Matematika II Extrémy funkcí více promìnných

Transkript

1 Matematika II Extrémy funkcí více promìnných RNDr. Renata Klufová, Ph. D. Jihoèeská univerzita v Èeských Budìjovicích EF Katedra aplikované matematiky a informatiky

2 Parciální derivace vy¹¹ích øádù Def. Opakovaným parciálním derivováním funkce n promìnných f(x 1, x 2,..., x n ) lze pro tuto funkci získat (pokud existují) parciální derivace vy¹¹ích øádù. znaèení parciálních derivací 2. øádu: xi ( f x i (X) ) = 2 f(x) x 2 i dal¹í mo¾né zápisy: f x i x i (X)... tzv. èisté derivace 2. øádu ( f x i ) x (X) j = 2 f(x) x i x j = f x i x j (X), kde i j... smí¹ené parciální derivace 2. øádu

3 Ukázka z = f(x, y) = x 2 y 2 + 2x + 6y 3

4 Pøíklad Je dána funkce f(x 1, x 2, x 3 ) = x 2 1 x 3 5x 3 2 ln x 3. Sestavte v¹ech 9 parciálních derivací 2. øádu této funkce. Vypoètìte 3 f. Pro A = [ 1, 0, 2] vypoètìte 4 f. x 1 x 2 x 2 3 x 3 2

5 Schwarzova-Youngova vìta Denice a vìta. Øekneme, ¾e funkce n promìnných f(x 1, x 2,..., x n ) je v bodì A hladká øádu k, jestli¾e v nìjakém okolí bodu A existují v¹echny její parciální derivace øádu k a jsou v bodì A spojité. Je-li funkce f v bodì A hladká øádu k, potom hodnota jakékoliv smí¹ené derivace øádu k v tomto bodì nezávisí na tom, v jakém poøadí se derivování provádí, ale pouze kolikrát derivujeme podle ka¾dé z promìnných. Speciálnì tedy pro ka¾dé i j platí f x i x j = f x j x i v ka¾dém bodì X, kde f je hladká øádu 2.

6 Extrémy vzhledem k mno¾inì Def. Nech» f(x 1, x 2,..., x n ) je funkce n promìnných a nech» M D(f). Øekneme, ¾e funkce f nabývá v bodì A M ostrého maxima (resp. minima) vzhledem k mno¾inì M, jestli¾e pro ka¾dé X M, X A platí: f(x) < f(a), resp. f(x) > f(a). Speciálnì lokální extrém vzhledem k mno¾inì M se týká existence okolí U bodu A takového, ¾e v A nastal extrém vzhledem k mno¾inì U M. Pokud hovoøíme jednodu¹e o lokálním extrému, míníme tím lokální extrém vzhledem k D(f) v nìjakém vnitøním bodì A D(f).

7 Hessova matice Def. Nech» f je funkce promìnných x 1, x 2,..., x n. Hessovou maticí funkce f míníme matici n-tého øádu H(X) = f x 1 x 1 f x 1 x 2... f x 1 x n f x 2 x 1 f x 2 x 2... f x 2 x n f x n x 1 f x n x 2... f x n x n Její prvky jsou opìt funkce promìnných x 1, x 2,..., x n, denované pro libovolný vnitøní bod X D(f), v nìm¾ existují v¹echny parciální derivace 2. øádu.

8 Submatice Hessovy matice i-tá hlavní submatice Hessovy matice... matice H i (X) øádu i, která vznikne z H(X) vy¹krtnutím øádkù a sloupcù s indexem vy¹¹ím ne¾ i. H 1 (X) = ( f x 1 x 1 ) H 2 (X) = ( f x 1 x 1 f x 1 x 2 f x 2 x 1 f x 2 x 2 ) H 3 (X) = f x 1 x 1 f x 1 x 2 f x 1 x 3 f x 2 x 1 f x 2 x 2 f x 2 x 3 f x 3 x 1 f x 3 x 2 f x 3 x 3 Determinanty submatic H i (X) se nazývají hlavní minory Hessovy matice a oznaèují se i (X). Jsou to opìt funkce promìnných x 1, x 2,..., x n.

9 Pøíklad Pro funkci f(x 1, x 2, x 3 ) = x 4 1 x3 2 x2 3, A = [ 1, 1, 0] sestavte Hessovu matici, v¹echny její minory a urèete hodnoty tìchto minorù v zadaném bodì A.

10 Lokální extrémy Vìta o lokálních extrémech funkce více promìnných. Nech» f(x 1, x 2,..., x n ) je funkce n promìnných, A je vnitøní bod D(f). (1) Jestli¾e pro nìkteré i platí f x i (A) 0, pak f nemá v A lokální extrém. (2) Jestli¾e f je hladká 2. øádu v A, zároveò A je stacionární bod funkce f (platí tedy f x 1 = 0, f x 2 = 0,..., f x n = 0, a (2a) pokud pro ka¾dé sudé i je i (A) > 0 a zároveò pro ka¾dé liché i je i je i (A) < 0, pak f má v bodì A lokální maximum; (2b) pokud pro ka¾dé sudé i je i (A) > 0 a zároveò pro ka¾dé liché i je i je i (A) > 0, pak f má v bodì A lokální minimum; (2c) v jiných pøípadech ne¾ (2a), (2b), f mù¾e, ale nemusí mít v A lokální extrém. (3) Jestli¾e funkce f není v A hladká 2. øádu a pro ka¾dé i hodnota f x i (A) je buï nulová nebo neexistuje, pak f mù¾e, ale nemusí mít v A lokální extrém.

11 Pøíklad Najdìte lokální extrémy funkcí (a) f(x 1, x 2, x 3 ) = x x x2 3 + x 1x 3 2x 1 + 4x 2 x 3 + 4, (b) f(p, q, r) = p 3 3p + qr

12 Lokální extrémy Vìta o lokálních extrémech funkce 2 promìnných. Je dána funkce dvou promìnných z = f(x, y) a dále vnitøní bod A D(f), který je jejím stacionárním bodem, a f je v tomto bodì hladká 2. øádu: (i) Je-li f xx (A) f yy (A) [f xy (A)]2 > 0, pak má funkce f v bodì A lokální extrém, a to: pro f xx (A) < 0 lokální maximum a pro f xx (A) > 0 lokální minimum. (ii) Je-li f bod. xx (A) f yy (A) [f xy (A)]2 < 0, pak má funkce f v bodì A tzv. sedlový (iii) Je-li f xx (A) f yy (A) [f xy (A)]2 = 0, pak v bodì A mù¾e, ale nemusí mít funkce f lokální extrém a mù¾e, ale nemusí mít funkce f sedlový bod.

13 Pøíklad Najdìte lokální extrémy funkce 2 promìnných z = x 2 y 2 + 6y + 2x 5

14 Vázané lokální extrémy Def. Je dána funkce dvou promìnných z = g(x, y). Tato funkce vymezuje v rovinì mno¾inu bodù K = {[x, y] : g(x, y) = 0}. Podmínka g(x, y) = 0 se nazývá vazba. Øekneme, ¾e funkce dvou promìnných z = f(x, y) nabývá v bodì B lokálního extrému vzhledem k vazbové podmínce g(x, y) = 0, jestli¾e má funkce f v bodì B lokální extrém vzhledem k mno¾inì K D(f).

15 Ukázka z = x 2 y 2 + 6y + 2x 5... hledat lokální extrémy vzhledem k vazbové podmínce g(x, y) = y 2x = 0

16 Metody hledání vázaných lokálních extrémù metoda dosazovací - pøímo z vazbové podmínky urèit pøedpis svazující promìnné ve tvaru y = φ(x) - dosadit do funkce a získat tak funkci jedné promìnné, metoda Lagrangeova multiplikátoru.

17 Metoda dosazovací Najdìte vázané extrémy funkce f(x, y) = 3x xy + y 3 + y + 5 vzhledem k vazbové podmínce: (a) pøímka 2x y + 1 = 0 (b) parabola x = y 2 + y

18 Metoda Lagrangeova multiplikátoru Vìta o Lagrangeovì multiplikátoru. Nech» funkce f(x, y) má v bodì B vázaný lokální extrém vzhledem k vazbì g(x, y) = 0, pøièem¾ f, g jsou hladké v B. Jestli¾e neplatí zároveò g x(b) = 0 a g y(b) = 0, pak nutnì existuje èíslo λ R tak, ¾e pro funkci L(x, y) = f(x, y) + λ g(x, y) je B jejím stacionárním bodem. Funkci L(x, y) nazýváme Lagrangeovou funkcí a λ Lagrangeovým multiplikátorem. Dále platí: má-li L(x, y) v B lokální maximum (resp. minimum), pak nutnì i pùvodní funkce f(x, y) má v B vázané lokální maximum (resp. minimum); mù¾e se stát, ¾e L(x, y) nemá v B lokální extrém nebo neumíme rozhodnout, i kdy¾ f(x, y) v B vázaný lokální extrém má.

19 Ukázka f(x, y) = 3x xy+y 3 +y+5... hledat lokální extrémy vzhledem k vazbové podmínce 2x y + 1 = 0

20 Jakobián Def. a vìta o Jakobiánu. Jsou-li f(x, y) a g(x, y) funkce dvou promìnných, pak jejich Jakobiánem (Jakobiho determinantem), rozumíme determinant J f,g (X) = det ( f x f y g x g y ). Je opìt funkcí promìných x, y denovanou v¹ude, kde v¹echny uvedené derivace existují. Nech» f má v bodì B lokální extrém vzhledem k vazbì g(x, y) = 0, pøièem¾ f, g jsou hladké v B. Potom nutnì J f,g (B) = 0.

21 Pøíklad Lagrangeovou metodou najdìte lokální extrémy funkce f(x, y) = 9x 6y + 2 na elipse x 2 + 2y 2 = 44.

22 Absolutní extrémy Zobecnìná Weierstrassova vìta. Je-li funkce f spojitá na kompaktní mno¾inì M, potom funkce f nabývá na M absolutního maxima a absolutního minima. Pozn.: Obecnì nelze existenci absolutních extrémù zaruèit. Zobecnìná Weierstrassova vìta zaruèuje pouze existenci absolutních extrémù, nedává ¾ádný návod pro jejich nalezení.

23 Absolutní extrémy Vìta. Nech» f je funkce spojitá na kompaktní mno¾inì M, pøièem¾ hranice H této mno¾iny je tvoøena koneèným systémem úsekù køivek g 1 (x, y) = 0, g 2 (x, y) = 0,..., g k (x, y) = 0 navazujících na sebe v bodech C 1, C 2,..., C k. Potom absolutní extrém funkce f na mno¾inì M musí le¾et v nìkterém z následujících bodù: (1) bod A M, kde nastal lokální extrém funkce f, (2) bod B H, kde nastal vázaný lokální extrém funkce f vzhledem k nìkteré vazbì g k (x, y) = 0, (3) libovolný z rozhranièujících bodù C 1, C 2,..., C k.

24 Pøíklad Najdìte absolutní extrémy dané funkce s vazbou (a) f(x, y) = x 2 + y 2 + 2x + 4y na úseèce s krajními body C 1 = [1, 4], C 2 = [4, 2] (b) f(x, y) = x 2y + 10 na kompaktním kruhu x 2 + y 2 5.