Matematika II Aplikace derivací

Transkript

1 Matematika II Aplikace derivací RNDr. Renata Klufová, Ph. D. Jihoèeská univerzita v Èeských Budìjovicích EF Katedra aplikované matematiky a informatiky

2 Derivace slo¾ené funkce Vìta o derivaci slo¾ené funkce. Nech» funkce f má derivaci na otevøeném intervalu I a funkce g má derivaci na otevøeném intervalu J a zároveò platí f(i) J. Potom má slo¾ená funkce y = g(f(x)) derivaci na I a platí [g(f(x))] = g (f(x)) f (x). Pøi výpoètu derivace slo¾ené funkce lze pou¾ívat symbolický zápis: d dx g(f(x)) = [g(f(x))] = f(x) = z = dg(z) dz df(x) dx

3 Derivace slo¾ené funkce Dùsledek. Pøi splnìní podmínek vìty o derivaci slo¾ené funkce platí: [h(g(f(x)))] = f(x) = z g(z) = u = dh(u) du dg(z) dz df(x) dx ke zderivování funkce ve tvaru y = p(x) q(x) pou¾ijeme její pøepis na elementární funkci: y = p(x) q(x) = e q(x) ln(p(x))

4 Derivace slo¾ené funkce zderivujte funkce y = ln(cos(5x)) a y = x x

5 Derivace slo¾ené funkce zderivujte funkce y = cos(3x 4 5), y = ln(ln(ln t)), y = arctg x, y = (sin x) cos x

6 Diferenciál... lineární odhad diference y odpovídající diferenci x diferenciál funkce f v bodì a (znaèení dy nebo df): dy = f (a) x odhad funkèní hodnoty f(a + x) pomocí diferenciálu: f(a + x). = f(a) + dy = f(a) + f (a) x

7 Diferenciál Pomocí diferenciálu v bodì a odhadnìte funkèní hodnotu f(b) v bodì b = a + x, jestli¾e f(x) = ln x, a = 1, b = 0, 994.

8 Teèna a normála grafu vlastní derivace f (a)... smìrnice teèny grafu funkce y = f(x) v bodì [a, f(a)] teèna: y = f (a) (x a) + f(a) normála: y = 1 f (a) (x a) + f(a) pro f (a) 0 (resp. x a = 0 pro f (a) = 0) Teènu lze pou¾ít k odhadu funkèních hodnot v okolí bodu dotyku.

9 Teèna a normála grafu Sestavte rovnici teèny a normály grafu funkce y = 2x 3 3x 4 v bodì a = 2. Diferenciálem odhadnìte y(2, 02).

10 Monotonie funkce v bodì Def. Je dána funkce y = f(x) a vnitøní bod a D(f). Pojmy funkce f je v bodì a rostoucí, resp. klesající, znamenají, ¾e existuje okolí U bodu a, kde platí: rostoucí klesající [x < a f(x) < f(a)] [x > a f(x) > f(a)] [x < a f(x) > f(a)] [x > a f(x) < f(a)] Vìta a denice. Nech» funkce f má v bodì a vlastní derivaci f (a). Potom platí (i) Je-li f (a) > 0, je funkce f v bodì a rostoucí. (ii) Je-li f (a) < 0, je funkce f v bodì a klesající. (iii) Je-li f (a) = 0, funkce nemusí být v bodì a ani rostoucí, ani klesající... stacionární bod funkce f.

11 Monotonie funkce Zjistìte, zda je funkce h(t) = t e t cos t v bodì a = 0 rostoucí.

12 Monotonie funkce na intervalu Vìta (o významu 1. derivace pro monotonii na intervalu). Pro ka¾dou funkci f mající vlastní derivaci f v otevøeném intervalu I platí: (i) jestli¾e pro ka¾dé x I je f (x) > 0, potom je funkce f na intervalu I rostoucí; (ii) jestli¾e pro ka¾dé x I je f (x) < 0, potom je funkce f na intervalu I klesající; (iii) jestli¾e pro ka¾dé x I je f (x) 0, potom je funkce f na intervalu I neklesající; (iv) jestli¾e pro ka¾dé x I je f (x) 0, potom je funkce f na intervalu I nerostoucí;

13 Monotonie funkce na intervalu Najdìte intervaly monotonie a stacionární body funkcíy = x 3 2x a y = e x2 +8x+12.

14 Prùbìh rychlosti procesu, þcitlivostÿ závislosti Je-li diferencovatelná funkce y = f(t) matematickým modelem popisujícím závislost sledované velièiny y na èase t, mù¾eme na intervalu (t 1, t 2 ) D(f) sestavit dal¹í funkci v(t) = f (t). Pro ka¾dou konkrétní hodnotu a (t 1, t 2 ) je f (a) okam¾itá rychlost s ní¾ se mìní hodnota y, kdy¾ t = a. Funkce v(t) je matematický model závislosti okam¾ité rychlosti zmìny velièiny y na èase. Podobnì: þcitlivostÿ závislosti velièiny y na velièinì x, máme-li k dispozici vyjádøení této závislosti pomocí funkce y = h(x) diferencovatelné na intervalu I: interpretace y = h (x): je-li zvoleno a I, pak hodnota h (a) vyjadøuje èíselnì, jakou (okam¾itou) zmìnu velièiny y máme oèekávat, jestli¾e se hodnota a zvý¹í o þ jednotkuÿ.

15 Prùbìh rychlosti procesu, þcitlivostÿ závislosti Pøi experimentu byla pacientu vpravena nitro¾ilnì do pravé pa¾e urèitá dávka antibiotika. Z levé pa¾e je mu v pravidelných intervalech odebírána krev a zji¹»uje se koncentrace antibiotika v krvi pacienta. Matematický model tohoto procesu je y(t) = 0,14 t 1+t 2, kde t (0, 24) je èas v hodinách od zaèátku pokusu, y je koncentrace léku ve vhodných jednotkách. (a) Zjistìte hodnotu koncentrace a okam¾itou rychlost nárùstu této koncentrace v èase pùl hodiny a dvì hodiny po zaèátku experimentu. (b) Jaký je prùbìh koncentrace léku v krvi bìhem experimentu?

16 Prùbìh rychlosti procesu, þcitlivostÿ závislosti Øe¹ení:

17 Prùbìh rychlosti procesu, þcitlivostÿ závislosti Výrobce má zji¹tìno, ¾e jeho denní zisk z (v tis. Kè) závisí na poètu vyrobených kusù n podle vztahu z(n) = 10n e 0,005n. Je-li souèasná denní produkce 500 ks, je vhodné ji zvy¹ovat? Proveïte podrobnìj¹í rozbor.

18 Prùbìh rychlosti procesu, þcitlivostÿ závislosti Øe¹ení:

19 L'Hospitalovo pravidlo Vìta. Nech» jsou splnìny následující podmínky: lim f(x) = 0 lim g(x) = 0, nebo lim f(x) = ± lim g(x) = ±. x a x a x a x a f Jestli¾e je lim (x) x a g (x) = A, pak nutné také lim x a f(x) g(x) = A.... návod pro výpoèet limit neurèitých výrazù 0 0 nebo. L'Hospitalovo pravidlo lze pou¾ít i opakovanì.

20 L'Hospitalovo pravidlo Aplikujte l'hospitalovo pravidlo na výpoèet limit (a) lim ln x x 1 x 1 (b) lim e t t + t 2 (c) lim 3t+5 xx x 0 + (d) lim s 2 13 s 1 s+1