme D N, e 1, e 2,..., e D N, kde 1 = e 1 < e 2 <... < e D. Jak tì¾ké je zjistit, zda je stejná optimální a hladová reprezentace ka¾dé èástky n N? Odpovìï (pøekvapivì!): Existuje Pearsonùv algoritmus, který provádí O(D 3 ) aritmetických operací s èísly velikosti O(e D ). Popi¹me si struènì, jak Pearsonùv algoritmus [5] funguje: Pokud nesplývá pro ka¾dou èástku optimální a hladová reprezentace, pak existují i, j N, kde 1 j i < D, taková, ¾e optimální reprezentace nejmen¹ího protipøíkladu je tvaru: n = (a j + 1)e j + a j+1 e j+1 +... + a i e i pro j < i, n = (a j + 1)e j pro j = i, (1) kde hladová reprezentace e i+1 1 = i k=1 a ke k. Testujeme tedy v¹echna i, j pøipadající v úvahu a hledáme nejmen¹í n ve tvaru (1), pro které poèet mincí v hladové reprezentaci je vìt¹í ne¾ poèet mincí v reprezentaci (1), tj. ne¾ (a j + 1) + a j+1 +... + a i. Pokud takové n najdeme, pak jde o nejmen¹í èástku, její¾ optimální a hladová reprezentace nesplývá. Pokud takové n nenajdeme, pak splývají optimální a hladové reprezentace v¹ech èástek. Pøíklad 3. V pøíkladu 2 jsme ukazovaly, ¾e optimální systém ètyø mincí e 1 = 1, e 2 = 5, e 3 = 18, e 4 = 25 nesplòuje, ¾e by splývala optimální a hladová reprezentace ka¾dé èástky. Konkrétnì jsme jako protipøíklad uvádìly èástku 36 centù. Nyní vy¹etøíme Pearsonovým algoritmem, zda je tento protipøíklad minimální. Máme 1 j i < 4, tedy je tøeba uva¾ovat uspoøádané dvojice (j, i) {(1, 1), (1, 2), (2, 2), (1, 3), (2, 3), (3, 3)}. Kandidáti na protipøíklad (vlevo èástka n, vpravo eventuální optimální reprezentace) jsou pak: 5 = 5 1, 18 = 3 1 + 3 5, 22 = 2 1 + 4 5, 25 = 2 1 + 1 5 + 1 18, 29 = 1 1 + 2 5 + 1 18, 42 = 1 1 + 1 5 + 2 18. Pouze v pøípadì èástky 29 pou¾ívá hladová reprezentace více mincí ne¾ reprezentace z vý¹e uvedeného seznamu kandidátù. Hladová reprezentace je toti¾ rovna 29 = 4 1+1 25, tedy pou¾ívá pìt mincí, zatímco reprezentace 29 = 1 1+2 5+1 18 pou¾ívá ètyøi mince a je optimální. Èástka 29 je tudí¾ nejmen¹í èástkou, pro ni¾ hladová a optimální reprezentace nesplývají. 5
Pøíklad 4. Uka¾me si vyu¾ití Pearsonova algoritmu k zodpovìzení otázky, zda splývají optimální a hladové reprezentace v¹ech èástek pro systém mincí v hodnotách 1, b, b 2,..., b D 1, kde b > 1. Podle Pearsonova algoritmu, pokud by existovala èástka, pro ni¾ jsou rùzné optimální a hladová reprezentace, pak by nejmen¹í takový protipøíklad mìl tvar: n = be j + (b 1)e j+1 +... + (b 1)e i pro j < i, n = be j pro j = i, (2) proto¾e hladová reprezentace e i+1 1 = b i 1 = i 1 k=0 (b 1)bk = i k=1 (b 1)e k. Není tì¾ké si rozmyslet, ¾e n = e i+1. Odtud ale plyne, ¾e hladová (i optimální) reprezentace n obsahuje jedinou minci, a to e i+1, co¾ je ménì ne¾ b+(b 1)(i j) (poèet mincí v reprezentaci (2)). Proto optimální i hladové reprezentace v¹ech èástek splývají. 2 Smìna Obvyklým problémem pøi placení mincemi je také smìna, kdy pøipou¹tíme i mo¾nost vracení. Denice 5. Mìjme D N, e 1, e 2,..., e D N, kde 1 = e 1 < e 2 <... < e D, dále N N a n {1, 2,..., N}. Pokud n = D i=1 a ie i, kde a i Z, pak (a D,..., a 2, a 1 ) nazveme reprezentací n (pøi smìnì). Øíkáme, ¾e tato reprezentace je optimální, pokud D i=1 a i je minimální mezi v¹emi reprezentacemi èástky n. Pøíklad 5. Optimální reprezentace dané èástky pøi smìnì pou¾ívá samozøejmì ménì nebo stejnì mincí jako optimální reprezentace této èástky pøi platbì. Napø. pro èeské koruny máme: 8 = 1 5 + 1 2 + 1 1 = 1 10 + ( 1) 2, pøièem¾ první reprezentace je optimální pøi platbì a potøebuje tøi mince a druhá je optimální pøi smìnì a potøebuje jen dvì mince. Jistì opìt není optimální reprezentace jednoznaèná. Jednak mù¾e nejednoznaènost plynout u¾ z nejednoznaènosti pøi platbì. Navíc mù¾e nejednoznaènost vzniknout pøipu¹tìním ¹ir¹í mno¾iny koecientù. Napø. pro èeské mince je optimální reprezentace ka¾dé èástky pøi platbì jednoznaèná, ale optimální reprezentace èástky 15 pøi smìnì má dvì mo¾né podoby: 15 = 1 20 + ( 1) 5 = 1 10 + 1 5. Navíc u¾ není jasné, proè upøednostnit mezi v¹emi optimálními reprezentacemi lexikogracky nejvìt¹í. Proè by napø. pro mince 1, 2, 98, 100 mìla mít pøednost reprezentace 2 = 1 100+( 1) 98 pøed 2 = 2 1? Poznamenejme, ¾e pro optimální i hladovou reprezentaci pøi platbì platí tvrzení [5]: Pokud (a D,..., a 2, a 1 ) a (b D,..., b 2, b 1 ) jsou posloupnosti s èleny z N {0} a zároveò a i b i pro ka¾dé 6
poèet mincí D hodnoty P (D, 100) 3 1,18,25 4,01 3 1,20,28 4,01 4 1,21,30,35 3,16 5 1,11,34,40,49 2,77 5 1,26,30,40,47 2,77 6 1,5,26,34,45,48 2,53 6 1,5,26,37,46,49 2,53 Tabulka 3: Optimální systémy pro smìnu èástek 1 100 (N = 100) pro poèet mincí D {3, 4, 5, 6} získané programem v Javì. i {1, 2,..., D}, potom platí implikace: je-li (a D,..., a 2, a 1 ) optimální, resp. hladová reprezentace, potom (b D,..., b 2, b 1 ) je také optimální, resp. hladová reprezentace. Tato vlastnost se pøi smìnì nezachovává a není ani známá nìjaká jí podobná. Analogicky jako v pøípadì platby nás mohou zajímat systémy mincí, kde prùmìrný poèet mincí pou¾itých v optimálních reprezentacích je minimální. Denice 6. Mìjme D, N N. Pak systém e 1, e 2,..., e D N, kde 1 = e 1 < e 2 <... < e D, nazveme optimální (pro smìnu), jestli¾e nabývá minimální hodnoty výraz: 1 N N (poèet mincí v optimální reprezentaci n pro mince e 1, e 2,..., e D ). n=1 Opìt platí, ¾e pro hledání optimální reprezentace nemáme k dispozici efektivní algoritmus, proto se pokusíme najít jednoduchou reprezentaci, která se nabízí jako analogie hladové reprezentace. Denice 7. Mìjme D, N N, e 1, e 2,..., e D N, kde 1 = e 1 < e 2 <... < e D a n {1, 2,..., N}. Reprezentaci (a D,..., a 2, a 1 ) nazveme hladovou reprezentací n (pøi smìnì), pokud je získaná jistým zobecnìným hladovým algoritmem, kdy v ka¾dém kroku bereme nejbli¾¹í vìt¹í èi men¹í minci. Tedy v prvním kroku najdeme j {1,..., D 1} tak, ¾e e j n e j+1. Pokud n e j e j+1 n, pak pí¹eme n = e j + z a zbytek z reprezentujeme dále analogicky (dokud není nulový). Pokud n e j e j+1 n, pak pí¹eme n = e j+1 z a zbytek z reprezentujeme dále analogicky (dokud není nulový). Pøíklad 6. Hladová reprezentace pøi smìnì u¾ nemusí být jednoznaèná. Uva¾ujemeli napøíklad èeské koruny, pak hladové reprezentace èástky 35 jsou hned ètyøi: 35 = 1 20 + 1 10 + 1 5, 35 = 2 20 + ( 1) 5, 35 = 1 50 + ( 1) 10 + ( 1) 5, 35 = 1 50 + ( 1) 20 + 1 5. 7
Ètenáø si ale snadno doká¾e (tøeba pomocí indukce), ¾e pro danou èástku obsahuje ka¾dá hladová reprezentace stejný poèet mincí. Poznámka 4. Zatímco ka¾dá reprezentace pøi platbì je zároveò reprezentací pøi smìnì, a tudí¾ optimální reprezentace dané èástky pøi smìnì pou¾ívá maximálnì tolik mincí, kolik optimální reprezentace této èástky pøi platbì, pro hladovou reprezentaci u¾ toto není pravda. Existují systémy mincí takové, ¾e nìkteré èástky obsahují v hladové reprezentaci pøi smìnì více mincí ne¾ v hladové reprezentaci pøi platbì. Napø. pro systém mincí e 1 = 1, e 2 = 3, e 3 = 5, e 4 = 10 máme: 8 = 1 5 + 1 3, 8 = 1 10 + ( 2) 1 = 1 10 + ( 1) 3 + 1 1, pøièem¾ první reprezentace obsahuje dvì mince a je hladová pøi platbì a druhé dvì obsahují tøi mince a jsou hladové pøi smìnì. Opìt jsme vy¹etøovaly systémy mincí, kde prùmìrný poèet mincí pou¾itý v hladových reprezentacích pøi smìnì je minimální. Denice 8. Mìjme D, N N. Pak systém e 1, e 2,..., e D N, kde 1 = e 1 < e 2 <... < e D, nazveme optimální hladový (pro smìnu), jestli¾e nabývá minimální hodnoty výraz: 1 N N (poèet mincí v hladové reprezentaci n pro mince e 1, e 2,..., e D ). n=1 Podobnì jako v pøípadì platby by nás mohlo zajímat, kdy splývá optimální a hladová reprezentace pøi smìnì. Proto¾e nyní není ani optimální ani hladová reprezentace dána jednoznaènì, je nejprve tøeba upøesnit, co budeme vlastnì vy¹etøovat. Uva¾ujme D, N N, systém e 1, e 2,..., e D N, kde 1 = e 1 < e 2 <... < e D, a èástku n {1,..., N}. Shròme si, co víme, a závìrem z poznatkù odvodíme otázky ke zkoumání. Je zøejmé z denice 6, ¾e ka¾dá optimální reprezentace n pøi smìnì obsahuje stejný poèet mincí, oznaème jej K. Zmiòovaly jsme, ¾e ka¾dá hladová reprezentace n pøi smìnì obsahuje stejný poèet mincí, oznaème jej M. Pokud K = M, potom ka¾dá hladová reprezentace n je zároveò optimální. Pokud K < M, potom ¾ádná hladová reprezentace n není optimální. Nyní mù¾eme zkoumat, který z následujících pøípadù pro èástku n platí: 1. K = M a existuje optimální reprezentace, která není hladová (øekneme, ¾e optimální a hladové reprezentace èástky n splývají èásteènì ). 8
poèet mincí D hodnoty P (D, 100) 3 1,6,33 4,18 4 1,4,13,48 3,34 4 1,4,15,48 3,34 5 1,2,7,22,71 2,96 5 1,2,7,23,74 2,96 5 1,2,7,23,75 2,96 6 1,2,7,12,41,70 (71, 80, 81) 2,73 6 1,2,7,12,42,81 2,73 6 1,2,7,12,51,80 (81) 2,73 6 1,2,7,12,52,81 2,73 6 1,2,7,13,44,85 2,73 6 1,2,7,13,54,85 2,73 Tabulka 4: Optimální hladové systémy pro smìnu èástek 1 100 (N = 100) pro poèet mincí D {3, 4, 5, 6} získané programem v Javì. Kdy¾ existuje více optimálních hladových systémù a li¹í se pouze v nejvy¹¹í minci, uvádíme hodnotu rùzných variant nejvy¹¹í mince v závorce. 2. K = M a navíc mno¾ina optimálních reprezentací a mno¾ina hladových reprezentací jsou stejné (optimální a hladové reprezentace èástky n splývají zcela). 3. K < M (optimální a hladové reprezentace èástky n nesplývají). Pøíklad 7. Uva¾ujme mince e 1 = 1, e 2 = 3, e 3 = 5, e 4 = 10. Potom 8 = 1 5+1 3 je optimální reprezentace pøi smìnì, která není hladová pøi smìnì. Dále 8 = 1 10+( 2) 1 je hladová reprezentace pøi smìnì, která není optimální pøi smìnì. Proto v takovém systému nesplývají reprezentace èástek, nastává tedy pøípad 3. Pøíklad 8. Uva¾ujme mince e 1 = 1, e 2 = 2, e 3 = 3, e 4 = 5, e 5 = 8. Potom 7 = 1 5+1 2 je optimální reprezentace pøi smìnì, která není hladová pøi smìnì. Dále 7 = 1 8 + ( 1) 1 je hladová reprezentace pøi smìnì, která je zároveò optimální pøi smìnì. Proto v takovém systému nesplývají zcela reprezentace èástek. Nastává tudí¾ buï pøípad 1, nebo 3. 2.1 Otevøené problémy pro smìnu Èlánek zakonèíme shrnutím otázek týkajících se smìny, na nì¾ nám nejsou známy odpovìdi. 1. Existuje analogie Pearsonova algoritmu pro smìnu? Tedy existuje efektivní algoritmus, který pro daný systém rozhodne, zda splývají optimální a hladové reprezentace v¹ech èástek (a» u¾ zcela, nebo èásteènì)? 2. Splývá optimální a hladová reprezentace ka¾dé èástky pøi smìnì: 9
(a) v systému mincí 1, b, b 2,..., b D 1, kde b > 1 (a» u¾ zcela, nebo èásteènì)? Algoritmus pro hledání jedné optimální reprezentace ka¾dé èástky je známý [3]. (b) v systému mincí v hodnotách Fibonacciho èísel 1, 2, 3, 5, 8,... (a to èásteènì, proto¾e zcela nesplývají, viz pøíklad 8)? Algoritmus pro hledání jedné optimální reprezentace ka¾dé èástky je známý [2]. 3. Lze denovat hladovou reprezentaci pøi smìnì lépe? Tedy tak, aby v¾dy pou¾ívala men¹í nebo stejný poèet mincí jako hladová reprezentace pøi platbì dané èástky. Reference [1] Balková L'.,»astná A., Jsou èeské mince optimální?, Rozhledy matematicko{fyzikální 90 (1{2) (2015), 14{22. [2] Heuberger C., Minimal expansions in redundant number systems: Fibonacci bases and greedy algorithms, Periodica Mathematica Hungarica 49 (2004), 65{89. [3] Heuberger C., Prodinger H., On minimal expansions in redundant number systems: Algorithms and quantitative analysis, Computing 66 (2001), 377{ 393. [4] Kleber M., Shallit J., Vakil R., What this country needs is an 18c piece, Mathematical Intelligencer 25 (2003), 20{23. [5] Pearson D., A polynomial-time algorithm for the change-making problem, Operations Research Letters 33 (3) (2005), 231{234. doc. Ing. L'ubomíra Dvoøáková, Ph.D. Marie Dohnalová Katedra matematiky FJFI ÈVUT v Praze gymnázium EDUCAnet Praha Trojanova 13 Roztylská 1 Praha 2, 120 00 Praha 4, 14000 lubomira.dvorakova@fj.cvut.cz marie.dohnalova21@gmail.com 10